重庆江北中学高三文科数学第一学期期中考试卷

重庆江北中学高三文科数学第一学期期中考试卷

一、填空题：（5×14=70）

1．已知全集U=R ，集合)(},02

1

|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= 2. 等差数列

{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是

3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是

4． 复数2

1i -的值为

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是

①0.5log y x =()0≠x ② x x

y +=1 ()0≠x ③ x x y --=3 ④ x

y 9.0=

6．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线x y 5=相切的直线方程是 ． 7

．函数y =的定义域和值域分别是 和 8.在ABC ∆中，

60=∠C ，则

=+++a

c b

c b a 9.圆

064422=++-+y x y x 截直线x-y-5＝0所得弦长等于 10. P 是椭圆22

1169x y +=上的动点, 作PD⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程

为 .

11.已知双曲线22x －m

y 2＝1的一条准线与抛物线y 2

＝4x 的准线重合,则双曲线的离心率

为

12．若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y ++≥

+，当且仅当a b

x y

=时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x =+

-（1

(0,)2

x ∈）的最小值为 ，取最小值时x 的值为 ．

13．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确的诊断是 ．

14. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为______。

二、解答题：

15．（本小题满分14分）

求满足下列条件曲线的标准方程:

(1) 长轴是短轴的3倍且经过点B(0,1)的椭圆方程；

(2) 顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程。 16．（本小题满分14分）

已知向量a

＝(cos 23x ，sin 23x)，b ＝(

2sin 2cos x x ，-)，且x ∈[0，2π]． （1）求

b

a +；

（2）设函数b a x f +=)(+b

a

⋅，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。

17．（本小题满分14分）

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 18．（本小题满分16分） 设函数

x

x f a log )(=（1,0≠>a a a 为常数且），已知数列),(1x f ),(2x f

),(n x f 是

公差为2的等差数列，且2

1a x =.

（Ⅰ）求数列

}

{n x 的通项公式；

（Ⅱ）当21=

a 时，求证：31

21<

+++n x x x .

19．（本小题满分16分）

（普通班做）已知点M （-2，0），N （2，0），动点P

满足条件PM PN -轨迹为F ，

(1)求F 的方程。 (2)若A 、B 是F 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ∙

的最小值。

（免试班做）已知圆O ：122=+y x ，圆C ：

1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|. （Ⅰ）求实数a 、b 间满足的等量关系； （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；

（Ⅲ）是否存在以P 为圆心的圆，使它与圆O 相内切

并且与圆C 相外切？若存在，求出圆P 的方程； 若不存在，说明理由. 20．（本小题满分16分） （普通班做）

定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ∀∈，∃常数0M >，都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.

（Ⅰ）试判断函数

33

()f x x x =-

在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；

（Ⅱ）若已知质点的运动方程为

at t t S ++=

11

)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬

时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

（免试班做）

对于函数

2

()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0

x 为()f x 的不动点.

A

B

P