高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案
人教版 高中数学选修2-3 教案1.3.1二项式定理(含反思)
人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
二项式定理复习教案
二项式定理复习教案三维目标一、知识与技能1．二项式定理：(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+nn C b n (n ∈N*) 2．通项公式：1+k T ＝k n C an-k b k(k ＝0，1，2,…，n) 二、过程与方法 1．理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式．2．能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．三、情感、态度、价值观1．提高学生的归纳推理能力．2．进一步树立由特殊到一般的归纳意识．教学重点、难点重点：1．二项式定理及结构特征，2．展开式的通项公式难点：通项公式的灵活应用。
教学过程例1 .(1)求7)21(x +的展开式的倒数第4项，第4项二项式的系数及第四项系数；(2)7)1(x x -的展开式中x 3的系数． 此类问题一般由通项公式入手分析，要注意项的系数和二项式系数的概念区别．例2.若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A.-540 B.-162 C.162 D.540考查展开式各项系数与二项式系数的不同以及通项公式的应用.例3.设8878710(2)x a x a x a x a -=++++，则8710a a a a ++++= ，86420a a a a a ++++=考查赋值法的应用练习1. 41()n x 的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中不含x 的项是（ ）A 第3项B 。
第4项C 。
第7项 D.第8项2.若5(12)x -的展开式中，第2项小于第1 项且不小于第3项，则x 的取值范围是（ ）A ．110x <-B 。
1010x -<≤C 。
11410x -≤<-D 。
104x -≤≤ 3.在56(1)(1)x x +-+展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．-5 B.5 C.-10 D.104.在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15.则实数a 的值为 。
人教课标版高中数学选修2-3：《二项式定理(第1课时)》教案-新版
1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。
；(2)错误！未找到引用源。
(3)错误！未找到引用源。
2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。
高中数学选修2-3二项式定理教案[整理三套]
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二项式定理教学目标（1）掌握二项式定理及其简单应用；（2）展示二项式定理的推导过程，培养学生类比、归纳及理性思维的能力． 教学重点，难点：二项式定理的发现及理解． 教学过程 一．问题情境1．情境：由多项式的乘法法则可以知道：（1）1()a b a b +=+ （2）222()2a b a ab b +=++； （3）33223()33a b a a b ab b +=+++ （4）4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 2．问题：你能写出*()()n a b n N +∈的展开式吗？ 二．学生活动为了确定*()()n a b n N +∈的展开式，我们必须明确展开式中的项是如何产生的．为此，我们先看2,3n =的情形：22222()()()2a b a b a b a ab ba b a ab b +=++=+++=++．上面展开式中的每一项都是从两个括号中各取一个字母的乘积．322()()()()()()a b a b a b a b a ab ba b a b +=+++=++++32222223322333a a b a b ab ba b a b a b a a b ab b =+++++++=+++由上述过程可以看出，3()a b +展开式中的每一项都是从()()()a b a b a b +++的每个括号里各取一个字母的乘积．就上面四个展开式的项数、每一项的构成等进行研究，探求规律，进而得到猜想：()n a b +=（ ）n a +（ ）1n a b -+（ ）2...n a b -++（ ）n b上述猜想中各项的系数如何确定？ 展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C；恰有1个取b 的情况有1nC 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有nn C 种，n b 的系数是nn C， ∴01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，三．建构数学 1．011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，它有1n +项，各项的系数(0,1,)rnC r n =叫二项式系数，r n r rn C a b-叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n rrr n T C ab -+=．2．(1)nx +的展开式：二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rnn n x C x C x x +=+++++．四．数学运用 1．例题：例1．展开下列各式：（1）6()a b -； （2）41(1)x + 解：（1）6606152423336666()[()]()()()a b a b C a C a b C a b C a b -=+-=+-+-+-4245566666()()()C a b C a b C b +-+-+-654233245661520156a a b a b a b a b ab b =-+-+-+（2）412233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++． 例2．求7(12)x +的展开式中第4项的二项式系数和系数．解：因为7(12)x +的展开式中第4项是3733471(2)T C x -=，所以，第4项的二项式系数为3735C =，系数为3372280C =．例3．求61()2x x -的二项展开式中的常数项．解：设二项展开式中的常数项为第1r +项，即66216611()(1)22r rr r r rr T C x C x x r --+=-=-，根据题意，得 620,3r r -=∴=，所以二项展开式中的常数项为364582C T =-=-． 例4．求（1）6(23)a b +；（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．说明：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同．例5．（1）求9(3x+的展开式常数项；（2）求9(3x 的展开式的中间两项． 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项， 489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=五．回顾小结：二项式定理，二项展开式的通项公式．。
(新人教A版选修2-3)二项式定理教案
（新人教A版选修2-3）二项式定理教案13二项式定理学习目标：1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授类型：新授时安排：1时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2）2．二项展开式的通项公式：3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则二、讲解范例：例1．设，当时，求的值解：令得：，∴，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：．证（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①+②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，∴，．（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，，（2）设展开式中第项系数最大，则，∴，∴，即展开式中第项系数最大，．例4．已知，求证：当为偶数时，能被整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵，∴，∵为偶数，∴设（），∴（），当= 时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除三、堂练习：1．展开式中的系数为，各项系数之和为．2．多项式（）的展开式中，的系数为3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）A4 B 6 D84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A低于％B在％～6％之间在6％～8％之间D在8％以上．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（）A0 B D6．求和：．7．求证：当且时，．8．求的展开式中系数最大的项答案：1 4, 0 2 0 ．提示：3 B4 D 67 (略) 8四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、后作业：1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而展开式的系数的最大的项等于，求的值答案：2．设求：①②．答案：①；②3．求值：．答案：4．设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）；（2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为六、板书设计（略）七、后记：。
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计一、教学目标1.1 知识目标1.了解二项式定理的概念和公式；2.熟练掌握二项式定理的证明过程；3.能够应用二项式定理计算特定问题。
1.2 能力目标1.培养学生的数学分析能力；2.提高学生的解决问题的能力；3.培养学生的数学思维能力。
1.3 情感目标1.增加学生对数学的兴趣、好奇心和求知欲；2.培养学生的耐心和细致的品质；3.提高学生的自信心和自主学习的能力。
二、教学过程2.1 课前准备1.提前准备好课件、板书等教学工具；2.复习前面相关内容；3.提前准备一些设计合理的问题，以便在讲解时引导学生思考。
2.2 导入新课1.通过一些题目或者现实问题引出本节课的学习内容；2.激发学生的思考和好奇心。
2.3 正式学习1.概念讲解：与学生一同分析、理解二项式定理的概念和基本公式；2.公式的证明：让学生自主推导，老师引导分析证明过程、共同探讨、梳理证明过程；3.与实际问题的联系：通过实例引导学生将二项式定理应用到实际问题中。
2.4 拓展练习1.布置合理的习题并进行同步讲解；2.将练习方法与整体教学结合起来，提高学生的解决问题能力。
2.5 课堂小结1.总结本节课的主要内容；2.强调重点和难点，澄清疑惑；3.提出下一步计划和建议。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.二项式定理的概念和基本公式；2.二项式定理的证明过程；3.如何将定理应用到实际问题中。
3.2 教学难点1.二项式定理的证明过程；2.二项式定理的灵活应用。
四、教学评估4.1 教学评估形式1.答题测验；2.随堂问答；3.作业评价。
4.2 教学评估方法1.量化评价：通过答题结果进行客观的量化分析；2.主观评价：通过问答和作业抽查等方式，对学生的表现进行评价。
五、课堂设计理念为了培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，本节课的设计理念是“引导性教学”。
通过数学中的良好思维习惯和方法让学生熟练掌握二项式定理的证明过程和应用方法，不仅有助于扎实掌握数学知识，还有利于培养学生探究问题、解决问题的方法和思路，从而提高学生的数学分析和应用能力。
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)2-31.3二项式定理教学设计
一、教学目的
通过教学设计，让学生了解二项式定理的定义和性质，掌握二项式定理的应用方法，加深对二项式定理的理解和记忆。
二、教学重点
1.二项式定理的定义和性质；
2.二项式定理的应用方法。
三、教学难点
1.二项式定理的应用；
2.数学语言的转化和表述。
四、教学过程
1. 导入（5分钟）
向学生提出以下问题：22，23，24，……，210的结果是多少？请计算。
学生计算之后，教师简要讲解幂的概念，引出二项式定理的概念。
2. 学习1（10分钟）
•教师简述二项式定理的定义和性质；
•鼓励学生在教师提示下完成小组内讨论：如何理解二项式定理的定义和性质？在什么条件下，二项式定理能够被使用？
3. 学习2（30分钟）
•教师给出多个二项式定理的应用实例，供学生进行思考；
•学生和教师一起合作，归纳总结应用二项式定理的方法和步骤；
•学生分组完成书本上的练习题，加深应用二项式定理的能力。
4. 总结（5分钟）
•教师通过示例，要求学生掌握二项式定理的定义、性质和应用理解；
•教师要求学生在课后进行个人思考和总结，梳理知识点和重点应用。
五、教学评价
1.以课堂小组合作完成的讨论题目，展现学生的团队合作精神；
2.根据教师提供的实例，学生能够运用二项式定理进行问题的解答；
3.学生能够熟练地进行数学语言的转化和表述。
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案一、教学目标1.掌握二项式定理的定义和公式2.能熟练运用二项式定理解决实际问题3.培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力二、教学重难点1.二项式定理的定义和公式2.应用二项式定理解决实际问题三、教学内容和方法（一）教学内容1.二项式定理的定义和公式2.二项式系数的基本性质3.应用二项式定理解决实际问题（二）教学方法1.导入新知识，激发学生的学习兴趣。
2.讲究启发式教学，培养学生自学的能力。
3.把握适当的课堂氛围，使学生生动、活泼、轻松学习。
4.多结合实例讲解，使学生感受到知识的实用性。
（三）教学流程1.导入本节课的内容是二项式定理。
请同学们思考一道数学题：（1）(x+y)2=x2+2xy+y2，其中y是多少？2.讲解提示同学们用二项式定理计算题目中的多项式。
3.巩固（1）求(a+b)2; （2）求(a−b)2。
4.练习(1)用二项式定理展开(x+y)3(2)计算(2+3)4−(2−3)45.总结二项式定理是我们在中学数学中常见的一个定理。
这个定理不仅在数学中很重要，在实际生活中也非常有用，可以解决很多生活问题。
四、教学评估1.教师观察学生在课堂上的表现、回答问题的能力和继续发展的兴趣。
2.学生提交的练习和作业。
五、教学反思1.教学方法灵活多变，要充分体现学生的听课积极性。
2.多布置练习和作业，提高学生的学习热情。
3.评估学生的学习情况，及时调整授课内容。
高中数学(二项式定理)教案2 苏教版选修2-3 教案
例1选择题
（1） 的展开式中，第五项是………………………………………（ ）
A. B. C. D.
（2） 的展开式中，不含a的项是第……………………………（ ）项
A.7 B.8 C.9 D.6
（3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）
A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
（4）若 的展开式中的第三项系数等于6，则n等于………………（ ）
A.4 B.4或-3 C.12 D.3
（5）多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是………………………… ………（ ）
A.120 B.-120 C.100 D.-100
例2.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数.
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.
而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”［1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
二项式定理复习课的教学设计
二项式定理复习课的教学设计1、教学内容：高中数学理科选修2-3：《二项式定理复习课》2、教学对象分析：学生高二学习了《二项式定理》的全部内容，对这部分内容有了初步的了解，但遗忘率比较大，对二项式定理的题型已经生疏，因此让学生在老师的指导下，对《二项式定理》进行复习应用，巩固和加深。
在复习的过程中，渗透了《排列组合》等其它的内容，加强了知识点之间的联系，培养学生综合运用知识的能力。
3、教学内容分析:本节内容包括以下几部分：（1）二项式展开式的特点。
（2）二项式展开式项的系数和二项式式系数。
（3）二项式定理的四个应用。
教学目标：（1）知识目标：复习二项式定理，正确理解和区分二项式系数、通项、二项式项的系数等概念，会利用通项公式及二项式系数的性质解决有关计算问题.（2）能力目标：通过讲练结合使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力。
（3）情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
教学重点： 二项式定理的应用教学难点 ： 二项式定理及二项式系数性质的灵活应用教学方法：讲练结合 教学过程：1、知识回顾：(1)二项式定理：=+n b a )( （*N n ∈）.二项式展开式的通项公式为=+1r T .(2)二项式系数：①n b a )(+展开式的二项式系数之和为 ，即=++++++n n k n n n n C C C C ......C 210②奇数项的系数之和等于 的系数之和，即=++...C 20n n C =2、热身练习：（1）（2x+1）4的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．32C ．8D ．48（2）、若n x x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．（3）若9922109...)1(x a x a x a a x ++++=-，则129a a a +++= （ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2（4）1110除以9的余数是 （ ）A.1B.2C.4D.8小结：题型一：求项的系数题型二：求特定项题型三：求展开式系数和题型四：整除问题3、综合例题： 例．已知二项式n x)121(4+（*N n ∈）展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
人教版高中选修2-3《二项式定理》教案
人教版高中选修2-3《二项式定理》教案《人教版高中选修2-3《二项式定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过7天后是星期几?15天后是星期几?怎么算?预期回答：星期一，将问题转化为求“7被7除后算余数”是多少。
问题2：若今天是星期一，再过天后是星期几?怎么算?预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少，也就是研究的展开式是什么?这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
(设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
)2、新授第一步：让学生展开;;问题：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
初步归纳出下式：(※)(设计意图：从特殊到一般，归纳、类比让学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中。
这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。
)继续新授师：为了寻找规律，我们尝试将展开.(设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。
) 问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项?这里的字母各来自哪个括号?问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗?问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?(预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
高中数学选修2-3《二项式定理》复习课教案
二项式定理复习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。
一、教学目标1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极 思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点1、重点：二项式定理及有关概念2、难点：二项式定理的应用三、教学资源课本、复习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能 力。
2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动发展。
五、教学过程（一）教材复习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数：2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n nC C -=(0,1,2,,)r n C r n =（2）增减性与最大值： 先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取 得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值。
高三数学选修2-3(B版)_《二项式定理(第2课时)》参考学案
1、()n a b +=2、1K T +=【合作探究】 1、 试判断102)13(xx +的展开式中有无常数项？如果有，求出该常数项；如果没有，说明理由。
1．二项展开式的通项公式二项展开式中的C k n k kn ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +来表示。
即通项为展开式的第1k +项。
1C k n k kk n T a b -+=。
其中C (0,1,2,,)k n k n =叫做二项式系数。
对于n b a )(-的展开式，其通项公式为 1(1)C k k n k kk n T ab -+=-。
由于其通项一般记为1k T +，所以K 不是项数，1K +才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到K 。
2．二项展开式的通项公式的作用二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。
3．求52)23(++x x 展开式中含x 项的系数。
解法1：[]5252)23()23(++=++x x x x555424581510)23(C )23(C )23(C +++⋅+++⋅+=x x x x x x 。
显然只有5)23(+x 中含有x 项，其系数为 24023C C 44555=⋅⋅⋅。
解法2：由于5552)2()1()23(++=++x x x x)22C 2C )(1C C (54454155454155+⋅++⋅⋅+++++=x x x x x x ∴展开式中含x 项的系数是 24016C C 324545=+。
4．求25(1)(1)x x +-展开式中x 3的系数．解：25(1)(1)x x +-中含x 3的项为331222213525251()()()5C x C x C x C x C x x ⨯-+⋅⋅-+⋅-=故展开式中x 3的系数为5． 【目标检测】 （A 级）（1）11110-能被100整除；证明：∵1)110(1111010-+=-1)110C 10C 10C 10(9108210911010-+⋅++⋅+⋅+= 282109110101010C 10C 10++⋅+⋅+= )110C 10C 10(100621071108++⋅+⋅+= ∴11110-能被100整除。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》高三数学教案《二项式定理》二项式定理说课稿高三第一阶段复习，也称“知识篇”。
在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能;然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。
在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。
对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。
一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：(1)二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。
(2)二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。
(3)二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。
2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。
二、学校情况与学生分析(1)我校是一所镇普通高中，学生的.基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。
但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。
(2)授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低(60﹪)，注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。
三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：(1)理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。
人教A版高中数学选修2-3第一章《二项式定理》教学设计
教法：启发式教学
教具学具：多媒体、学案
课型：新授课
学情分析：这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。
（1）为什么每一项都是 的形式？
（2）为什么含 的项的系数是 ？
=_____________________
(1)展开式中有_____项
(2)各项的次数都等于二项式的指数___
(3)字母 指数的变化规律
_____________________________
(4. 的展开式的第六项的系数是________，第六项的二项式系数是________，常数项是________.
3.在 的展开式中 的系数为________.
教师及时关注学生的完成情况
表扬完成速度快正确率高的同学
投影参考答案后，学生在小组内完成互批互改
当堂检测既能使学生巩固本节课所学的基础知识，又能使教师及时了解学生的掌握情况
教师提出问题
(1)你能快速说出 的结果吗？
(2) 呢？
呢？
教师由此引出课题，板书题目
引导学生详细写出用多项式乘法法则得到 展开式的过程
提醒学生：
（1）借助两个计数原理分析展开式中的项数
（2）联系组合知识，以取b为例
鼓励学生积极踊跃发言，针对学生 的思路做出分析和讲解
教师借助多媒体动画演示全过程后，引导学生完成填一填的内容
课后作业
必做题：《同步练习册》 离散型随机变量的均值 对点练
拓展作业：查阅相关资料，了解杨辉三角
《二项式定理》教案7(新人教A版选修2-3)
《二项式定理》教案一、教学目标1.知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+， ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.（二）引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识．问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.2、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：(1) 合并同类项之前展开式有多少项？(2) 展开式中有哪些不同的项？(3) 各项的系数为多少？(4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式.【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导nb a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依． (三) 形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式．)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a-),1,0(n k =的形式，对于每一项k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．【设计意图】通过仿照3)(b a +、4)(b a +展开式的探究方法，由学生类比得出n b a )(+的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．(四) 熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）1. 项数：共有+n １项.2. 次数：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．各项的次数都等于n ．3. 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210 ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.4. 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b aC -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示. 即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k k n k n b a C - 变一变 （1）n b a )(- （2）n x )1(+例. 求6)12(xx -的展开式. 思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第３项？【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．(五) 课堂小结，课后作业小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）1. 公式： )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业巩固型作业：课本36页习题1.3 A 组 1、2、3思维拓展型作业：二项式系数nn k n n n n C C C C C ,,,,,,210 有何性质． 教案设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以3)(b a +为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n b a )( 的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．。
二项式定理复习课的教学设计
二项式定理复习课的教学设计一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修一第二章《立体几何》中的二项式定理。
二项式定理是指：对于任意正整数n和实数a、b，都有(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n1) b^1 + +C(n,n1)a^1 b^(n1) + C(n,n)a^0 b^n，其中C(n,k)表示从n个不同元素中取k个元素的组合数。
二、教学目标1. 理解二项式定理的定义及其推导过程；2. 掌握二项式定理的应用，能够运用二项式定理解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二项式定理的推导过程及组合数的计算；2. 教学重点：二项式定理的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具：教材、练习本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生思考现实生活中存在的排队问题，如排队买票、排队就餐等，引出组合数的概念。
2. 知识回顾：复习组合数的计算公式，引导学生回顾已学的排列组合知识。
3. 二项式定理的推导：通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程，让学生体会数学的归纳思想。
4. 二项式定理的应用：通过例题，讲解二项式定理在实际问题中的应用，如概率计算、最值问题等。
5. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二项式定理的定义；2. 二项式定理的推导过程；3. 二项式定理的应用示例；4. 组合数的计算公式。
七、作业设计1. 作业题目：教材P47练习题1、2、3；2. 答案：待学生完成作业后，教师批改并给予反馈。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学效果，学生对二项式定理的理解和应用程度；2. 拓展延伸：引导学生思考二项式定理在更广泛领域中的应用，如计算机科学、工程学等。
重点和难点解析一、教学难点：二项式定理的推导过程及组合数的计算1. 难点解析：二项式定理的推导过程涉及到数学归纳法，学生可能对归纳法的理解和应用存在困难。
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教案-新版
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力.2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用.4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习自测1.错误！未找到引用源。
的展开式中，常数项为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
解：D2.错误！未找到引用源。
的展开式中常数项为．（用数字作答）解：-423.若错误！未找到引用源。
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的系数为错误！未找到引用源。
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．解：2（二）课堂设计1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）错误！未找到引用源。
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2．二项展开式的通项公式：错误！未找到引用源。
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对错误！未找到引用源。
的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性2．问题探究问题探究一●活动一认知杨辉三角在n(+展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？a)b()1ba+()2ba+()3ba+()4ba+()5ba+()6ba+仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？二项式系数表（杨辉三角）错误！未找到引用源。
展开式的二项式系数，当错误！未找到引用源。
依次取错误！未找到引用源。
…时，二项式系数表，表中每行两端都是错误！未找到引用源。
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以外的每一个数都等于它肩上两个数的和●活动二函数观点认知二项式系数设函数()r n Crf=的函数图象，观察f=，这个函数的定义域是怎样的？试以n＝6为例作出()r n Cr函数图像，你能说出它的哪些性质？错误！未找到引用源。
新人教A版数学-选修2-3-教案：二项式定理
二项式定理学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 [来源:] 教学过程： 一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，[来源:]令1x =，则0122n rnn n n n n C C C C C =++++++二、讲解范例：例1． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nn n n n C C C nC ++++ ①又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ②∵r n rn n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==， [来源:]由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++，∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅．例3．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=，[来源:Z|xx|] 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴222992nn -=，5n =．[来源:]（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==，[来源:Z_X_X_K] （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r rrr rr r T C x x C x+-+==，[来源:]∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例4．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81kk =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++-- 011228(88)8k k k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除 三、课堂练习：1．()()4511x x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）[来源:] A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)nx +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n nnn n n n n a a a a a C C C C C a a a aa+------+-++------．[来源:]7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5. D6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1．已知2(1)na +展开式中的各项系数的和等于52165x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：3a =±2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++．答案：①9319683=； ②()953399632+=[来源:]3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．答案：82256=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6313652+= 六、板书设计（略） 七、课后记：希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。
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二项式定理复习课
教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§5.1
《二项式定理》
考纲要求及高考动向：
2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项以及展开式中的系数和等问题。
一、教学目标
1、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；
2、思想方法目标：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极 思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点
1、重点：二项式定理及有关概念
2、难点：二项式定理的应用
三、教学资源
课本、复习资料、电脑、多媒体平台
四、教法与学法
1、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导思考”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着积极的方向思维，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能 力。
2、学法：根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生积极参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动发展。
五、教学过程
（一）教材复习
1.二项式定理01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈
（1）展开式中共有n+1项
（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项
（3）二项式系数： 2．二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=
（2）增减性与最大值： 先增再减；当是偶数时，中间一项2n
n
C 取 得最大值；当是奇数时，中间两项1
2n n C -，1
2n n C +取得最大值。
(0,1,2,,)
r n C r n =(0,1,2,,)r n C r n =
（3）各二项式系数和：由1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，得
0122n r n n n n n n C C C C C =++++++
（二）考点解析
考点1.求展开式中系数和
例1.已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++，则
（1）1237...a a a a ++++=_________
（2）01237...a a a a a -+-+-=__________
引申：
（3）2202461357()()a a a a a a a a +++-+++=__________
（4）0127a a a a ++++=__________
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因此对特殊值仍然成立。
这是求二项式系数和的基础。
常采用的方法是“赋值法”,它普遍用于恒等式,是一种重要的方法。
考点2.通项公式的应用
例2．在84)21(x x +
的展开式中， （1）
是否存在常数项； （2）
求含 的项及该项的二项式系数； （3）
求所有的有理项； （
4）
求系数最大的项。
变式：
100展开式中所有的有理项有_________个。
方法点评:例2及其变式、练习属于求二项式的指定项的一类重要问题,它的解法主要是利用通项公式，设第r+1项为所求指定项，然后根据已知条件列出方程, 利用方程的思想解题。
其中第（2）问要注意“二项式系数”和“项的系数”的区别。
思考题： 当*
3n n N ≥∈且时，试证21211n n n n ->++。
（三）本节课小结：
1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数和问题;
2.学会利用二项展开式的通项解决一些与特定项有关的问题。
六、作业布置
1.必做题：《创新设计》P183基础自测
12x -
2.选做题：《创新设计》P350选做题1，3
七、教学反思
这节课是一节高三备考复习课，所以“怎样才能使复习课的教学生动有趣”以及“怎样才能使得学生在这节课上获得主动”是我一直反思的问题。
经过反复思考，我想复习课的内容是学生已经学过的内容，那就不如将整节课的例题及引申变式都交给学生自己来练、来讲。
因为只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养学生思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力。
因此本节课课堂教学具有很明显的以学生为主体，体现主体参与的教学特点，起到了较好的教学效果。
《二项式定理复习课》教案说明
这节课是一节高三备考复习课，复习课的内容自然是学生已经学过的内容，为了使复习课的教学更加生动有趣，使学生在这节课上学得更加主动一些，本节课的所有内容都几乎交给了学生自己来讲、来练、来思考，老师以引导为主。
具体安排如下：
1.教材复习这一环节是以填空的形式让学生一起回顾二项式定理的相关知识点。
2.考点解析这一部分是通过例题及其引申、变式对考点进行进一步的理解、加深与巩固。
（1）例题1的第（1）（2）问相对比较基础但也容易出错，课堂教学中是让学生独立完成，然后找一位学生起来回答，并指出其容易出错的地方，教育学生要细心。
（2）例题1的引申即第（3)(4)问相对比较灵活，若方法不当则会造成计算量较大的情况出现。
所以这两问我是让学生先独立思考，然后分组讨论，相互学习，最后找一组派个代表上讲台讲解，老师点评，并教育学生在我们平时的生活中要发扬团结合作精神。
（3）例题2及其变式在课堂教学中是一问一问给出，层层递进，让学生独立完成。
特别是第（4）问的计算是一个难点，因此在这个地方给了学生较多的时间。
（4）思考题在本节课主要起到两个作用，一是让解题快的学生在做完例题2第（4）问后不会无事可做，二是培养学生的创造、发散思维能力。
这节课的教案本着让学生自己动脑、动手、动口的思想进行设计，意在培养学生的思维能力、计算能力、表达能力、团结合作能力、分析问题解决问题能力。