相遇问题与追及问题
(完整版)相遇问题与追及问题
相遇与追及问题一、学习目标1.理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.2.体会数形结合的数学思想方法.二、主要内容1.行程问题的基本数量关系式：路程二时间X速度；速度二路程F时间；时间二路程F速度.2．相遇问题的数量关系式：相遇路程二相遇时间X速度和；速度和二相遇路程F相遇时间；相遇时间二相遇路程F速度和.3.追及问题的数量关系式：追及距离二追及时间X速度差；速度差二追及距离F追及时间；追及时间二追及距离F速度差.4.能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.三、例题选讲例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A,B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？例4甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇•然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？例7甲、乙、丙三人进行100米赛跑•当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？例9解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？例10甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？例11两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？例12甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？巩固练习:1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米，两车经10小时能相遇？2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？课后作业:1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们。
追及和相遇问题
例3：一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入 左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车 正以72km/h的速度迎面驶来，两车司机同时刹 车，刹车加速度大小都是10m/s2，两司机的的反 应时间（即司机发现险情到实施刹车所经历的时 间）都是△t,试问△t是何数值 ,才能保证两车不相 撞?
例 4:一辆轿车的最大速度为30m/s,要想从静止开 始用4分钟追上前面1000m处以25m/s匀速同向 行驶的货车，轿车至少要以多大的加速度起速运动的物体甲追 赶同方向匀加速运动的物体乙。（v甲﹥ v0乙）
v甲 S0 v0乙 a
A、当v乙= v甲时：S甲=S0+S乙，甲恰好追上乙 B、当v乙= v甲时： S甲＜S0+S乙，甲永远追不上乙， 此时两者有最小间距⊿Smin C、当v乙＜ v甲时： S甲＞S0+S乙，甲追上了乙，由 乙作匀加速运动，以后v乙＞ v甲，则乙还有一次 追 上甲的机会，其间两者速度相等时两者距离 v 有一个较大值。 v
追及和相遇问题
追及问题：追和被追的两物体同向运动，往 往当两者速度相等是能否追上或者两者距离有最 大值、最小值的临界条件。追及问题常见情形有 三种： ①同时同地出发：初速为零的匀加速直线运动物体 甲追匀速运动的物体乙：一定能追上，当v甲= v乙 时，两者之间有△xmax v(m/s) v0甲=0 v0乙 a o 甲
（2）相遇问题：相遇问题分为追及相遇和相向相 遇问题，上面三种常见问题属于追及相遇问题， 至于相向相遇问题，我们通过例题来进行说明， 本节课重点解决追及相遇问题。 对于追及相遇问题我们解题过程中要弄清 物体的运动过程，挖掘题中隐含的临界条件，在 解题方法上常常用到解析法、数学法、图象法、 相对运动法等等。
例1：火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨 道上相距S处有另一火车沿同方向以速度v2（对 地，且v1＞ v2）做匀速运动，司机立即以加速度 大小为a紧急刹车，要使两车不相撞， a应满足 什么条件？
相遇问题追及问题公式
相遇问题追及问题公式
在物理学和工程学中，相遇问题和追及问题是经常遇到的两类运动问题。
这两类问题涉及到物体（通常是点或者车辆）在空间中的运动，其中一个物体试图追上另一个物体或者它们在某个时间和位置相遇。
1. 相遇问题：相遇问题涉及两个物体（A和B）从不同位置出发，在相同的方向上移动，目的是找到它们相遇时的时间和位置。
一般来说，如果两个物体以速度 (v1) 和 (v2) 向相同方向运动，它们相遇的时间 (t) 可以用以下公式表示：。
t = d
v1 + v2
其中，(d) 是两个物体之间的初始距离。
2. 追及问题：追及问题通常涉及一个物体（A）试图追上另一个物体（B），在这种情况下，它们通常是在相反的方向上运动。
如果物体 A 以速度 (v a) 追赶物体 B，而物体 B 以速度 (v b) 逃离，它们相遇的时间 (t) 和位置可以通过以下公式表示： t=d。
va + vb
其中，(d) 是初始距离，如果 (v a> v b)，它们将在 (t) 时间后相遇。
这些公式是基于最简单的情况，实际问题可能涉及更复杂的情况，比如加速度、方向变化等因素。
追及相遇问题
1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀
3．相遇问题 (1)相遇的特点：在同一时刻两物 体处于同一位置． (2)相遇的条件：同向运动的物体 追及即相遇；相向运动的物体，各自 发生的位移的绝对值之和等于开始时 两物体之间的距离时即相遇．
类型一 追及相遇问题的求解方法
例1 一小汽车从静止开始以3 m/s2的 加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的 速度从车边匀速驶过．
加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好
追不上的临界条件是两物体速度相等，
即v甲＝v乙． 判断此种追赶情形能否追上的方法是：
假定在追赶过程中两者在同一位置，比
较此时的速度大小，若v甲>v乙，则能追上； v甲<v乙，则追不上，如果始终追不上，当 两物体速度相等即v甲＝v乙时，两物体的 间距最小．
(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速 度小者(如匀速运动)
(1)汽车从开动后在追上自行车之 前，要经多长时间两者相距最远？最 远距离是多少？
(2)什么时候追上自行车，此时汽 车的速度是多少？
(2)由图知，t＝2 s以后，若两车位移相等， 即v－t图象与时间轴所夹的“面积”相等．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此 时v汽＝2v自＝12 m/s.
解析：汽车和自行车运动草图如下：
六、追及和相遇问题 1．追及问题 “追及”的主要条件是两个物体在追 赶过程中处在同一位置，常见的情形有 三种： (1)初速度为零的匀加速直线运动的 物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙 时，一定能追上，在追上之前两者有最 大距离的条件是两物体的速度相等，即 v甲＝v乙．
追及相遇问题
追及与相遇问题1．追及问题追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能追上、追不上、两者距离达到最大值的临界条件．(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)．①两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离．②若速度相等时，有相同位移，则刚好追上、也是两者相遇时避免碰撞的临界条件．③若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，两者速度相等时，两者间距离有一个较大值．(2)速度小者加速(如初速为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)．①当两者速度相等时两者间有最大距离．②当两者位移相等时，即后者追上前者．2．相遇问题(1)同向运动的两物体：追及即相遇．(2)相向运动的两物体：当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离即相遇．3．解决追及与相遇问题的关键(1)抓临界条件．(2)抓关系：①纵向关系：同一研究对象各过程之间的关系，如位移、速度、时间之间的关系．②横线关系：两研究对象之间的关系：如位移关系、速度关系、时间关系等．1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m／s2的加速度开始行驶．恰在这时一辆自行车以6m／s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少?2、一辆公共汽车由静止开始以1m／s2的加速度沿直线前进，车后相距s=45m处，与车行驶方向相同的某人同时开始以6m／s的速度匀速追赶车，问人能否追上车?若能追上，求追上的时间；若不能追上，求人、车间的最小距离．3、某人骑自行车以4m／s的速度匀速前进，某时刻在他前面7m处以10m／s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以2m／s2的加速度减速前进，此人需要多长时间才能追上汽车?4、一个滑雪人，质量为75kg，以2m/s的初速度沿山坡匀加速滑下，山坡的倾角为30°，在5s的时间内滑下的路程为60m，求(1)在图中对滑雪人进行受力分析(2)滑雪人的加速度(3)滑雪人受到的阻力（g取10/s2）。
追及与相遇问题公式
追及与相遇问题公式摘要：一、问题背景二、追及与相遇问题的基本公式1.追及问题的基本公式2.相遇问题的基本公式三、公式推导与解释1.追及问题的公式推导与解释2.相遇问题的公式推导与解释四、例题解析1.追及问题例题解析2.相遇问题例题解析五、结论正文：一、问题背景在日常生活中，我们经常会遇到这样的场景：两个人在同一直线上相向而行，其中一个人速度较快，另一个人速度较慢。
当他们相遇之后，速度较快的人继续向前走，速度较慢的人则停下来。
这时，速度较快的人与停留在原地的速度较慢的人之间的距离会逐渐增大。
这就是追及与相遇问题。
二、追及与相遇问题的基本公式1.追及问题的基本公式假设甲乙两人分别在某一直线上相向而行，甲的速度为v1，乙的速度为v2，甲从起点出发，乙从终点出发。
设他们相遇的时间为t，此时甲所走的路程为s1，乙所走的路程为s2。
根据题意，我们可以得到以下关系式：s1 = v1 * ts2 = v2 * ts1 + s2 = 总路程2.相遇问题的基本公式同样假设甲乙两人分别在某一直线上相向而行，甲的速度为v1，乙的速度为v2，甲从起点出发，乙从终点出发。
设他们相遇的时间为t，此时甲所走的路程为s1，乙所走的路程为s2。
根据题意，我们可以得到以下关系式：s1 = v1 * ts2 = v2 * ts1 + s2 = 总路程三、公式推导与解释1.追及问题的公式推导与解释假设甲乙两人分别在某一直线上相向而行，甲的速度为v1，乙的速度为v2，甲从起点出发，乙从终点出发。
设他们相遇的时间为t，此时甲所走的路程为s1，乙所走的路程为s2。
根据题意，我们可以得到以下关系式：s1 = v1 * ts2 = v2 * ts1 + s2 = 总路程当甲乙两人相遇后，甲继续向前走，乙停留在原地。
设他们再次相遇的时间为t"，此时甲所走的路程为s1"，乙所走的路程为s2"。
根据题意，我们可以得到以下关系式：s1" = v1 * (t + t")s2" = v2 * t"s1" - s2" = 甲乙两人之间的距离2.相遇问题的公式推导与解释同样假设甲乙两人分别在某一直线上相向而行，甲的速度为v1，乙的速度为v2，甲从起点出发，乙从终点出发。
追及与相遇问题(20张PPT)
• 追及与相遇问题概述 • 追及问题的解决方法 • 相遇问题的解决方法 • 追及与相遇问题的实际应用 • 练习题与解析
目录
Part
01
追及与相遇问题概述
定义与特点
定义
追及与相遇问题是一种常见的数学问题，主要研究两个或多个运动物体在同一直线上或 在不同路径上运动，其中一个物体追赶另一个物体或两者相遇的问题。
01
02
03
确定追及条件
当两物体速度相等时，是 追及的临界条件。
建立数学模型
根据题意，列出两物体的 位移方程，并找出时间关 系。
求解方程
解方程求出两物体的位移 和时间，判断是否追上。
Part
03
相遇问题的解决方法
直线上的相遇问题
确定参考系
选择一个合适的参考系，以便简 化问题。
检验解的合理性
根据实际情况检验解的合理性， 确保答案符合实际情况。
特点
这类问题通常涉及到速度、时间、距离等基本概念，需要运用数学模型和公式进行求解。
问题背景与重要性
问题背景
追及与相遇问题在日常生活和实际工程中有着广泛的应用，如交通、物流、航 天等领域。这类问题的解决有助于提高对物体运动规律的认识，为实际问题的 解决提供理论支持。
重要性
追及与相遇问题在数学教育和科学教育中也占有重要地位，是培养学生逻辑思 维和数学应用能力的重要素材。
行星运动中的追及与相遇
卫星轨道
天体碰撞
人造卫星在地球轨道上运行时，需要 考虑其他卫星或物体的影响，避免追 及和碰撞。
在宇宙中，天体之间的碰撞是相对罕 见的，但仍然需要关注小行星、彗星 等对地球的潜在威胁。
行星探测器
探测器在飞往行星的过程中，需要进 行精确的轨道设计和计算，确保能够 成功追及目标行星。
追及与相遇问题
追及与相遇问题一、相遇指两物体分别从相距x的两地运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的位移的矢量和等于x，分析时要注意：⑴、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；⑵、两物体各做什么形式的运动；⑶、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立位移的矢量方程。
二、追及指两物体同向运动而达到同一位置。
找出两者的时间关系、位移关系是解决追及问题的关键，同时追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件：（1）类型一：一定能追上类特点：①追击者的速度最终能超过被追击者的速度。
②追上之前有最大距离发生在两者速度相等时。
【例】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车前方相距18m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则何时相距最远？最远间距是多少？何时相遇？相遇时汽车速度是多大？【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。
求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？（2）类型二：不一定能追上类特点：①被追击者的速度最终能超过追击者的速度。
②两者速度相等时如果还没有追上，则追不上，且有最小距离。
【例3】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？【针对练习】例3中若汽车在自行车前方4m的地方，则自行车能否追上汽车？若能，两车经多长时间相遇？【答案】能追上。
设经过t追上；则有x汽+x0=x自；3〓t2/2+4=6t得t=(6〒2√3)/3s，二次相遇【重点精析】一、追及问题的解题思路和方法⑴审题：分析追赶物和被追赶物的运动过程，画出两物追赶过程的示意图。
追及和相遇问题
追击和相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。
一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲2⑴⑵⑶3⑴⑴⑵例1以5m s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？分析：分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点解题过程：例2、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v 1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。
汽车司机发现游客途经经14.01．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v —t 图象如图所示，则 （ ）A．乙比甲运动的快B．2 s乙追上甲C．甲的平均速度大于乙的平均速度D．乙追上甲时距出发点40 m远２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s 后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：（）A．s B．2s C．3s D．4s4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时:A．两质点速度相等．B．A与B在这段时间内的平均速度相等．C．A的即时速度是B的2倍．D．A与B的位移相等．5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。
追及和相遇问题
第四讲追及和相遇问题1．追及问题的三种情况(1)初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上前两者有最大距离的条件是两者速度相等。
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，两物体速度相等时是否处在同一位置是解决该问题的关键。
（3）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀加速直线运动）A.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时有最小距离。
B.若速度相等时，有相同的位移，刚好追上，也是避碰的临界条件。
C.若位移相同时追者的速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，速度相等时二者有最大距离。
2．相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．1．甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的x－t的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．t1时刻乙车从后面追上甲车B．t1时刻两车相距最远C．t1时刻两车的速度刚好相等D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度2．(多选)甲、乙两辆汽车沿平直公路从同一地点同时由静止开始向同一方向运动的v －t图象如图所示，则下列说法正确的是()A．0～t时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．0～2t时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度C．t时刻两车再次相遇D．在t～2t时间内的某时刻，两车相遇3．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是()A．在0～10 s内两车逐渐靠近B．在10～20 s内两车逐渐远离C．在5～15 s内两车的位移相等D．在t＝10 s时两车在公路上相遇4．物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是()A．甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零B．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 mC．乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m5.甲、乙两物体由同一位置出发沿一直线运动，其速度—时间图象如图所示，下列说法正确的是()A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B．两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反6．如图所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等7.如图所示，是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法中正确的是()A．OA段汽车运动速度最大B．AB段汽车做匀速运动C．CD段汽车的运动方向与初始运动方向相反D．汽车运动4 h的位移大小为30 km8．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？9．甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间。
追及和相遇问题
追及和相遇问题当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的 距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．一、时间关系1、同时出发，在俩者运动中追击，A B t t =。
2、同时出发，在一个运动中，一个静止追击，A B t t t =+∆。
二、出发地点关系1、同地追击，同一地点出发，最后追击相遇A B x x =2、异地追击，不在同一地点，最后追击相遇A B x x x =+∆三、位移关系1、A 为汽车B 为自行车，俩物体的相距x ∆，追上时A 走过的位移A x ， B 走过的位移B x ，则A B x x x =∆+。
四、追击过程的距离极值问题1、在追击过程中，当A B v v =，A ，B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。
五、追击过程中的恰好不相碰问题1、追上的瞬间位移关系：A B x x x =∆+2、追上的瞬间速度关系：A B v v =六、追上的瞬间比较加速度，分析二次追击问题1、追上的瞬间位移关系：A B x x x =∆+2、追上的瞬间速度关系：A B v v ≥，3、追上时的加速度关系：,,A B A B a a a a ≥⎧⎨<⎩不会发生二次追击会发生二次追击七、讨论有无二次追击的可能已知A ，B 俩物体相距0x ，A 追击B ，讨论追击可能发生的相关问题。
1.当A 的瞬时速度1A v 与B 的瞬时速度1B v 相等时，即1A v =1B v ，A 的位移为A x ，B 的位移为B x ，则A B x x x ∆=-2.讨论0x 与x ∆的关系，000,,,,A B A B A B A B a a AB x x a a AB x x AB a a AB x x a a AB ⎧≤⎧∆<⎪⎨>⎩⎪⎪∆=⎨⎪<⎧⎪∆>⎨⎪≥⎩⎩不会发生追击问题。
会发生追击问题,且一次。
追及和相遇问题
（4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据 追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还 有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对 运动知识求解．
1、《走向高考》：P15—例证3 2、备考P9例6
3、备考P12例9
4、如图所示，A、B两物体相距 S=7米，A正以VA=4米/秒的速度向 右做匀速直线运动，而物体B此时 A 速度VB=10米/秒，方向向右做匀减 速直线运动，加速度大小a=2米/秒， 从图示位置开始，问经多少时间A 追上B？
3、匀速物体追赶匀加速物体：当追者速 度等于被追赶者速度时恰好追上，只有一 次相遇机会。当第一次追上时追者速度大 于被追者速度，有两次相遇机会。 4、匀速物体追匀减速物体：必能追上且 只有一次相遇机会，注意分析匀减速物体 何时停下来。
二、相遇问题
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情 形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标 相同．
提醒：遇到匀速运动物体追赶匀减速运动物体的 问题时，特别要注意匀减速的物体何时停下来！
追及问题小结： 1、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体 时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者 的速度等于被追赶者的速度。 2、匀减速物体追赶同向匀速物体时，恰能追 上或恰好追不上的临界条件是：即将靠近时追 赶者的速度等于被追赶者的速度。
VA
B S
VB
解：设经时间t ,A追上B，由运动学公式列方 程得：
VA t=S+VB t-a t2/2
即：t2-6t-7=0
对吗？
解得 t=7s
正确解法：根据Vt=V0+at得 B停下来的时间tB=VB/a=10/2=5(s), 这段时间B的位移 SB=VtB=VBtB/2=10×5/2=25(m) 由 VAtA=S+SB 得： tA=(S+SB)/VA=(7+25)/4=8(s)
小升初行程问题 相遇问题 追及问题
行程问题（一）相遇问题追及问题【基本公式】1、路程=速度X时间2、相遇问题：相遇路程=速度和X相遇时间3、追及问题：相差路程=速度差X追及时间行程问题（一）相遇问题1、甲、乙两辆车同时从相距675千米的两地对开，经过5小时相遇。
甲车每小时行70千米，求乙车每小时行多少千米？2、快、慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇。
已知快车每小时行70千米，问慢车每小时行多千米？3、甲、乙两车同时从相距1313千米的两地相向开出，3小时后还相距707千米，再经过几小时两车相遇？4、两城相距564千米，两列火车同时从两城相对开出，6小时相遇，已知第一列火车的速度比第二列火车的速度每小时快2千米，两列火车的速度各是多少？5、小斌骑自行车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米。
两人同时在某地沿同一条线路到30千米外的学校去上课。
小斌到校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在途中与小明相遇。
问相遇时小明共行了多少千米？6、A、B两地相距380千米。
甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，原计划甲每小时行36千米，乙每小时行40千米，但开车时，甲改变了速度，也以每小时40千米的速度行驶。
这样相遇时乙车比原计划少走了多少千米？7、东、西两地相距90千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。
甲每小时行的路程是乙的2倍。
5小时后两人相遇，两人的速度各是多少？8、甲、乙两车从相距360千米的两地相向而行，甲车时速70千米，乙车时速50千米，几小时后两车相距120千米？9、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行54千米，问A、B两地相距多少千米？10、甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇A地6千米，继续前进,到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，问A、B两地相距多少千米？11、A大学的小李和B大学的小孙分别从自已的学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。
初一数学相遇和追及问题解析
初一数学相遇和追及问题解析一、相遇问题的基本概念相遇问题是指在两个或多个物体或人在同一直线上运动，并在某个时间点相遇的问题。
在数学中，我们通常用速度、时间、距离等变量来描述相遇问题。
二、追及问题的基本概念追及问题是指两个或多个物体或人在同一直线上运动，其中一人或物体追赶另一个物体或人，并最终追上的问题。
在数学中，我们通常用速度、时间、距离等变量来描述追及问题。
三、相遇问题的解决方法解决相遇问题的关键是找到相遇时各个物体或人行驶的距离总和等于两物体或人的初始距离。
具体解决方法如下：1. 找到两物体或人的初始距离。
2. 计算两物体或人相遇时各自行驶的距离。
3. 计算两物体或人相遇时的总距离。
4. 根据总距离和初始距离的关系，确定相遇时各个物体或人的速度、时间等变量。
四、追及问题的解决方法解决追及问题的关键是找到追及时各个物体或人行驶的距离差等于两物体或人的初始距离。
具体解决方法如下：1. 找到两物体或人的初始距离。
2. 计算追及时各个物体或人行驶的距离差。
3. 根据初始距离和行驶的距离差的关系，确定追及时各个物体或人的速度、时间等变量。
五、相遇和追及问题的应用实例相遇和追及问题在现实生活中很常见，比如两个人同时从两地出发相向而行，或者一个人从后面追赶另一个人等。
这些问题的解决方法都可以从初一数学的角度来解析。
六、相遇和追及问题的常见陷阱在解决相遇和追及问题时，学生容易犯的错误主要有以下几个方面：1. 没有考虑到相遇或追及的时刻是否已经过去，导致计算错误。
2. 没有考虑到物体的速度是否相同或相等，导致计算错误。
3. 没有考虑到物体的初始位置是否相同，导致计算错误。
4. 没有考虑到物体的行驶方向是否相同或相反，导致计算错误。
七、如何提高解决相遇和追及问题的能力为了提高解决相遇和追及问题的能力，学生可以采取以下措施：1. 熟悉相遇和追及问题的基本概念和解决方法，掌握相关的数学知识和技能。
2. 多做练习题，通过反复练习加深对知识的理解和掌握程度。
追及和相遇问题
△x
x
v自t
1 2
at 2
6t
3 2
t2
x自
当t
6 2 (
3)
2s时
xm
62 4( 3)
6m
2
2
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多
大?汽车运动的位移又是多大？
x
6T
3 2
T
2
0 x汽
T 4s
1 aT 2＝24m 2
v汽
aT
12m /
s
方法四：相对运动法
选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，
v自T
1 2
aT 2
T 2v自 4s a
v汽 aT 12m / s
x汽
1 2
aT 2＝24m
方法二：图象法
解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于 其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其 图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图
中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三 角形的面积之差最大。
x汽
△x
x自
方法一：公式法
当汽车的速度与自行车的速度
x汽
相等时，两车之间的距离最大。设
经时间t两车之间的距离最大。则
△x
v汽 at v自
t v自 6 s 2s
x自
xm
x自
a
x汽
3
v自t
1 2
at 2
6 2m
1 2
3 22 m
6m
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是
多大?汽车运动的位移又是多大？
追和和相遇问题
长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解法二 用数学求极值措施来求解
设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知
t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大
成旳三角形面积与标有斜线旳三角形面积相等时，两车
旳位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t′=2t=4 s v′ = 2v自=12 m/s
②匀速运动旳物体追赶同向匀加速直线运动旳物体，追赶 时两者距离最小（涉及追及）旳条件为：追赶者旳速度等 于被追赶者旳速度．
情境设置
例2、一车从静止开始以1m/s2旳加速度迈进，车后相 距x0为25m处，某人同步开始以6m/s旳速度匀速追车， 能否追上？如追不上，求人、车间旳最小距离。
t v=6
m/s
t v v0 6 20 s 28s a 0.5
在这段时间内，s A=v0t′＋
1at′2=364 m
2
sＢ= vt′＝168 m
sA- sＢ=196 m＞180 m，所以两车相撞.
另外，本题也能够用不等式求解：设在t 时刻两物体相遇，则
有：v0t＋
1 2
at2=180+
x人=v人t=6×6=36m
x车=at′2/2=1×62/2=18m
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两 个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前 追上,不然就不能追上.
解析：作汽车与人旳运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所 示．因v-t图象不能看出物体运动旳初位置，故在图乙中标上两 物体旳前、后．由图乙可知：在0～6 s时间内背面旳人速度大， 运动得快；前面旳汽车运动得慢．即0～6 s内两者间距越来越 近．因而速度相等时两者旳位置关系，是判断人能否追上汽车 旳条件．
相遇与追及问题
相遇与追及知识框架一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了儿8之间这段路程，如果两人同时出发，那么甲乙甲乙・・・・・A 3 A B0时刻唯每出发时向t后相遇相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度X相遇时间+乙的速度X相遇时间=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间=速度和X相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和X相遇时间二路程和，即S和二v n t二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间=（甲的速度-乙的速度）X追及时间=速度差X追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程二速度差X追及时间，即S差=Qt例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为、和y乙，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间1追了乙5米甲甲乙乙«--- •----------------------- » ・・。
米 5米10。
米100三、相遇和追及在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：（1）在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同（2）在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
Page 1 of 11例题精讲【例1】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）X3.5=94X3.5=329 （千米）.【答案】329千米【巩固】聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】方法一：由题意知聪聪的速度是：20 + 42 = 62 （米/分），两家的距离=明明走过的路程+聪聪走 过的路程=20x 20 + 62x 20 = 400 +1240 = 1640 （米），请教师画图帮助学生理解分析.注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S 和=v 和t .对于刚刚学习奥数的孩子， 注意引导他们认识、理解及应用公式.方法二：直接利用公式：S 和=v 和t =（20 + 62）x 20 = 1640 （米）. 【答案】1640米【例2】A 、B 两地相距90米，包子从A 地到B 地需要30秒，菠萝从B 地到A 地需要15秒，现在包子和菠萝从A 、B 两地同时相对而行，相遇时包子与B 地的距离是多少米？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】包子的速度：90 ・ 30 = 3 （米/秒），菠萝的速度：90 ・15 = 6 （米/秒），相遇的时间： 90 + （3 + 6） =10 （秒），包子距B 地的距离：90 — 3x 10 = 60 （米）.【答案】包子距B 地的距离是60米【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时 行40千米。
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相遇与追及问题
一、学习目标
1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.
2. 体会数形结合的数学思想方法.
二、主要内容
1. 行程问题的基本数量关系式：
路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度.
2．相遇问题的数量关系式：
相遇路程=相遇时间×速度和；
速度和=相遇路程÷相遇时间；
相遇时间=相遇路程÷速度和.
3.追及问题的数量关系式：
追及距离=追及时间×速度差；
速度差=追及距离÷追及时间；
追及时间=追及距离÷速度差.
4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.
三、例题选讲
例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.
例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.
例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？
例4甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？
例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇.然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A
地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？
例7甲、乙、丙三人进行100米赛跑.当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？
例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？
例9解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？
例10甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？
例11两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？
例12甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？
巩固练习:
1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米，两车经10小时能相遇？
2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？
3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？
4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？
5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？
6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？
7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？
8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？
课后作业:
1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？
2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？
3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?
4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发
5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他
们。
多少小可以追上他们?
5.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙。
问甲、乙两人每秒钟各跑多少米？
6.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小明骑自行车的速度是多少米/分？
7.甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发,出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,多少秒两马相距70米?
10.一队自行车运动员以每小时24千米的速度骑车从甲地到乙地,两小时后
一辆摩托车以每小时56千米的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲乙两地相距_______千米?。