多边形的镶嵌

综合与实践：多边形的镶嵌教学设计

教学目标

1、了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.

2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六变形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计..

3、经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发培养学生的创新思维,培养学生动手操作，自主探索的能力.

4、使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。

教学内容分析

从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，通常把这类问题叫做多边形的平面镶嵌。

学情分析

学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识，学生要经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。

教学过程

生活中数学知识处处可见，学习数学要能把生活知识数学化，也要能把数学知识生活化。生活中常见的地板、地砖、墙砖的铺设，或实用，或简洁，或美观，或有趣。接下来让我们先欣赏生活中的场景。

欣赏

理解

以上地砖、地板的铺设蕴含着怎样的数学知识呢？

地砖，地板我们可以抽象成数学中的平面图形——多边形。我们对多边形进行平移，旋转，先在多边形的某个顶点“绕铺”，然后展开。地板、地砖分正反面，这里不能使用翻折（轴对称变换）,翻折使正反面不一致。是不是所有的多边形都可以通过平移、旋转“绕铺”、展开呢？我们先看如下正多边形的问题。

一、正方形的镶嵌

1、绕正方形一顶点“绕铺”： （1）平移法 如图所示：

（2）旋转法

如图所示：

2、通过整体平移展开 如图所示：

A

A

D A

依向量DC 平移

D

D

依向量AF 平移

GA 平移

二、正六边形镶嵌 1、平移法

2、旋转法

三、正五边形镶嵌

正五边形通过平移是不可能使边和边重合的，考虑旋转法。如图所示：

为什么正方形，正六边形可以绕一顶点铺满，而正五边形不可以呢？ 正方形：90°+90°+90°+90°=360° 正六边形：120°+120°+120°=360°

正五边形：108°+108°+108°=324°<360°(未铺满)

108°+108°+108°+108°=432°>360°（有重叠）

绕一点围绕铺满的条件：以该点为顶点的所有“单个角”（角的内部不再有角）的和为360度。

这里试图用文字和图示把正方形，正六边形，正五边形围绕某一顶点的“绕铺”，通过整体平移展开两问题讲清楚，显得冗长无味，实际教学中运用几何画板(超链接几何画板动画）制作了围绕某点“绕铺”，整体平移展开的动画，让学生在几秒钟内就看清了“绕铺”“展开”的过程，注重了数学知识的生成过程，增强了数学知识的直观性，提高了数学课堂的效率，也激发了学生学习数学的兴趣（在实际上课中听到了学生的惊叹声）。有了正多边形的镶嵌经验再来探究一般多边形的镶嵌问题。

四、一般三角形的镶嵌探究

正多边形每个内角的度数是相同的，每边的长度也是相同的，这为边与边的重合，围绕某点的“绕铺”，提供了极大地方便，一般的三角形能否“绕铺”“展开”呢？一般的三角形每个内角的度数是不相同的，每边的长度也是不相同的，如何实现边边的重合，内角在一顶点围成360°呢？

正六边形ABCDE 依向量AE 平移 正六边形ABCDE 依向量BF 平移

F

F

绕BC 中点O 顺时针旋转180度

ABCDEF 绕AB 中

点P 顺时针旋转

180度

正五边形ABCDE 绕BC 中点O 顺时针旋转180度

1、三角形围绕一点的“绕铺” 旋转、平移法

三角形通过绕某边的中点旋转180°（使该边和自身重合，实现边边重合），形成平行四边形，平行四边形通过平移即可轻松绕点铺满。过程如图所示：（几何画板课件截图）

这样就可以用一般三角形围绕某点“绕铺”后展开，展开不再截图说明。

五、一般四边形的镶嵌探究 1、四边形围绕一点的“绕铺”

如图所示：四边形ABCD 绕BC 中点O 顺时针旋转180°，使线段CB 与线段BC 重合，∠C 的顶点C 与点B 重合，在顶点B 处获得∠B 与∠C 的和；四边形ABCD 绕AB 中点P 顺时针旋转180°，使线段AB 与线段BA 重合, ∠A 的顶点A 与点B 重合,在顶点B 处获得∠B,∠C 与∠A 的和；四边形ABCD 整体依向量DB 平移，使∠D 的顶点D 与点B 重合, 在顶点B 处获得∠B,∠C,∠A 与∠D 的和，四边形的内角和是360°，正好铺满。

这样就解决了任意四边形围绕一点的“绕铺”问题。 2、通过整体平移展开 如图所示：（几何画板课件截图）

A A A 绕BC 中点O 顺时

针旋转180度

CA 平移

AB 平移

四边形ABCD 绕AB 中点顺时针旋转180度

四边形ABCD 绕BC 中点O 顺时针旋转180度

四边形ABCD 整体依向量DB 平移

图形整体依向量AG 平

练习与测试

1、收集生活中的各种镶嵌地板，地砖，墙壁、墙纸的图案，把它们复制下来与同学交流，并研究它们的构成和拼接方法.

2、请你分别按下列要求设计一个多边形的镶嵌图案：

（1）只用一种正多边形；

（2）同时用两种正多边形；

（3）用一种非正多边形.

配套学习资料：沪科版数学八年级下册

学习指导

学生要经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。

制作技术

本视频采用Camtasia Studio制作，课件用几何画板制作，文档用wps2016制作.