等比数列--公开课一等奖课件

∴a2＋a3＋a4＋…＋an＝13×1－1－ 4343n－1＝(43)n－1－1 ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝(43)n－1
[点评与警示] 等比数列常见的判定方法有： (1)aan＋n 1＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)an＋12＝an·an＋2，(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)an＝cqn(c、q 均是不为 0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等 比数列． (4)Sn＝A·qn－A(A、q 为常数且 A≠0，q≠0,1)⇔{an}是公 比不为 1 的等比数列．
1．等比数列的概念 (1)定义： 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，这叫个做数等列比就数列，首项记作a1，公比记作q.
(2)数学表示式：
(3)等比中项：
项．即
.
aan＋n 1＝q
．
(n∈N*) ， 那 么 G 叫 做 a 和 b 的 等 比 中
如果三个数a、G、b成等比数列
qn
1．(2010·广州一模)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的 值为________．
[答案] 7
2．(2010·辽宁，3)设Sn为等比数列{an}的前n项和．已知3S3＝a4－2,3S2＝a3 －2，则公比q＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 两式相减，3(S3－S2)＝a4－a3,4a3＝a4， ＝4＝q，故选B. [答案] B
G2＝ab
2．通项公式
对于等比数列{an}，则an＝ 3．前n项和公式
当q＝1时，Sn＝
；na1
a1qn－1＝. amqn－m
当q≠1时，Sn＝
a111－－qqn＝a.11－1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则有
ap·aq＝am·an(q， ．
p，m，(2)n若∈{Nan*}) 是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……仍是等比数列．且公比 为.
若把例题中的条件改为 an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思 考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若 不是说明理由．
[解] 数列{an}是等比数列 ∵an＋1＝13Sn＋1 ∴an＝13Sn－1＋1 ∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，
∴an＋1＝43an(n≥2)， ∴aan＋n 1＝43(n≥2)， 当 n＝1 时，有 a2＝13S1＋1＝43， ∴当 n＝1 时有aa21＝43， ∴数列{an}是等比数列且公比 q＝43，首项 a1＝1， ∴an＝(43)n－1.
数列{an}的前 n 项和 Sn，且 a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝ 1,2,3……求：
(1)a2、a3、a4 的值； (2)判断{an}是否为等比数列，并求{an}通项公式； (3)求 Sn.
[解] (1)由 a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3，…得 a2＝13S1＝13a1＝13， a3＝13S2＝13(a1＋a2)＝49， a4＝13S3＝13(a1＋a2＋a3)＝1267
(2)数列{an}不是等比数列 由 an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，得 an＋1＝43an(n≥2)，又 a2＝13， ∴an＝13·(43)n－2(n≥2)
1 n＝1 ∴{an}通项公式为 an＝13·43n－2 n≥2
(3)由(2)可知 a2、a3、…an 是首项为13，公比为43，项数为 n 的等比数列．
3．(2010·课标全国，17)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.求数列 {an}的通项公式．
[解] 由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1，而a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公 比q.
[解] 利用等比数列的性质，建立 a1、an 的方程组求出 n 与 q.
a1an＝a2an－1＝128，又 a1＋an＝66， ∴aa1n＝ ＝26， 4， 或aa1n＝ ＝624. ， 又 Sn＝a11－－aqnq＝126，
∴qn＝ ＝26， ，
或q＝12， n＝6.
[点评与警示] 在等比数列中有五个重要的量a1，an，q，n，Sn，只要已知任 意三个，就可以求出其他两个，其中a1和q是两个最重要的量，通常要先求出a1与 q.但运用求和公式时，要注意q是否为1.
已知等比数列{an}中，a1＋a6＝66，a2a5＝128，求公比q和前6项和S6以及an.
∴b22＝b1b3＝4 得 b2＝2. ∴b1＝1，b2＝2，b3＝4 ∴等比数列{bn}的公比为 2，∴bn＝b1qn－1＝2n－1
(2)an＝log2bn＋3＝log22n－1＋3＝n－1＋3＝n＋2. ∵an＋1－an＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1 ∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
[解] ∵{an}是等比数列，∴a1·a6＝a2·a5， ∴aa11＋ ·a6a＝6＝12686 ，解得aa16＝ ＝264 或aa16＝ ＝624
①若 a1＝2，a6＝64，则 2·q5＝64 ∴q5＝32 ∴q＝2 由 S6＝a111－－qq6＝211－ －624＝126，an＝2n ②若 a1＝64，a6＝2，则 64·q5＝2 ∴q5＝312∴q＝12 由 S6＝a111－－qq6＝6411－－12614＝126，an＝21n
数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3＝4. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列； (3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．
[解] (1)由bb11b＋3＝b34＝5 知 b1，b3 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根，注意到 bn＋1＞bn 得 b1＝1，b3＝4.