数值分析总复习2010_2_bit

l31 a31 l11 2, l22 a22 l221 5 1 2,
4
b
3
.
10
y
LLT x b
4 0 0
1 2 0 2 3 3
12
3
复化Simpson公式
区间[a, b] n等分, n=2m
b a
f
(
x)dx
h
3
f0
f2m 4( f1
f3
f2m1 )
2( f2 f4 f2m2 ): Sn .
其中 h b a . n
➢ 截断误差
RS ( f )
b a
f
( x)dx
Sn
ba 180
h4
f
(4) (
),
( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L 对 x[a, b] 成
立。
xk
k0
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列
收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估
计式：
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk1
xk
|
( k = 1, 2, … )
(a,b).
4
梯形值序列
T2m
➢ 递推算法
T2m
T2m1 2
hm
所有新增加节点的函数值之和.
其中
hm
ba 2m
.
5
Romberg算法
T1 T2 S2 T4 S4 C4 T8 S8 C8 T16 S16 C16 T32 S32 C32
D8
D16 D32
S8
4T8 T4 3
C16
积公式具有m次代数精确度.
2
复化梯形公式
b a
f
(
x)dx
h
2
f0
fn 2( f1
f2
fn1 ): Tn .
其中 h b a , n
fi f ( xi ), xi a ih.
➢ 截断误差
b
RT ( f ) a f ( x)dx Tn
b a h2 f ''( ), (a,b).
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
k 1
其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点; Ak,
xk 的值可查表得到.
➢ 一般[a, b]上的Gauss型求积公式可用换元法转 化成[-1, 1]上的Gauss型求积公式.
b
f ( x)dx
1 f a b b a t b a dt.
k lnb a ln ε 1.
ln 2
10
简单迭代法
f (x) 0 x g(x)
构造递推公式
xn1 g( xn ), x0 适当选取.
以xn逐次逼近 f (x)=0的根.
如何构造收敛的迭代法?
11
定理 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
a
1 2
2 2
8
第八章 非线性方程解法
求 f (x) = 0 的根
二分法(对分区间法) 简单迭代法 (收敛的充分条件) 牛顿法 割线法
9
二分法(对分区间法)
➢ 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间, 用二分法迭代
|xk
x*|
ba 2k 1
➢ 给定精度, 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度
几个重要概念 ➢ 局部截断误差 Taylor展开方法 ➢ 整体截断误差 ➢ 数值方法的阶数
18
数值分析总复习例题
19
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
4
b
3
.
10
分析 a11 A a21
a31
对称 a22
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
4
b
3
.
10
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
l11 a11 , l21 a21 l11 , l31 a31 l11 ,
14
构造常微分方程离散格式的三种方法 ➢ 用差商近似导数 ➢ 数值积分方法 ➢ Taylor多项式近似方法
15
单步法常见格式 ➢ Euler法 ➢ 改进Euler法 ➢ 经典四阶RK方法
16
多步法常见格式 ➢ Simpson公式 ➢ Adams显隐公式 ➢ Adams预测--校正公式
17
l11
LLT l21
a32 a33
ຫໍສະໝຸດ Baidu
l31
l11 l21
0 l22
l22
0 l32 l33
l31
l32
l33
aij (li ,l j ) 其中 li为矩阵 L的第 i个行向量.
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 20l322 .
|
x
*
xk
|
1
Lk L
|
x1
x0
|
12
牛顿法 原理：将非线性方程线性化 ( Taylor 展开 )
xn1
xn
f ( xn ) f ( xn )
(n 0,1, )
y
x*
x
xn+1 xn
13
第九章 常微分方程数值解法
构造常微分方程离散格式的三种方法 单步法常见格式 多步法常见格式 重要概念: 局部截断误差
第七章 数值微分与数值积分
复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度 截断误差
1
代数精确度
设有求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等
号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求
l22 a22 l221 ,
l32 a32 l21l31 l22 , l33
a33 l321 21l322 .
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
16S16 15
S8
D16
64C16 63
C8
6
Gauss型求积公式
设有求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
Ak: 求积系数, {xk}: 求积节点
如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度, 则称
其为Gauss型求积公式.
7
➢ 区间[-1, 1]上的Guass型求积公式