中科大 算法导论作业答案3
算法导论第三章思考题
算法导论第三章思考题
以下是算法导论第三章思考题的一些例子：
1. 在排序算法中，插入排序和归并排序都是稳定的算法。
请解释什么是稳定的排序算法，并举一个不稳定的排序算法的例子。
2. 有一个长度为n的纸牌序列（每张牌由一个整数表示），请设计一个O(n)时间复杂度的算法，将纸牌序列拆分为奇数序
列和偶数序列，使得奇数序列中的牌排在前面，偶数序列中的牌排在后面。
3. 请设计一个算法，在已经排序的整数数组中，找到两个数的和等于给定目标值的索引。
4. 有一个长度为n的整数数组，每个元素的值都在1到n之间（包括1和n）。
请设计一个O(n)时间复杂度的算法，找到数
组中重复的数字。
5. 请设计一个时间复杂度为O(nlogn)的算法，找到一个整数数组中的第k个最小元素。
这些问题旨在帮助读者巩固对算法导论第三章内容的理解，并应用已学的算法知识解决问题。
通过思考这些问题并给出解答，读者可以进一步理解排序、查找、平衡树等算法的应用和效率。
中科大算法导论期末试卷及答案
解：存在������1(n) + ������2(������) = ������(max(������1(������), ������2(������) 证明： ������1(������) = ������(������1(n)) 则存在 a1>0，a2>0, n1>0 使得 n>n1 时有 ������1 ∗ ������1(n) < ������1(������) < ������2 ∗ ������1(n) ������2(������) = ������(������2(n)) 则存在 b1>0，b2>0, n2>0 使得 n>n2 时有 ������1 ∗ ������2(n) < ������2(������) < ������2 ∗ ������2(n) 取 c1=min(a1,b1) >0, c2=2*max(a2,b2) >0, n0=max(n1,n2)>0 当 n>n0 时，有 ������1(n) + ������2(������) > ������1 ∗ ������1(n) + ������1 ∗ ������2(n)
= ������2(������������ − 5 ������������������������) − 2������ > 2������3 − 2������ > 2������0(������02 − 1) =12 即当 c=7, n0=2 时，对 n>n0, 5������2������������������������ + 2������ < ������������3恒成立， 5������2������������������������ + 2������ = ������(������3)
算法第四版习题答案
算法第四版习题答案算法第四版，通常指的是《算法导论》（Introduction to Algorithms），这本书由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest和Clifford Stein共同撰写。
这本书是计算机科学领域内算法课程的标准教材之一，广受学术界和工业界的推崇。
然而，由于版权保护，我不能提供该书习题的官方答案。
但我可以提供一些解题思路和方法，帮助理解习题的解题过程。
# 开头在解答《算法导论》的习题时，首先要确保理解题目的要求和背景知识。
每个习题都旨在加深对特定算法概念的理解，因此，复习相关的理论知识是解答习题的第一步。
# 理解算法概念- 排序算法：如快速排序、归并排序等，需要理解它们的工作原理、时间复杂度和空间复杂度。
- 图算法：如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等，需要掌握它们的应用场景和实现方式。
- 动态规划：理解如何将问题分解为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
- 贪心算法：学习如何选择合适的局部最优解以达成全局最优。
# 解题步骤1. 问题定义：明确题目要求解决的问题是什么，以及需要哪些输入和输出。
2. 算法选择：根据问题的性质选择合适的算法或数据结构。
3. 算法设计：设计算法的逻辑流程，可以使用伪代码或流程图来辅助说明。
4. 复杂度分析：分析算法的时间复杂度和空间复杂度，确保算法的效率。
5. 代码实现：将算法逻辑转化为可执行的代码。
6. 测试验证：通过测试不同的输入来验证算法的正确性和效率。
# 常见问题类型- 理论证明题：要求证明某个算法的性质或定理的正确性。
- 算法设计题：要求设计一个新的算法来解决特定的问题。
- 算法分析题：要求分析给定算法的时间复杂度或空间复杂度。
- 编程实现题：要求编写代码来实现特定的算法。
# 结尾解答《算法导论》的习题是一个深化理解算法原理和提升编程技能的过程。
在解题过程中，如果遇到困难，可以查阅相关资料、参与讨论或寻求指导。
算法导论课程作业答案
算法导论课程作业答案Introduction to AlgorithmsMassachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine,Lee Wee Sun,and Charles E.Leiserson Handout10Diagnostic Test SolutionsProblem1Consider the following pseudocode:R OUTINE(n)1if n=12then return13else return n+R OUTINE(n?1)(a)Give a one-sentence description of what R OUTINE(n)does.(Remember,don’t guess.) Solution:The routine gives the sum from1to n.(b)Give a precondition for the routine to work correctly.Solution:The value n must be greater than0;otherwise,the routine loops forever.(c)Give a one-sentence description of a faster implementation of the same routine. Solution:Return the value n(n+1)/2.Problem2Give a short(1–2-sentence)description of each of the following data structures:(a)FIFO queueSolution:A dynamic set where the element removed is always the one that has been in the set for the longest time.(b)Priority queueSolution:A dynamic set where each element has anassociated priority value.The element removed is the element with the highest(or lowest)priority.(c)Hash tableSolution:A dynamic set where the location of an element is computed using a function of the ele ment’s key.Problem3UsingΘ-notation,describe the worst-case running time of the best algorithm that you know for each of the following:(a)Finding an element in a sorted array.Solution:Θ(log n)(b)Finding an element in a sorted linked-list.Solution:Θ(n)(c)Inserting an element in a sorted array,once the position is found.Solution:Θ(n)(d)Inserting an element in a sorted linked-list,once the position is found.Solution:Θ(1)Problem4Describe an algorithm that locates the?rst occurrence of the largest element in a?nite list of integers,where the integers are not necessarily distinct.What is the worst-case running time of your algorithm?Solution:Idea is as follows:go through list,keeping track of the largest element found so far and its index.Update whenever necessary.Running time isΘ(n).Problem5How does the height h of a balanced binary search tree relate to the number of nodes n in the tree? Solution:h=O(lg n) Problem 6Does an undirected graph with 5vertices,each of degree 3,exist?If so,draw such a graph.If not,explain why no such graph exists.Solution:No such graph exists by the Handshaking Lemma.Every edge adds 2to the sum of the degrees.Consequently,the sum of the degrees must be even.Problem 7It is known that if a solution to Problem A exists,then a solution to Problem B exists also.(a)Professor Goldbach has just produced a 1,000-page proof that Problem A is unsolvable.If his proof turns out to be valid,can we conclude that Problem B is also unsolvable?Answer yes or no (or don’t know).Solution:No(b)Professor Wiles has just produced a 10,000-page proof that Problem B is unsolvable.If the proof turns out to be valid,can we conclude that problem A is unsolvable as well?Answer yes or no (or don’t know).Solution:YesProblem 8Consider the following statement:If 5points are placed anywhere on or inside a unit square,then there must exist two that are no more than √2/2units apart.Here are two attempts to prove this statement.Proof (a):Place 4of the points on the vertices of the square;that way they are maximally sepa-rated from one another.The 5th point must then lie within √2/2units of one of the other points,since the furthest from the corners it can be is the center,which is exactly √2/2units fromeach of the four corners.Proof (b):Partition the square into 4squares,each with a side of 1/2unit.If any two points areon or inside one of these smaller squares,the distance between these two points will be at most √2/2units.Since there are 5points and only 4squares,at least two points must fall on or inside one of the smaller squares,giving a set of points that are no more than √2/2apart.Which of the proofs are correct:(a),(b),both,or neither (or don’t know)?Solution:(b)onlyProblem9Give an inductive proof of the following statement:For every natural number n>3,we have n!>2n.Solution:Base case:True for n=4.Inductive step:Assume n!>2n.Then,multiplying both sides by(n+1),we get(n+1)n!> (n+1)2n>2?2n=2n+1.Problem10We want to line up6out of10children.Which of the following expresses the number of possible line-ups?(Circle the right answer.)(a)10!/6!(b)10!/4!(c) 106(d) 104 ·6!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(b),(d)are both correctProblem11A deck of52cards is shuf?ed thoroughly.What is the probability that the4aces are all next to each other?(Circle theright answer.)(a)4!49!/52!(b)1/52!(c)4!/52!(d)4!48!/52!(e)None of the above(f)Don’t knowSolution:(a)Problem12The weather forecaster says that the probability of rain on Saturday is25%and that the probability of rain on Sunday is25%.Consider the following statement:The probability of rain during the weekend is50%.Which of the following best describes the validity of this statement?(a)If the two events(rain on Sat/rain on Sun)are independent,then we can add up the twoprobabilities,and the statement is true.Without independence,we can’t tell.(b)True,whether the two events are independent or not.(c)If the events are independent,the statement is false,because the the probability of no rainduring the weekend is9/16.If they are not independent,we can’t tell.(d)False,no matter what.(e)None of the above.(f)Don’t know.Solution:(c)Problem13A player throws darts at a target.On each trial,independentlyof the other trials,he hits the bull’s-eye with probability1/4.How many times should he throw so that his probability is75%of hitting the bull’s-eye at least once?(a)3(b)4(c)5(d)75%can’t be achieved.(e)Don’t know.Solution:(c),assuming that we want the probability to be≥0.75,not necessarily exactly0.75.Problem14Let X be an indicator random variable.Which of the following statements are true?(Circle all that apply.)(a)Pr{X=0}=Pr{X=1}=1/2(b)Pr{X=1}=E[X](c)E[X]=E[X2](d)E[X]=(E[X])2Solution:(b)and(c)only。
《算法导论(第二版)》(中文版)课后答案
5
《算法导论（第二版） 》参考答案 do z←y 调用之前保存结果 y←INTERVAL-SEARCH-SUBTREE(y, i) 如果循环是由于y没有左子树，那我们返回y 否则我们返回z，这时意味着没有在z的左子树找到重叠区间 7 if y≠ nil[T] and i overlap int[y] 8 then return y 9 else return z 5 6 15.1-5 由 FASTEST-WAY 算法知：
15
lg n
2 lg n1 1 2cn 2 cn (n 2 ) 2 1
4.3-1 a) n2 b) n2lgn c) n3 4.3-4
2
《算法导论（第二版） 》参考答案 n2lg2n 7.1-2 (1)使用 P146 的 PARTION 函数可以得到 q=r 注意每循环一次 i 加 1，i 的初始值为 p 1 ，循环总共运行 (r 1) p 1次，最 终返回的 i 1 p 1 (r 1) p 1 1 r (2)由题目要求 q=(p+r)/2 可知，PARTITION 函数中的 i，j 变量应该在循环中同 时变化。 Partition(A, p, r) x = A[p]; i = p - 1; j = r + 1; while (TRUE) repeat j--; until A[j] <= x; repeat i++; until A[i] >= x; if (i < j) Swap(A, i, j); else return j; 7.3-2 （1）由 QuickSort 算法最坏情况分析得知：n 个元素每次都划 n-1 和 1 个，因 为是 p<r 的时候才调用，所以为Θ （n） （2）最好情况是每次都在最中间的位置分，所以递推式是： N(n)= 1+ 2*N(n/2) 不难得到：N(n) =Θ （n） 7.4-2 T(n)=2*T(n/2)+ Θ （n） 可以得到 T(n) =Θ （n lgn） 由 P46 Theorem3.1 可得：Ω (n lgn)
中科大算法导论第一,二次和第四次作业答案
2.2-3 再次考虑线性查找问题 （见练习2.1-3）。在平均情况 下，需要检查输入序列中的多 少个元素？假定待查找的元素 是数组中任何一个元素的可能 性是相等的。在最坏情况下有 怎样呢？用Θ形式表示的话，线 性查找的平均情况和最坏情况 运行时间怎样？对你的答案加 以说明。 • 线性查找问题 • 输入：一列数A=<a1,a2,…,an>和一 个值v。 • 输出：下标i，使得v=A[i]，或者当 v不在A中出现时为NIL。 • 平均情况下需要查找 (1+2+…+n)/n=(n+1)/2 • 最坏情况下即最后一个元素为待 查找元素，需要查找n个。 • 故平均情况和最坏情况的运行时 间都为Θ(n)。
• 2.3-2改写MERGE过程，使之不使 用哨兵元素，而是在一旦数组L或R 中的所有元素都被复制回数组A后， 就立即停止，再将另一个数组中 余下的元素复制回数组A中。 • MERGE(A,p,q,r) 1. n1←q-p+1 2. n2 ←r-q 3. create arrays L[1..n1] and R[1..n2] 4. for i ←1 to n1 5. do L*i+ ←A*p+i-1] 6. for j ←1 to n2 7. do R*j+ ←A*q+j+ 8. i ←1 9. j ←1
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
k ←p while((i<=n1) and (j<=n2)) do if L[i]<=R[j] do A[k]=L[i] i++ else do A[k]=R[j] j++ k++ while(i<=n1) do A[k++]=L[i++] while(j<=n2) do A[k++]=R[j++]
中科大算法导论作业标准标准答案
第8次作业答案16.1-116.1-2543316.3-416.2-5参考答案：16.4-1证明中要三点：1.有穷非空集合2.遗传性3.交换性第10次作业参考答案16.5-1题目表格：解法1：使用引理16.12性质（2），按wi单调递减顺序逐次将任务添加至Nt（A），每次添加一个元素后，进行计算，{计算方法：Nt（A）中有i个任务时计算N0 (A),…,Ni(A)，其中如果存在Nj (A)>j,则表示最近添加地元素是需要放弃地，从集合中删除}；最后将未放弃地元素按di递增排序，放弃地任务放在所有未放弃任务后面，放弃任务集合内部排序可随意.解法2：设所有n个时间空位都是空地.然后按罚款地单调递减顺序对各个子任务逐个作贪心选择.在考虑任务j时，如果有一个恰处于或前于dj地时间空位仍空着，则将任务j赋与最近地这样地空位，并填入; 如果不存在这样地空位，表示放弃.答案（a1，a2是放弃地）：<a5, a4, a6, a3, a7,a1, a2>or <a5, a4, a6, a3, a7,a2, a1>划线部分按上表di递增地顺序排即可，答案不唯一16.5-2（直接给个计算例子说地不清不楚地请扣分）题目：本题地意思是在O(|A|)时间内确定性质2（性质2：对t=0，1，2，…，n，有Nt(A)<=t,Nt(A)表示A中期限不超过t地任务个数）是否成立.解答示例：思想：建立数组a[n],a[i]表示截至时间为i地任务个数，对0=<i<n，如果出现a[0]+a[1]+…+a[i]>i,则说明A不独立，否则A独立.伪代码：int temp=0;for(i=0;i<n;i++) a[i]=0; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) a[di]++; ******O(n)=O(|A|)for(i=0;i<n;i++) ******O(n)=O(|A|) {temp+=a[i];//temp就是a[0]+a[1]+…+a[i]if（temp>i）//Ni(A)>iA不独立；}17.1-1（这题有歧义，不扣分）a) 如果Stack Operations包括Push Pop MultiPush,答案是可以保持,解释和书上地Push Pop MultiPop差不多.b) 如果是Stack Operations包括Push Pop MultiPush MultiPop,答案就是不可以保持,因为MultiPush,MultiPop交替地话,平均就是O(K).17.1-2本题目只要证明可能性，只要说明一种情况下结论成立即可17.2-1第11次作业参考答案17.3-1题目：答案：备注：最后一句话展开：采用新地势函数后对i 个操作地平摊代价：)1()())1(())(()()(1''^'-Φ-Φ+=--Φ--Φ+=Φ-Φ+=-Di Di c k Di k Di c D D c c i i i i i i17.3-2题目：答案：第一步：此题关键是定义势能函数Φ,不管定义成什么首先要满足两个条件 对所有操作i ，)(Di Φ>=0且)(Di Φ>=)(0D Φ比如令k j+=2i ，j,k 均为整数且取尽可能大，设势能函数)(Di Φ=2k;第二步：求平摊代价，公式是)1()(^-Φ-Φ+=Di Di c c i i 按上面设置地势函数示例：当k=0，^i c =…=2当k ！=0,^i c =…=3 显然，平摊代价为O(1)17.3-4题目：答案：结合课本p249，p250页对栈操作地分析很容易有下面结果17.4-3题目：答案：αα=(第i次循环之后地表中地entry 假设第i个操作是TABLE_DELETE, 考虑装载因子:inum size数)/(第i次循环后地表地大小)=/i i第12 次参考答案19.1.1题目：答案：如果x不是根，则degree[sibling[x]]=degree[child[x]]=degree[x]-1如果x是根，则sibling为二项堆中下一个二项树地根，因为二项堆中根链是按根地度数递增排序，因此degree[sibling[x]]>degree[x]19.1.2题目：答案：如果x是p[x]地最左子节点，则p[x]为根地子树由两个相同地二项树合并而成，以x为根地子树就是其中一个二项树，另一个以p[x]为根，所以degree[p[x]]=degree[x]+1;如果x不是p[x]地最左子节点，假设x是p[x]地子节点中自左至右地第i个孩子，则去掉p[x]前i-1个孩子，恰好转换成第一种情况，因而degree[p[x]]=degree[x]+1+（i-1）=degree[x]+i;综上,degree[p[x]]>degree[x]19.2.2题目：题目：19.2.519.2.6第13次作业参考答案20.2-1题目：解答：20.2-3 题目：解答：20.3-1 题目：答案：20.3-2 题目：答案：第14次作业参考答案这一次请大家自己看书处理版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.6ewMy。
中科大软院算法导论算法作业讲解(1-3部分)
答：伪代码（略） 循环不变式：在每一轮开始的时候，子数 组A[1..J] 都是已排好序的(循环不变式是一种性 质，不是一个数组或式子) 最坏和最还情况运行时间都是O(n*n)
4.1-2 题目：证明T(n)=2T(n/2下取整)+n 的解为O(nlgn)，证明他的解也是 得到解θ运行时间为
证明：因为 用代换法可证 故得证
7.4-4
题目：证明RANDOMIZED-QUICKSORT算法的期望的运 行时间为 证明： 随机快排每次最佳情况下的划分是把所有元素 尽量均分为两份，故此情况下的递归式为
题目：设f(n)与g(n)都是渐进非负函数。利用θ的基本定 义来证明 max(f(n),g(n))= θ(f(n)+g(n)). 答：因f(n)与g(n)都是渐进非负函数，所以存在Nf和Ng 当N>Nf时，f(n)>0;N>Ng时g(n)>0.因此当N>max(Nf,Ng) 有(f(n)+g(n))/2<=max(f(n),g(n))<= f(n)+g(n) (其中 c1=1/2,c2=1)故得证。
同7.4-2，用代换法可证期望运行时间为
2.3-4： 题目：对于插入排序的递归版本，为它的运行时 间写一个递归式。 答：递归式为： θ(1) 当n=1； T(n)= T(n-1)+ θ(n) 当n>1; 其中θ(n)为把A[n]插入已排好序的数组A[1...n-1] 的运行时间
4.1-1 题目：证明T(n)=T(n/2上取整)+1的解为O(lgn) 答：用代换法（猜测+数学归纳法）证明：
中科院计算机算法分析与设计_习题3-4_答案
1110
n2 n 3
1110
10
第n-1个字符：1个1 ，1个0， 第 n 个字符： 1个0 .
g的编码为: 10
h的编码为： 0
0
3. 设p1 p2,…,pn是准备存放到长为L的磁带上的n个程序，程序pi需要的带长为ai
设 ai L, 要求选取一个能放在带上的程序的最大子集合（即其中含有最多个
2.字符a~h出现的频率分布恰好是前8个Fibonacci数，它们的Huffman编码 是什么？将结果推广到n个字符的频率分布恰好是前n个个Fibonacci数的情 形。Fibonacci数的定义为 F0 1, F1 1, Fn Fn2 Fn1 if n 1 解：前8个数为a， b， c， d， e， f， g， h 1， 1， 2， 3， 5， 8，13， 21
pi Q
证明：不妨设 a1 a2 ... an ，若该贪心策略构造的子集合Q为 {a1, a2 ,, as } 则s必定满足 ai L 、 as as 1 L. 下证Q是最大子集。 i 1 i 1 ~ 即不存在多于s个的程序集合 Q {ai , ai ,, ai }, (k s) 使得 ai L. ~ p Q ~ 假设存在多于s个的程序集Q {ai , ai ,, ai }, (k s)使得 ai L, ~
as 1 代替 as , 子集合变为{a1 , a2 ,, ai 1 , ai 1} 并且其满足 ak ai 1 L
k 1 i 1
虽然程序个数不变仍为不变，但总长度更优的子集合。
t 则在总等待时间T中 t j1 的权重最大， jn 的权重最小。
对 ti 1 i n 进行排序ti ti ti , 按照递增顺序依次服务.
算法导论 答案
算法导论答案算法导论是计算机科学领域中一门重要的课程，其目的是介绍和探讨算法的基本原理和设计方法。
本文将从几个不同角度来讨论算法导论的主题，包括算法的定义、算法分析、算法设计等，并提供一些常见的算法应用示例。
一、算法的定义与特点算法是一个用于完成特定任务的有限一系列指令或规则的集合。
算法的设计应具备以下几个特点：确定性、有穷性、可行性和输入/输出。
1. 确定性：对于给定的输入，算法的每个步骤都必须是明确且唯一的。
不同的输入应得到不同的输出。
2. 有穷性：算法必须经过有限的步骤后能终止。
这是因为计算机程序需要在有限时间内完成，而无限循环的算法则无法给出结果。
3. 可行性：算法的每个步骤都应该是可行执行的，即能够在可接受的时间内完成。
4. 输入/输出：算法应该具有输入和输出，即根据给定的输入，通过算法能够得到相应的输出。
二、算法的分析与效率评估算法的分析与效率评估是算法导论的重要内容。
在设计和选择算法时，需要考虑到其执行时间和内存需求等方面。
1. 时间复杂度：用于衡量算法所需执行的时间。
常见的时间复杂度表示方法有大O记法，例如O(n)、O(nlogn)等。
时间复杂度越低，算法执行效率越高。
2. 空间复杂度：用于衡量算法所需的内存空间。
空间复杂度的衡量单位通常是字节或比特。
与时间复杂度一样，空间复杂度越低，算法的内存需求越小。
三、算法的设计方法算法设计是算法导论的核心内容之一，主要包括贪心算法、分治算法、动态规划算法等。
1. 贪心算法：贪心算法是一种基于每一步局部最优解的策略来解决问题的算法。
它常应用于问题的最优解为局部最优解的情况，但不一定能得到全局最优解。
2. 分治算法：分治算法是一种将问题划分为多个相互独立的子问题，再合并子问题的解来得到整体解的算法。
适合解决规模较大且问题可被划分的情况。
3. 动态规划算法：动态规划算法是一种将复杂问题拆分为更小、更简单的子问题来解决的算法。
它利用了子问题的重叠性质，将子问题的解保存起来，避免了重复计算。
算法导论第三版答案
Procedure BINARY-SEARCH takes a sorted array A, a value , and a range Œlow : : high of the array, in which we search for the value . The procedure compares to the array entry at the midpoint of the range and decides to eliminate half the range from further consideration. We give both iterative and recursive versions, each of which returns either an index i such that AŒi D , or NIL if no utions for Chapter 2: Getting Started
AŒlow : : high contains the value . The initial call to either version should have the parameters A; ; 1; n.
Selected Solutions for Chapter 2: Getting Started
2-3
d. We follow the hint and modify merge sort to count the number of inversions in ‚.n lg n/ time.
To start, let us define a merge-inversion as a situation within the execution of merge sort in which the MERGE procedure, after copying AŒp : : q to L and AŒq C 1 : : r to R, has values x in L and y in R such that x > y. Consider an inversion .i; j /, and let x D AŒi and y D AŒj , so that i < j and x > y. We claim that if we were to run merge sort, there would be exactly one mergeinversion involving x and y. To see why, observe that the only way in which array elements change their positions is within the MERGE procedure. Moreover, since MERGE keeps elements within L in the same relative order to each other, and correspondingly for R, the only way in which two elements can change their ordering relative to each other is for the greater one to appear in L and the lesser one to appear in R. Thus, there is at least one merge-inversion involving x and y. To see that there is exactly one such merge-inversion, observe that after any call of MERGE that involves both x and y, they are in the same sorted subarray and will therefore both appear in L or both appear in R in any given call thereafter. Thus, we have proven the claim.
算法导论作业3答案
Introduction to Algorithm s Day 14 Massachusetts Institute of Technology 6.046J/18.410J Singapore-MIT Alliance SMA5503 Professors Erik Demaine, Lee Wee Sun, and Charles E. Leiserson Handout 17Problem Set 3 SolutionsMIT students: This problem set is due in lecture on Day 11.Reading: Chapters 8 and 9Both exercises and problems should be solved, but only the problems should be turned in. Exercises are intended to help you master the course material. Even though you should not turn in the exercise solutions, you are responsible for material covered by the exercises.Mark the top of each sheet with your name, the course number, the problem number, your recitation instructor and time, the date, and the names of any students with whom you collaborated. MIT students: Each problem should be done on a separate sheet (or sheets) of three-hole punched paper.You will often be called upon to “give an algorithm” to solve a certain problem. Your write-up should take the form of a short essay. A topic paragraph should summarize the problem you are solving and what your results are. The body of your essay should provide the following:1. A description of the algorithm in English and, if helpful, pseudocode.2. At least one worked example or diagram to show more precisely how your algorithm works.3. A proof (or indication) of the correctness of the algorithm.4. An analysis of the running time of the algorithm.Remember, your goal is to communicate. Graders will be instructed to take off points for convoluted and obtuse descriptions.Exercise 3-1. Do exercise 8.1-2 on page 167 of CLRS.Exercise 3-2. Do exercise 8.1-3 on page 168 of CLRS.Exercise 3-3. Do exercise 8.2-3 on page 170 of CLRS.Exercise 3-4. Do exercise 8.4-2 on page 177 of CLRS.Exercise 3-5. Do exercise 9.3-1 on page 192 of CLRS.Exercise 3-6. Show that the second smallest of n elements can be found with n+Θ(lg n)comparisons in the worst case. (Hint: Also find the smallest element.)Problem 3-1. Largest i numbers in sorted orderGiven a set of n numbers, we wish to find the i largest in sorted order using a comparison-based algorithm. Find the algorithm that implements each of the following methods with the best asymptotic worst-case running time, and analyze the running times of the algorithms in terms of n and i.(a) Sort the numbers, and list the i largest.Solution:Use any optimal sorting algorithm, such as MergeSort or HeapSort. Then this can bedone in Θ(n lg n).(b) Build a max-priority queue from the numbers, and call E XTRACT-M AX i times.Solution:Call Build-Heap, Θ(n). Then call Extract-Max, Θ(lg i), i times. So, total runningtime is Θ(n+i lg i).(c) Use an order-statistic algorithm to find the i th largest number, partition around thatnumber, and sort the i largest numbers.Solution:Select the i-th largest number using SELECT, Θ(n), call partition, Θ(n), and then sortthe i largest numbers, Θ(i lg i). So our algorithm takes Θ(n+i lg i).Problem 3-2. At the wading poolYou work at a summer camp which holds regular outings for the n children which attend. One of these outings is to a nearby wading pool which always turns out to be something of a nightmare at the end because there are n wet, cranky children and a pile of 2n shoes (n left shoes and n right shoes) and it is not at all clear which kids go with which shoes. Not being particularly picky, all you care about is getting kids into shoes that fit. The only way to determine if a shoe is a match for a child is to try the shoe on the child’s foot. After trying on the shoe, you will know that it either fits, is too big, or is too small. It is important to note that you cannot accurately compare children’s feet directly with each other, nor can you compare the shoes. You know that for every kid, there are at least two shoes (one left shoe and one right shoe) that will fit, and your task is to shoe all of the children efficiently so that you can go home. There are enough shoes that each child will find a pair which fits her. Assume that each comparison (trying a shoe on a foot) takes one time unit.(a) Describe a deterministic algorithm that uses Θ(n 2) comparisons to pair children withshoes.Solution:For each child, try on all the shoes until you find the two shoes that fit. T (n )= T (n − 2) + O (n ) = Θ(n 2).(b) Prove a lower bound of Ω(n lg n ) for the number of comparisons that must be madeby an algorithm solving this problem. (Hint: How many leaves does the decision tree have?)Solution:There are n ! ways that left shoes can be assigned to children and n ! ways that right shoes can be assigned to children. So the decision tree should have n !2 leaves. n !2 ≥ n ! h ≥ lg(n !)h ≥ lg ( ne )n by Stirling’s Approximation = n lg n − n lg e= Ω(n lg n )(c) How might you partition the children into those with a smaller shoe size than a “pivot”child, and those with a larger shoe size than the pivot child?Solution:Take the pivot child and try on all the shoes until you find one that fits. This should take Θ(n ) time as there are 2n shoes. Then try the shoe on all the children. If the shoe is too small, then they have larger feet than the pivot child. If the shoe is too big, then they have smaller feet than the pivot child. This should also take Θ(n ) time making our partition algorithm run in linear time.(d) Give a randomized algorithm whose expected number of comparisons is O (n lg n ),and prove that this bound is correct. What is the worst-case number of comparisons for your algorithm?Solution:This is similar to quicksort. Pick a random child. Partition the children around that child as in part (c). Then take the shoe you used to partition the children and partition the shoes around it. Take the two shoes and pivot child and put them in the group of paired children. Then recurse on the two groups of shoes and children. This should have the same analysis as randomized quicksort because we have only added an extra call to partition which will still make the work done at each level Θ(n ).。
算法导论(第二版)课后习题解答
Θ
i=1
i
= Θ(n2 )
This holds for both the best- and worst-case running time. 2.2 − 3 Given that each element is equally likely to be the one searched for and the element searched for is present in the array, a linear search will on the average have to search through half the elements. This is because half the time the wanted element will be in the first half and half the time it will be in the second half. Both the worst-case and average-case of L INEAR -S EARCH is Θ(n). 3
Solutions for Introduction to algorithms second edition
Philip Bille
The author of this document takes absolutely no responsibility for the contents. This is merely a vague suggestion to a solution to some of the exercises posed in the book Introduction to algorithms by Cormen, Leiserson and Rivest. It is very likely that there are many errors and that the solutions are wrong. If you have found an error, have a better solution or wish to contribute in some constructive way please send a message to beetle@it.dk. It is important that you try hard to solve the exercises on your own. Use this document only as a last resort or to check if your instructor got it all wrong. Please note that the document is under construction and is updated only sporadically. Have fun with your algorithms. Best regards, Philip Bille
算法导论答案Ch3
f (n) =∞ g (n)
Ω(g (n, m)) = {f (n, m) : there exist positive constants c, n0 , and m0 such that f (n, m) ≥ cg (n, m) for all n ≥ n0 or m ≥ m0 }
Θ(g (n, m)) = {f (n, m) : there exist positive constants c1 , c2 , n0 , and m0 such that c1 g (n, m) ≤ f (n, m) ≤ c2 g (n, m) for all n ≥ n0 or m ≥ m0 } Exercise 3.2-1 Let n1 < n2 be arbitrary. From f and g being monatonic increasing, we know f (n1 ) < f (n2 ) and g (n1 ) < g (n2 ). So f (n1 ) + g (n1 ) < f (n2 ) + g (n1 ) < f (n2 ) + g (n2 ) 2
n→∞
2e n
n
≤ lim
n→∞
2e n
n
1 =0 2n
nn 1 en n −.5 n √ = lim √ e = lim O ( n ) e ≥ lim 1 n→∞ n! n→∞ n→∞ c1 n n→∞ 2πn(1 + Θ( n )) lim ≥ lim en en = lim =∞ n→∞ c1 n n→∞ c1
n a/b n if and only if if and only if n − 21 /b ≥ −a if and only if n + a ≥ (1/2) (n + a)b ≥ cnb . Therefore (n + a)b = Ω(nb ). By Theorem 3.1, (n + a)b = Θ(nb ).
算法导论中文版答案
24.2-3
24.2-4
24.3-1 见图 24-6 24.3-2
24.3-3
24.3-4 24.3-5 24.3-6
24.3-7
24.3-8 这种情况下不会破坏已经更新的点的距离。 24.4**** 24.5****
25.1-1 见图 25-1 25.1-2 为了保证递归定义式 25.2 的正确性 25.1-3
8.3-3 8.3-4
8.3-5(*) 8.4-1 见图 8-4 8.4-2
8.4-3 3/2，1/2 8.4-4(*) 8.4-5(*)
9.1-1
9.1-2 9.2-1 9.3-1
第九章
9.3-2 9.3-3
9.3-4 9.3-5
9.3-6 9.3-7
9.3-8
9.3-9
15.1-1
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
算法导论中文版答案
} cout<<len<<endl; } return 0; } 15.5-1
15.5-2 15.5-3
15.5-4
16.1-1
第 16 章
16.1-2 16.1-3
16.1-4 16.2-1 16.2-2
16.2-3
16.2-4
16.2-5 16.2-6
16.2-7
25.3-6
5.3-6
6.1-1 6.1-2 6.1-3 6.1-4 6.1-5 6.1-6
第6章
6.1-7
6.2-1 见图 6-2 6.2-2
6.2-3
6.2-4
6.2-5 对以 i 为根结点的子树上每个点用循环语句实现 6.2-6
6.3-1
见图 6-3 6.3-2
6.3-3
6.4-1 见图 6-4 6.4-2 HEAPSORT 仍然正确，因为每次循环的过程中还是会运行 MAX-HEAP 的过程。 6.4-3
6.4-4
6.4-5
6.5-1 据图 6-5 6.5-2
6.5-3 6.5-4 6.5-5
6.5-6 6.5-7
6.5-8
7.1-1 见图 7-1 7.1-2
7.1-3 7.1-4 7.2-1 7.2-2
7.2-3 7.2-4 7.2-5
第七章
7.2-6 7.3-1
7.3-2
7.4-1 7.4-2
16.3-1 16.3-2
16.3-3 16.3-4
16.3-5
16.3-6 那就推广到树的结点有三个孩子结点，证明过程同引理 16.3 的证明。 16.3-7 16.3-8
第 24 章
24.1-1 同源顶点 s 的运行过程，见图 24-4 24.1-2
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本题目只要证明可能性，只要说明一种情况下结论成立即可
17.2-1
第
17.3-1
题目：
答案：
备注：最后一句话展开：采用新的势函数后对i个操作的平摊代价：
17.3-2
题目：
答案：
第一步：此题关键是定义势能函数 ,不管定义成什么首先要满足两个条件
对所有操作i， >=0且 >=
比如令 ，j,k均为整数且取尽可能大，设势能函数 =2k;
第
16.1-1
16.1-2
16.2-2
16.2-4
16.3-2
16.3-4
第
16.2-5
贪心算法实现，证明不能少，
参考答案：
16.4-1
证明中要三点：1.有穷非空集合2.遗传性3.交换性
第
16.5-1
题目表格：
ai
1
2
3
4
5
6
7
di
4
2
4
3
1
4
6
wi
10
20
30
40
50
60
70
解答：
解法1：使用引理16.12性质（2），按wi单调递减顺序逐次将任务添加至Nt（A），每次添加一个元素后，进行计算，{计算方法：Nt（A）中有i个任务时计算N0 (A),…,Ni(A)，其中如果存在Nj (A)>j,则表示最近添加的元素是需要放弃的，从集合中删除}；最后将未放弃的元素按di递增排序，放弃的任务放在所有未放弃任务后面，放弃任务集合内部排序可随意。
划线部分按上表di递增的顺序排即可，答案不唯一
16.5-2（直接给个计算例子说的不清不楚的请扣分）
题目：
本题的意思是在O(|A|)时间内确定性质2（性质2：对t=0，1，2，…，n，有Nt(A)<=t,Nt(A)表示A中期限不超过t的任务个数）是否成立。
解答示例：
思想：建立数组a[n],a[i]表示截至时间为i的任务个数，对0=<i<n，如果出现a[0]+a[1]+…+a[i]>i,则说明A不独立，否则A独立。
第二步：求平摊代价，公式是
按上面设置的势函数示例：
当k=0， =…=2
当k！=0, =…=3
显然，平摊代价为O(1)
17.3-4
题目：
答案：
结合课本p249，p250页对栈操作的分析很容易有下面结果
17.4-3
题目：
答案：
假设第i个操作是TABLE_DELETE,考虑装载因子 =(第i次循环之后的表中的entry数)/(第i次循环后的表的大小)=
if（temp>i）//Ni(A)>i
A不独立；
}
17.1-1（这题有歧义，不扣分）
a)如果Stack Operations包括Push Pop MultiPush,答案是可以保持,解释和书上的Push Pop MultiPop差不多.
b)如果是Stack Operations包括Push Pop MultiPush MultiPop,答案就是不可以保持,因为MultiPush,MultiPop交替的话,平均就是O(K).
综上,degree[p[x]]>degree[x]
19.2.2
题目：
19.2.3
题目：
19.2.5
19.2.6
第
20.2-1
题目：
解答：
20.2-3
题目：
解答：
20.3-1
题Hale Waihona Puke ：答案：20.3-2
题目：
答案：
第
这一次请大家自己看书处理
19.1.2
题目：
答案：
(1)如果x是p[x]的最左子节点，则p[x]为根的子树由两个相同的二项树合并而成，以x为根的子树就是其中一个二项树，另一个以p[x]为根，所以degree[p[x]]=degree[x]+1;
(2)如果x不是p[x]的最左子节点，假设x是p[x]的子节点中自左至右的第i个孩子，则去掉p[x]前i-1个孩子，恰好转换成第一种情况，因而degree[p[x]]=degree[x]+1+（i-1）=degree[x]+i;
解法2：设所有n个时间空位都是空的。然后按罚款的单调递减顺序对各个子任务逐个作贪心选择。在考虑任务j时，如果有一个恰处于或前于dj的时间空位仍空着，则将任务j赋与最近的这样的空位，并填入;如果不存在这样的空位，表示放弃。
答案（a1，a2是放弃的）：
<a5, a4, a6, a3, a7,a1, a2>or<a5, a4, a6, a3, a7,a2, a1>
伪代码：
inttemp=0;
for(i=0;i<n;i++) a[i]=0;******O(n)=O(|A|)
for(i=0;i<n;i++) a[di]++;******O(n)=O(|A|)
for(i=0;i<n;i++)******O(n)=O(|A|)
{
temp+=a[i];//temp就是a[0]+a[1]+…+a[i]
第
19.1.1
题目：
答案：
(1)如果x不是根，则degree[sibling[x]]=degree[child[x]]=degree[x]-1
(2)如果x是根，则sibling为二项堆中下一个二项树的根，因为二项堆中根链是按根的度数递增排序，因此degree[sibling[x]]>degree[x]