运筹学—对策论(三)

例 1 设G1和G2赢得矩阵分别为
5 A1= 2 4 1 4 0 7 A2= 4 6 3 6 2
定理7 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2;A}，G2= {S1, S2; α A} ，其中α>0为任一常数，则有⑴ VG2= α VG1 ⑵ T(G1)=T(G2) 例 2 设G1和G2赢得矩阵分别为 6 4 3 2 A2= 4 8 A1= 2 4 4 0 2 0 定义5 设G={S1 ， S2；A}为矩阵对策，其中 S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β 1, β 2, …, β n} ，A=（aij） 0 ≥ a 0 即矩阵A 。如果对一切 j=1,2, …,n, 都有 a m× n i j k j 的第i0行均不小于第k0行的对应元素，则称局中人Ⅰ 的纯策略αi0优超于αk0 ；同样，若对一切i= 1,2, …,m, 都有aij0≤ ail0即矩阵A的第l0列均不小于第j0列的对应 元素，则称局中人Ⅱ的纯策略β j0优超于β l0。
例 3 设G赢得矩阵为
3 A= 5 2
2 2 5
2 3 1
定理8 设G={S1 ， S2；A}为矩阵对策，其中 S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β 1, β 2, …, β n} ，
A=（aij）m×n 。如果纯策略α1被α2, …,αm中之一所优 超 ，由G可得到一个新的矩阵对策G′： G′= {S1 ′, S2； A ′} 其中S1 ′= {α2, …,αm}， A ′ =（aij ′）(m－1)×n aij ′= aij , i=2, …,m , j=1,2, …,n ,则⑴V G′ =VG ；⑵ G′中局中人Ⅱ的最优 策略就是其在G中的最优策略；⑶若(x2*, …, xm*)T是 G′中局中人Ⅰ的最优策略，则x*= (0，x2*, …, xm*)T便 是其在G中的最优策略。
对于A3，易知无鞍点，应用定理4，求解不等式组 7y1+3y2≤ υ 7x3+4x4≥ υ 4y1+6y2≤ υ 3x3+6x4≥ υ y1+y2=1 x3+x4=1 和 y1,y2 ≥ 0 X3,x4 ≥ 0 首先考虑方程组的解 7x3+4x4= υ 7y1+3y2= υ 3x3+6x4= υ 4y1+6y2= υ x3+x4=1 y1+y2=1 求解得x3*=1/3，x4 *=2/3； y1*=1/2，y2 *=1/2； υ=5 于是，原矩阵对策的一个解就是： X*=(0,0,1/3,2/3,0)T， Y*=(1/2, 1/2,0,0,0 ) T ， 3 0 5 0 2 5 9 A= 7 3 9 5 9 求解这个矩 4 6 8 7 5.5 阵对策。 6 0 8 8 3 解： 由于第4行优超第1行，第3行优超第2行，故可划 去第1行和第2行，得到新的赢得矩阵 7 3 9 5 9 A1= 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3 对A1第1列优超第3列，第2列优超第4列，1/3×(第1 列)+2/3 (第2列)优超第5列，故可划去第3﹑ 4﹑5列，得 到新的赢得矩阵 A2第1行优超第 7 3 7 3 A3= 4 6 3行，故划去第 A2= 4 6 6 0 3行，得到
练习题
“二指莫拉问题”。甲乙二人游戏，每人 出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出 的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确， 则他所赢得的数目为二人所出指数之和，否 则重新开始。写出该对策中各局中人的策略 集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存 在某种出法比其它出法更为有利。
复习已讲的矩阵对策内容
定理1 矩阵对策G={S1 ， S2；A}在纯策略意义下有解 的充要条件是：存在纯局势（ α i* , β j* ）使得对一切 i=1,2, …,m, j=1,2, …,n, 均有aij*≤ ai*j* ≤ ai*j 。
定理2 矩阵对策G= {S1, S2;A} 在混合策略意义下有解 的充要条件是：存在x*∈ S1* ,y*∈ S2*,使(x*,y*)为E(x,y) 的一个鞍点，即对一切x∈ S1* ,y∈ S2*，有 E(x,y*) ≤ E(x*,y*) ≤ E(x*,y)
运筹学—对策论(三)
定理5 对任一矩阵对策G= {S1, S2;A}，一定存在混合 策略意义下的解。 记矩阵对策G的解集为T(G), 关于对策解集有下列 两个性质：
定理6 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2;A1}，G2= {S1, S2;A2} ，其中A1 =(aij), A2 =(aij+L),L为任一常数，则有 ⑴ VG2= VG1+L ⑵T(G1)=T(G2)
推论 ： 在定理8中，若纯策略α1不是为α2, …,αm中 之一所优超 ，而是为α2, …,αm的某个凸线性组合所 优超，定理的结论仍然成立。
例：
A=
7 4 6
3 6 0
9 8 8
9 5.5 3
1/3×(第1列)+2/3 (第2列)优超第4列
优超原则：定理8给出了一个简化赢得矩阵A的原则， 称之为优超原则。根据这个原则，当局中人Ⅰ的某 纯策略αi被其它纯策略或纯策略的凸线性组合所优 超，可在矩阵A中划去第i行而得到一个与原对策G 等价但赢得矩阵阶数较小的对策G′，通过求G′而得 到G的解。
定理3 设x*∈ S1* ,y*∈ S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 件是：对任意i=1,2, …,m和j=1,2, …,n，有 E(i,y*) ≤ E(x*,y*) ≤ E(x*,j)
定理4 设x*∈ S1* ,y*∈ S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 件是：存在v,使得x*和y*分别是不等式组 m E(x,j) ∑ aijxi ≥ v , j=1,2, …,n E(i,y) i=1 m n ∑ xi ＝ 1 ∑ aijyj i=1 ≤ v , i=1,2, …,m j=1 xi≥0 , i=1,2, …,m n 和 ∑ yi ＝1 j=1 yj≥0 , j=1,2, …,n 的解，且v=VG 。