多自由度体系地震反应分析

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工程结构抗震设计基础 Part.1 第2章2 结构的弹性地震反应分析与抗震验算规定

2.8 建筑结构的抗震验算规定 2.8.1 一般规定 1、地震作用及计算方法总的考虑： (1) 在抗震计算中，一般可在建筑结构的两个主轴方向分别考虑水平地震作用，各方向的水平地震作用由该方向的抗侧力构件承担； (2) 有斜交的抗侧力构件的结构，宜分别考虑各抗侧力构件方向的水平地震作用；
(3) 对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应
(3) 按式(3-110)求顶部附加水平地震作用Δ Fn；
(4) 按式(3-111)求各质点的水平地震作用Fi(i＝1,2,…,n)； (5) 按力学方法求各层结构的地震作用效应。
《例题2-7》
试按振型分解法和底部剪力法计算下图所示三层框架结构相应于多遇地震时的各楼层地震剪力。设防烈度8度，
近震，场地类别Ⅲ类。 (ml＝116620 kg，m2＝110850kg，
(弯矩、剪力、轴力或变形等)；最后，按一定的组合原则，将各振型的作用效应
进行组合便得到多自由度体系的水平地震作用效应。
1
振型的地震作用
单自由度：
多自由度：振型分解后，相应于振型j质点i的位移地震反应质点产生的惯性力为质点所受的地震作用：
2 振型的最大地震作用利用反应谱，可求出振型的最大地震作用：
或
结构底部总剪力FEk为
FEk
2 1GE FEj j 1 n n j Gi X j ji G j 1 1 i 1 E n 2
(3 102)
记
所以
FEk 1Geq
(3 105)
式中：FEk——结构总水平地震作用(底部剪力)标准值； α 1——相应于结构基本周期T1时的地震影响系数值，按图3-25反应谱或式(3-40)确定； Geq——结构等效总重力荷载； GE——结构总重力荷载代表值，GE =Σ Gi , Gi为集中于质点i的重力荷载代表值(见后面式(3-120))。 β ——等效总重力荷载换算系数，对于单质点体系等于1.0，对于二层以上的多层建筑，其值在0.8～0.98之间。《抗震规范》规定，多质点体系取0.85；

自由度体系结构的地震反应

曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）

自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱

响应特性
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
目录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
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反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。

小波分解法在多自由度线性体系地震反应分析中的应用

Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＴｈｒｑｅｃｅｏｏｉｉｎｍｅｈｎｓｏｖｌｔｔａｓｒＢｉｎｒｄｃｄ．ＴｈｏｍｕｌｅｆｅｕｎｙｄｃｍｐｓｔｃａｉｍｆｗａｅｅｒｎｆｉＳｉｔｏｕｅｏｏｅｆｒａ
，
ｈｇｅｕｎｙｉｅｓｃｓｇａａｅｆｌｅｄａｄｓｇａ —ｏｎｉｅｒｔａｅｉｒｖｄ．Ｔｈｒｓａｉｈｆｑｅｃｎｓｉｍｉｉｎｌｃｎｂｔｒｎｉｌｔ— ｏｓａｉｃｎｂｍｐｏｅｒｉｅｎｏｅｅｉｍｉｏｒｏｔｅｈｅｄｎｍｉｅｐｎｓｓｏｅｏｔｕｔｎｓｇａｎｒｇｎｌｓｉｍｉｉａＩｓｎｒｅｒｒｂｅｗｅｎｔｙａｃｒｓｏｅｆｒｃｎｓｒｃｉｉｎｌａｄｏｉａｅｓｃｓｇ１ｔｉｏｉｎ
成分对结构振动影响甚微。
关键词：小波变换；多分辨分析；多自由度线性体系；地震响应；波滤
中图分类号：Ｎ１．Ｔ９１７文献标识码：Ａ
Ａｐｉａｔｏｏｖｌｔｄｃｍｐｉｉｎｍｅｈｄｎａｔｑｕｋｅｐｏｓｎａｙｉｐｌｉｎｆｗａｅｅｅｏｃｏｓｔｏｔｏｉｅｒｈａｅｒｓｎｅａｌｓｓ
建立求解结构动力响应的小波分解法。算例表明：线性体系的地震响应可由各频带动力响应叠加而成，验证了线性系统动力响应唯一性的结论。利用小波多分辨率的特点可安全有效地滤去地震动高

3—4 多自由度弹性体系的地震反应分析

n j=1
Hale Waihona Puke 或者 61）（3-61） [M]{ɺɺ}+[K]{x} = {0} x 根据方程（ 61）的特点，根据方程（3-61）的特点，可设微分方程组的解为 62）（3-62） {x} = {φ}sin(ωt +φ) 其中 { } = [φ1， 2， φn ]T 是各个质点自由振动的振 φ φ ..... 幅。
4．主振型的正交性 {φj }T [M]{φi} = 0
i≠ j i≠ j
3.4.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。应的重要方法。
3.4.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系，对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次个自振频率，（K] −ω2[M] {φi } ={0} ，可求得相应）代入式( 70) 代入式(3-70) [ 的 n 个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为个主振型，高阶振型。自由度弹性体系自由振动时，高阶振型。 n 自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n 个主振型的简谐振动叠加而成，点的振动都是由 n 个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为：

第三章4_多自由度体系的最大地震反应的底部剪力法

因此，底部剪力法采用如下假定：（1）计算时仅取第一振型。（2）第一振型为倒三角形。
4
根据振型分解反应谱法，对于第1振型第 i 质点的水平地
震作用为：
Fi F1i 111iGi
(a)
Fn mn
1n
由于第1振型为倒三角形，则
11 1i 1n c
H1
Hi
Hn
1i c Hi
(b)
（2）计算振型参与系数
25
例题3-5-1解答——续
（3）计算水平地震作用
F2i 2 2 X 2iGi ( i 1, 2 ) F21 2 2 X21G1 0.160.2331.71609.8 37.5 kN F22 2 2 X22G2 0.160.233(1)509.8 18.3 kN
FEk Geq1
1: 多层砌体房屋，底部框架和多层内框架砖房，宜取水平
地震影响系数最大值 max 对质量及层高均匀者：
Gi G j G
H j jh
3(n 1)
2(2n 1)
单质点： 1, FEk GEq1 G1
多质点： n 2 0.75 ~ 0.9
规范规定： 0.85
（四）地震作用分布
Fi mi 1i
Hn
F1 m1
Hi
11
H1
5
Fi F1i 111iGi
(c)
n
11TTMM111i1Gi
m j1 j
j 1 n
1i1Gi
m
2
j 1j
j 1
n
c Gj H j
j1 n
cHi1Gi
c2
G
j
H
2 j
j 1
n
GjH j
j1 n

地震作用计算——地震反应分析 PPT

在特定的干扰作用下，单自由度弹性体系的最大反应与自振周期T的变化关系曲线即反应谱。
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载）求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
fR cx (t) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
——质量与绝对加速度的乘积
fIm [ x g(t) x (t)]
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
Famk tc x x tm x txt a xt xt 质点m的绝对加速度:
g （ ) ( )
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基完全刚性
xg (t) x(t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
——质点对于地面的相对弹性位移或相对位移反应。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t)k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性变形以及通过地基散失能量（地基振动引起）等原因引起
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X11 X12
k12
k1112m2
对应于w2为第二振型：
X21 k12
X22 k11 22m1
§4.2 结构动力学方法——弹性解答
4.2.2 振动微分方程及解答

3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用

3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此，进行分配。因此，在考虑了上述调整后，考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中，为高振型影响系数，式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明，计算资料的统计分析表明，当结构体系各质点重量相等，并在高度方向均匀分布时，相等，并在高度方向均匀分布时，， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑即单层建筑)，为质点数。如为单质点体系即单层建筑，，如 ξ =1 为无穷多质点体系，抗震规范》取中间值，为无穷多质点体系，。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq

结构地震反应的分析方法与理论

结构地震反应的分析方法与理论随着人们对地震和结构动力特性认识程度的加深，结构的抗震理论大体可以划分为静力分析、反应谱分析和动力分析三个阶段。

2.2.1静力分析理论水平静力抗震理论[25]始创于意大利，发展于日本。

该理论认为:结构所受的地震作作用可以简化为作用于结构的等效水平静力，其大小等于结构重力荷载乘以地震系数，即： /F G g kG =α= (2.1)静力理论认为结构是刚性的，故结构上任何一点的振动加速度均等于地震动加速度，结构上各部位单位质量所受到的地震作用是相等的。

它忽略了结构的变形特征，没有考虑结构的动力特性，与实际情况相差较远。

随着工程抗震研究的发展，对地震认识的深入，此法已经淘汰。

2.2.2反应谱理论上世纪40年代以后，由于计算机技术的应用，在取得了较多的强震记录的基础上，产生了反应谱理论。

反应谱分析方法[25][26]是一种将模态分析的结果与一个已知的谱联系起来计算模型的作用效应的分析技术。

反应谱是指单自由度体系最大地震反应与结构体系自振周期的关系曲线。

为了便于计算，《抗震规范》采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即/a S g 与体系自振周期T 之间的关系作为设计用反应谱，并将/a S g 用α表示，称为地震影响系数，如图2-5所示。

单自由度弹体系水平地震反应微分方程为：()()()()0mx t cx t kx t mx t ++=- (2.2)由上式得:()()()()0m x t x t k x t c x t-+=+⎡⎤⎣⎦ (2.3) 上式等号右边的阻尼力项()cx t 相对于弹性恢复力项()kx t 来说是一个可以略去的微量，故：()()()0m x t x t kx t -+=⎡⎤⎣⎦ (2.4)由反应谱理论，水平地震作用为：/a a F mS S gG G ===α (2.5)/a S g α= (2.6)α——地震影响系数；a S ——质点的绝对最大加速度；图2-5 地震影响系数α曲线Fig.2-5 seismic influence coefficient α vurves上升阶段 ()max 0.45 5.5T α=+α (00.1T ≤≤) (2.7) 水平阶段 α=max α (0.1g T T <≤) (2.8)曲线下降段 max g T T γ2⎛⎫α=ηα ⎪⎝⎭(5g g T T T <≤) (2.9) 直线下降段 ()max 0.25g T T γ21⎡⎤α=η-η-α⎣⎦ (5 6.0g T T <≤) max α——地震影响系数最大值；g T ——场地特征周期。

多自由度体系的水平地震作用(精)

因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质点，可以得到各质点的地震作用。由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力方法；另一类为直接动力方法。多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi

振型分解反应谱法公式推导过程

振型分解反应谱法公式推导过程一、振型分解反应谱法基本原理。

1. 多自由度体系的运动方程。

- 对于一个具有n个自由度的线性弹性结构体系，在地震作用下的运动方程为：M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)其中，M为质量矩阵（n× n阶），C为阻尼矩阵（n× n阶），K为刚度矩阵（n× n阶），ẍ(t)、ẋ(t)和x(t)分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量（n维），ẍ_g(t)为地震地面加速度时程，1是元素全为1的列向量。

2. 振型分解。

- 假设多自由度体系的位移x(t)可以按照体系的振型φ_j（j = 1,2,·s,n）进行分解，即：x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)其中，φ_j为第j阶振型向量（n维），q_j(t)为第j阶广义坐标（标量）。

- 将x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)代入运动方程M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)，然后左乘φ_i^T（φ_i的转置向量），得到：φ_i^TM∑_j = 1^nφ̈_jq_j(t)+φ_i^TC∑_j = 1^nφ̇_jq_j(t)+φ_i^TK∑_j = 1^nφ_jq_j(t)=-φ_i^TM1ẍ_g(t)- 由于振型具有正交性，即φ_i^TMφ_j=0（i≠ j），φ_i^TKφ_j=0（i≠ j），并且对于比例阻尼C = α M+β K，也有φ_i^TCφ_j=0（i≠ j）。

- 当i = j时，定义广义质量M_j^*=φ_j^TMφ_j，广义刚度K_j^*=φ_j^TKφ_j，广义阻尼C_j^*=φ_j^TCφ_j，则对于第j阶振型，有：M_j^*q_j(t)+C_j^*q_j(t)+K_j^*q_j(t)=-φ_j^TM1ẍ_g(t)进一步化为标准形式：q_j(t)+2ξ_jω_j q_j(t)+ω_j^2q_j(t)=-frac{φ_j^TM1}{M_j^*}ẍ_g(t)其中，ω_j=√((K_j)^*)/(M_{j)^*}为第j阶圆频率，ξ_j=frac{C_j^*}{2M_j^*ω_j}为第j阶阻尼比。

建筑物地震反应及抗震设防水平的数学模型分析与优化设计

建筑物地震反应及抗震设防水平的数学模型分析与优化设计随着人们对建筑物抗震能力的重视，建筑物地震反应及抗震设防水平的数学模型分析与优化设计日益受到关注。

在本文中，我们将探讨建筑物地震反应的数学模型，并探讨如何根据这些模型来优化建筑物的抗震设防水平。

首先，我们需要了解建筑物地震反应的数学模型。

建筑物在地震作用下会产生振动，我们可以使用动力学理论来描述建筑物的地震反应。

其中，最常用的数学模型是单自由度振动系统模型和多自由度振动系统模型。

在单自由度振动系统模型中，建筑物被简化为一个质点，其只在一个方向上进行振动。

该模型可以用阻尼比、自然频率和地震加速度等参数来描述建筑物的地震反应情况。

而多自由度振动系统模型则更加复杂，可以描述建筑物在不同方向上的振动情况。

该模型可以通过求解建筑物的质量矩阵、刚度矩阵和地震作用矩阵，得到建筑物的地震反应。

基于以上数学模型，我们可以进一步优化建筑物的抗震设防水平。

在优化设计中，我们需要考虑到以下几个关键因素：首先，地震荷载的输入。

地震荷载是建筑物地震反应的主要来源，我们需要根据地震波的特性和建筑物的特点，来确定地震荷载的输入。

其次，结构的抗震性能。

结构的抗震性能取决于材料的强度和刚度，以及结构形式的合理性。

通过优化结构的构造和使用高强度材料，可以提高结构的抗震性能。

此外，地基的抗震性能也是建筑物抗震设防的重要因素。

地基的抗震性能受到土壤的力学性质和地震波传播特性的影响。

通过针对不同地基条件进行合理的地基处理，可以提高建筑物的抗震性能。

最后，抗震设防水平的评估与验证。

在优化设计完成后，我们需要进行抗震设防水平的评估与验证，以确保建筑物在地震发生时具备足够的抗震能力。

评估与验证可以通过地震动力学分析和结构响应仿真等方法来进行。

综上所述，建筑物地震反应及抗震设防水平的数学模型分析与优化设计是一个复杂而关键的工程问题。

通过建立合适的数学模型，并结合优化设计的原则，可以提高建筑物的抗震能力，保障人民生命财产的安全。

计算多自由度弹性体系的最大地震反应

：
＝
＋
＋
鲁＝
的结构。当建筑物有局部凸出屋面的小建筑物（如屋顶间，女儿
＋
＿０．０８３×１０一ｍ。
通过振型组合求结构的最大顶点位移为：
＝＝１０
（１ — ６）或：譬Ｆ￣Ｋ］ｄｚＪ３ｄ／ｆＥｄ、建筑上的地
∑ ∑
６．４４２４－（一０．７９９）＋０．０８３ ‘＝
６．４９２ｍｍ。
震作用需乘以增大系数，抗震规范规定该增大系数取为３。但是，应注意鞭梢效应只对局部凸出小建筑有影响，因此作用在小建筑
＝６．４９１ｍｍ。
６＝０．０８＋０．０７＝０．０８×０．４３３＋０．０７＝０．１０５。
ｒｌ３＝１．０× ９．８× ０．０９７６×１．４２１ ×１＝１．３５９ｋＮ。
第二振型各质点（或各楼面）水平地震作用为：
＝
半
—
＋
＋— －０．８００６ ’ ００：
一
比，可见底部剪力法的计算结果＋鲁＝＋与振与振型分解法的计算结果相型分解反应谱法很接近。
１２００
０． ’ ７９９ ×１０～ ‘ ｍ。 ‘ ‘
说明：底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布均比较均匀烟囱）等时，由于该部分结构的重量和刚度突然变小，将产生＋墙，鞭梢效应，即局部凸出小建筑的地震反应有加剧的现象。因此，当采用底部剪力法计算这类小建筑的地震作用效应时，计算按式

桥梁结构地震反应分析

（4）Pushover 分析进行需求/能力比计算，以评估结构的抗震性能，常规的非线性静力分析无此过程。
2021/6/18
12
Pushover 法的计算步骤如下：
① 假定一个适当的、沿高度分布的侧向荷载模式； ② 按荷载增量法进行结构非线性分析，直至结构到达最终位移限值。增量形式的非线性平衡方
程可以写成：
2021/6/18
2
• 桥梁抗震设计，首先要解决桥梁结构地震反应的计算问题。地震地面运动作为动态作用，其
引起的桥梁结构反应遵循一般的结构动力学原理。但由于地震地面运动有别于一般的动力荷载，地震地面运动作用下桥梁结构的动力反应分析必然有它的特殊之处。
• 桥梁结构地震反应分析方法可分为解析法和数值法两类。解析法建立在对结构充分简化的基
m x cx k x0
2 k, c m 2m
x2 x2x0
阻尼比
无阻尼圆频率
1 时
x(t)e t (x0codts x 0x0 sid n t) d
20
2.单自由度体系受迫振动
m
P(t)
P(t)
x(t)
t
t t
将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。
础之上，从目前规定的分析方法来看，普通简支梁桥和拱桥的地震力计算方法仍是基于解析法。
2021/6/18
3
• 解析解：一种包含分式、三角函数、指数、对数等基本函数的解的形式。用来求解析解的方
法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉。解析法即常见的微积分技巧，如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，对任一独立变量，将其带入解析函数可求出精确的相依变量。

建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应

[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
－k2
－k2
k2
I＝11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt＝－M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑阻尼影响）
质点1 fI1 fS1＝－m1x1 t m1xg t －k1x1 t k2x2 t k2x1 t ＝0
即质点2
即
m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t ＝－m1xg t fI 2 fS2＝－m2x2 t －m2xg t －k2 x2 t x1 t ＝0
矩阵；而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
M xtCx t K x t ＝－M Ixg t （4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻尼矩阵为
C＝0 M 1 K 其中，0， 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法）适用条件： • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； • 房屋的总高度不超过40m； • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形为主； • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。结构在地震作用下的反应一第一振型为主，图 3-18 底部剪力法地震作用分布且近似为直线。

多自由度体系的地震反应分析(2)——振型分解法、底部剪力法

24kN
16kN
3552 + 862 + 242 = 366kN
S =
å
n
j=1
S j2
6952 + 362 + 302 = 697kN
8662 + 772 + 162 = 870kN
355kN 695kN 866kN
86kN 36kN 77kN 30kN
24kN
16kN
• 必须注意：对于“平方和开平方”
x3 t
x1 t 0.4005 -1.1036 1.5711 x ( t ) x2 t 0.7972 q1 t -0.4908 q2 t -1.8346 q3 t 1.0000 1.0000 1.0000 x3 t
, n)
比较如下两个方程：
q j 2 j j q j 2 j q j j x g j 2 j j j j xg
2 j
振型分解
单自由度体系
可以看出
qj j j
从而：
请确认
x t X j q j t X j j j t
Fji t mi j x t t g j X ji
2 4 6 8 10
X = 0.4005 0.7973 500 1.0000 0 -1.1036 -0.4908 1.0000 1.5711 -1.8346 1.0000
-500
-86kN
500
X KX 2
T 2
T X n KX n
T T aX 1 MX 1 bX 1 KX 1 T T aX 2 MX 2 bX 2 KX 2

3.3多自由度弹性体系的地震反应分析2009.9

x31 x32 x3 j x3n
x j1 xj2 x jj x jn
xn1 ]T xn 2 ]T xnj ]T xnn ]T
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析地震反应计算的振型分解法及理论分析质量矩阵正交性刚度矩阵正交性阻尼正交性
{X} [m]{X}i = 0
T j
(i ≠ j) (i ≠ j) (i ≠ j)
x1 (t )
D1 = (c11 x1 + c12 x2 ) m11 + c11 x1 + c12 x2 + k11 x1 + k12 x2 = m10 x x
质点2 质点2：
x0
m2 2 + c21 x1 + c22 x2 + k 21 x1 + k 22 x2 = m2 0 x x
矩阵形式：矩阵形式：
体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。零，也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。
由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正交。
[m]{} + [c]{x} + [k ]{x} = [m]{1}0 x x
刚度的意义
2
K2
k21
K2
2
k22
1
1
K1
k11
1
K1
1
k12
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 = k k22 = k