应用数理统计,施雨,课后答案,

习题1

1.1 解：由题意95.01=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧<--u x p 可得：

95.0=⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-σσn n u x p

而

()1,0~N u x n σ

⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 这可通过查N(0,1)分布表，975.0)95.01(2195.0=-+=⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--σσn n u x p 那么

96.1=σ

n

∴2296.1σ=n

1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。

{}2.10015.0800

0015.00800

|

e 0015.0800--∞

+-=∞

+-==>⎰e e dx x p x x 那么有6个元件，则所求的概率()

2.76

2

.1--==e e p

(2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时

{}5.430000

0015.03000

0015.001|e 0015.03000----=-==<⎰

e e dx x p x 那么有6个元件，则所求的概率()

6

5.41--=e p

1.3

解: (1) 123{(,,)|0,1,2,

,1,2,3}k x x x x k χ===

因为~()i X P λ,所以 112233{,,}P X x X x X x ≤≤≤

112233{}{}{}P X x P X x P X x =≤≤≤1233123!!!

x x x e x x x ++-λ

λ=

其中,0,1,2,

,1,2,3k x k ==

(2) 123{(,,)|0;1,2,3}k x x x x k χ=≥=

因为~()i X Exp λ,其概率密度为,0

()0,0

x e x f x x -λ⎧λ≥=⎨ <⎩

所以, 123(,,)

3

123(,,)x x x f x x x e

-λ=λ,其中0;1,2,3k x k ≥=

(3) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x a x b k χ=≤≤=

因为~(,)i X U a b ,其概率密度为1

,()0,|a x b f x b a x a x b

⎧≤≤⎪

=-⎨⎪ <>⎩

所以,1233

1

(,,)()

f x x x b a =

-,其中;1,2,3k a x b k ≤≤= (4) 123{(,,)|;1,2,3}k x x x x k χ=-∞<<+∞= 因为~(,1)i X N μ,

其概率密度为(2

(),()x f x x 2

-μ)-

=

-∞<<+∞

所以,3

1

1

(212332

1(,,)(2)k k x f x x x e π2=-

-μ)∑=

,其中;1,2,3k x k -∞<<+∞=

1.4解：由题意可得：()⎪⎩

⎪⎨⎧∞

<<=--，其它00,21)(i 2ln i i 2

2

i x e x x f u x σσπ

则∏

==

n

i x f x x f 1

i n i )(),...(＝⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∞<<∏=∑--=，其它0,...1,0,1

n )2()(ln 212n 1

2

i 2

i x x e i n i i u x n

i σπσ

1.5

证: 令21

()()n

i

i F a X

a ==

-∑

则'

1()2()n

i

i F a X

a ==-

-∑,''()20F a n => 令'

1

()2()0n

i i F a X a ==--=∑,则可解得11n

i i a X X n ===∑

由于这是唯一解,又因为''

()20F a n =>,

因此,当1

1n

i i a X X n ===∑时,()F a 取得最小值

1.6

证: (1)等式左边1

1

((n

n

i

i i i X

X X X 2

2==-μ)=-+-μ)∑∑

1

1

1

(2()()(n n n i i i i i X X X X X X 2

2

====-)+-μ-+-μ)∑∑∑21

(()n

i i X X n X 2==-)+-μ∑

左边=右边,所以得证. (2) 等式左边

2

2

11

1

(2n

n n

i i

i

i i i X

X X X X nX 2

===-)=-+∑∑∑ 22

2

1

2n

i

i X

nX nX ==

-+∑221

n

i i X nX ==-∑

左边=右边,所以得证.

1.7证：(1)∑=-

=n

i i n x n x 1

1

∑+=-

++=11

1

11n i i n x n x 那么)(1

1

_

1_

n n n x x n x -+++

＝∑∑=+=•+-++

n

i i n n i i x n n x n x n 1

11111111 ＝111111+=+++∑n n i i x n x n ＝∑=+n

i i x n 1

11＝_1+n x ∴原命题得证