【精品】小升初数学知识点精讲-立体图形

练习6将一个表面 涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的 小正方体，其中一面都没有红色的小正方体只有3个，求原来长 方体的表面积是多少平方厘米?
长方体拼接
将两个长7厘米,宽5厘米,高10厘米的长方体盒子,包装在 一起,怎样包最省纸?最少需要多少包装纸?(不考虑接头)
小面
中 大面 面 10
长方体 圆柱
已知条件 求表面积
a=4厘米 96平方厘米
a=3 米 b=2 米 h=1Hale Waihona Puke Baidu米
22平方米
r=1分米 37.68平方分米 h=5分米
题2 看图计算表面积
S底=8平方米
5 分 米
C底=6.28分米
10米
5米 5米
题2 看图计算表面积
5米
5米
5
10米
分
米
(10×5+10×5+5×5)×2
S底=8平方米 8×6
顶点上挖 表面积不变 棱上挖 表面积增加两个面 面上挖 表面积增加四个面
大立方体的表面积: 20x20x6=2400 (平方厘米)。 每个面的面积: (2454- 2400)+6=9 (平方厘米)， 说明小正方体的棱长是3厘米。
挖洞:角不变，棱增加，面也增加
易错点拨
易错-长方体和正方体-三视法
例3 如图，是由10个棱长是1的小正方体堆砌而成的，求表面积是多少?
把两个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个
长方体的表面积是多少平方厘米？
方法一 正 （8×4+8×4+4×4）×2=160 解 （平方厘米）
方法二
8× 4× 4 + 4× 4× 2=160 （平方厘米）
方法三
4×4×10=160（平方厘米）
方法四
4×4×12- 4×4×2=160
（平方厘米）
易错点拨
易错-长方体和正方体-染色规律
例4 如图，一个5x5x5的立方体，每个小正方体 棱长为1,在一个方向上开有1x 1x5的孔，在 另一个方向上开有2x 1x5的孔，在第三个 方向上开有3x 1x5的孔，剩余部分的体积 是多少?表面积为多少?
秘籍总结 打洞问题不要愁，体积切片来解决;一切片法 小小积木堆起来，正俯侧视加遮挡。一堆积体求表面积 表面积三视不能少，配合标数快又好! . 一三视图和标数法求 挖洞体表面积
答：表面积是162平方厘米。
拼法二：将最大面拼在一起
方法一：（5×3＋5×2＋3×2） ×2×3－5×3×4＝126（平方厘米） 方法二：2×3＝6（厘米）
（6×5＋6×3＋5×3）×2＝ 126（平方厘米）
7
方法㈠：（10×7+10×5+7×5）×2×2 －10×7×2=480（平方厘米）
5 方法㈡: 5+5=10（厘米）
5
10×10×2+10×7×4=480（平方厘米）
方法㈢: 10×5×4+7×5×4+10×7×2=480（平方厘米）
答:大面重合最省纸,最少需要 480平方厘米的包装纸.
㈠ 7 ㈡
例5 (1)一个4x5x6的长方体，将其表面 涂成红色，并切成120个大小相同的小 正方体，如图所示，那么其中一面、两 面、三面被涂成红色的小正方体各有多 少块?
(2) 一个aXbXc的长方体，将其表面涂 成红色，并切成abc 个大小相同的小正 方体，这些小正方体中，最多有几个面 涂红色，最少有几个面涂红色?
中 面 10
二：中面重合
5
7
7
方法㈠：（10×7+10×5+7×5）×2×2－10×5×2 =520（平方厘米）
方法㈡: 7+7=14（厘米）14×5×2+10×14×2+10×5×2=520 （平方厘米）
方法㈢: 10×7×4+7×5×4+10×5×2
=520（平方厘米）
三：大面重合
大 面
10
C底=6.28分米
6.28×5+3.14×(6.28÷3.14÷2)2×2
题3 用铁丝做一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体框
架在个长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方厘 米的纸？
4 5 10
题3 用铁丝做一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体框
架在个长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方厘 米的纸？
(4)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、 5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到 的立体图形的表面积是平方厘米。
求下面图形的表面积, 并比一比,谁的计算方法最好。 （单位：厘米）
6x6x6=216(cm2)
如图，有一个棱长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、 棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的棱长是多少厘米?
2、在长方体的12条棱中，长度相等的最少有4条 。 （ ）
3、一个长方体中，可能有4个面是正方形。
（）
4、如果一个长方体有两个相对的面是正方形，则其它的四个面的
面积一定相等。
（）
5、正方体是特殊的长方体。
（）
6、长方体的长、宽、高一定都不相等。
（）
一、判断
1、正方体是由6个正方形围成的立体图形。
（√ ）
1.圆锥的侧面是一个曲面。( )
2.圆锥有无数条高。
（）
3.从圆锥的顶点到底面任意一点的连线叫做圆锥的高。
4.圆锥的底面是圆形的。 ( )
5.圆柱的侧面展开是长方形，圆锥的侧面展开也是长方形。
（） ()
归纳总结
圆柱 04 圆锥 03
01 长方体 02 正方体
立体图形的表面积
重点1
重点透视
立体图形的表面积：
2、在长方体的12条棱中，长度相等的最少有4条 。 （√ ）
3、一个长方体中，可能有4个面是正方形。
（×）
4、如果一个长方体有两个相对的面是正方形，则其它的四个面的
面积一定相等。
（ √）
5、正方体是特殊的长方体。
（ √）
6、长方体的长、宽、高一定都不相等。
（× ）
一、选择
(1) 一个长方体有两个相对的面是正方形，那么另外四个 面的面积( ); A、完全不相等B、不完全相等C、完全相等 (2) 一根铁丝长2.4米，把这根铁丝截断，做成长5厘米，宽3厘米， 高4厘米的长方体框架，那么能做( )个(忽略连接处损耗) ; A、 3 B、4 C、5
5 7
小面 大面 中
10 面
7
一：小面重合
10
10
7小 面
7 5
方法㈠：(10×7+10×5+7×5)×2×2－7×5×2 =550(平方厘米)
方法㈡: 10+10=20（厘米） 20×5×2+20×7×2+7×5×2=550（平方厘米）
方法㈢: 10×7×4+10×5×4+7×5×2 =550（平方厘米）
易错点拨
易错1 判断
圆柱的侧面展开图的一定是一个长方形。（ ）
易错点拨
易错1 判断
圆柱的侧面展开图的一定是一个长方形。（ × ）
当圆柱的底面周长等于圆柱的高时， 展开图是一个正方形。
易错2 判断
圆锥的高就是从圆锥的顶点到底面的线段。（ ）
易错2 判断 圆锥的高就是从圆锥的顶点到底面的线段。（× ）
底面
侧面
高
底面周长
1
圆柱的表面积
2
=侧面积：+底面积×2
底面
3 =底面周长×高+圆周率×半径2×2
4
S=ch+2 ∏ r2
源题解析
题1
计算下列立方体面积
名称 正方体
长方体 圆柱
已知条件
a=4厘米 a=3 米 b=2 米 h=1 米
r=1分米 h=5分米
求表面积
源题解析
题1
计算下列立方体面积
名称 正方体
例2 (1) 如图，一个长方体的长、宽、高分别是9厘 米、6厘米、5厘米，沿着水平方向，以及竖 直方向切开，分成的小长方体的表面积共是多 少平方厘米?
(2)一个表面积为56平方厘米的长方体如图切 成27个小长方体，这27个小长方体表面积的 和是多少平方厘米?
(3) 如图，一个棱长为2的小正方体放在一个 棱长为5的大正方体上，构成的组合体的表 面积是多少?
解析 (1) 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体; 两面涂红色的在棱长处，共(4-2)x4+ (5-2)X4+ (6-2) x4=36 (块);一面涂红的在表面中间部分: (4-2)x (5-2) x2+(4-2) x(6-2) x2+ (5-2) x(6-2) X2=52 (块)。 没涂红色的小方块有: (4-2) X (5-2) x (6-2) =24 (块)。 (2) 当a=1, b=1, c>2时，这些小正方体最多有5面涂色，最少有4 面涂色。 当a=1, 6>2, c>2时，这些小正方体最多有4面涂色，最少有2 面涂色。 当a>2，6>2, c>2时，这些小正方体最多有3面涂色，最少有 0面涂色。
4 5
(10×5+10×4+5×4)×2=220(平方厘米) 10
易错点拨
易错-长方体和正方体-切割拼接
把两个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个 长方体的表面积是多少平方厘米？
2×4×4×6=192平方厘米
解 把两个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，就会有两个面重
析
合在一起，就会少一个面，要学会具体问题具体分析。
时是一个正方形。 有无数条高。
重点4
h or
底面是一个的圆,
侧面展开是一个扇形，
有一数条高。
圆柱和圆锥的异同
圆形
2个 曲面
1个
无数条 1条
源题解析
题1 下面的图形哪些是圆柱？是的画“√”。
（1） （2） （3） （4） （5）
源题解析
题1 下面的图形哪些是圆柱？是的画“√”。
（1） （√2） （3） （√4） （5）
立体图形的认识
重点透视
立体图形的认识
长方体 正方体
圆柱
圆锥
重点1
6个面一般是长 方形。相对的面 完全相同。
高 宽
长
12条棱，相对的 4条棱长度相等。
8个顶点
长方体有可能有2个 相对的面是正方形。
重点2
6个面完全相同， 都是正方形。
12条棱长度相等。
8个顶点
正方体是特殊的长方体
长方体、正方体的异同
三、解答 1、用丝带捆扎一个长25cm、宽20cm、8cm的长方体礼品盒（如有 图）。接头处的丝带长40cm，捆扎这个盒子至少需要多长的丝带？
2、用110厘米长的角铁焊成一个长方体框架，长是宽的2倍，宽 是高的1.5倍，求这个长方体的长，宽，高各是多少?
o
重点3
h
or
底面是2个完全相同的圆, 侧面展开一般是一个长方形，有
相同
不同
联系
面 棱 顶 面的形状 面的面积 棱长 长点
长 6 12 8 都是长方 相对的 相对的 正方
方
形（可能 面完全 棱长度 体是
体
有2个面是
相等
一种
正方形）
特殊
正 方
都是完全 相同的正
相同 6个面完
每条棱 的长度
的长 方体
体
方形
全相同 相等
一、判断
1、正方体是由6个正方形围成的立体图形。
（）
练习5 将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块 棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有（ ）块。
例6 将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它 全部切成棱长为1分米的小正方体;在这些小正方体中，6个面 都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有 一个面涂红色的有块，原来长方体的体积是（ ）立方分米。
错解： 从圆锥的顶点到底面的连线，就是圆锥的高。 正解： 从圆锥的顶点到底面圆心的连线，就是
圆锥的高。
课堂检测 判断正误，对的画“√”，错误的画“×”。 （1）圆柱体的底面积越大，它的体积越大。( × ) （2）圆柱体的高越长，它的体积越大。 ( × ) （3）圆柱体的体积与长方体的体积相等。 （ × ） （4）圆柱体的底面直径和高可以相等。 ( √ )
是指立体图形表面所有面的面积总和。
重点2长方体展开图
后面
左面
下面
右面
1 长方体的表面积： 2 = （上 面 + 前 面 + 侧 面 ）×2 3 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 4 S=（ab+ah+bh）×2
前面 上面
重点3长方体展开图
1
正方体的表面积
2 =一个面的面积×6
3
S=a2 × 6
重点4圆柱体展开图
㈢
10
10
小 7面
5
大面 10
5 5 7
中 面 10
重合面积越大，表面积越小。重合面 积越小，表面积越大。
5
7
7
一种长方体木块，长、宽、高分别是5厘米、3厘米、2厘米， 用3个这样的木块拼成的长方体，表面积是多少平方厘米？
拼法一：将最小面拼在一起。
方法一：（5×3＋5×2＋3×2）×2×3－3×2×4＝ 162（平方厘米） 方法二：5×3＝15（厘米）（15×3＋15×2＋3×2） ×2＝162（平方厘米）
逆向考虑:题目中的那12块未涂色的小方块即为原 长方体的“内核”，设这个内核为aXbXc的长方体， 则根据染色公式， 有abc= 12((a+b+c) X4=28,分 析可知满足条件的“内核”长方体只能为2x2x3的 长方体，故原长方体为4x4x5的长方体，其体积为 80立方分米;仅有一面涂红的小方块有 (2x2+2*3+2x3) x2=32 (块)。