高考理科数学考点解析 几何证明选讲

几何证明选讲

一、填空题

1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,BE=2AE=2,BD=ED ,则线段CE 的长为 .

【解题指南】设圆心为O ,连接OD ,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解. 【解析】设圆心为O ,连接OD ,AC ,可得△BOD ∽△BDE ,所以BD

2=BO ·BE=3,所以BD=DE=

因为△AEC ∽△DEB ,

AE CE

DE BE = ,即EC

2=,所以

答案二、解答题

2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,

1

2

OA 为半径作圆. (1)证明:直线AB 与☉O 相切.

(2)点C ,D 在☉O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明:AB ∥CD. 【解析】(1)设圆的半径为r ,作OK ⊥AB 于K , 因为OA=OB ,∠AOB=120°,

所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin 30°=OA

=r,

2

所以AB与☉O相切.

(2)方法一:假设CD与AB不平行,

CD与AB交于F,FK2=FC·FD.①

因为A,B,C,D四点共圆,

所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK).

因为AK=BK,

所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.②

由①②可知矛盾,

所以AB∥CD.

方法二:

因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,

因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,

又OC=OD,TC=TD,

所以OT为CD的中垂线,

所以AB∥CD.

3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲

如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.

(1)证明:B,C,G,F四点共圆.

(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.

【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然∠DCB=90°,只需证明∠

GFB=90°.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形△BCG和△BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DF⊥CE,

所以Rt△DEF∽Rt△CDF,

所以∠GDF=∠DEF=∠BCF,

DF CF

=

DE CD

.

因为DE=DG,CD=BC,

所以DF CF

=

DG BC

,

所以△GDF∽△BCF,

所以∠CFB=∠DFG,

所以∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,

所以∠GFB+∠GCB=180°.

所以B,C,G,F四点共圆.

(2)因为E为AD中点,AB=1,

所以DG=CG=DE=1

2

,

所以在Rt△GFC中,GF=GC,

连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,

所以S四边形BCGF=2S△BCG=2×1

2×1×1

2

=1

2

.

4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.

(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.

(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.

【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.

因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.

因为∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.

(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.

5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,☉O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.

(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.

(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.

【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.

因为AP BP

,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.

又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.

(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.

6.(2016·江苏高考T21)A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.

【解题指南】根据直角三角形的性质证明∠EDC与∠ABD都等于∠C.

【证明】由BD⊥AC可得∠BDC=90°,

由E是BC中点可得DE=CE=错误！未找到引用源。BC,则∠EDC=∠C,

由∠BDC=90°可得∠DBC+∠C=90°,

由∠ABC=90°可得∠ABD+∠DBC=90°,

因此∠ABD=∠C,又∠EDC=∠C,可得∠EDC=∠ABD.

7.(2016·北京高考理科·T17)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥

AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

(1)求证:PD⊥平面PAB.

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM//平面PCD?若存在,求AM

的值;若不存在,说明理由.

AP

【解题指南】(1)已知PD⊥PA,再证明PD⊥AB即可.

(2)建系,用向量法求.