同济大学高等数学课件映射与函数

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高等数学同济大学第七版第1章第1节课件C1S1

那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映合射
逆映射
区邻间域
构造复合映射
初等函数函
反函数
数
复合函数构造
四则运算
第一讲映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1）映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则；（2）映射的像唯一，但原像不一定唯一；（3）映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称

《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数

复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上的集合。通过函数图像，我们可以直观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定义域和值域，然后根据函数的解析式，在坐标系上标出对应的点，最后用光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。

《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数

第一节映射与函数
一、集合
二、函数概念三、映射四、函数的特性五、反函数
六、基本初等函数七、复合函数初等函数
1
第一节映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集如 M {0,1,2, ,9}
无限集如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1）子集；（2）集合相等；（3）空集；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（，）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18

高等数学同济大学第六版1-01-函数课件

x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x

2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,

, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的变化情况。微积分的研究是以极限的思想为基本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。但根本上，微积分这一学说的诞生的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:

高数上D11映射与函数课件

函数的单调性
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义

高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt

f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高等数学 PPT 课件
第一章
教材 : 同济高等数学第五版
欢迎您加入本课堂，希望您刻苦学习，努力争取最优异的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a

x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4

9
以上五类函数称为基本初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .

高等数学映射与函数PPT课件

y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法若直接函数 y=f (x)，x∈D，则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.

1.1映射与函数同济大学高数(第七版)上册

y -x
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的；（2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数；（3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数；（4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数；（5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数，（6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应定义设给定两个非空实数集唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性

同济大学高等数学课件映射与函数

同济七版高等数学上册大一上学期映射与函数 ppt

于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函数极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质
第一节映射与函数
一、集合二、映射三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x

高等数学(同济大学版)-课程讲解--1.1映射与函数

课时授课计划课序次号：01一、课题：§1.1 映照与函数二、课型：新讲课三、目的要求： 1. 认识会合与映照的有关观点；2.理解函数的观点，认识函数的四种特征；3.理解复合函数的观点，认识反函数的观点；4.熟习基本初等函数的性质及其图形；5.会成立简单实质问题的函数关系式．四、教课要点：函数的观点，函数的各样性态 .教课难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教课方法及手段：启迪式教课，传统教课与多媒体教课相联合．六、参照资料： 1. 《高等数学释疑解难》，工科数学课程教课指导委员会编，高等教育第一版社；2.《高等数学教与学参照》，张宏志主编，西北工业大学第一版社．七、作业：习题 1–1 3（1）， 6（ 4）（7），9（1）八、讲课记录：讲课日期班次九、讲课成效剖析：第一章函数与极限第一节映照与函数高等数学研究的主要象是函数 . 了正确而深刻地理解函数观点，会合与映照的知是不行缺乏的 . 本将要复回会合、映照的一些基本观点，在此基上要点介函数观点与有关知.一、会合1.会合的观点会合是数学中的一个最基本的观点．一般地，我将拥有某种确立性的事物的全体叫做一个会合，称集．成会合的事物称会合的元素．比如，某大学一年学生的全体成一个会合，此中的每一个学生会合的一个元素；自然数的全体成自然数会合，每个自然数是它的元素，等等．往常我用大写的英文字母A，B，C，⋯表示会合；用小写的英文字母a，b，c，⋯表示会合的元素．若 a 是会合 A 的元素，称 a 属于 A，作 a∈ A；否称 a 不属于 A，作a A（或a A）．含有有限个元素的会合称有限集；不含任何元素的会合称空集，用表示；不是有限集也不是空集的会合称无穷集．比如，某大学一年学生的全体成的会合是有限集；全体数成的会合是无穷集；方程x2 1 0 的根成的会合是空集．会合的表示方法：一种是列法，马上会合的元素一一列出来，写在一个花括号内．例如，全部正整数成的会合能够表示N {1 ，2，⋯，n，⋯}．另一种表示方法是指明会合元素所拥有的性，马上拥有性p（x）的元素x 所成的会合 A 作A{ x｜ x 拥有性 p（x） } ．比如，正整数集 N 也可表示成 N { n｜n 1， 2， 3，⋯}；又如 A { （ x， y）｜x2y21，x， y 数 } 表示 xOy 平面位周上点的会合．2.会合的运算A，B 是两个会合，若 A 的每个元素都是 B 的元素，称 A 是 B 的子集，作（或 B A）；若 A B，且有元素a∈ b，但 a A， A 是 B 的真子集，作 A任何集 A，定A．若 A B，且 B A，称集 A 与 B 相等，作 A B．由属于 A 或属于 B 的全部元素成的集称 A 与 B 的并集，作A∪B，即A∪B { x｜ x∈ A 或 x∈ B} ．A BB．由同属于 A 与B 的元素成的集称 A 与 B 的交集，作A∩B，即由属于 A 但不属于A∩B { x｜ x∈A 且 x∈B} ．B 的元素成的集称 A 与 B 的差集，作 A B，即A B { x｜ x∈A 但x B} ．如 1 1 所示暗影部分．1 1在研究某个，假如所考的全部集都是某个集X 的子集，称X 基本集或全集．． X 中的任何集 A 对于 X 的差集 X A 称 A 的集（或余集），作A c．会合的交、并、余的运算足以下运算法:A，B，C 三个随意会合，以下法成立：（1）交律 A∪B B∪ A，A∩B B∩A；（2）合律（ A∪ B）∪ C A∪（ B∪ C），（A∩B）∩C A∩（ B∩C）；（3）分派律（ A∪ B）∩C （ A∩C）∪（ B∩C），（A∩B）∪ C （A∪ C）∩（ B∪ C），（ A B）∩C （ A∩C）（B∩C）；（4）等律 A∪ A A， A∩A A；（ 5）汲取律 A∪A， A∩．A i（ i 1， 2，⋯）一列会合，以下法成立：（ 1）若 A i C（ i 1， 2，⋯），U A i C；i 1（ 2）若 A i C（ i 1， 2，⋯），I A i C．i 1X 基本集，A i（ i 1， 2，⋯）一列会合，c cU A i I A i c，I A i U A c i．i 1i 1i 1i 13.区间与邻域（1）区a 和b 都是数，将足不等式b）．即（ a， b）{ x｜ a＜x＜ b} ，a 和a＜ x＜b 的全部数成的数集称开区，作（ a， b 称开区（ a， b）的端点，里 a （ a， b）且b（ a， b）．似地，称数集［ a， b］ { x｜ a≤x≤b} 区， a 和 b 也称区［ a， b］的端点，里 a∈［ a， b］且 b∈［ a， b］．称数集［ a， b） { x｜ a≤x＜ b} 和（ a， b］ { x｜ a＜x≤b} 半开半区．以上些区都称有限区．数 b－ a 称区的度．别的有无穷区：（∞，∞） { x｜∞＜x＜∞}R，（∞，b］{ x｜∞＜x≤b}，（∞，b）{ x｜∞＜x＜b}，［ a，∞） { x｜a≤x＜∞}，（ a，∞） { x｜a＜ x＜∞}，等等．里号“∞”与“ ∞”分表示“ 无大”与“正无大”．（2）域x0是一个定的数，δ是某一正数，称数集 { x｜ x0δ＜ x＜x0作 U （ x0，δ）．称点 x0域的中心，δ 域的半径．（如1 2δ}点 x0的δ 域，12）．o称 U（ x0，δ） { x0} x0的去心δ 域，作U (x0,δ) { x｜ 0＜｜ x x0｜＜δ},o oU ( x0,δ) { x｜x0δ＜x＜x0},U (x0,δ) { x｜x0＜x＜x0δ}, 它分称x0的去心左δ 域o和去心右δ 域．当不需要指出域的半径，我常用U（ x0），U (x0) 分表示x0的某域和 x0的某去心域。

《映射和函数》课件

奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数，其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集，且数集中的每一个元素都有唯一的一个数与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.1映射与函数(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】课时授课计划课次序号：01一、课题：§1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式．四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a∉A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用∅表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作A {x｜x具有性质p（x）}．例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}；又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合．2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）；若A⊆B，且有元素a∈b，但a∉A，则说A是B的真子集，记作A⊂B．对任何集A，规定∅⊆A．若A ⊆B，且B⊇A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即A\B{x｜x∈A但x∉B}．如图11所示阴影部分．图1 1在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作c A．集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律A∪B B∪A，A∩B B∩A；（2）结合律（A ∪B）∪C A∪（B∪C），（A∩B）∩C A∩（B∩C）；（3）分配律（A∪B）∩C（A∩C）∪（B ∩C），（A∩B）∪C（A∪C ）∩（B∪C），（A \B）∩C（A∩C）\（B∩C）；（4）幂等律A∪A A，A∩A A；（5）吸收律A∪∅A，A∩∅∅．设A i（i1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：（1）若A i⊆C（i1，2，…），则1iiA∞=⊆C；（2）若A i⊇C（i 1，2，…），则1iiA∞=⊇C．设X 为基本集，A i（i1，2，…）为一列集合，则1c iiA ∞=⎛⎫⎪⎝⎭1c iiA∞=，1ciiA∞=⎛⎫⎪⎝⎭1ciiA∞=．3. 区间与邻域（1）区间设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）{x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a∉（a，b）且b∉（a，b）．类似地，称数集［a，b］{x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b 也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．称数集［a，b）{x｜a≤x＜b}和（a，b］{x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：（∞，∞）{x｜∞＜x＜∞}R，（∞，b］{x｜∞＜x≤b}，（∞，b）{x｜∞＜x＜b}，［a，∞）{x｜a≤x＜∞}，（a，∞）{x｜a＜x＜∞}，等等．这里记号“∞”与“∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．（2）邻域设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0δ＜x＜x0δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图12）．图1 2称U（x0，δ）{x0}为x0的去心δ邻域，记作o U(x0,δ){x｜0＜｜x x0｜＜δ},,δ){x｜x0δ＜x＜x0}, o U(x0,δ){x｜x0＜x＜x0δ},记o U( x它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），o U(x0)分别表示x0的某邻域和x的某去心邻域。

同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章

阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
y

D(
x)

1 0
当x是有理数时当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x x a }称为点a的邻域 ,
例如,
2x 1,
f
(
x)

x2

1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
设f
(
x)

1 2
0

x

1 ,
求函数
f
(
x

3)的定义域.
1 x2
解

f (x)
1 2
0 x1 1 x2

f
(x

3)

1 2
0 x31 1 x32
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .

同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数

例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但不一定表示同一映射．
三、函数
第一节映射与函数
1. 函数的概念
定义设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节映射与函数
1. 映射的概念
定义设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .

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