人口增长模型
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xm xm 1+ ( − 1) e − rt x0
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
dx x = rx(1 − ) dt xm
图像 dx/dt x xm xm/2 x0 xm/2 xm x 0 t
x (t ) =
xm xm − 1) e − rt 1+ ( x0
对
x(t ) = x0e
rt
两边取对数: 两边取对数:
rt
y = ln x(t ) = ln x0e = ln x0 + rt
（曲线变直线） 曲线变直线） 由数据估计得： r =0.2022/10年， x 0 =6.0450 由数据估计得： =0.2022/10年
x(t ) = 6.0450e
0.2022t
200
150
100
50
1850
1900
1950
2000
图1 美国人口数据图
返回
模型构成及求解
符号 约定
t —— 时间 x(t)—— t时刻的人口总数 时刻的人口总数
模型 假设
人口增长率 r 是常数
模型构成及求解
x(t + ∆t ) − x(t ) = r∆t → x(t )
x(t + ∆t ) − x(t ) = rx(t ) ∆t
(r, s > 0)
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
模型构成及求解
r ( xm ) = 0
r s= xm
x r ( x) = r (1 − ) xm
dx = r ( x) x dt
解得： 解得： x ( t ) =
dx x = rx(1 − ) dt xm
图像
0
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
由实际数据估计r=0.2557, =392.0886，代入计算： 由实际数据估计r=0.2557, xm=392.0886，代入计算：
1 n L(a, b) = ∑ yi′ − yi n i =1
1 n 1 n 2 = ∑ yi′ − axi − b → ∑ ( yi′ − axi − b ) n i =1 n i =1
xi
模型构成及求解
参数估计
x(t ) = x0ert 中的参数 x0 ,r 进行估计: 进行估计 估计: 对曲线
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
指数增长模型： 指数增长模型： x(t ) =
x0ert
马尔萨斯提出 (1798)
随着时间增加， 随着时间增加，人口按指数规律无限增长
模型构成及求解
参数估计 1、对直线y=ax+b中的参数 ,b进行估计 、对直线 中的参数a 进行估计 中的参数 基本方法： 基本方法：回归直线 基本思想： 基本思想：最小二乘法 y i’ yi
返回
结果分析
结果分析
500
400
x(t ) = 6.0450e0.2022t
300
200
100
0
5
10
15
20
图2 指数模型拟合图
结果分析
误差分析
平均绝对误差 平均绝对误差
平均相对误差 平均相对误差
1 2000 ∑ x(i) − x′(i) = 21.6727 22 i =1790
1 2000 x(i) − x′(i) ∑ x′(i) = 0.20 22 i =1790
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
r 符号 约定 —— 固有增长率
r(x)—— 人口总数为 时的增长率 人口总数为x时的增长率 xm —— 人口容量（资源、环境能容 人口容量（资源、 纳的最大人口数量） 纳的最大人口数量）
模型 假设
人口增长率r(x)是人口总数x的减函 是人口总数 的减函 人口增长率 数，即 r(x) = r − sx
研究人口变化规律
控制人口过快增长
问题提出
Baidu Nhomakorabea表1
年 人口 年 人口 年 人口
美国人口统计数据表 单位 百万) 单位： 美国人口统计数据表 (单位：百万
1790 3.9 1870 38.6 1950 150.7 1800 5.3 1880 50.2 1960 179.3 1810 7.2 1890 62.9 1970 1820 9.6 1900 76.0 1980 1830 12.9 1910 92.0 1990 1840 17.1 1920 2000 1850 23.2 1930 1860 31.4 1940
数学模型
主讲教师： 主讲教师：刘剑
人口的增长模型
1 2 3 4
问题提出 模型构成及求解 结果分析 阻滞增长模型
问题提出
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 年 人口(亿 10 20 30 40 50 60 人口 亿) 5
中国人口增长概况
年 人口(亿 人口 亿) 1908 1933 1953 1964 3.0 4.7 6.0 7.2 1982 1990 10.3 11.3 2000 13.0
106.5 123.2 131.7
204.0 226.5 251.4 281.4
思考：如何根据已有的数据， 思考：如何根据已有的数据，来研究人口变化规律
问题提出
x (0) = x 0
人口数 X(t)
年增长率r
时间t 时间t
模型构成及求解
x(t) ~时刻 的人口数 时刻t的 时刻 人口数
250
x(t)
误差太大，说明模型与实际情形不符合
结果分析
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
指数增长 可用于短期人口增长预测 模型的应用 及局限性 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不符合19 19世纪后多数地区人口增长规律
不能预测较长期的人口增长过程
缺陷
r是变量而不是常量
分段模型
300 250 200 150 100 50
5
10
15
20
图3
4段指数模型拟合图 4段指数模型拟合图
返回
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
由数据观察到，人口增长到一定数量后，增长率下降。 由数据观察到，人口增长到一定数量后，增长率下降。 这是资源、环境等因素对人口增长的起到了阻滞作用， 这是资源、环境等因素对人口增长的起到了阻滞作用，这 种阻滞作用随人口数量增加而变大。基于这个假设，我们 种阻滞作用随人口数量增加而变大。基于这个假设， 建立起阻滞增长模型( 模型) 建立起阻滞增长模型(Logistic模型) 。 模型
结果分析
x1 (t ) = 3.93962e0.295622t , x2 (t ) = 5.41492e0.246399t , x3 (t ) = 18.4218e0.132705t , x (t ) = 27.376e0.1110360t , 4 t = 0,1,L ,5 t = 6, 7L ,10 t = 11,12,L ,16 t = 17,18,L , 21
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
dx x = rx(1 − ) dt xm
图像 dx/dt x xm xm/2 x0 xm/2 xm x 0 t
x (t ) =
xm xm − 1) e − rt 1+ ( x0
对
x(t ) = x0e
rt
两边取对数: 两边取对数:
rt
y = ln x(t ) = ln x0e = ln x0 + rt
（曲线变直线） 曲线变直线） 由数据估计得： r =0.2022/10年， x 0 =6.0450 由数据估计得： =0.2022/10年
x(t ) = 6.0450e
0.2022t
200
150
100
50
1850
1900
1950
2000
图1 美国人口数据图
返回
模型构成及求解
符号 约定
t —— 时间 x(t)—— t时刻的人口总数 时刻的人口总数
模型 假设
人口增长率 r 是常数
模型构成及求解
x(t + ∆t ) − x(t ) = r∆t → x(t )
x(t + ∆t ) − x(t ) = rx(t ) ∆t
(r, s > 0)
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
模型构成及求解
r ( xm ) = 0
r s= xm
x r ( x) = r (1 − ) xm
dx = r ( x) x dt
解得： 解得： x ( t ) =
dx x = rx(1 − ) dt xm
图像
0
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
由实际数据估计r=0.2557, =392.0886，代入计算： 由实际数据估计r=0.2557, xm=392.0886，代入计算：
1 n L(a, b) = ∑ yi′ − yi n i =1
1 n 1 n 2 = ∑ yi′ − axi − b → ∑ ( yi′ − axi − b ) n i =1 n i =1
xi
模型构成及求解
参数估计
x(t ) = x0ert 中的参数 x0 ,r 进行估计: 进行估计 估计: 对曲线
dx = rx , x ( 0 ) = x 0 dt
指数增长模型： 指数增长模型： x(t ) =
x0ert
马尔萨斯提出 (1798)
随着时间增加， 随着时间增加，人口按指数规律无限增长
模型构成及求解
参数估计 1、对直线y=ax+b中的参数 ,b进行估计 、对直线 中的参数a 进行估计 中的参数 基本方法： 基本方法：回归直线 基本思想： 基本思想：最小二乘法 y i’ yi
返回
结果分析
结果分析
500
400
x(t ) = 6.0450e0.2022t
300
200
100
0
5
10
15
20
图2 指数模型拟合图
结果分析
误差分析
平均绝对误差 平均绝对误差
平均相对误差 平均相对误差
1 2000 ∑ x(i) − x′(i) = 21.6727 22 i =1790
1 2000 x(i) − x′(i) ∑ x′(i) = 0.20 22 i =1790
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
r 符号 约定 —— 固有增长率
r(x)—— 人口总数为 时的增长率 人口总数为x时的增长率 xm —— 人口容量（资源、环境能容 人口容量（资源、 纳的最大人口数量） 纳的最大人口数量）
模型 假设
人口增长率r(x)是人口总数x的减函 是人口总数 的减函 人口增长率 数，即 r(x) = r − sx
研究人口变化规律
控制人口过快增长
问题提出
Baidu Nhomakorabea表1
年 人口 年 人口 年 人口
美国人口统计数据表 单位 百万) 单位： 美国人口统计数据表 (单位：百万
1790 3.9 1870 38.6 1950 150.7 1800 5.3 1880 50.2 1960 179.3 1810 7.2 1890 62.9 1970 1820 9.6 1900 76.0 1980 1830 12.9 1910 92.0 1990 1840 17.1 1920 2000 1850 23.2 1930 1860 31.4 1940
数学模型
主讲教师： 主讲教师：刘剑
人口的增长模型
1 2 3 4
问题提出 模型构成及求解 结果分析 阻滞增长模型
问题提出
世界人口增长概况
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 年 人口(亿 10 20 30 40 50 60 人口 亿) 5
中国人口增长概况
年 人口(亿 人口 亿) 1908 1933 1953 1964 3.0 4.7 6.0 7.2 1982 1990 10.3 11.3 2000 13.0
106.5 123.2 131.7
204.0 226.5 251.4 281.4
思考：如何根据已有的数据， 思考：如何根据已有的数据，来研究人口变化规律
问题提出
x (0) = x 0
人口数 X(t)
年增长率r
时间t 时间t
模型构成及求解
x(t) ~时刻 的人口数 时刻t的 时刻 人口数
250
x(t)
误差太大，说明模型与实际情形不符合
结果分析
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
指数增长 可用于短期人口增长预测 模型的应用 及局限性 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不符合19 19世纪后多数地区人口增长规律
不能预测较长期的人口增长过程
缺陷
r是变量而不是常量
分段模型
300 250 200 150 100 50
5
10
15
20
图3
4段指数模型拟合图 4段指数模型拟合图
返回
阻滞增长模型(Logistic模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) (Logistic模型
由数据观察到，人口增长到一定数量后，增长率下降。 由数据观察到，人口增长到一定数量后，增长率下降。 这是资源、环境等因素对人口增长的起到了阻滞作用， 这是资源、环境等因素对人口增长的起到了阻滞作用，这 种阻滞作用随人口数量增加而变大。基于这个假设，我们 种阻滞作用随人口数量增加而变大。基于这个假设， 建立起阻滞增长模型( 模型) 建立起阻滞增长模型(Logistic模型) 。 模型
结果分析
x1 (t ) = 3.93962e0.295622t , x2 (t ) = 5.41492e0.246399t , x3 (t ) = 18.4218e0.132705t , x (t ) = 27.376e0.1110360t , 4 t = 0,1,L ,5 t = 6, 7L ,10 t = 11,12,L ,16 t = 17,18,L , 21