第十四章 达朗贝尔原理

§14－2 质点系的达朗贝尔原理
令 Δθi 0，有

2 m mR 2 2 FIi cosi 0 2 R cosd 2 2 mR m 2 FIi sini 02 2 R sind 2
mR 2 所以 F F cos A Ii i 2 mR 2 FB FIi sini 2
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
（2）若把作用于此质点上的所有力分为: 外力的 合力Fi（e)、内力的合力Fi(i)， 则式（14－3）可改 写为： Fi（e) + Fi(i) + FIi =0 对整个质点系有：
n n n
（i＝1，2，…n）
Fi ( e ) Fi ( i ) FIi 0
m1g
m2g FI2
mi ar ( mi )ar = mar
解得
m1 m2 a g m1 m2 m
有其它方 法吗？
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
例14－2 如图所示，定滑轮的半径为r，质量m均匀分 布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两 端挂有质量为m1和m2的重物（ m1>m2），绳与轮间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
§14－2 质点系的达朗贝尔原理
例14－2 如图所示，定滑轮的半径为r，质量m均匀分 布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两 端挂有质量为m1和m2的重物（ m1>m2），绳与轮间不 打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
O
mg
m2g m1g
14
§14－2 质点系的达朗贝尔原理
解：取滑轮与两重物组成的质点系为研 究对象，并对该质点系进行受力分析：
解：视小球为质点，受力分析如下：
重力（主动力）： mg
绳的张力（约束力）： FT 惯性力： 其中
FIn
O
θ
ι
FT
FIn
v2 ＝man= m sin
n＝0
根据质点的达朗贝尔原理，有：
mg+ FT + FI
（Ж）
FIn mg
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§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
建立如图所示自然坐标系 则式（ж）在图示自然轴上的投影式为：
Fi ( e ) 0
i 1
n i 1
空间任意力系的平衡条件为：
Fi
i 1
n
M O M O ( Fi ) M O ( Fi( e ) ) 0
可见(14-4)与上式相比分别多出了惯性力的主矢 和主矩，这在形式上也是一个平衡力系，因而可用静 力学中求解平衡问题的方法，求解动力学问题。 13
练习：列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车 厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对车厢静止， 求车厢的加速度a。
FT FI
mg x
列平衡方程 解：以单摆为研究对象，画受力图 加惯性力
FI ma
建立坐标轴x
F
x
0 , mg sin FI cos 0
a gtan
mg+ FT＋ FIn＝0
（Ж）
O
θ
Fb 0 : FTcos θ-mg=0
(1) (2)
ι
FT b n
Fn 0 : FTsin θ-FIn=0
联解（1）、（2）式得：
τ
FIn
mg FT＝ cos ＝1.96N
v＝
FT l sin 2 m
mg
＝2.1m/s
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§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
FA
y
A
取圆心角为Δθi的微小弧段， 每段 加惯性力FIi。
列平衡方程
FIi R θi Δθi B
F x 0, FIi cosi FA 0 F y 0, FIi sini FB 0
而
O FB
x
FIi =
miain
m R i R 2 2R
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1
第十四章 达朗贝尔原理（动静法）
达朗贝尔原理提供了研究动力学问
题的一个新的普遍的方法，即用静力学
中研究平衡问题的方法来研究动力学问 题，因此又称为动静法。
2
第十四章 达朗贝尔原理
§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理 §14－2 质点系的达朗贝尔原理 §14－3 刚体惯性力系的简化 §14－4 绕定轴转动刚体的轴承动约束反力
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
由合力矩定理可求得合力作用线位置sG： y
FT D
B
FI
（2）利用动静法，列平衡方程式， 求解未知量
2 sG l 3
G
θ FEx E
dFI
F F
x
0 : FT–FI –FEx=0
mg x
y
0 : FEy –mg =0
FEy
M
E
0:
l FT a cos FI sG cos mg sin 0 2 24
§14－2 质点系的达朗贝尔原理
y
由上三式解得：
FT D G
B
FI
ml sin 3g 2 F T (2l ) 6ag cos
θ FEx E FEy
dFI
mg x
ml sin θ 1 g 2 F Ex [ (2l 3a) ] 2a 3 cos
F Ey mg
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§14－3 刚体惯性力系的简化
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
例14－3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω定 轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不 考虑重力的影响，求轮缘横截面的张力。
y
A
R B O
x
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
解：由于对称，取四分之一轮 缘为研究对象，如图所示。 轮缘横截面张力设为FA、FB。
由于对称，任一横截面张力相同。
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
例14-4：如下图（a)所示，质量为m，长为l=a+b的均 质杆BE，用铰链E和绳CD与铅垂转轴CE连接，BE与 CE的夹角为θ，CD垂直于CE。如转轴以匀角速度ω转 动，求绳子的拉力和铰链E的约束反力。
B
ω C D
θ
E
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(a)
§14－2 质点系的达朗贝尔原理
解：以整体为研究对象，受力如图 由动量矩定理
dLo Mo dt m1ar m2 ar mr 2 m1 gr m2 gr m1ar m2 ar mra m1 gr m2 gr
mi O
Foy Fox mg
a r
a a
a
m2g
m1g
m1 m2 g m1 m2 m
角随着加速度a的变化而变化，当a不变时， 角也不变。 只要测出角，就能知道列车的加速度。 摆式加速计
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
设质点系由n个质点组成，其中任意质点i的质量为mi， 加速度为ai。
（1）若把作用于此质点上的所有力分为主动力的合 力 F i、 约束力的合力FNi， 再虚拟加上此质点的 惯性力FIi= –miai。 由质点的达朗贝尔原理，有 Fi+ FNi+ FIi =0 （14－3） 该式表明：质点系中每个质点上作用的主动 力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这 就是质点系的达朗贝尔原理。
FIR FIi Fi(e ) maC
此式适用于任何质点做任何运动
§14－3 刚体惯性力系的简化
力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一 般与简化中心的位置有关。下面对刚体作三种运动时惯性 力系简化的主矩进行讨论。
1.刚体作平移 如图，C为刚体质心，O为简化中心。 任一瞬时都有： ai＝ aC FI1 FIi＝－mi ai= －mi aC rC 惯性力系分布如图示。
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§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
二、 质点的达朗贝尔原理 F+ FN+ FI =0 (14－2） 上式表明作用在质点上的主动力、约束力和 惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达 朗贝尔原理。 强调指出： 质点并非真的处于平衡状态，这样做的目的是将 动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学 问题，这一方法具有很多优越性。
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§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
例14－1 如图所示一圆锥摆，质量m＝0.1kg的小球系 于长l＝0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O,并与铅直线 成θ ＝60º 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的 速度v与绳的张力FT的大小。 O
θ
ι
FT
FIn
mg
6
§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
1
a1
C
ri i
aC
ai
该力系向O点简化: FIR mi ai maC
O
FIi
M IO ri FIi ri mi ai
mi ri aC mrC aC
27
M IO mrC aC
MIO一般不为零
FI1
rC O
1 C ri
=mi
an
mi

2
FI2
r
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
根据质点系达朗贝尔原理，列平衡方程：
FIin
FIit
mi O Foy Fox
MO
0:
at
FI1
an
mg
a
m1gr–m2gr –FI1r –FI2r FIit r 0a
即（m g 1 而
–m2g –m1a –m2a)r – mi ar =0
解：以细杆BE为研究对象，并对该杆进行受力分析 B y （图(b)）： B
FT D ω C
1、外力 重力： mg
D
FEx
θ E
mg FEy xE
θ
轴承约束反力： ，FEy FEx F 绳子的拉力： T
(b)
(a)
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
2、惯性力：
y
FT D G
B
FI
BE杆中所有质点的惯性力呈三角形分布
a1 aC
若取质心C为简化中心，MIC表示 主矩， 因 rC=0， 则有
为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题，常需将 刚体中各质点的惯性力所组成的惯性力系进行简化，求出惯 性力系的主矢和主矩。
动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩
本节将讨论刚体平移，定轴转动和平面运动时惯性 力系的简化。
以FIR表示惯性力系的主矢，则FIR
FIi
（14－5）
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结合（14－4）第一式和质心运动定理知：
1、外力 重力： m1g, m2g, mg
FIin
FIit
mi O Foy Fox
at
FI1
轴承约束反力： Fox， Foy
2、惯性力： （各加速度方向如图示） 两重物： FI1＝m1a, FI2=m2a a
an
mg
a
m2g
轮缘上任意质点i（设其质量为mi) ：
m1g
FIit =mi at
=mia
FIin
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§14－1 惯性力•质点的达朗贝尔原理
一、 惯性力 如图示，设一质点的质量为m,加速度为a，受 主动力F，约束反力FN， 则有 m a =F+ FN 令
有
F+ FN –m a =0 （14－1）
FI m
FI= – m a
F+ FN+ FI =0 （14－2）
FN
F
ma
FI称为质点的惯性力。
注意惯性力的大小和方向。
i 1
i 1 n n
n
i 1
M O ( FIi )
i 1
n
为惯性力系对点 O的主矩。
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§14－2 质点系的达朗贝尔原理
Fi
i 1 n
i 1
n
(e )

FIi
i 1 n
i 1
n
0
(14-4)
M O ( Fi
FR
n i 1 n
(e )
) M O ( FIi ) 0
i 1 n
i 1
n
FIi
i 1 n
i 1
n
0
(14-4)
M O ( Fi( e ) ) M O ( FIi ) 0
上式表明，作用在质点系上的所有外力与
虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力
系，这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。
在静力学中，称 Fi 为主矢， M O ( Fi ) 为对 点O的主矩， 在此称 FIi 为惯性力系的主矢，
（1）求惯性力合力大小及其作用位置 θ 设惯性力合力为FI，其作用点G距E FEx E 的距离为sG。 在杆长s处，取微小段ds， 它的惯性力为dFI ： (ω为常量，at=0)
dFI
mg x (b)
FEy
m m 2 2 ds r ds ssin dFI = dm·n a l l l m ml 2 2 所以 FI ssin ds sin 0 l 2
i 1 i 1 i 1
M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( FIi ) 0
i 1 i 1 i 1
n
n
n
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而
Fi
i 1
n
(i )
0
M O ( Fi
i 1
n
(i )
)0
11
§14－2 质点系的达朗贝尔原理
故
Fi ( e )