流体力学动力学

可以证明这个张量是对 称的，只有六个独立的 分量。
法应力为正 表示受拉
• 任意方位作用面上的应力
有了应力张量 [P] ，任意方位作用面上的应力都可知道，为： 例如法向为 n 的作用面 上应力的 y 方向的分量
p n n [ P]
pny p xy n x p yy n y p zy n z
1 p dv x X x dt 1 p dv y Y y dt 1 p dvz Z z dt
写成矢量式：
dv f grad p dt
1
1 p v x v x v x v x X vx vy vz x t x y z v y v y v y 1 p v y Y vx vy vz y t y y z vz vz vz 1 p vz Z vx vy vz z t x y z
运动流体的应力状态可由应力张量来描述。
• 流体的动压强
应力张量主对角线上 三个元素之和是坐标变 换中的不变量，即其值 不随坐标轴的转动而改 变，任意三个相互垂直 的作用面上的法应力之 和都是相同的。
定义
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
流体的动压强
流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所 以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意 p 并非任 意方位作用面上真正的压应力 pnn
p xx P p yx p zx
p xy p yy p zy
p xz p yz p zz
• 应力张量
p xx p xy p xz [P] p yx p yy p yz p p p zx zy zz
应力张量 九个量组 成的二阶 张量 主对角线上的三个元 素是法应力分量，其 它是切应力分量。
u xu x d y d z
从 a’b’c’d’面流出的 x 方向 的动量为
o x
y
( u xu x ) d x d y d z u x u x x
净流入前后这一对表面的 x 方向的动量为 a d’ dy uz c’ d
z
( u xu x ) d xd yd z x
o x
y
相加得沿 x 方向的总表面力
p xx p yx p zx ( )d xd yd z x y z
• 根据动量守 • 作用于六面体微
恒原理
元沿 x 方向的质 量力为
X d x d y d z
微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度a,根据 牛顿第二定律 ：
p dx p dx dv x Xdxdydz ( p )dydz ( p )dydz dxdydz x 2 x 2 dt
两端同除以微元体的质量
dv x Fx m dt
dxdydz ,并整理有：
的含义： 法向为 x 轴正方向的作用面上的 应力在 y 方向的分量。（切应力）
法向为 x 轴正方向的作用面上的应力 的含义： 在 x 方向的分量。（法向应力）
p xx
由受力平衡方程,可得
pn n P
p xy p yy p zy p xz p yz p zz
p xx (p nx , p ny , p nz ) (n x , n y , n z ) p yx p zx
-pzx dx dy dz 的表面力有： 前后一对面元法向力 p p xx d y d z ( p xx xx d x) d y d z x 左右一对面元切向力 p yx p yx d x d z ( p yx d y) d x d z y 上下一对面元切向力 p zx p zx d x d y ( p zx d z) d x d y z
同理可知，在单位时间里， 沿着 y 方向和 z 方向净流入左 右和上下两对表面的 x 方向 的动量分别为 和
uy a’ dz b b’
c
dx
o x
y

(u y u x ) y
d xd yd z
(u z u x ) d xd yd z z
• 作用于六面体表面沿 x 方向
z
-pxx -pyx
粘性流体受力分析
§4—1 运动流体的应力状态
• 运动实际流体
应力四要素：点、面、 侧、分量方向。
n
Pn
一点处的应力 pn 取决于 作用面法向，所以脚标 中须加上 n
• 应力分量
pn
分量形式
( pnx , pny , pnz )
脚标含义：前一个表 示作用面方向；后一 个表示应力分量之投 影方向。
p xy
即为理想流体运动微分方程式，表示了作用在 单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相 平衡。(可压缩、不可压缩)
一. 以应力表示的流体运动微分方程
ux d’
aLeabharlann Baidu
d
• 单位时间 里，从 abcd 面流入微
元体的流体质量为
z
a’ dz b
b’
dy
c’
c dx
u x d y d z
流入微元体的 x 方向的动量为
• 广义牛顿内摩擦定律
牛顿内摩擦定律
du dy
推广
[ P ] 2[ E] p[ ]
各向同性的不可压缩牛 顿流体的应力和变形速 率之间存在线性关系
广 义 牛 顿 内 摩 擦 定 律
§4—2 流体运动微分方程
理论基础是动量守 恒定律。
按照欧拉观点表述动量守恒定律：单位时 间控制体内动量的增加必等于单位时间净 流入控制体的动量加上控制体内流体所受 合力。
0,理想流体的运动微分方程
用牛顿第二定律加以推导
在流场中取一平行六面体，如图所示。其边长分别为dx， dy，dz，中心点为c(x,y,z) 。中心点的压强为p=p(x,y,z)， 密度为ρ=ρ(x,y,z) 。因为研究的对象为理想流体，作用 于六个面上的表面力只有压力，作用于微元体上的单位质量 力f,沿三个坐标轴的分量分别为X,Y,Z.