实验3 函数的极值以及符号表达式的计算
高等数学多元函数的极值及其求法PPT课件
x y 1 3 , z 2 3 2
24
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由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值， 其最大值与最小值为
f (1 3 , 1 3 , 2 3)
2
2
fmax 9 5 3 , fmin 9 5 3.
25
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例 7 将正数 12 分成三个正数 x, y, z 之和 使得 u x3 y2z 为最大.
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
fx fy x y
21
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极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 F F(x, y, ) f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数利. 用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0 时, 没有极值. 3) 当AC B2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
4
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
20
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方法2 拉格朗日乘数法例. 如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
函数极值及求法
2
2
2
1 a b c 所围四面体的体积 V xyz , 6 6 x0 y0 z 0
2 2 2 x0 y0 z 0 在条件 2 2 2 1下求 V 的最小值, a b c
dz 令： dy 6 y 0 ,
得 y=0，z=13; y=±2 时，z=25．
第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M， 最小者为m．故M=25，m=9．
z f ( x , y ) x 2 y(4 x y ) 例5 求二元函数 y x D 在直线 x y 6 ， 轴和 轴所围成的闭区域
又 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，令:
f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 2 0 时具有极值， 当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值； （2） AC B 0 时没有极值；
2
例4
求函数 f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2 的极值．
解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0， 得驻点（1，1）（-1，-1）（0，0） ， ， 。 判断：求二阶偏导 fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2， 在点（1，1）处， A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2，C=fyy(1,1)=10． 因 B2—AC<0，且 A>0， 故 f(1,1)= -2 为极小值． 类似可得 f(-1,-1)= -2 为极小值．
3.5函数的极值及其求法
上 的 最 值 存 在 . 再 假 定 f ( x ) 除 有 限 个 点 外 处 处
oa
bx
o a
b x
o a
b x
20
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小; 注意:如果定义在区间上的连续（可导）函数 只有一个极值,则这个极值就是最值. 对比：书P159例6上面一段说法（不严格！）
1 1 2 0 x 8 ) S ( 8 x )( 16 x x ) ( 0 ABC 0 0 0 2 2
30
12 令 S ( 3 x 64 x 16 16 ) 0 , 0 0 4 16 16 ( 舍去 ). 解得 x 0 , x 0 3
16 4096 16 . s ( ) 为极大值 . s( ) 8 0 3 217 3
f ( x ) 0 ; 当 x 2 时，
M
f ( x ) 0 . 当 x 2 时，
f( 2 ) 1 为 f( x ) 的极大值 .
6
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x );
( 2 ) 求 所 有 的 临 界 点 （ 驻 点 及 不 可 导 点 ） ； ( 3 ) 检 查 f ( x ) 在 临 界 点 左 右 的 正 负 号 , 判 断 极 值 点 ;
注意: f (x ) 0 时 , f(x ) 在点 x 处不一定取 , 0 0 仍用定理 2 .
13
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
实验3Matlab符号运算及求函数极值
实验3 Matlab 符号运算及求函数极值一、实验目的和要求掌握用Matlab软件进行符号运算以及求函数的极值。
二、实验环境Windows系列操作系统，Matlab软件。
三、实验内容1.用MATLAB进行符号运算；2.编程求函数的极值。
四、实验步骤1.开启软件平台——Matlab，开启Matlab编辑窗口；2.根据求解步骤编写M文件；3.保存文件并运行；4.观察运行结果(数值或图形)；5.根据观察到的结果和体会写出实验报告。
五、示例1．计算一元函数的极值例1求223441x xyx x++=++的极值解首先建立函数关系：s yms xy=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); 然后求函数的驻点：dy=diff(y);xz=solve(dy)xz=[0] [-2]知道函数有两个驻点x1=0和x2=-2，接下来我们通过考察函数的图形，则它的极值情况和许多其它特性是一目了然的。
而借助MATLAB的作图功能，我们很容易做到这一点。
例2 画出上例中函数的图形解 syms xy=(3*x^2+4*x+4)/( x^2+x+1); 得到如下图形ezplot(y)2．计算二元函数的极值MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。
diff(f,x,n) 求函数f 关于自变量x 的n 阶导数。
jacobian(f,x) 求向量函数f 关于自变量x(x 也为向量)的jacobian 矩阵。
例1 求函数42823z x xy y =-+-的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数>>clear; syms x y;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans =4*x^3-8*yans =-8*x+4*y即348,84z z x y x y x y∂∂=-=-+∂∂再求解方程，求得各驻点的坐标。
ch函数的极值与最大最小值
（2）求出驻点、不可导点以及端点 处的函数值；
（3）将上述函数值比较后得出最大值和最小值。
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例4 求函数 最小值。
解 显然函数
在区间 上的最大值和 在所给区间上连续，可导。又
所以 且比较：
即函数在区间有唯一的驻点。
故
是最小值，
是最大值。
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y 0.5
0.4
0.3
0.2
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定理1（判断法一，第一充分条件） 设函数
在点
处连续，在 处的某个去心邻域
内可导；
若在 x0 的两侧，f x 的是异号的，则 f x0 是极值，即
⑴若 x x0 , x0 时，f x 0, 而
时
（左升右降）则 在点 处取极大值；
⑵若 时
时， （左降右升）则
而 在点 处取极小值；
f
x0
f
ma mn
ma mn
m
a
ma mn
n
ma mn
m
na mn
n
mmnn
a m
n
mn
.
NB 本题当 m=n=1 时, 即得大家熟知的结果: 和为定数的两个正数, 当它们相等时其乘积最大.
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*例7 设抛物线
上在点
处的法线交该
抛物线的另一点 ，求线段 的最短距离
自学例题
解 设截去的小方块边长为 x ，盒子的容积为V ，则
V x(a 2x)2 x 0, a
x
2
V (a 2x)2 4x(a 2x) (a 2x)(a 6x)
a
V 8(3x a) V a 4a 0
a 2x
函数极值点的计算步骤与示例
函数极值点的计算步骤与示例函数的极值点计算主要依赖于分析函数的一阶导数（以及在某些情况下二阶导数）。
以下是计算函数极值点的详细步骤：1. 求一阶导数首先，对给定的函数f(x)求一阶导数f′(x)。
这通常通过导数的定义、导数的运算法则（如乘法法则、链式法则等）或利用导数表来完成。
2. 寻找驻点驻点是使得一阶导数等于零的点，或者导数不存在的点（尽管后者在大多数情况下不是极值点，但也需要检查）。
因此，解方程f′(x)=0来找到所有的x 值，这些值就是可能的极值点（也称为驻点）。
3. 使用二阶导数（可选，但有用）为了确定驻点是否是极值点，并判断是极大值点还是极小值点，可以进一步求二阶导数f′′(x)。
然后，在驻点处计算二阶导数的值：●如果f′′(x)>0，则该驻点是局部极小值点（函数在该点附近是凹向上的）。
●如果f′′(x)<0，则该驻点是局部极大值点（函数在该点附近是凸向下的）。
●如果f′′(x)=0，则二阶导数无法给出明确的判断。
此时，需要采用其他方法（如更高阶导数测试、函数单调性分析、泰勒级数展开、或比较函数值等）来确定极值点的存在和类型。
4. 检查边界点（如果适用）对于定义在闭区间上的函数，除了驻点外，还需要检查区间的端点，因为这些点也可能是极值点（尽管它们不是驻点）。
5. 综合判断综合以上信息，确定函数的极值点及其类型（极大值点或极小值点）。
示例考虑函数f(x)=x3−3x。
1.求一阶导数：f′(x)=3x2−3。
2.寻找驻点：解方程3x2−3=0，得到x=±1。
3.使用二阶导数（可选，但有助于确认）：f′′(x)=6x。
在x=−1处，f′′(−1)=−6<0，所以x=−1是局部极大值点；在x=1处，f′′(1)=6>0，所以x=1是局部极小值点。
4.检查边界点：由于此函数定义在整个实数域上，没有边界点需要检查。
5.结论：函数f(x)=x3−3x在x=−1处取得局部极大值，在x=1处取得局部极小值。
第十节 函数的极值与最大、最小值
由 f ( x ) 0 , 得驻点 x1 1 , x2 1
f ( 1) 2 , f (1) 2 , f ( 2) 2 , f (2) 2 ,
min f ( x ) 2 , max f ( x ) 2 .
x[ 2 , 2 ] x[ 2 , 2 ]
1) 若 f (x0)< 0, 则 f (x0) 为 f (x) 的极大值. 2) 若 f (x0) > 0, 则 f (x0) 为 f (x) 的极小值.
3) 若 f (x0)=0, 则 f(x0) 可能是也可能不是极值. 例如:
1) f ( x ) x 3 , f (0)= f (0)= 0, 但 x = 0不为极值点. 2) f ( x ) x 4 , f (0)= f (0)= 0, x = 0为极小值点.
是极大值点, 其极大值为 是极小值点, 其极小值为
1 例 求出函数 f ( x ) cos x cos 2 x 的极值 . 2 解 f ( x ) sin x sin 2 x sin x(1 2 cos x ) ,
2 4 得驻点 x k , x 2k , x 2k . 3 3 f ( x ) cos x 2 cos 2 x ,
第十节 函数的极值与最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大与最小值问题
一、函数的极值及其求法
1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) , 若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有 (1) f (x) < f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值 , 称点 x0 为 f (x)的一个极大值点; (2) f (x) > f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值 ,
第五节 函数的极值及其求法
第五节 函数的极值一.极值的概念定义 设)(x f 在),(b a 内有定义,),(0b a x ∈.如果存在)(00x U ,∈∀x )(00x U ,有)()(0x f x f > (或)()(0x f x f <)则称)(0x f 为)(x f 的一个极小值(或极大值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点. 注意 (1)函数的极值是局部性的概念,而不是整体性的概念,即要区别函数的极值与最值.极大值不一定是最大值;极小值也不一定是最小值. (2)函数的极值点是区间的内点(即在区间的内部),从而区间的端点必不是极值点. 二.函数取得极值的必要条件 定理 设)(x f 在0x 处可导,且在0x 处取到极值,则必有0)(0='x f .证明 不妨设)(0x f 是)(x f 的极小值.由导数的定义,有00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.当0x x >时,),()(0x f x f >所以0)()(00>--x x x f x f ,故.0)()(lim)()(000000≥--='='+→+x x x f x f x f x f x x同理可得.0)()(lim)()(000000≤--='='-→-x x x f x f x f x f x x所以0)(='x f .注意 (1)使0)(='x f 的点称为)(x f 的驻点. (2)由极值的必要条件知:函数的极值点必包含在驻点和不可导点内,即函数的可能极值点为:1.驻点;2.不可导点.但函数的驻点和不可导点不一定是函数的极值点. 下面介绍怎样判别函数的可能极值点为函数的极值点.三.函数极值点的判别准则定理(第一充分条件)设)(x f 在)(0x U 内连续,在)(00x U 内可导,且0x 是)(x f 的驻点或不可导点.(1) 如果),(00x x x δ-∈时,0)(>'x f ;当),(00δ+∈x x x 时, 0)(<'x f ,则)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ;(2) 如果),(00x x x δ-∈时, 0)(<'x f ;当),(00δ+∈x x x 时, 0)(>'x f ,则)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ;(3) 如果当∈x )(00x U 时,)(x f '恒为正(或负),则)(x f 在0x 处无极值.注意 (1) 第一充分条件实质上是用函数的单调性判断函数的极值. (2)由函数极值的第一充分条件,可得判断函数极值的基本步骤: 1.求)(x f 的定义域(如果给定x 的范围,此步省略); 2.求);(x f '3.求)(x f 的驻点和不可导点;4.将3.中的点插入1.,分成一些小区间,列表讨论)(x f '在每个小区间上)(x f '的符号,从而确定函数的极值点及极值(是极大值还是极小值).例1 求593)(23+--=x x x x f 的极值. 解 (1)函数的定义域为:).,(+∞-∞(2) ),3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f (3)令0)(='x f 得驻点:3,121=-=x x ;无不可导点.由表可知, )(x f 在1-=x 处有极大值10)1(=-f ;在3=x 处有极小值22)3(-=f .例2 求32)2(1)(--=x x f 的极值. 解 函数的定义域为).,(+∞-∞3232)(--='x x f ,无驻点,不可导点为2=x .有表可知, )(x f 在2=x 处有极大值1)2(=f . 下面用二阶导数判断)(x f 在驻点处是否有极大值或极小值.定理(第二充分条件)设)(x f 在0x 处有二阶导数,且0x 为驻点,则 (1) 当0)(0<''x f 时, )(x f 在0x 处有极大值)(0x f ; (2) 当0)(0>''x f 时, )(x f 在0x 处有极小值)(0x f ; (3) 当0)(0=''x f 时,不能判断.改用第一充分条件.注意 (1)第一充分条件与第二充分条件的应用范围:第一处分条件可用来判断1.驻点,2.不可导点,是否为极值点; 第二充分条件只能用来判断驻点是否为极大(小)值点. (2)如果只判断某一驻点为极值点,一般用第二充分条件.例3 如在例1中:3,121=-=x x 是驻点,而)1(666)(-=-=''x x x f .因为,012)1(<-=-''f 所以11-=x 为极大值点, )(x f 在11-=x 处有极大值10)1(=-f .因为,012)3(>=''f 所以)(x f 在3=x 处有极小值22)3(-=f .。
函数的极值及其求法
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实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数 值即为所求的最（或最小）值．
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极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以，函数 f ( x) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
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例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
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例5. 求f (x)=x48x2+2在[1, 3]上的最大值和最小值. 解：f '(x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2) 令 f '(x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去)
计算 f (0)=2, f (2)= 14 f (1)= 5, f (3)= 11
(1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值;
(2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
matlab 实验3 函数的极值以及符号表达式的计算
实验3 函数的极值以及符号表达式的计算一、实验目的1、求函数的极值；2、符号表达式的分解、展开与化简；3、求符号表达式的极限；4、级数的求和与泰勒级数展开。
二、实验内容1、求函数)sin()(t t e t f t -=在[0,1]内的最小值点以及最小值。
>> t=0:0.01:1;>> f=@(t) exp(t)-t.*sin(t);>> y=f(t); >> plot(t,y)>> f(0)ans =1由图知，f 在[0,1]上为单增函数,x=0时f(t)在[0,1]上取得最小值为12、对以下表达式进行因式分解，然后再将分解的结果进行展开，检查因式分解结果是否正确。
（1）12234++++x x x x>> p=[1 1 2 1 1];>> sym1=poly2sym(p)sym1 =x^4 + x^3 + 2*x^2 + x + 1>> sym2=factor(sym1)sym2 =(x^2 + 1)*(x^2 + x + 1)>> sym3=expand(sym2)sym3 =x^4 + x^3 + 2*x^2 + x + 1（2）6555234-++-x x x x>> p=[1 -5 5 5 -6];>> sym1=poly2sym(p)sym1 =x^4 - 5*x^3 + 5*x^2 + 5*x - 6>> sym2=factor(sym1)sym2 =(x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x + 1)>> sym3=expand(sym2)sym3 =x^4 - 5*x^3 + 5*x^2 + 5*x – 63、对以下表达式进行化简。
（1）123842+++x x x >> syms x>> y=(4*x.^2+8*x+3)/(2*x+1); >> simple(y)ans =2*x + 3（2）x x 22sin cos 2->> syms x>> y=2*cos(x).^2-sin(x).^2y =2*cos(x)^2 - sin(x)^2>> simple(y)ans =2 - 3*sin(x)^24、求下列函数的极限。
3.4.2函数的极值及其求法
解： 函数的定义域为[0，2]，
f ( x) cos x sin x, f ( x) sin x cos x,
令f ( x) 0, cos x sin x 0, tan x 0.
得驻点 x1
,
4
x2
5
4
.
因为 f ( ) 2 0,
4
所以x
是 极 大 点,
f( )
2 是极大值.
100
20
100 x
解：设 D 点选在距离 A 点 x 公里处.又设铁路上
每吨公里货运费 为 3k ，公路上每吨公里货运
费为 5k (k为常数) ，原料从 B 点运到 C 点每吨
公里需要的总运费 为 y ，则
y 5kCD 3kBD, 即
y5k 400＋x2 3k(100 x),(0 x100),
所以在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 严格单增,有f ( x) f ( x0 ) .
由于在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 0,
所以在 ( x0 , x0 )内 f ( x) 严格单减, 有f ( x) f ( x0 ) .
故 f ( x0 ) 为极大值.
2
例 1. 求 函数 f ( x) ( x 1) x 3 的极值点和极值.
↘
极小值 2
↗
f (0)
f( ) 5
故 x 0 为 极 大 点, x 2 为 极 小 点. 5
极大值为f (0) 0, 极小值为f ( 2) 3 3 20. 5 25
定理4 （极值存在的充分条件二）
设 f ( x) 在点 x0 二阶可导，且 f ( x0 )0 ， f ( x0 )0 ，则
设其为 x1, x2 ,, xn . （3）计算 f (a), f ( x1), f ( x2 ), , f ( xn ), f (b)的值 ;
函数的极值与最值求解的方法和步骤
函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。
通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。
本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。
对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。
如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。
二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。
2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。
通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。
3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。
具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。
函数的极值及其求法归纳课件
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
函数的极值及求法,最值
注意1: 可导函数的极值点
驻点
但 如：y x 3 , y x 0 0, x 0是驻点 x 0不是极值点.
注意2: 连续函数f(x)的可能极值点只 能是其驻点 (不可导点)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极 值的点x 称为极值点. 0
f ( x 0 ), f ( x 2 ), f ( x 4 )均 y 是f ( x )的极大值 , f ( x1 ), f ( x 3 ), f ( x 5 )均 是f ( x )的极小值, 显然, 极小值f ( x5 )大于
例4 求函数 f ( x ) x 3 3 x 的极值 解：f ( x ) 3 x 2 3 3( x 1)( x 1) f ( x ) 6 x 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 由于 f (1) 6 0 ,所以 f (1) 2 为极大值； 由于 f (1) 6 0 ,所以 f (1) 2 为极小值.
由闭区间上连续函数的性质可知：闭区间[a,b]上 的连续函数f(x)一定存在着最大值和最小值.显然,函 数在闭区间[a,b]上最大值和最小值只能在区间(a,b) 内的极值点和区间端点处达到.因此,可直接求出一切 可能的极值点(包括驻点和不可导点)和端点处的函 数值,比较这些数值的大小,即可得出函数的最大值和 最小值. 函数的最大值与最小值可统称为函数的最值,最值与 极值区别在于：极值是反映函数值局部性质的概念,最 值是反映函数值的整体性质的概念.
作业:P71页.2 3
闭区间上连续函数的最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
函数的极值与最大值最小值
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节 函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节 函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称 为 的 极大值点,
说明： 这里没有直接以 为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2
(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
求解函数零点与极值
求解函数零点与极值求解函数的零点和极值是数学中常见的问题，也是数学学习的重点之一。
掌握这一技巧可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
在本文中，我将以具体的例子来说明如何求解函数的零点和极值，并给出一些实用的方法和技巧。
一、求解函数的零点函数的零点指的是函数取零值的点，即满足f(x)=0的x值。
求解函数的零点有多种方法，下面以一元一次函数和一元二次函数为例进行说明。
例1：求解函数f(x)=2x+3的零点。
解：将f(x)置为0，得到2x+3=0。
移项得2x=-3，再除以2得到x=-3/2。
所以函数f(x)=2x+3的零点为x=-3/2。
例2：求解函数f(x)=x^2-4x+3的零点。
解：将f(x)置为0，得到x^2-4x+3=0。
这是一个一元二次方程，可以使用因式分解、配方法或求根公式来解。
这里我们使用因式分解法，将方程变形为(x-3)(x-1)=0。
因此，x-3=0或x-1=0，解得x=3或x=1。
所以函数f(x)=x^2-4x+3的零点为x=3和x=1。
二、求解函数的极值函数的极值指的是函数在某些点上取得的最大值或最小值。
求解函数的极值可以通过求导数和判断导数的符号来实现。
下面以一元二次函数和三角函数为例进行说明。
例3：求解函数f(x)=x^2-4x+3的极值。
解：首先求导数f'(x)=2x-4。
然后，令f'(x)=0，得到2x-4=0，解得x=2。
接下来，我们判断导数的符号。
当x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。
因此，x=2是函数f(x)=x^2-4x+3的一个极小值点。
将x=2代入原函数，得到f(2)=2^2-4*2+3=-1。
所以，函数f(x)=x^2-4x+3的极小值为-1。
例4：求解函数f(x)=sin(x)的极值。
解：首先求导数f'(x)=cos(x)。
然后，令f'(x)=0，得到cos(x)=0。
函数极值的求解毕业论文
函数极值的求解毕业论文函数极值的求解极值问题在数学中是一个重要的研究方向，也是应用最为广泛的数学概念之一。
在数学建模、优化问题等领域中，极值问题的求解具有重要的实际意义。
本文将介绍函数极大值和极小值的定义及求解方法，并应用实例进行论述。
一、函数极值的定义1. 极大值和极小值在数学中，给定一个定义在某个区间上的函数f(x)，如果在该区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≤f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极大值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极大值。
同样地，如果在给定的区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≥f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极小值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极小值。
二、函数极值的求解方法求解函数极值的方法主要有导数法和二阶导数判别法两种方法。
1. 导数法导数法通过求取函数的导数，来寻找极值点。
具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数，并令一阶导数等于零。
得到一个或多个代数方程。
（2）解出这些代数方程，得到所有的极值点。
（3）代入原函数，求出这些极值点对应的函数值，并比较它们的大小，得到函数的极大值和极小值。
2. 二阶导数判别法二阶导数判别法通过二阶导数的值来判断函数的极值情况。
具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数和二阶导数。
（2）令一阶导数等于零，解出所有的极值点。
（3）将这些极值点代入二阶导数的表达式中，判断二阶导数的正负情况：- 若二阶导数大于零，则所代表的极值点为函数的极小值点。
- 若二阶导数小于零，则所代表的极值点为函数的极大值点。
- 若二阶导数等于零，则无法判断该点是否为极值点，需要进一步分析。
三、函数极值求解的实例分析下面以一个简单的实例来说明函数极值的求解过程。
例：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的极值点和极值。
解：首先求函数的一阶导数：f'(x) = 2x - 2令导数等于零，得到极值点的横坐标x：2x - 2 = 0x = 1将x = 1代入原函数f(x)中，得到极值点的纵坐标：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0所以函数f(x)在x = 1处存在一个极小值点，极小值为0。
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实验3 函数的极值以及符号表达式的计算
一、实验目的
1、求函数的极值；
2、符号表达式的分解、展开与化简；
3、求符号表达式的极限；
4、级数的求和与泰勒级数展开。
二、实验内容
1、求函数)sin()(t t e t f t -=在[0,1]内的最小值点以及最小值。
解答： function f=ff(t)
f=exp(t)-t*sin(t);
[xmin,fmin]=fminbnd('ff',0,1)
xmin =6.6107e-05
fmin =1.0001
2、对以下表达式进行因式分解，然后再将分解的结果进行展开，检查因式分解结果是否正确。
（1）12234++++x x x x
解答： clear
syms x
factor(x^4+x^3+2*x^2+x+1)
expand(ans)
ans =(x^2 + 1)*(x^2 + x + 1)
ans =x^4 + x^3 + 2*x^2 + x + 1 （2）6555234-++-x x x x
解答： clear
syms x
factor(x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6)
expand(ans) ans =(x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x + 1)
ans =x^4 - 5*x^3 + 5*x^2 + 5*x - 6
3、对以下表达式进行化简。
（1）1
23842+++x x x 解答： clear
syms x
s=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);
simplify(s)
ans =2*x + 3
（2）x x 22sin cos 2-
解答： clear
syms x
s=2*(cos(x))^2-(sin(x))^2;
simplify(s)
ans =3*cos(x)^2 - 1
4、求下列函数的极限。
（1）4
586lim 224+-+-→x x x x x 解答： clear
syms x
s=(x^2-6*x+8)/(x^2-5*x+4);
limit(s,x,4)
ans =2/3
（2）x x x /)sin(lim 0→
解答： clear
syms x
s=sin(x)/x;
limit(s,x,0)
ans=1
5、 首先作出函数)/1cos(x y =在区[-1,-1e-6]区间上的图形，观测图形在0=x 附近的形状，判断)/1cos(x y =函数在0=x 极限的存在性。
然后通过limit 函数求其极限。
解答： x=[-1:0.0000001:-1e-6];
y=cos(1./x);
plot(x,y)
可以看到，在靠近原点出，函数不断振荡，是没有极限的。
clear
syms x
limit(cos(1/x),x,0)
ans =NaN
没有极限
6、当2,1,9.0=p 时，分别求p 级数 +++++p p p p n 1312111的和。
解答：p=0.9
clear
p=0.9;
syms n
symsum(1/n^p,n,1,inf)
ans =sum(1/n^(9/10), n == 1..Inf)
没有极限
p=1
clear
p=1;
syms n
symsum(1/n^p,n,1,inf)
ans =Inf
p=2
clear
p=2;
syms n
symsum(1/n^p,n,1,inf)
ans =pi^2/6
7、求x e 在1=x 出展开到第4项的泰勒级数。
解答： clear
syms x
taylor('exp(x)',x,1,'Order',4)
ans =exp(1) + exp(1)*(x - 1) + (exp(1)*(x - 1)^2)/2 + (exp(1)*(x - 1)^3)/6。