概率论期末考试试题

1全概率公式贝叶斯公式
若考生将第一题答对了 ，那么这题是平时没有练习过的概率
P(A/B 3)=0.7
则由全概率公式得
3
P(A)=送 P(B j 厂P(A/B j )=0.2x0.1+0.5x0.3 + 0.3x0.7=0.38 —(7分) y
(_)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为
P(B 2)卩(AB) OEO.3
—0 3947
0.38 2. —维随机变量
二 Y 〜N （0,1）
7.设随机
7.变量X 的密度函数
1.某保险公司把被保险人分成三类: "谨慎的" 、“一般的"和“冒失的"。

统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为
0.05,0.15
和0.3。

并且它们分别占投保总人数的
20%， 50%和30%。

现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的"保险户的概率是多少?
解：设A 、A A 分别表示“谨慎的"
"一般的"和“冒失的"保险户,
B 表示“发生事故"，由贝叶斯公式知
P(A i )P(B| A)
P(A 1 |B)
= P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B| A 2)+ P(A 3)P(B| A 3)
0.2x0.05
= --------------------------------------------------------- 俺
0.057
0.2X 0.05+0.5X 0.15+0.3X 0.30
2.老师在出考题时，平时练习过的题目占 60%.学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为 90% ,平时没练习过的题目在考试时答对
的概率为 30%,求:
(1) 考生在考试中答对第一道题的概率
(2)
3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为 求能拉到一级菜的概率； 2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率 1）
0.2,0.5,0.3。

在三地拉到一级菜的概率分别为 10%，30%，70%
解：1、 解：设事件
A 表示拉到一级菜，
B 1表示从甲地拉到， B 2表示从乙地拉到,
B 3表示从丙地拉到
P (B i ) =0.2 P (B 2) =0.5
P(B 3)=0.3
P( A/B i ) =0.1
P(AB2)= O.3
(10 分)
P(A)
5.设随机变量 X 在区间［0,1］上服从均匀分布，求随机变量
Y=e
2X
的密度函数.
6.
已知X 〜N （匕CT 2
）,用分布函数法证明: Y
〜N(0,1).
O'
1
X 〜f (x), Y =aX +b a H 0
f (y)
f Y
晋)
寫 F Y (y) = P {丫 兰 y }=
y > = P 'X 兰門
+ □= F X
(cry + k ) f Y ( y)二 F Y O) = FX (by + 4) = f x (by + 卩卢= c —
e Jib
2
_y_
J 2
f(x)=
求（1）c的值；
（2）
P{X <2} 解：（1）由密度函数的性质
+比
r
f(x)dx
丄比 1
故c=——
兀
(2
)
(3)EX=
&设连续型随机变量x <1
r f(x)dx
+比
-I >1 EX (4) =1得:
.---- d x 处J1 -X2
P{|x|兰》
+ oC
f
xf(x)dx
X的分布函数为
求:⑴系数A；（2）X的分布密度f （x）; （3）
解：(1)A=1;(2)
(4 分)
X的分布函数.
1
■
2
'兀J1 —X2
dx Jarcsinx|2
兀-
1
dx = f
（7 分）
兀J1 - X2
dx = 0---(10分)
P fo <X <0.25}
f(x)={2仮Xx"
10 其它
10.设（X，Y ）的分布为
证明X与
证明:
cov (
%/x
；
(3)0.
5
3.二维随机变量
Y
X，Y) =EXY-EXEY (1 分)
而EXY=0EX=0 ，EY=0- (3 分)
P XY=旱罕1=0故X与Y不相关
7DX J DY
(5 分)
下证独立性
P{X =0,Y =0} = 0 P{X =0} =1/4 P{Y=0}=1/4 (8
分)
P{X =0,Y =0} H P{X =0} “{Y =0}
故X 与Y 也不独立。

------------- (10分)
2 2
,D =
{(x , y ) x +y <4} ，证明X 与Y 不独立也不相关.
12.设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中
D={(x,y)|x 2
+y 2
<1}, 求:
(1) X 与Y 的边缘密度函数；(2)判断X 与Y 是否独立
解: (1) f x (X)=
4. 中心极限定理
m 一C m 一 C
Y -“c ------ 140 --- 140
0.95 = P(X 兰—)=P( X 7--- 15
— )止①(〔5 _ ) ———
( 8分) 15
A P(XA 10)=1-F(10)=1-
6(辱)=1-
V 5.7
16.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为
100小时，将3个这样的元件串联在一个线路中，求：在
的概率
则某电子元件的寿命超过
150小时的概率为
— -140 从而有：
15 _________ L =1.64， V 42
故至少需准备2265单位电能 ------------
所以
m = 2265
10分) 14.某学院校园网中家属区每晚约有 400 4
台电脑开机，而每台电脑约有 一 5
的时间登入互联网，并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关 ，计算其
中至少300台同时在互联网上的概率 .(①(2.5)=0.99379) 15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有 3分钟使用打印机, 假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有 10个终端同时使用 ~ 2.3874)
打印机的概率。

(©1.68)=0.95352, 解：每个终端使用打印机的概率为
由于n=120很大，由中心极限定理, P=1/20 近似地
，设同时有X 个终端使用，则
X 〜N(6,5.7)
X 〜B(120,1/20) , EX=np=6, DX=npq=5.7 ,
11. (X,Y)服从区域D 上的均匀分布
y <1
I 0
(2) X 与Y 不独立。

其它 [0 其它
13.某车间有同型号机床
200部，每部开动的概率为 0.7, 各机床开关独立，开动时每部要耗电
15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能,
才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产 .(①.64)=0.95,
742 〜6.48).
解：
X 用表示任一时刻车间有同型号机床 ,
则
X ~ B(200,0.7)，则 EX
= 140, DX =42
( 3 分)
假定至少需要
m
单位电能，则有：
p(x
哙"95
由中心极限定理可得:
742 ①(1.68)=1-0.95352=0.04648
150小时后线路仍正常工作
解：由题可知
A =0.01
(2 分)
P =P{X >150} =1 -F(150) =e」5 (8分)
3
故三个串联150小时仍正常的概率为P
(10 分)
5.极大似然估计
仃.设总体X的密度函数为f(X；£)- <1 -
e 0
0 (日>0),
其它
若(X1,X2,「X n)为来自总体的一个样本求未知参数的最大似然估计值.
18.设总体X的分布密度为f(x)才亠
求未知参数日的最大似然估计
解：似然函数L(X i, X 2,…X n,)=
lnL=nln 9 +ln( 9 -1) 送ln X i，由
de
解得所求最大似然估计量
Z InX i
19. 设X1, X2 , ，X n为0 e x v1.
其他
日>0，若X1 , X2 , ,X
n为来自总体的一个样本X 的一个样本且X 的概率分布为
P{X =k} =(1 -P) 然估计值.
证明：kJ
P, k
=1,2,3,…
,X1, X2,H , X n为来自总体X 的一个样本观察值，求P的极大似。