定积分——求曲线的弧长

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例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解:
ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
a 2(1 cos t) d t
2a sin t dt 2
s
2
0
2a
sin
t 2
d
t
2a
2
cos
t 2
2
0
8a
2 a x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
其图形为 AB,
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
lim M M 1 x0 M M
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弧微分公式
ds 1 ( y)2dx
若曲线由参数方程表示:
或 ds (dx)2 (dy)2
x y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为
ds [x(t)]2 [ y(t)]2 d t
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ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [x( )]2 [ y( )]2 d
平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
即
y Mi1 Mi
A M0 o
(证明略)
B Mn x
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例12. 求阿基米德螺线r a (a 0)相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解: ds r 2 ( ) r2 ( ) d a2 2 a2 d a 1 2 d
o
r a
2
sa
1 2 d
(P257 积分公式)
0
a
2
1 2 1 ln
2
1 2
2
0
2 a x
r 2 ( ) r2 ( ) d
因此所求弧长
s
r2 ( ) r2 ( ) d
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例10. 求连续曲线段
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
源自文库的弧长.