多自由度体系地震反应分析

X11
2.振型的正交性 i振型
j振型 i振型上的惯性力
i振型 j振型
i振型上的惯性力在 j振型上作的虚功
2.振型的正交性
i振型上的惯性力在
i振型
j振型上作的虚功
j振型上的惯性力
j振型
j振型上的惯性力在 i振型上作的虚功
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型
i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0
取
，则
，所以第二振型向量
（3）验证正交性
学习是一件快乐的事情，且 听下回分解！
振型对刚度的正交性:
由3-43得
j振型
由虚功互等定理
振型对质量正交性的物理意义
i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0，体系以 一振型自由振动不会激起体系其它振型的振动
振型对刚度的正交性:
i振型
j振型
振型对刚度正交性的物理意义
i振型上的弹性力在j振型上作的虚功
等于0，体系以一振型自由振动不会激起体 系其它振型的振动
---3-44为有关ω的多项式称为频率方程
频率方程的每一个根ω，特征方程3-43有一个非0解{X} 称为振型向量，特征向量，模态向量。
3-43 特征方程
---振型方程 为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量 纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法 可以采用下述三种方法之一： ①特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1， 其它元素按比例确定； ②最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中 的最大值；
例图3-1示意图 [例3-1] 已知某两个质点的弹性体系，例图3-1所示，质量
，侧移刚度 振
。试求该体系的自振周期和振型，并验证
型的正交性。
[解]：质量矩阵
刚度矩阵 （1）求自振频率
频率方程 令
则上式可改写为
展开行列式得： 求得：
（2）求振型 由
可得：
取
，则
当
时
由
，第一振型向量，所以
， 可得：
例.求图示体系的频率、振型. 已知:
解:
m2
EI1
k2 m1
EI1
k1
1.618 1
0.618 1
按振型振动时的运动规律 按i振型振动时，质点的位移为
质点的加速度为
m2 y2 (t) m1 y1(t)
质点上的惯性力为 质点上的惯性力与位移同频同步。
X 21
m2
X
2i
2 i
m1
X
1i
2 i
多自由度体系地震反应分析
mn
i+1
mi
i
m2
m1
一.多自由度弹性体系动力分析回顾 1.无阻尼多自由度自由振动分析 运动方程
设方程的特解为
Biblioteka Baidu利用
不恒为0,有特征方程
3-41
m2 y2 (t) m1 y1(t)
3-42 将3-42， 代入3-41
3-43
特征方程存在非0解的充要条件是系数行列式等于0 3-44