第四章：扭转

Me
2
n 60
外力偶矩为：
Me Nm 9549
PkW n
r min
扭转
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
扭转
二、扭矩与扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符
号T表示。
Me
Me
求法：截面法
Dt
1、变形现象观察：
D / t 20
（1）圆周线的形状、大小不变； 两相邻圆周线的距离不变，只是 发生相对转动。
（2）各纵向线仍都倾斜了相同
角度 ；由纵向线和周向线构成
的矩形变成了平行四边形。
扭转
2、变形现象分析推断： （1）由两相邻圆周线的距离不变，说明横截面上
无正应力，只有切应力。
（2）各纵向线仍互相平行，但都倾斜了相同角度 ，
说明沿圆周上各点的切应力相同；
（3）因壁很薄，近似认为筒内与筒表面的变形相同， 即切应力沿壁厚方向均匀分布。
3、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
Mx 0 Me T
由静力学条件: τdA R = T A
因薄壁圆环,横截面上各点处的切应力相等
T AR A 2πR
得：
T
2πR2
Me
2πR2
R
取左端，由于矩平衡
Me
Mx 0 T Me 0
Me
得：T M e
符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与横 截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。
扭矩图——横截面上扭矩沿杆轴线变化规律情况的图线
扭转
例4-1 图示传动轴，转速 n 500r / min，主动轮A输
入功率 PA 10 kW，从动轮B 与C ，输出功率分别为
M
e
个角度，小方格变成了
平行四边形。
Me
2、平面假设：圆轴扭转变形时，横截面仍保持为 平面，形状、大小与间距均不变。
据此假设，横截面上无正应力，只有切应力且圆 周上各点处切应力的数值相等，方向与圆周相切。
扭转
3、横截面上切应力计算公式 变形几何关系
取微段楔形体 距圆心为 处
tan
dd ad
d
A
dx
dx A
G
d
dx
令:
Ip
2dA A
—横截面的极惯性矩
得: d T
d x GIp
G
d
dx
T I
p
——切应力公式
4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力
ma发x 生在横截面周边上各点处
max
T max
Ip
TR Ip
T Ip R
max
取 Ip/R = Wt —抗扭截面系数
最大切应力：
max
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Me
实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯 曲、拉压等其他变形。以扭转变形为主的杆件称为 轴
扭转
§4-2 外力偶矩的计算·扭矩与扭矩图
一、传动轴的外力偶矩的计算
已知：传动轴的转速n ，所传递的功率P (kW) ；则
P
dW dt
M e d
dt
Me
电机每秒输入功：W P 103
外力偶每秒作功：W
T2 M eC 0 T2 114.6 N m （3）画扭矩图
T/N m
114.6
x 76.4
扭转
例4-2 所示，钻探机的输入功率 P 12 kW，转速 n 180 r min，钻杆钻入土层的深度 l 50 m。如土壤
对钻杆的阻力是均匀分布的力偶，试作钻杆的扭矩图。
解：（1）计算外力偶矩
d
d A 2π d
Wt
Ip d /2
πd 3
16
扭转
空心圆截面：
D
Ip
2d A
2 d
2π
3
d
A
2
π D4 d 4 πD4 1 4
32
32
其中 d
D
Wt
IP D2
πD3 16
(1 4 )
D d
O
d A 2π d
注意：对于空心圆截面
Wt
Me
x 636.6
Me
9549
P n
636.6 N m
T (x)
me
l
（2）计算分布力偶矩集度
me
x
T /Nm
me
Me l
636.6 50
Nm
m 12.7 N m
m
（3）作扭矩图
T x mex 扭矩 T 与 x 为线性关系
扭转
§4-3 扭转圆轴横截面上的应力
一、薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒——通常指 R 的1 1空0 心圆轴
γ R
l
剪切胡克定律：
当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：
G γ G ——剪变模量
对各向同性材料，E, , G 之间关系： G E 2(1 )
扭转
四、圆轴扭转时的应力
1、实验现象：
圆周线——形状、大小、
间距不变，各圆周线绕轴
线相对转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一
dx
d
dx
式中，d —— 相对扭转角
d
dx
——
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量。
物理关系
根据剪切胡克定律： G
G
G
d
dx
横截面上任意一点处的切应力
与 成正比，方向垂直于半径。
T
切应力沿半径线性分布
max
扭转
max
扭转
静力学方面 A dA T
即 G2 ddA G d 2dA T
扭转
T
扭转
二、切应力互等定理 取单元体如图
由于微体处于平衡状态，则
dydx dxdy
切应力互等定理——在单元体两个互相垂直的平面上， 切应力必然成对出现，其大小相等；方向垂直于两平 面的交线，共同指向或背离此交线。
纯剪切——单元体上只有切应力，而无正应力。
扭转
三、切应变与剪切胡克定律
切应变 —— 直角的改变量又称角应变
T Wt
扭转
max
O T
注意： 以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。
扭转
5. Ip， Wt值的计算
极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wt都是截面图形的 几何性质，它们取决于截面的形状与大小。
实心圆截面：
d
Ip
2 d A
A
2 2 (2π d )
0
O
2π(
4
4
d
)
0
/2
πd 4 32
PB
6 kW、PC
4 kW。试作轴的扭矩图。 M eA
解：（1）计算外力偶矩
M eB
M eC
M eA
9549
PA n
191.0 N m
B
M eB
A
M eA
C M eC
M eB 76.4 N m MeC 114.6 N m
（2）分段计算扭矩
M eB T1
T2
M eC
T1 M eB 0 T1 76.4 N m
扭转
第四章：扭 转
余辉 yuh@czu.cn
扭转
§4-1 引 言
工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如：
扭转变形: 以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形。
扭转
扭转变形的特点：
◆ 受力特点： 圆杆受到一对大小相等、转向相反、 作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用
◆ 变形特点： 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动