简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题

［学习目标］1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

rjaiwjsa 自圭学习

知识点一线性规划中的基本概念

知识点二线性规划问题

i•目标函数的最值

线性目标函数z = ax+ by(b^0)对应的斜截式直线方程是y= — +§在y轴上的截距是b, 当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.

当b>0,截距最大时，z取得最大值，截距最小时, z取得最小值;

当b<0,截距最大时，z取得最小值，截距最小时, z取得最大值.

2 •解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：

“画、移、求、答”四步，即，

(1) 画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.

(2) 移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.

(3) 求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.

⑷答：写出答案.

知识点三简单线性规划问题的实际应用

1 •线性规划的实际问题的类型

(1) 给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

(2) 给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小.

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，

且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

②产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

2 •解答线性规划实际应用题的步骤

(1) 模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要

在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法.

(2) 模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最

优解.

(3) 模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案.

歹题型探究

题型一求线性目标函数的最值

y w 2,

例1已知变量x, y满足约束条件x + y> 1, 则z = 3x+y的最大值为()

x —y< 1,

A. 12

B. 11

C. 3

D.—1

答案B

解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点

的坐标，代入即可.如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y = —3x+ z

x = 3,

此时 z = 3x + y = 11.

y = 2,

x + y — 2w 0,

跟踪训练1 (1) x, y 满足约束条件

x — 2y — 2 w 0, 若z = y — ax 取得最大值的最优解不

2x — y + 2 > 0,

唯一，则实数a

的值为

( )

1

A.q 或一1 1

B . 2 或- C. 2 或 1

D. 2 或—1

x — y + 1 w 0, (2)若变量

x , y 满足约束条件

x + 2y — 8w 0,

则z = 3x + y 的最小值为

x > 0,

答案(1)D

(2)1

解析(1)如图，由y = ax + z 知z 的几何意义是直线在

y 轴上的截距,

故当a >0时，要使z = y — ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a = 2； 当a <0时，要使z = y — ax 取得最大值的最优解不唯一，则

a =— 1.

⑵ 由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数

z = 3x + y ,即y =— 3x + z 过

点(0,1)时z 取最小值1.

更'

jr-

v+l-o

一

i.

经过点A 时，z 取得最大值.由

题型二非线性目标函数的最值问题

x — y — 2w 0,

例2设实数x , y 满足约束条件 x + 2y — 4>0,

求

2y — 3w 0,

(1) x 2 + y 2的最小值；

⑵x 的最大值.

解如图，画出不等式组表示的平面区域

ABC

（1）令u = x 2 + y 2,其几何意义是可行域 ABC 内任一点（x , y ）与原点的距离的平方.

x + 2y — 4= 0,

又由

2y — 3 = 0,

所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为

=,

13

所以，x + /的最小值为—.

⑵ 令v = y ,其几何意义是可行域 ABC 内任一点（x , y ）与原点相连的直线I 的斜率为v ,即v

x

y — 0 = .由图形可知，当直线I 经过可行域内点 C 时，v 最大， x — 0

3

由⑴知C I ,

,

所以V max = 3，所以-的最大值为3.

2 x 2

x > 0,

跟踪训练2 已知x , y 满足约束条件 y >0,

则（x + 3）2 + y 2的最小值为 _______ .

x + y > 1

,

过原点向直线x + 2y — 4= 0作垂线y = 2x ,则垂足为

x + 2y — 4= 0, y = 2x

的解，即4

,8,

I 0C =