高中物理竞赛—静电场
高中物理奥林匹克竞赛——第7章-静电场(共82张PPT)
n
F F1 F2 Fn Fi i 1
q1
r1r2
q0
F2
F1 F
q2 -
返回
§7-3 电场和电场强度
Electric Field and Electric Field Intensity
1. 电 场
库仑力是长程力，电荷与电荷的相互作用靠什么传递？
历史上有：“超距作 用”，“以太”（ether）等
E
E-
q 4 πε0
(
xl (x -
2)2 l 2)2(
(x xl
l 2) 2)2
2
i
q 4 πε0
(
x
2
2 xl -l2
4)2
i
-q
q
- O. +
l2 l2
x
.A
E-
E
x
E
4
q πε0
(
x
2
2 xr0 -l2
4)2
i
x l
E
1 4 πε0
2lq x3
i
1 4 πε0
点电荷是一种理想模型，即忽略形状和大小的带电体（把
带电体看作带电的点）。
点电荷模型是相对的。当带电体的线度比所研究的问题中 涉及的距离小得多时，就可以把该带电体当作点电荷，否则点 电荷模型就不适用。
Coulomb 定律（1785年，法 C. A. Coulomb，扭秤实验）
定律：真空中两个静止点电荷的相互作用力，其大小与电
d
Ex
dEx
4 0 x
2 sind
1
4
0
x
(cos1
-
cos
2
)
全国高中物理竞赛静电场训练题答案
1、一半圆均匀带电，电荷线密度为>0，试求该半圆圆心处的场强。
解：我们采用微元法，如图所示，设半圆半径为，微元所对圆心角为，在点的场强为而则根据对称性，半圆上各个微元在点场强的y轴方向分量互相抵消。
点处场强为各个在x轴上分量的和也可表为2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。
解：电场线的性质都可由高斯定理和安培环路定理推出，故此处，可考虑用这两个定理。
先证明同一场线上不同地方的场强相同。
如图（a），取一圆柱面形高斯面，其轴与平行，长，截面积足够小，则可认为上各点电场相同。
因空间无电荷，由高斯定理得其中，分别为圆柱两端面上的场强。
再证明不同电场线上的场强相同。
如图（b），取安培环路为。
、均垂直于电力线，且、的长度足够小，则可认为、段上的场强为定值，分别为，。
由安培环路定理得综上，即可得题中所述场确定为匀强场。
注意，若场区有电荷存在，则即使电场线平行，也不会为匀强场。
电场线可在电荷处中断。
如图（c）。
3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。
解：如图所示，根据对称性，肯定在或其延长线上，设到的距离为，对导体球表面上任意一点A而言，它的电势应该由和的电势叠加而成，由因为导体接地，所以有设为原点，为轴，A点的坐标为，则有因为A点位于球心在原点的球面上，、的一次项及常数项都应该是零，于是有可解得和而“电像”和感应电荷是等效的。
这样，就可以很容易地用库仑定律求得感应电荷对作用力（即导体球对的作用力）的大小为方向指向方向。
4、半径分别为和的两个同心半球面相对放置，如图所示。
两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为和。
求大半球面的直径AOB上电势的分布。
解：半径为的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为。
这道题目要解决两个问题：（1）半球壳的电势是多少？（2）两个半球壳的电势如何叠加？完整的半径为的球壳在AOB上产生的电势为鉴于对称性，半个球面对的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为完整的半径为的球壳在AOB上离距离小于的范围内（即图中的COD段）的电势为在AOB上，离的距离大于的范围内的电势为半球的贡献同样必为和的1/2。
高中物理竞赛《静电场_原理与方法》教学课件 （共46张PPT）
Eq E A 0
kQ 在A外侧有 Eq E A R2
kQ EA 2 R2
kqQ F 2 2R
一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心 电势为U0．将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面 上，如图．试求球上感应电荷的电量 ．
专题17-例4
O点O1点电势均为0;
q Q = Q1 q q Q1 r R R Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 Q q q Q1 r 1 r ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
q Q2 Q 9 Q2 1 若第２次C与A接触后A又获电量 Q ， 2 則 Q2 q n 9 r 10 R 1
半球面均匀分布电荷 在O点引起的场强可视 为“小瓣”球面电荷 与“大瓣”球面电荷 在O点引起的电场的矢 量和. 由对称性及半球几何关系可知
E大与E小垂直，如图所示:
Ｏ E
2
E小 E0 sin
2
E0
有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离 为d．试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势 面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ．
面元周边所受张力合力大小为
64 2 0 R3
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
1
kq r
2
q
q
S
12 2 2 从该球面穿出的电通量 0 8.85 10 C /N m
4 0 r
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10
物理竞赛-静电场(吴志坚)分析
（电磁学篇P32）
4）均匀带电圆盘盘心处的电势
练.半径为r的均匀带电圆盘，总带电量为Q，求盘心处
的电势。
（电磁学篇P32）
2.电势的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的电势，等于
每个场源电荷单独存在时在改点所激发的场强的代数和。
例.三个带电量均为q的点电荷相距无穷远且处于静止状
（电磁学篇P19）
y
o
θ
x
考点二、电场线与高斯定理
1.电场线
1）电场线：又称电力线，是对电场的一种形象的描述。 2）电场线密度：在电场中分布有无限多电场线，为了表示 电场空间中各点的电场强度的大小，引入电场线密度的概念。 过某点取单位面元 Δ S，与该点场强方向垂直。设穿过 Δ S 的电场线又Δ N 条，则Δ N/Δ S 称为该点电场线密度，即通过改 点与电场垂直的单位截面内的电场线条数。 可以规定， 作图时使电场中任一点的电场线的密度与该点场 强大小相等，即 E
荷体密度为ρ的带电物质。求沿厚度方向的空间中电场
强度的分布。
（电磁学篇P15）
x
d /2
o x 2
d /2
3
1
7）电偶极子激发的电场
电偶极子是一对电量相等（同为q）、符号相反、相隔距 离为l的两点电荷组成的系统。 通常，只有在考查远离 此系统中心位置处的电场时，才称这对电荷为电偶极子。
例.q 为点电荷的带电量，l 的大小为两点电荷间的距离，
N 。 S
例.质量为m、带电量为+q的小球在均匀引力场中（竖 直向下）和非均匀静电场中，静电场相对绕竖直轴OZ
转动处对称。 如图表示其中一个平面上电场线。在
高二物理竞赛课件：真空中的静电场(共14张PPT)
真空中的静电场
一、内容
第一节 库仑定律
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
k 1
4 0
真空介电常数
二、静电力叠加原理
1、问题
2、实验结果
F F1 F2
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
3、推广
F
i j
Fij
1
4 0
i j
qiq j rij2
eij
sin 2
sin1
（5）公式推论
Ex
4 0r0
cos1
cos2
无限长
1 0 2
Ex
2 0r0
第二节 电场 电场强度
一、 静电场
（小、少、正）
1.实验探测 ？
据库仑定律使用试探电荷
2.定义？
电荷 q0受力作用的空间
3.描述？ E
F
q0
试探电荷
规定：以单位正电荷受力量度电场强弱与方向
Ex, y, z矢量点函数 (场量)
类比流速场 v vx, y, z
二、离散分布电荷场强的计算
1、点电荷 q 的电场
r0
sin
代入Ex 4 0
L rd
0 r02
sin 2
变量变换 l
Ex 4 0
L rd
0
r02
sin 2
4 0
L r0d sin2 0 sinr02
2 sind
4 0 1 r0
2 sind
4 0r0 1
Ex
4 0r0
cos1
cos 2
同理 Ey
dEy
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
高中物理竞赛讲义-静电场基本知识介绍
静电场基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。
在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。
如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。
也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。
一、电场强度1、实验定律 a 、库仑定律 内容；条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。
事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k ′= k /εr ）。
只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。
b 、电荷守恒定律c 、叠加原理 2、电场强度a 、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。
b 、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。
这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k 2r Q结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E =2322)R r (kQr ，其中r 和R 的意义见图7-1。
⑶均匀带电球壳 内部：E 内 = 0外部：E 外 = k 2r Q ，其中r 指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R 1 、外径R 2），在壳体中（R 1＜r ＜R 2）：E = 2313r R r k34-πρ ，其中ρ为电荷体密度。
高中物理竞赛—静电场
真空中得静电场基 本 要 求一、理解电场强度与电势这两个基本概念与它们之间得联系。
二、掌握反映静电场性质得两个基本定理——高斯定理与环流定理得重要意义及其应用。
三、掌握从已知得电荷分布求场强与电势分布得方法。
内 容 提 要一、真空中得库仑定律)(412210r rq q rF ⋅=πε 库仑定律得适用条件:1、 点电荷;2、 电荷静止(或低速)。
二、电场与电场强度电场 电荷能够产生电场。
电场就是一种客观存在得物质形态。
电场对外表现得性质:1、 对处于电场中得其她带电体有作用力;2、 在电场中移动其她带电体时,电场力要对它做功,这也表明电场具有能量。
电场强度得定义式q F E = 点电荷场强公式)(4120rr q r E ⋅⋅=πε场强叠加原理 电场中某点得场强等于每个电荷单独在该点产生得场强得叠加(矢量与)。
几种常见带电体得场强1、电荷线密度为λ得无限长均匀带电直线外一点得场强a λE 02πε=2、电荷面密度为σ得无限大均匀带电平面外一点得场强2εσE = 方向垂直于带电平面。
3、带电Q 、半径为R 得均匀带电导体球面或导体球得场强分布r<R 时, E =0r>R 时,0204r E r Qπε=4、带电Q 、体密度为ρ得均匀带电球体场强分布r<R 时,r E 304R Qπε=r>R 时,0204r E r Q πε=三、电通量 高斯定理电场线(电力线)画法 1、 电场线上某点得切线方向与该点场强方向一致;2、 通过垂直于E 得单位面积得电场线得条数等于该点E 得大小。
电场线得性质 1、 两条电场线不能相交;2、 电场线起自正电荷(或无穷远处),止于负电荷(或无穷远处),电场线有头有尾,不就是闭合曲线。
电场强度通量 ⎰⎰⋅=se d ΦS E电场强度通量也可形象地说成就是通过该面积S 得电场线得条数。
高斯定理 真空中静电场内,通过任意闭合曲面得电场强度通量等于该曲面所包围得电量得代数与得1/ε 0倍。
物理竞赛-静电场
3 r l 3 r 1 2 2 r
q
ol
+q
P 3(r P) r 4 0 r
3
当P 点在连线上正电荷右侧，则
2P r P P，E 3 4 0 r
当P 点在连线的中垂线上，则
P r P 0，E 4 0 r 3
A -Q Q
导体板上感应电荷对板右侧电场的影响， 可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另 一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对Q的 作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用 由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q的 作用力大小为 Q
kQ F 2 2 16 0 d 4d
拓展
(1)从点电荷Q出发时沿着平行于导体板的电场线碰 到导体表面的位置
例10
A
B
如图，无限大的接地导体板，在距板d处的A点有 一个电量为Q的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力．
专题17-例11
由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q 的作用下，板的右侧出现感应电荷.
由于导体为一等势面，从点电荷Q出 发的电场线应处处与导体面正交而终 止，因而导体板右侧电场线分布大致 如图所示． 联想到等量异种电荷的电场：
r l
E 3
q 1 1 q o E E E 2 2 40 ( r l 2E) (r l 2 ) P
E l
+q
E
E
P
E
ql
P
E
P
E
r
+q
q
o +q
1 ql E E cos E cos 2 2 32 4 0 [r (l 2) ] 4 0 r 3
高中物理奥赛《静电场》内容讲解
《静电场》【全国物理竞赛知识要点2003】库仑定律、电荷守恒定律、电场强度、电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）、匀强电场、电场中的导体、静电屏蔽、电势和电势差、等势面、点电荷电场的电势公式（不要求导出）、电势叠加原理、均匀带电球壳壳内的电势和壳外的电势公式（不要求导出）、电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式（不要求导出）、电容器充电后的电能、电介质的极化、介电常数 【内容讲解】(一) 场强、电势的计算 1、点电荷的电场2、均匀线分布电荷产生的场强净电荷均匀分布在一条线上，在空间某点产生的场强，通常可用微积分的方法进行定量计算，但运用微积分的方法进行定量计算，必须确定场强的方向才能方便可行。
下面将介绍一种等效方法来求解均匀线分布电荷的场强问题。
如图所示，线段AB 上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，其旁边有一点P ，P 点到直线AB 的距离为R ，则P 点的电场强度大小、方向如何确定？现以P 点为圆心以R 为半径做一个与直线AB 相切的圆弧，认为圆弧上也均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，今在AB 上C 点取一微元△L ，在圆弧上对应取下微元△L /（取法如图），令PC=r ，则微元△L 在P 点产生的场强是：2.rLkE i ∆=ρ 而θθsin ∆=∆r L ，rR =θsin 所以：RkE iθρ∆=./l∆在P 点产生的场强是：22//...R R kR L kE i θρρ∆=∆=所以：RkE iθρ∆=./由以上论证可知：/iiE E =，且二者方向也相同。
可见L ∆在P 点产生的场强可由/L ∆在P 点产生的场强代替，不难得出，AB直线上的电荷在P点产生的场强，可由图中MEN弧在P点产生的场强来代替。
下面将介绍均匀分布在圆弧上的电荷在圆心处产生的场强的计算公式。
如图所示，半径为R的圆弧AB，其圆心角为θ，其上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，圆心O 点的场强设为E o，由对称性可得，E o的方向一定沿AB的连线的中垂线向右，即图中x方向，取圆弧上一微元△L i，它在O点的场强为2.RLkE ii∆=ρ，所以：∑∑∑∆=∆==αραραcoscos.cos22iiioLRkRLkEE而∑=∆ABLiαcos.则：2sin2.22θρρRRkABRkE==所以：2sin2θρRkE=---------------------------------------------------------①若对于无限长均匀带电直线，在距离直线为R的一点（相当于①式中θ=π），场强为RkEρ2=---------------------------------------------------------②若在均匀带电线段的延长线上一点，场强公式又如何？如图所时，在线段AB上均匀分布着线电荷密度为ρ的正电荷，其旁边有一点P，P点到线段AB的A、B两点的距离分别为d1、d2，点P到线段AB的垂直距离为R，线段AB的长为L，点P与A、B两点的连线之间的夹角为θ，则由公式①得，P点的场强为：2sin2θρRkE=LRdd21sin2121=θ∴LddRθsin21=代入P点的场强公式整理得：2cos21θρddLkE=若在长为L的均匀带电（线电荷密度为ρ）线段AB的延长线上一点P，P点距离线段AB较近的一点的距离为d ，则根据上述表达式，d d =1L d d +=2 0=θ，代入得：)(L d d Lk E +=ρ即Ld k d k E +-=ρρ-----------------------------------------------------③3、均匀面分布电荷的场强 （1）无限大的带电平面的场强（2）均匀带电球面的场强参考均匀带电圆弧在圆心处产生的场强公式的推导，同样可推出面电荷密度为σ的均匀带电球冠在球心处产生的场强为：S Rk E 2σ=式中S 为球冠的底面积，R 为球面半径。
高二物理竞赛课件：静电场基本性质
则
Φe
S de
q 4πε0
dΩ q ε0
说明 Φe 与曲面形状无关
dS
+
R
dS en
+
dS dΩ
21.
Φe
ES
cos
Φe E S
S
E
en
S
E
非匀强场 ,任意面S
S
dS ：dΦe EdS cos θ E dS
ds
S ：Φe
S dΦe
EdS cos θ
S
E dS
S
式中被积函数 E cosθ相对dS的函数式
对闭合面S ：
en
Φe
E dS
S
E
(穿过面S电场线净根数) en
d. 匀强电场，任意曲面
en
可以证明 Φe ES (投影面) E 19.
例 如图所示 ，有一
个三棱柱体放置在电场强度
y
E 200i N C1的匀强电
场中 . 求通过此三棱柱体表面 o
的电场强度通量 .
z
解： 闭合曲面
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下
E
x
前、后、下三面 没有场线通过
Φe前 Φe后 Φe下
s E dS 0
y
P
N
ezn
M
o
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cos
π
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
Φe Φe前 Φe后 Φe左 Φe右 Φe下 0
三 高斯定理
1、问题: 静电场中通过任一闭合 曲面（称为高斯面）上的电场强度 通量e与该曲面所包含的净电荷q 的关系如何？
高中物理竞赛静电场习题
高中物理竞赛——静电场习题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。
【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。
如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS 1和ΔS 2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P 点激发的场强分别为ΔE 1 = k 211r S ∆σΔE 2 = k 222r S ∆σ为了弄清ΔE 1和ΔE 2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然211r cos S α∆ = ΔΩ = 222r cos S α∆ 所以 ΔE 1 = k α∆Ωσcos ，ΔE 2 = k α∆Ωσcos ，即：ΔE 1 = ΔE 2 ，而它们的方向是相反的，故在P 点激发的合场强为零。
同理，其它各个相对的面元ΔS 3和ΔS 4 、ΔS 5和ΔS 6 … 激发的合场强均为零。
原命题得证。
【模型变换】半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。
【解析】如图7-6所示，在球面上的P 处取一极小的面元ΔS ，它在球心O 点激发的场强大小为ΔE = k 2RS ∆σ ，方向由P 指向O 点。
无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x 方向、y 方向上的对称性，Σix E ϖ = Σiy E ϖ= 0 ，最后的ΣE = ΣE z ，所以先求ΔE z = ΔEcos θ= k 2Rcos S θ∆σ ，而且ΔScos θ为面元在xoy 平面的投影，设为ΔS ′所以 ΣE z = 2Rk σΣΔS ′ 而 ΣΔS ′= πR 2【答案】E = k πσ ，方向垂直边界线所在的平面。
〖学员思考〗如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个81球面，每个81球面在x 、y 、z 三个方向上分量均为41 k πσ，能够对称抵消的将是y 、z 两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE x …〖答案〗大小为k πσ，方向沿x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。
高中物理竞赛—静电场
高中物理竞赛—静电场 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN真空中的静电场基 本 要 求一、 理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。
二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定理的重要意义及其应用。
三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。
内 容 提 要一、 真空中的库仑定律)(412210rr q q r F ⋅=πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。
二、电场和电场强度电场 电荷能够产生电场。
电场是一种客观存在的物质形态。
电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。
电场强度的定义式q F E = 点电荷场强公式 )(4120r r q r E ⋅⋅=πε1场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。
几种常见带电体的场强1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强a λE 02πε=2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强2εσE = 方向垂直于带电平面。
3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布r<R 时， E =0r>R 时，0204r E r Qπε=4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布r<R 时，r E 304R Q πε=r>R 时，0204r E r Qπε=三、电通量 高斯定理2电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。
电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。
电场强度通量 ⎰⎰⋅=se d ΦS E电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。
全国高中物理竞赛静电场专题
全国高中物理竞赛静电场专题静电场【知识点】 1、库仑定律表述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的大小和点电荷电量的乘积成正比，它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸引，即r rF 30214q q πε=式中，r 为矢量r 的大小，即两个点电荷之间的距离，0ε为真空介电常数． 2、电场强度定义实验点电荷0q 放入电场中，它所受的电场力F 与电量0q 的比值0q F 与电量0q 无关，反映了电场在空间不同点的性质，定义为电场强，用E 表示，即q FE =3、电场场度的叠加原理表述电场中任意一点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和.于是带电系统的电场强度是 i ni i in i i r r q E E ∑∑====1314πε 点电荷系 r r dq E d E ??==34πε，其中??=dVdS dldq ρσλ，连续带电体 4、电场线规定如图4所示，满足如下要求的几何曲线称为电场线，也称E 线．⑴电场线上每一点的切线方向与该点场强的方向一致；⑵在电场中任一点处，通过垂直于该处电场强度方向的单位面积的电场线的条数等于该点处电场强度的量值，即⊥Φ=dS d E E式中，E Φ为电场强度通量，表示通过某一面积的电场线的条数dSdS En e图 45、电位移矢量D定义电场中某点的电位移矢量D 表示为P E D +=0ε式中，P 为介质的电极化强度，在各向同性线性电介质中，D 可以表示为 E E D r εεε==06、电通量定义通过某一曲面电位移线的条数，称作该曲面上的电位移通量，简称为电通量．其数学表达式为=?=ΦSSe dS D S d D θcos , 有限面=?=ΦSSe dS D S d D θcos , 闭合面7、静电场的高斯定理表述在静电场中，通过任一闭合面的电通量数值上等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和，数学表达式为∑?=)(S内S iqS d D8、静电场的环路定理表述在静电场中，电场强度的环路积分为零，即 0=??dl E L若试验电荷在静电场中沿任一闭合路径运动一周，则电场力所做的功恒等于零，即 00=?=?l d E q A L9、电势能定义若选择点电荷在某参考点时系统的电势能为零，则0q 在P 点进系统的电势能为l d q P=?参考点E W 0P10、电势定义电场中某点单位正电荷所具有的电势能称为该点的电势，即将单位正电荷从该点经任意路径移到电势零点时电场力所做的功．即l d E q U P P ?==?参考点0PW11、场强与电势的微分关系表述电场中某点电场强度等于该点电势梯度的负值，即 U E -?=12、导体的静电平衡表述若将导体放在静电场中，当导体中的电荷没有宏观定向运动时，电荷分布不再发生变化，电场的分布也不再改变，这时导体所处的状态称为静电平衡状态，导体静电平衡的条件是导体内部电场强度处处为零． 13、电容器的电容定义当电容器的两极板带等量异号电荷q +、q -，且电势差为b a ab U U U -=时，则电容器的电容为abU qC = 14、电场的能量定义电场中单位体积内存储的电场能量称为电场能量密度，用e w 表示，即 E D w e ?=21对带电体系整个电场的能量，有如下计算公式 dV E D dV w W V Ve e ?==ε21对于各项线性介质，则 dV E dV w W VVe e 221ε?==15、电流和电流密度定义电流（I ）单位时间内通过导体任一截面的电量，即 dtdqI =电流密度 (J ) 通有电流的导体中，每一点电流密度大小等于通过该点单位垂直截面的电流，电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，即 n e dS dIJ ⊥=16、电动势定义电源内单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功，其表达式为l d E K=+-ε式中，K E 为单位正电荷反受到的“非静电力”，又称作“非静电性场强”，因电源外部0=K E ，电动势定义又可表示为l d EKL=?ε【例题】1、已知真空中电场的能量密度为，试求（1）均匀带电球面（电荷量为，半径为）上的电场强度。
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真空中的静电场基 本 要 求一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。
二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定理的重要意义及其应用。
三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。
内 容 提 要一、真空中的库仑定律)(412210rr q q rF ⋅=πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。
二、电场和电场强度电场 电荷能够产生电场。
电场是一种客观存在的物质形态。
电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。
电场强度的定义式q F E =点电荷场强公式)(4120rr q r E ⋅⋅=πε 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。
几种常见带电体的场强1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强aλE 02πε=2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强2εσE =方向垂直于带电平面。
3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布r<R 时， E =0 r>R 时，0204r E r Q πε=4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布r<R 时，r E 304R Q πε=r>R 时，0204r E r Q πε=三、电通量 高斯定理电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。
电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。
电场强度通量 ⎰⎰⋅=se d ΦS E电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。
高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/倍。
ε∑⎰⎰=⋅内S Sqd S E高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。
四、静电场的保守性 环路定理静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。
静电场的环路定理 0=⋅⎰l E d上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。
环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。
环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。
五、电势能、电势和电势差保守力做功和势能增量的关系 A a b =(W b W a )q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所做的功。
⎰⎰⋅⋅=⋅=-babab a d q d W W l E l F 0电势能 选标准点（势能零点），且取W 标=0，q 0在电场中某点a 的电势能为⎰⋅=标0a a d q W l E即q 0自a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。
电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有。
电势差 a 、b 两点的电势差即把单位正电荷自a b 过程中电场力做的功。
⎰⋅=-=-b a ba b a d q W W U U l E 0电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标准点”过程中电场力做的功。
⎰⋅==标0a aa d q W U l E 点电荷电势公式 rq U 04πε=电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加（代数和）。
六、场强和电势的关系 电势梯度等势面 电势相等的点组成的面。
等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。
场强和电势梯度的微分关系U grad -=E 或 U -∇=E解题方法与例题分析一、求场强的方法在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强；3. 已知或求出电势分布U后，再由U=E求场强。
grad-熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。
1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。
带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。
用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。
在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。
积分法解题的主要步骤如下：①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为02041r E ⋅⋅=rdq d πε ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强02041r E E ⎰⎰==r dq d πε选择适当的坐标系，把矢量积分⎰=E E d 化为分量积分式，如取直角坐标系，则E x =⎰d E x ，E y =⎰d E y ，E z =⎰d E z 。
③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。
④进行积分求得E x 、E y 、E z ，再求出E 。
在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳）所组成。
如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。
这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。
2. 由高斯定理求场强用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E能提到积分号外。
用高斯定理求场强的步骤大体如下：①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解；②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。
如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面；③求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。
由场强的对称性确定场强的方向。
3. 求电势分布U后，由UE求场强-∇=因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。
例1 长l 厘米的直导线AB 均匀地分布着线密度为λ的电荷。
求：（1）在导线的延长线上与导线一端B 相距R 处P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距R '处Q 点的场解 （1）如图8—1（a ）所示，取A 点为坐标原点，向右为x 轴正方向。
直导线上任一dx 线元到A 点距离为x ，其电场强度为20)(41R x l dxdE +-=λπε而各段在P 处产生场强方向相同（沿x 轴正方向），故总场强为)11(4)(41)(410002lR R λR x l λR x l dxdE E llP +-=+-⋅=+-==⎰⎰πεπελπε方向沿x 轴正方向。
（2）若以导线AB 中心为坐标原点，如图8—1（b ）所示。
dx 线元在Q 点产生的电场为)(41220R x dxdE '+=λπε（方向如图所示）由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消。
在Q 点的场强为⎰⎰-'+'⋅'+⋅==22122220)()(41cos l l Q R x R R x dxdE E λπεθ222202023220)(2)(42l l x R R xR R x dx R +''⋅'='+'=⎰πελπελ ()[]21220214l R R l +'⋅'=πελ方向沿y 轴正方向。
当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为)2/(0R E '=πελ。
例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中θ为半径R 与x轴所成的夹角，λ 0为一常数，如图8—2所示，试求环心O 处的电场强度。
解 在θ处取电荷元，其电量图8—2dEy为dl dq 0λ=θθλd R sin 0=它在O 点处产生的场强为204R dqdE πε=Rd 004sin πεθθλ=在 x 、y 轴上的两个分量θcos dE dE x -=， θsin dE dE y -=⎰=-=πθθθπελ0000cos sin 4d R E xRd R E y 0002008sin 4ελθθπελπ-=-=⎰ 所以 j i E y x E E +=j Rλ008ε-= 例3 利用带电量为Q 、半径为R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式()232204xR Qx E +=πε推导一半径为R 、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。
解 设盘心O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图8—3所示，在任意半径r 处取一宽为dr 的圆环，其电量rdr dq πσ2=()232204xr xdq dE +=πε()232202x r rdrx +⋅=εσ ()⎰⎰+==R x r rdrx dE E 0232202εσRx r x022012⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=εσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=220112x R x x εσ 当 R →∞时，即为“无限大”带电平面220εσεσ±==x x E 例4 如图8—4所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度= kx (0≤x ≤a )， k 为一正值常数。
求：（1）板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小； （2）板内任一点M 的电场强度； （3）场强最小的点在何处。
解 （1）在x 处取厚为dx 的平板，此平板带电量S dx dq ⋅=ρ图8—4aM 1M 2M Ox图8—3p dExR r drO电荷面密度为 dx S dqρσ==则 02εσ=dE 02ερdx =02εkxdx= ⎰=adx kxE 002ε024εka =（2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向dx kxE a⎰=0012ε024εkx =M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向dx kxE ax ⎰=022ε()0224εx a k -=所以 ()0220244εεx a k kx E --=()22024a x k-=ε（3）E = 0 时场强最小，即0222=-a x2ax =例5 如图8—5所示，圆锥体底面半径为R ，高为H ，均匀带电，电荷体密度为ρ，求顶点A 处的场强。