线性代数考试练习题带答案大全(二)
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线性代数考试练习题带答案
一、单项选择题（每小题
3分，共15分）
1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A )
1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．
4．初等矩阵（A ）；
(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,
,n ααα线性无关，则（C ）
A. 12231,,
,n n αααααα-+++必线性无关；
B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；
D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t
7．设矩阵020003400A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -=
8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式1112
13
2122
23313233
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;
10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则()R AB =_____________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．求行列式11
12
13
2122
233132
33
a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
12．设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。
13． 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T
T
T
T
αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值
123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.
四、解答题（10分）
16. 已知100032023A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求10A
五、证明题（每小题5分，共10分）
17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,
,r ηηη为对应的齐次线性方程
组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη线性无关。
18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. ();k k k AB A B =
B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；
2．下列不是向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（ ）。
A ．12,,,s ααα⋅⋅⋅都不是零向量;
B. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。
A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；
5．二次型()222123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。