第四章 因素模型
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投资学第5章
练习四
假设你持有一个由大量证券构成的风险充分 分散化的组合，并且单指数模型成立。如果 你的组合的标准差是0.22，市场组合的标准 差是0.18，则你这个组合的β 值是多少？
期望收益率 r f 1 市场风险收益
2 与规模相关的风险收益 3 账面 市值比风险收益
投资学第5章
三因素中
市场指数用来把握源于宏观经济因素的系统风
险
SMB和HML不是直接的风险因素，只是未知
的风险因素的代理变量
投资学第5章
二、CAPM与APT
6
8
为阐明图中反映的数量关系，用一元回归分析做一 条直线来拟合图中的点。则直线的回归方程为:
Ri=4% +2GDP
较高的预期GDP与较高的证券收益率相关联 证券的实际回报率由于含有非因素回报，位于拟合 直线的上方或下方。因此对二者关系的完整描述为：
rt 4% 2 I GDPt et
市场模型实际上是单因素模型的一个特例
R i= α i+ b iR m+ e i
其中：ai = 证券i的常数回报； ei= 实际回报和给定市场回报时的预期回报 之间的差
投资学第5章
五、因素模型的估计（时间序列法）
下表反映了公司i的股票收益率ri 和ＧＤＰ增长率（简记 为因子Ｇ）和通胀率（简记为因子I）６年的统计情况 年度 １ 2 3 4 5 6 Ｇ 5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9 Ｉ 1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
2 f1 2 f2
投资学第5章
利用多元线性回归分析的知识和前面的例子 ，把G和I的影响都考虑在内，得到：
ri ai bi1G bi 2 I ei
线性回归后可算出 ai 5.8%, bi1 2.2, bi 2 0.7 ， 用第六年的实际数据代入，可算出公司的预期收益 是10%，则企业非系统性因子所产生的影响是３％。
两部分来解释
证券i 的实际收益率 = 初始期望收益率 + 未
预料到的宏观因素变动带来的收益偏离 + 未
预期到的公司特定事件引起的收益偏离
投资学第5章
五、单因素模型与CAPM的关系
单因素模型中，股票i的收益与市场指数收 益间的协方差为：
Cov(Ri，RM)= Cov(a+iRM+ei，RM)
= Cov(a，RM)+ iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) = i σ 2M
2 f ，共n＋1
个估计值
若n＝50，前者为1225，后者为51
投资学第5章
第三节 多因素模型（multifactor models）
当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因 素模型，多因素模型更清晰明确地解释了系统风险， 这可能会使精确性得以提高
单指数模型中，把系统风险归因于单一因素过于简单、笼
投资学第5章
二、单因素模型的一般形式
一般地，单因素模型认为有一个因素F对证券 收益产生广泛影响，这种影响力通过建立如下 方程来反映：
ri ai bi f ei
（5.1）
其中：
f是共同因素的预期值 ei为证券i的特有回报
ai为零因子
bi是证券i对共同因素 f的敏感度 投资学第5章
投资学第5章
二、多因素模型：一般化的描述
收益率与 m种因素的的线性关系：
ri a bij f j ei
j 1
m
其中，i 1,..., n; j 1,..., m
E[ei ] 0, cov(ei , f j ) 0 cov(ei , ek ) 0, i k
投资学第5章
可得：
i= Cov(Ri，RM)/σ2M
投资学第5章
单因素模型与CAPM模型的β含义相同
CAPM对应着a=0时的单指素模型
投资学第5章
五、因素模型的理论贡献
讨论了资产的风险来源，对投资中的风险管理有 借鉴意义
在组合理论的基础上发展起来，大大简化了其计 算量，有利于其实际运用
采用了简化的数学公式来表达证券收益的影响因 素，便于进行实证分析，也推动了金融计量经济 理论的发展
cov(ei , f1 ) 0,cov(ei , f 2 ) 0
投资学第5章
证券i的期望 回报率：
ri ai bi1 f1 bi 2 f 2
证券i对因素1的敏感度 其回报率的方差：
b b 2bi1bi 2 cov( f1 , f 2 )
2 i 2 i1 2 f1 2 i2 2 f2
素或指标的运动有关的经济模型，又称指数模型
因素模型建立在证券关联性的基础上,它认为证券
间的关联性是由于其受某些共同因素的影响
基本思想：抓住这些系统影响证券收益率的因素， 并精确地量化证券收益对其的敏感程度，并用一 种线性关系来表达这些因素与证券收益率间的关 系
投资学第5章
因素模型提供了关于证券回报率生成过程 的新视点
预期的回报
E( ft t 1 ) 0
因素的意外变化（共同因 素对其预期值的偏离）
投资学第5章
若市场有效，则t-1时刻信息无法预测t时刻的因 素值，即f 随机变动，是不可预测的！
E( ft t 1 ) 0
投资学第5章
总结
若f代表着该因素未预期到的变化，则：
证券回报可用预期到的回报和未预期到的回报
投资学第5章
练习一
1、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个 投资基金分析了450只股票，希望从中找出均方有 效有效组合。它需要计算（ ）个期望收益和（ ） 个方差。
2、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个 投资基金分析了120只股票，希望从中找出均方有 效有效组合。它需要计算（ ）个协方差。
投资学第5章
2 ei
对于证券i和j，其协方差为：
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi1 f1 bi 2 f 2 ei ,
a j b j1 f1 b j 2 f 2 e j )
bi1bj1 bi 2bj 2 (bi1bj 2 bi 2bj1 )cov( f1, f2 )
投资学第5章
练习二
假设股票的市场收益遵从单指数结构。一个 投资基金分析了250只股票，希望从中找出 均方有效组合。它需要计算（ ）个期望收 益估计值的，以及（ ）个对宏观经济因素 的敏感性系数的估计值。
投资学第5章
练习三
考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为0%， 市场指数的收益为12%，无风险收益率为5%， 尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票 的收益仍超出无风险收益率7%。则该股票的 β值是多少？
投资学第5章
将清华同方收益率对指数收益率进行回归，得回归 方程为：
RTF = -0.11 + 0.36RM + eTF 将这12组数据代入上式进行回归，得到结果如下：
投资学第5章
截距为-0.11%，斜率为0.36。残值的方差反映了清华同方 公司特有因素对其收益的影响，R2表示的是rI与rM之间的 相关性的平方，它是总方差上的系统方差，它说明公司股 价的小量波动是由市场波动造成的
投资学第5章
ri
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
假设证券的回报率生成过程仅包含一个因 素，例如认为证券的回报率与预期GDP的 增长率有关
投资学第5章
这一关系可用下面的图形表示，图上每一点 表示在给定年份i的回报率与GDP增长率
•
• • • •
24 20 16 12 8 4 2 4
投资学第5章
作业： 请选择我国市场上的一只股票，应用市场模 型对其贝塔值进行估计。
投资学第5章
五、单因素模型的优点
以一种简单的方式来计算协方差，可大大简化均 值-方差模型中的计算量 假定需分析n种股票组合，则
均值－方差模型： (n2-n)/2个协方差 单因素模型：n个bi ，一个因素f 方差
Ri=αi+ iIPIP + iEIEI + iUIUI + iCGCG + igbGB + ei
投资学第5章
四、特殊的单因素模型
当因素f被看作共同因素的非预期变化，则：
f 的期望值为零
α可视为证券的期望收益
模型演变成了一个特殊的因素模型
ri ri bi f ei
投资学第5章
ri ai biG ei
从方程中可看出，任何一个证券的收益由三部分构 成：
αi：宏观因素值为零时的期望收益
biG：系统性风险收益 ei：是与GDP无关因素的作用，是非系统性风险收益
投资学第5章
线性回归法估计β值
以清华同方为例，应用市场模型对贝塔值进行估计。 原始数据见下表，估算期为1年。
证券风险取决于两部分：依赖于因素变化的部分和 不依赖于因素变化的部分
投资学第5章
证券i的总风险
bi
2 i 2 2 f
证券i非因 素风险
2 ei
证券i因素 风险
组合的总风险
b
2 p 2 p 2 F
投资学第5章
2 ep
在单因素模型中，计算证券间的协方差 变得十分简单：
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi f ei , a j b j f e j )
bi b j
2 f
可见：两个公司收益率的相关性 的唯一来源就是它们共同依赖的 宏观经济因素
投资学第5章
四、市场模型——夏普单指数模型
在实际应用中，常用证券市场指数来作为影响证券 价格的单因素，此时的单因素模型被称为市场模型
三、因素选择
主要考虑对证券收益有较强解释能力的宏 观经济因素及那些与投资者关系密切的因 素 两个典型的多因素模型
投资学第5章
法马与弗伦奇的3因素模型 罗尔和罗斯的5因素模型：
5因素为：行业生产增长率IP；预期通胀率EI；非预期
通胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG 和长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：
以不特定的一个或多个变量来解释证券的收
益
依据因素的数量，可分为单因素模型和多 因素模型
投资学第5章
第二节 单因素模型
2010年@贺莉萍
投资学第5章
一、单因素模型概述
单因素模型假设只有单个系统因素影响证券收
益，或者说其它因素的影响并不显著。并进一
步假设其余的不确定性是公司所特有的
如可以建立以宏观经济指标变化（ GDP的预期增 长率）为自变量，以证券回报率为因变量的单 因素模型
随机误差项的期望值为零
E[ei ] 0
随机误差项与共同因素F不相关 不同证券的随机误差项不相关
否则随机误差项不完全代表非系统风险
投资学第5章
证券i的期望收益率为：
ri ai bi f
其回报率的方差
因素风险
（5.2）
非因素风险
bi
2 i 2 2 f
2 ei
统，单因素模型仅是一个便于大家理解的简化模型
Hale Waihona Puke Baidu
作为多因素模型的一个例子，我们先考虑一个两因素
模型，这意味着假设收益率生成过程中包含有两个因
素
投资学第5章
一、两因素模型
收益率与两因素的线性关系：
ri ai bi1 f1 bi 2 f 2 ei
其中，E[ei ] 0, cov(ei , e j ) 0
第四章
投资理论：因素模型
2010年@贺莉萍
投资学第5章
第一节 引子
法玛与弗兰齐 (K. French)等人对 CAPM 提出 了批评
他们认为，单以市场收益率来刻划股票收益率，不
足以解释股票收益率的各种变化，应引入新的解释 变量
投资学第5章
一、Fama-French 三因素模型
大量研究表明，股票收益除与指数相关外，还与上 市公司的一些特征相关。小市值股票和高帐面价值市值比股票的收益率系统性地较高
因素模型中的“因素”是指系统影响所有证 券价格的经济因素 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题： 一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是 细分影响总体市场环境的宏观因素，如经济 增长、通胀率、利率等具体带来风险的因素
以回归分析得单因素模型
投资学第5章
三、单因素模型下的风险计算
重要的基本假设：
CAPM非常直观地表达了风险收益的特征关系，是一 种理论上相当完美的模型，但实际应用中存在困难 Ross在1976年建立的APT理论，从另一角度探讨了 资产定价问题
最优投资组合理论+市场均衡=CAPM； 因素模型+无套利=APT
投资学第5章
三、APT模型的逻辑起点― 因素模型
因素模型：是一种假设证券回报率是与不同的因
练习四
假设你持有一个由大量证券构成的风险充分 分散化的组合，并且单指数模型成立。如果 你的组合的标准差是0.22，市场组合的标准 差是0.18，则你这个组合的β 值是多少？
期望收益率 r f 1 市场风险收益
2 与规模相关的风险收益 3 账面 市值比风险收益
投资学第5章
三因素中
市场指数用来把握源于宏观经济因素的系统风
险
SMB和HML不是直接的风险因素，只是未知
的风险因素的代理变量
投资学第5章
二、CAPM与APT
6
8
为阐明图中反映的数量关系，用一元回归分析做一 条直线来拟合图中的点。则直线的回归方程为:
Ri=4% +2GDP
较高的预期GDP与较高的证券收益率相关联 证券的实际回报率由于含有非因素回报，位于拟合 直线的上方或下方。因此对二者关系的完整描述为：
rt 4% 2 I GDPt et
市场模型实际上是单因素模型的一个特例
R i= α i+ b iR m+ e i
其中：ai = 证券i的常数回报； ei= 实际回报和给定市场回报时的预期回报 之间的差
投资学第5章
五、因素模型的估计（时间序列法）
下表反映了公司i的股票收益率ri 和ＧＤＰ增长率（简记 为因子Ｇ）和通胀率（简记为因子I）６年的统计情况 年度 １ 2 3 4 5 6 Ｇ 5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9 Ｉ 1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
2 f1 2 f2
投资学第5章
利用多元线性回归分析的知识和前面的例子 ，把G和I的影响都考虑在内，得到：
ri ai bi1G bi 2 I ei
线性回归后可算出 ai 5.8%, bi1 2.2, bi 2 0.7 ， 用第六年的实际数据代入，可算出公司的预期收益 是10%，则企业非系统性因子所产生的影响是３％。
两部分来解释
证券i 的实际收益率 = 初始期望收益率 + 未
预料到的宏观因素变动带来的收益偏离 + 未
预期到的公司特定事件引起的收益偏离
投资学第5章
五、单因素模型与CAPM的关系
单因素模型中，股票i的收益与市场指数收 益间的协方差为：
Cov(Ri，RM)= Cov(a+iRM+ei，RM)
= Cov(a，RM)+ iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) = i σ 2M
2 f ，共n＋1
个估计值
若n＝50，前者为1225，后者为51
投资学第5章
第三节 多因素模型（multifactor models）
当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因 素模型，多因素模型更清晰明确地解释了系统风险， 这可能会使精确性得以提高
单指数模型中，把系统风险归因于单一因素过于简单、笼
投资学第5章
二、单因素模型的一般形式
一般地，单因素模型认为有一个因素F对证券 收益产生广泛影响，这种影响力通过建立如下 方程来反映：
ri ai bi f ei
（5.1）
其中：
f是共同因素的预期值 ei为证券i的特有回报
ai为零因子
bi是证券i对共同因素 f的敏感度 投资学第5章
投资学第5章
二、多因素模型：一般化的描述
收益率与 m种因素的的线性关系：
ri a bij f j ei
j 1
m
其中，i 1,..., n; j 1,..., m
E[ei ] 0, cov(ei , f j ) 0 cov(ei , ek ) 0, i k
投资学第5章
可得：
i= Cov(Ri，RM)/σ2M
投资学第5章
单因素模型与CAPM模型的β含义相同
CAPM对应着a=0时的单指素模型
投资学第5章
五、因素模型的理论贡献
讨论了资产的风险来源，对投资中的风险管理有 借鉴意义
在组合理论的基础上发展起来，大大简化了其计 算量，有利于其实际运用
采用了简化的数学公式来表达证券收益的影响因 素，便于进行实证分析，也推动了金融计量经济 理论的发展
cov(ei , f1 ) 0,cov(ei , f 2 ) 0
投资学第5章
证券i的期望 回报率：
ri ai bi1 f1 bi 2 f 2
证券i对因素1的敏感度 其回报率的方差：
b b 2bi1bi 2 cov( f1 , f 2 )
2 i 2 i1 2 f1 2 i2 2 f2
素或指标的运动有关的经济模型，又称指数模型
因素模型建立在证券关联性的基础上,它认为证券
间的关联性是由于其受某些共同因素的影响
基本思想：抓住这些系统影响证券收益率的因素， 并精确地量化证券收益对其的敏感程度，并用一 种线性关系来表达这些因素与证券收益率间的关 系
投资学第5章
因素模型提供了关于证券回报率生成过程 的新视点
预期的回报
E( ft t 1 ) 0
因素的意外变化（共同因 素对其预期值的偏离）
投资学第5章
若市场有效，则t-1时刻信息无法预测t时刻的因 素值，即f 随机变动，是不可预测的！
E( ft t 1 ) 0
投资学第5章
总结
若f代表着该因素未预期到的变化，则：
证券回报可用预期到的回报和未预期到的回报
投资学第5章
练习一
1、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个 投资基金分析了450只股票，希望从中找出均方有 效有效组合。它需要计算（ ）个期望收益和（ ） 个方差。
2、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个 投资基金分析了120只股票，希望从中找出均方有 效有效组合。它需要计算（ ）个协方差。
投资学第5章
2 ei
对于证券i和j，其协方差为：
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi1 f1 bi 2 f 2 ei ,
a j b j1 f1 b j 2 f 2 e j )
bi1bj1 bi 2bj 2 (bi1bj 2 bi 2bj1 )cov( f1, f2 )
投资学第5章
练习二
假设股票的市场收益遵从单指数结构。一个 投资基金分析了250只股票，希望从中找出 均方有效组合。它需要计算（ ）个期望收 益估计值的，以及（ ）个对宏观经济因素 的敏感性系数的估计值。
投资学第5章
练习三
考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为0%， 市场指数的收益为12%，无风险收益率为5%， 尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票 的收益仍超出无风险收益率7%。则该股票的 β值是多少？
投资学第5章
将清华同方收益率对指数收益率进行回归，得回归 方程为：
RTF = -0.11 + 0.36RM + eTF 将这12组数据代入上式进行回归，得到结果如下：
投资学第5章
截距为-0.11%，斜率为0.36。残值的方差反映了清华同方 公司特有因素对其收益的影响，R2表示的是rI与rM之间的 相关性的平方，它是总方差上的系统方差，它说明公司股 价的小量波动是由市场波动造成的
投资学第5章
ri
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
假设证券的回报率生成过程仅包含一个因 素，例如认为证券的回报率与预期GDP的 增长率有关
投资学第5章
这一关系可用下面的图形表示，图上每一点 表示在给定年份i的回报率与GDP增长率
•
• • • •
24 20 16 12 8 4 2 4
投资学第5章
作业： 请选择我国市场上的一只股票，应用市场模 型对其贝塔值进行估计。
投资学第5章
五、单因素模型的优点
以一种简单的方式来计算协方差，可大大简化均 值-方差模型中的计算量 假定需分析n种股票组合，则
均值－方差模型： (n2-n)/2个协方差 单因素模型：n个bi ，一个因素f 方差
Ri=αi+ iIPIP + iEIEI + iUIUI + iCGCG + igbGB + ei
投资学第5章
四、特殊的单因素模型
当因素f被看作共同因素的非预期变化，则：
f 的期望值为零
α可视为证券的期望收益
模型演变成了一个特殊的因素模型
ri ri bi f ei
投资学第5章
ri ai biG ei
从方程中可看出，任何一个证券的收益由三部分构 成：
αi：宏观因素值为零时的期望收益
biG：系统性风险收益 ei：是与GDP无关因素的作用，是非系统性风险收益
投资学第5章
线性回归法估计β值
以清华同方为例，应用市场模型对贝塔值进行估计。 原始数据见下表，估算期为1年。
证券风险取决于两部分：依赖于因素变化的部分和 不依赖于因素变化的部分
投资学第5章
证券i的总风险
bi
2 i 2 2 f
证券i非因 素风险
2 ei
证券i因素 风险
组合的总风险
b
2 p 2 p 2 F
投资学第5章
2 ep
在单因素模型中，计算证券间的协方差 变得十分简单：
ij cov(ri , rj ) cov(ai bi f ei , a j b j f e j )
bi b j
2 f
可见：两个公司收益率的相关性 的唯一来源就是它们共同依赖的 宏观经济因素
投资学第5章
四、市场模型——夏普单指数模型
在实际应用中，常用证券市场指数来作为影响证券 价格的单因素，此时的单因素模型被称为市场模型
三、因素选择
主要考虑对证券收益有较强解释能力的宏 观经济因素及那些与投资者关系密切的因 素 两个典型的多因素模型
投资学第5章
法马与弗伦奇的3因素模型 罗尔和罗斯的5因素模型：
5因素为：行业生产增长率IP；预期通胀率EI；非预期
通胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG 和长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：
以不特定的一个或多个变量来解释证券的收
益
依据因素的数量，可分为单因素模型和多 因素模型
投资学第5章
第二节 单因素模型
2010年@贺莉萍
投资学第5章
一、单因素模型概述
单因素模型假设只有单个系统因素影响证券收
益，或者说其它因素的影响并不显著。并进一
步假设其余的不确定性是公司所特有的
如可以建立以宏观经济指标变化（ GDP的预期增 长率）为自变量，以证券回报率为因变量的单 因素模型
随机误差项的期望值为零
E[ei ] 0
随机误差项与共同因素F不相关 不同证券的随机误差项不相关
否则随机误差项不完全代表非系统风险
投资学第5章
证券i的期望收益率为：
ri ai bi f
其回报率的方差
因素风险
（5.2）
非因素风险
bi
2 i 2 2 f
2 ei
统，单因素模型仅是一个便于大家理解的简化模型
Hale Waihona Puke Baidu
作为多因素模型的一个例子，我们先考虑一个两因素
模型，这意味着假设收益率生成过程中包含有两个因
素
投资学第5章
一、两因素模型
收益率与两因素的线性关系：
ri ai bi1 f1 bi 2 f 2 ei
其中，E[ei ] 0, cov(ei , e j ) 0
第四章
投资理论：因素模型
2010年@贺莉萍
投资学第5章
第一节 引子
法玛与弗兰齐 (K. French)等人对 CAPM 提出 了批评
他们认为，单以市场收益率来刻划股票收益率，不
足以解释股票收益率的各种变化，应引入新的解释 变量
投资学第5章
一、Fama-French 三因素模型
大量研究表明，股票收益除与指数相关外，还与上 市公司的一些特征相关。小市值股票和高帐面价值市值比股票的收益率系统性地较高
因素模型中的“因素”是指系统影响所有证 券价格的经济因素 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题： 一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是 细分影响总体市场环境的宏观因素，如经济 增长、通胀率、利率等具体带来风险的因素
以回归分析得单因素模型
投资学第5章
三、单因素模型下的风险计算
重要的基本假设：
CAPM非常直观地表达了风险收益的特征关系，是一 种理论上相当完美的模型，但实际应用中存在困难 Ross在1976年建立的APT理论，从另一角度探讨了 资产定价问题
最优投资组合理论+市场均衡=CAPM； 因素模型+无套利=APT
投资学第5章
三、APT模型的逻辑起点― 因素模型
因素模型：是一种假设证券回报率是与不同的因