第一讲 矩阵和行列式初步

第一讲 矩阵和行列式初步

【知识梳理】 一、

概念

1、矩形的数表叫做矩阵；

2、矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；

3、方程组的系数矩阵；系数矩阵的两个行向量和两个列向量（七上书P74）；

4、主对角元素为1、其余元素均为零的方矩阵叫做单位矩阵；

5、形如 叫做行列式，是表示一种特定算式的记号； a1b2-a2b1叫做行列

式的展开式，其计算结果叫做行列式的值；a1、a2、b1、b2叫做该行列式的元素； 6、D 通常叫做方程组的系数行列式；D 是方程组解的判别式； 7、二阶行列式、三阶行列式及其展开方法（对角线法则）；

8、余子式（三阶行列式中划去某元素所在的行和列）和代数余子式（带符号的余子式）； 9、行列式按行（列）的展开式数学上成为拉普拉斯展开式。

二、 考点

1、 相等矩阵、矩阵的加法、矩阵的乘法（A x B 要求A 的列数和B 的行数相等）；

2、 矩阵的初等行变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘（除）以一个数加到另一行； 3、 行列式的展开；

4、 矩阵的应用：会用矩阵表达块状数据的计算方法，能够用矩阵的变换求解线性方程

组；

5、 行列式的应用：用行列式求解线性方程组(二元一次方程组和三元一次方程组），或讨论方程组解的情况；

6、 用行列式计算已知坐标的三角形面积。

【典型例题】

例1、 矩阵的计算

(1) (2)

(3) (4)

a1 b1 c1 d1

(5)

例2、行列式的计算

(1) (2)

例3、按要求计算行列式D=

(1)按第一行展开

(2)按第一列展开

例4、已知第一季度某小区1号楼和2号楼在1月份、2月份、3月份各幢楼的水、电、煤用量如下列各表所示：

表3（3月份）

如果每单位量的水费、电费、煤气费分别为1.03元、0.61元、1.05元，试解

决以下问题：

(1)将各幢楼的水、电、煤气的各月用量分别用矩阵表示出来；

(2)将各幢楼的水、电、煤气在第一季度的总用量用矩阵表示；

(3)已知各幢楼的水、电、煤气在第二季度的总用量均减少10%，将各幢楼的水、

电、煤气在第二季度的总用量用矩阵表示；

(4)求各幢楼的水、电、煤气在第一季度的总费用.

例5、利用行列式解关于x、y的方程组 xcosA-y cos A=c os B

xsin A+y cos B=s in B

例6、判断m取什么值时，下列关于x、y的线性方程组(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？

x+y+z-6=0

例7、用行列式解三元一次方程组 3x-y+2z-7=0

5x+2y+2z-15=0

例8、在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点坐标依次为：O（0,0），A（7,9），B （4,15），求△OAB的面积.

【解方程组公式】

一、二元一次方程组：

二、三元一次方程组：

【课后练习】

1、填空

1、已知矩阵A= 和B= .当A=B时，x =____________，

y =____________，m =____________，n =____________.

2、

+ =

_________________.

3、

- =

_________________.

2、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，并用矩阵变换的方法求解.

(1) x-2y=3 (2) x-2z=1

2x+y=11y+4z=6

2x-y+z=5

3、已知矩阵：A = , B = , C = .

计算：(1)A(B+C);(2)(B+C)A;(3)BA+CA

4、计算

5、解方程

(1) (2)

6、解下列二元一次方程组.

(1) (2)

7、判断下列三元一次方程组是否有唯一解？如果有，试求出这个解.

(1) (2)

8、当a为何值时，关于x、y、z的方程组有唯一解，并在此条件下写出该方程组的解.

9、某水果超市销售四种水果：香蕉、苹果、桔子、哈密瓜，它们的单价（元/千克）分别为：香蕉2、苹果3、桔子2、哈密瓜6，五位顾客的购买量（千克）如下表所示：

用矩阵方法计算五位顾客各花费多少金额购买水果.