数值分析总复习2010_2_bit
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析期末复习(整理版)
Chapter 1 误差误差限计算、有效数字分析•绝对课差址t洵准确俏”*为工的-个近似偵「称T —工対近似偵.T '的絶村谋差，简厳供邛*可简记为E.|g(T)|=| T —*|兰£(/)数值貞门称为T的11绐对误差限或误差限*l『*、F(x ) x —x E© ) = —=——为近似值/的担zt溟誉可简｛己址•有效数字若才作加的近tilt其鲍对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单恆，而该位数字到F的第—位非零数字共有斤位關称用F近恤时具有血有效做字'简称丫有畀位有效数字.Chapter 2插值法差值条件(唯一性)1、拉格朗日差值a) 插值基函数b) 差值余项2.2拉格朗曰抽值2.2.1基函数考虑最简单、晟舉本的骼值问起+ 求押次插值家项式『低)…肋，便加滿足播值条伸可知，除斗点外.其余都星”.巧的零点■械可诛< (A) ^.4(X 一％[…(-V址 d 為"* <A -A；)X)=A(X - J- (A- - \_, )(.Y -J)其中M为常數.由&工戶1町得』=-------------------- -----------------(閔円)心7冷K%-咖卜-a -斗)和対讼>：T^V为准确血"为玄的一个近似伉称relativeerror称之为拉厳朗LI垒曲绘都是M次帝项武.. 2.1.2拉榕朗n插佢雾项式利用拉辭朗H皋啦数/态人构造次数不趙过"的雾项式£(巧二必机朗+^( v) + •…I J；/,(.v) = £昭(曰可知其搆足7韩为拉格阴Id插说饕砂式.再由插菽牟嘶的唯亠杵“ 鲁 D I特别地*造时又叫钱件擂僮其几何童又为过两点的直级-当*匸2时又叫拋物<线)掩值•具几何鳶义为过三点的拋物线.滾丘阖淘若取人1).伸伏=札1*…飒由插痕参项式的唯一性有£址工)# =x\ k= 0」厂』特别当k-OfiL就得到£佃-1□则铉格朗U的丄抚抽值雾项式为V)= j^(j(X> + I'Jj (x> + j/2(.v) * MQO=(2)弓…仗扣讪—协-町H^)xll(A + l)(r-JX^ 4}+3x —(x H)(x-LXx-3) 8 15■裁1M T-3X V-4)+^X HX A-1M A4)+ l(.v+lX.v-lXr-3)+ 3)a 1已知$ =五，耳=4眄=S.用皴件插值f即一次插惟藝坝如历的近似值.解片=2・曲=3•菇函数付别为：t-9 1 x-4 I4(J)=——=—(x-9j, Zjx)=——= -{x -4)砂14-9 5尸门9-4 5播債孝项式为V)-片fj.i) +」'占(巧-2x^(.v 夕”：(* 4)---(.V 4 J -4)(- (X + fr))所以乔金厶⑺二空R点5使2求过啟-1,-毎川』人(乱-创*(4」)的抛物线播值(即三次插値务项式).蔦-U 斗=-t t A|二L x2=3»A3- 4以为苗点加墓函.数分别为：厶何」匸迪住1±J (.r +lXA -3}(x-4)1(1 ► 1)(1-3)(1- 4J 12心)」：十汽-1年¥二Uw心一ncz (34-1X3-1X3-4) K=⑴】心-叭7= *十叫讣7】(4 + IX4-1X4-3) 152.23極値肇项M tt'r滾^Ji n(x)=f(x)兀糾也称为"次1川甘"叱插伯赛境式的余坝。
数值分析总复习
例1
已知 2 1.414有4位有效数字， 问u (3 2 2)3 0.005088448有几位有效数字.
解：x 2, x* 1.414, (x*) 0.0005,设f (x) (3 2x)3
( f (x*)) f (x*) (x*)
6(3 21.414)2 0.0005 0.00008875 0.0005
a (0, f ) 6.28;b (1, f ) 1.93
(0 ,0 )
(1 , 1 )
y 6.28 1.92(x2 2.625) 1.93x2 1.21为所求.
第4章 数值积分
1.代数精度 2.牛顿-柯特斯公式 3.复化求积公式 4.龙贝格求积公式 5.高斯求积公式
xn+1＝0.5e -xn x0 ∊ (0,1) 3) 用上述迭代法求解f(x)=0.(取初值x0=0.50, 要求绝对误差小于0.005)
解答:1) ∵f(x)为[0,1]上连续函数，且f(0)f(1)<0,由连续
函数的介值定理，
f(x)=0在(0，1)内至少有一个根。 又∵在[0,1]上f’(x)<0，∴f(x)严格单调减， ∴f(x)=0在(0，1)内只有一个根。
误差分析 1.基本概念
1）绝对误差
2）相对误差
第1章 绪 论
e x*x
er
e x*
x*x x*
3）有效数字 若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位，就说 x* 有n 位有效数字.
2.一元函数运算的误差估计
( f (x*)) f (x*) (x*).
9 16
数值分析2010总结
数值分析复习总结任课教师王建国第二章数值分析基本概念教学内容：1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。
2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题；病态问题和不稳定算法的实例分析。
3.数值计算的几个注意问题数值计算的基本概念误差概念和分析误差的定义：设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝对误差:a x p∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。
相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限● 误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。
带来舍人误差。
截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。
● 有效数字对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。
有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。
推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。
推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：例:计算y = ln x 。
若x ≈ 20，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差 < 0.1% ?120.10mn x a a a =±⨯ 1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯ 15()10nr x a -∆≤⨯●数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。
数值分析期末复习
《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。
(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。
2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。
3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。
4. 最小二乘法及其计算方法。
第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。
2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。
熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。
3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。
会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。
数值分析总复习
yn+1=yn+h/2 (yn+yn+1)
解出yn+1得
y n 1
1 1 h 2 yn 1 1 2 h
类似前面分析,可知绝对稳定区域为
1 1 h 2 1 1 1 2 h
由于Re()<0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式
公式的优点.一些常用方法的绝对稳定区间为
会构造简单的三次样条插值函数. 4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
七、数值积分
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法 确定求积公式。 3. 会用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分并
点.了解Newton迭代法的变形.
x k 1
局部平方收敛.
f ( xk ) xk f ( x k )
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质. 2.会建立插值多项式并导出插值余项. Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。
3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
祝大家考试好运！
字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
方 法 Euler方法 梯形方法 改进Euler方法 二阶R-K方法 三阶R-K方法 四阶R-K方法 方法的阶数 1 2 2 2 3 4 稳定区间 (-2 , 0) (- , 0) (-2 , 0) (-2 , 0) (-2.51 , 0) (-2.78 , 0)
(完整版)数值分析考试复习总结汇总,推荐文档
10
100
误差估计：
f
max | f (x) fh (x) |
(x ih) (x (i 1)h) . 2! ixx(i1)h
□
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近
主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间 L2[a,b]中讨论
2. 离散意义下
在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值
n (x)
(x
xi
)
n
(xi
)
ji
n
n
其中: n (x) (x x j ), n xi (xi x j ) .
j0
j0
ji
例 1 n=1 时，线性插值公式
P1 ( x)
y0
(x x1) (x0 x1)
y1
(x x0 ) (x1 x0 )
，
例 2 n=2 时，抛物插值公式
P2 (x)
可得： L3 (x) x 2 (x 1 2)
方法二. 令
L3 (x) x(x 1 2) ( Ax B)
由
L3
(1)
3 2
，
L3 (1)
1， 2
定 A，B
（称之为待定系数法）
□
15.设 f (x) x2 ，求 f (x) 在区间[0,1] 上的分段线性插值函数 fh (x) ，并估计误差， 取等距节点，且 h 1/10 .
(2)
2x ( x 1 x
x 1 x) .
(3) 1 cos x sin 2 x sin x .
□
x
x(1 cos x) 1 cos x
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
数值分析期末复习要点总结省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
15
Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, j k lk ( x j ) 0, j k
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上旳拉格朗日插值基函数
16
线性与抛物线插值
两种特殊情形
x0 ƒ(x0)
x1 ƒ(x1) ƒ[x0, x1]
x2 ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2]
x3 ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3]
…
xn ƒ(xn) ƒ[xn-1, ƒ[xn-2, xn-1, ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, … ƒ[x0, x1,2…7 ,
ln 0.54 旳精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值旳精度比线性插值要高
Lagrange插值多项式简朴以便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
19
Lagrange插值
lk(x) 旳体现式 由构造法可得
lk (
x)
( x x0 ) ( xk x0 )
Rn(x)
n1
Nn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
i 1
其中 a0 f ( x0 ), ai f [x0 ,, xi ], i 1,2,, n
Nn(x) 是 n 次多项式
Rn( x) f [x, x0 , ... , xn]( x x0 )...( x xn1)( x xn )
若
e(x*) x x*
数值分析期末复习总结(优选.)
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
L2 ( x) =
y0
(x ( x0
− −
x1 )( x − x2 ) x1 )( x0 − x2 )
+
y1
(x ( x1
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
y2
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
f ( x=) f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [x, x0]
1
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1]
2
……
f [ x, x0 , ... , xn−1] = f [ x0 , ... , xn ] + ( x − xn ) f [ x, x0 , ... , xn ] n−1
19
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函
数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。
解决办法
设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式 可以通过 n-1 次插值多项式生成 —— Newton 插值法
20
新的基函数
设插值节点为 x0 , … , xn ，考虑插值基函数组 ϕ0(x) = 1 ϕ1( x)= x − x0 ϕ2( x) = ( x − x0 )( x − x1 )
18
插值余项
几点说明
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用
ξx 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界
数值分析总复习提纲
数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。
在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。
一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。
基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n θεθ++<<<+，已知ε求n 。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x),而f （k)(x)（k)(0)0=1。
由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+当1时，1111(01)2!!(1)!e e n n θθ=+++++<<+故3(1)(1)!(1)!n e R n n θ=<++。
当n ＝9时，(1)<10－6，符合要求。
此时， e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。
基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x＝② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x==== ③(())()()()e f x f x dx f x e x ''==④(())(ln ())r e f x d f x = ⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ''''=+=+⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x εδ=⑦ x εδ=注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x =或xεδ=，这样计算简单。
数值分析总复习2010
T
lii
LT
li 1 li 2 l n1 ln 2
l ni lnn
2 lii aii ( li21 lii 1 ) 设 l =L的第 i个行向量, 则 i
aij l l 1 aki ( lk 1li 1 lk 2 li 2 lki1(ii i, l)j ) ( i j ) lki ( k i 1,, n). lii 8
近多项式.
二次最佳平方逼近多项式
设 f (x)是区间[a, b]上的连续函数, 求二次多项式函
数 (x)=a0+a1x+ a2x2 使得,
f ( x ) (a
b a
a1 x a2 x 2 ) 0
b
2 dx
f ( x ) g( x ) 2dx. g ( x )二次多项式 a
x (k+1)
i
ai 1 (k+1) aii 1 (k+1) aii 1 (k) ain (k) bi x1 x i 1 xi 1 xn , aii aii aii aii aii
( i 1,2,, n)
12
迭代法收敛的充分必要条件
x ( k 1) Mx ( k ) g , (0) 收敛 x 任意
一般通过差商表进行计算
Ln ( x ) N n ( x ).
截断误差同Lagrange插值公式.
18
Hermite插值多项式
xi
x0
x1
y1
x2 y2
y2 '
xn yn yn '
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析总复习2010_2_bit
0
27
五. 设
f ( x) x3 x2 x 1,
(1)
用迭代公式
xk1
1
1 xk
1 xk2
求方程 f (x)=0在
x0=2.0附近的一个根, 试问此迭代法是否收敛?
(2) 用合适的方法求 f (x)=0在x0=2.0附近的根, 要求
计算结果具有4位有效数字.
解
(1)
迭代函数为
11 g(x) 1 x x2 ,
14
构造常微分方程离散格式的三种方法 ➢ 用差商近似导数 ➢ 数值积分方法 ➢ Taylor多项式近似方法
15
单步法常见格式 ➢ Euler法 ➢ 改进Euler法 ➢ 经典四阶RK方法
16
多步法常见格式 ➢ Simpson公式 ➢ Adams显隐公式 ➢ Adams预测--校正公式
17
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
k 1
其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点; Ak,
xk 的值可查表得到.
➢ 一般[a, b]上的Gauss型求积公式可用换元法转 化成[-1, 1]上的Gauss型求积公式.
b
f ( x)dx
1 f a b b a t b a dt.
几个重要概念 ➢ 局部截断误差 Taylor展开方法 ➢ 整体截断误差 ➢ 数值方法的阶数
18
数值分析总复习例题
19
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
4
b
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。
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( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L 对 x[a, b] 成
立。
xk
k0
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列
收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估
计式：
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk1
xk
|
( k = 1, 2, … )
|
x
*
xk
|
1
Lk L
|
x1
x0
|
12
牛顿法 原理：将非线性方程线性化 ( Taylor 展开 )
xn1
xn
f ( xn ) f ( xn )
(n 0,1, )
y
x*
x
xn+1 xn
13
第九章 常微分方程数值解法
构造常微分方程离散格式的三种方法 单步法常见格式 多步法常见格式 重要概念: 局部截断误差
(a,b).
4
梯形值序列
T2m
➢ 递推算法
T2m
T2m1 2
hm
所有新增加节点的函数值之和.
其中
hmBiblioteka ba 2m.5
Romberg算法
T1 T2 S2 T4 S4 C4 T8 S8 C8 T16 S16 C16 T32 S32 C32
D8
D16 D32
S8
4T8 T4 3
C16
几个重要概念 ➢ 局部截断误差 Taylor展开方法 ➢ 整体截断误差 ➢ 数值方法的阶数
18
数值分析总复习例题
19
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
4
b
3
.
10
分析 a11 A a21
a31
对称 a22
积公式具有m次代数精确度.
2
复化梯形公式
b a
f
(
x)dx
h
2
f0
fn 2( f1
f2
fn1 ): Tn .
其中 h b a , n
fi f ( xi ), xi a ih.
➢ 截断误差
b
RT ( f ) a f ( x)dx Tn
b a h2 f ''( ), (a,b).
l11
LLT l21
a32 a33
l31
l11 l21
0 l22
l22
0 l32 l33
l31
l32
l33
aij (li ,l j ) 其中 li为矩阵 L的第 i个行向量.
l11 a11 , l21 a21 l11 , l22 a22 l221 ,
l31 a31 l11 , l32 a32 l21l31 l22 , l33 a33 l321 20l322 .
a
1 2
2 2
8
第八章 非线性方程解法
求 f (x) = 0 的根
二分法(对分区间法) 简单迭代法 (收敛的充分条件) 牛顿法 割线法
9
二分法(对分区间法)
➢ 设[a, b]是 f (x)=0的有根区间, 用二分法迭代
|xk
x*|
ba 2k 1
➢ 给定精度, 迭代次数k 满足下式, 能保证满足精度
l31 a31 l11 2, l22 a22 l221 5 1 2,
4
b
3
.
10
y
LLT x b
4 0 0
1 2 0 2 3 3
k lnb a ln ε 1.
ln 2
10
简单迭代法
f (x) 0 x g(x)
构造递推公式
xn1 g( xn ), x0 适当选取.
以xn逐次逼近 f (x)=0的根.
如何构造收敛的迭代法?
11
定理 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
第七章 数值微分与数值积分
复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度 截断误差
1
代数精确度
设有求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
若它对 f (x)=1, x, x2,…, xm 都能精确成立(即上式等
号成立), 但对 f (x)=xm+1 上式等号不成立, 则称该求
16S16 15
S8
D16
64C16 63
C8
6
Gauss型求积公式
设有求积公式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 1
Ak: 求积系数, {xk}: 求积节点
如果该求积公式具有(2n-1)阶代数精确度, 则称
其为Gauss型求积公式.
7
➢ 区间[-1, 1]上的Guass型求积公式
14
构造常微分方程离散格式的三种方法 ➢ 用差商近似导数 ➢ 数值积分方法 ➢ Taylor多项式近似方法
15
单步法常见格式 ➢ Euler法 ➢ 改进Euler法 ➢ 经典四阶RK方法
16
多步法常见格式 ➢ Simpson公式 ➢ Adams显隐公式 ➢ Adams预测--校正公式
17
12
3
复化Simpson公式
区间[a, b] n等分, n=2m
b a
f
(
x)dx
h
3
f0
f2m 4( f1
f3
f2m1 )
2( f2 f4 f2m2 ): Sn .
其中 h b a . n
➢ 截断误差
RS ( f )
b a
f
( x)dx
Sn
ba 180
h4
f
(4) (
),
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
4
b
3
.
10
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,
l31 a31 l11 2,
l11 a11 , l21 a21 l11 , l31 a31 l11 ,
1
n
f ( x)dx
1
Ak f ( xk )
k 1
其中求积节点{xk}为n阶Legendre多项式的零点; Ak,
xk 的值可查表得到.
➢ 一般[a, b]上的Gauss型求积公式可用换元法转 化成[-1, 1]上的Gauss型求积公式.
b
f ( x)dx
1 f a b b a t b a dt.
l22 a22 l221 ,
l32 a32 l21l31 l22 , l33
a33 l321 21l322 .
一. 用平方根法求线性方程组AX=b, 其中
16 4 8
x1
A
4
5
4,
X
x2
,
8 4 22
x3
解: l11 a11 16 4,
l21 a21 l11 4 4 1,