高二数学必修5课件 等比数列第二课时
合集下载
新教材高中数学第5章数列：第2课时等比数列的性质ppt课件新人教B版选择性必修第三册
2．等比数列的性质 在等比数列{an}中，若 s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则 as·at＝ ap·aq . (1)特别地，当 2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝ a2s . (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首 末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项．
()
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.
()
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，
则{an}是等比数列． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
4．在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________. 25 [∵{an}是等比数列， ∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12， ∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
合作 探究 释疑 难
等比中项的应用
【例 1】 (1)如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( )
0，所以 b＜0，所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9.
(2)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， ∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136.]
由等比中项的定义可知：Ga ＝Gb ⇒G2＝ab⇒G＝± ab.这表明只有 同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为 相反数.反之，若 G2＝ab，则Ga ＝Gb ，即 a，G，b 成等比数列.所以 a， G，b 成等比数列⇔G2＝abab≠0.
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
解得 k＝8.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
最新人教数学必修五课件24等比数列二
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的
产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开
始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….
答 (1)定义法：aan＋n1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；
开 关
(3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)．
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
答 如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续
的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际 含义．
本 讲 栏
的三项不成等比数列即可，即存在 an0 ，an0+1 ，an0+2 ，且
a2 n0 1
≠an0 ·a n0+2 .
目
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
问题 1 若数列{an}为等差数列，公差为 d，bn＝can (c>0 且 c≠1)，
试问数列{bn}是什么数列？并证明比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.4（二）
探究点三 等比数列的判断方法
探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？
本 讲 栏 目
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
人教A版必修5等比数列(第2课时)课件ppt(优质精选)
a1
a2
an
即 an1 q(q 0, n N * )
an
课件在线
4
判断下列数列是否为等比数列?若是,请求出公比q的值.
（1）４，－８，１６，－３２，……
(2) 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, ……
（3）数列 an 的通项为an= 1 3n
2
（4）数列 bn 中,bn=2bn-1 且 bn 0(n>1)
上一群孤立的点。
课件在线
9
20
18 （1）数列：2，4，8，16，…
16
●
14
12
an=2×2n-1=2n ，其图象应为
10
y=2x上一群孤立的点。
8
●
6
4
●
2
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
课件在线
10
与等差中项的概念类似，如果在a与b中间插 入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。
故 { a n } 的通项公式为课件a在n线= －2 n
18
1、在等比数列中，填空：
(1)
1， 1 2
，1 4
， 1 8
，……
1 中第 15 项是 ___2_1_4____
(2) 2，2 2 ，4，4 2 ，…… 中第 __9__ 项是 32
(3) 第 7 项为
1 100
，公比为 1
10
，则第一项为
am an ap aq
特别地,若m+n=2p (m、n、p∈N*)时,有
am an ap2
课件在线
13
2.{an}是等比数列,公比为q,则{can}也是等比 数列,且公比为__q____.
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
第五页，共38页。
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
人教新课标版数学高二B必修5课件等比数列(二)
d＝4， d＝－6.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
明目标、知重点
方法二 设四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
由条件得2aqqa＋－aa＝＋1a2q＝16
a＝8 a＝3
明目标、知重点
跟踪训练3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数 成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四 个数. 解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
y2＝x18－y
则由题意得
，
218－y＝y＋21－x
明目标、知重点
x＝3， 解得
y＝6
或yx＝＝474455.，
故所求的四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成
等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数
与第三个数的和是12，求这四个数. a＋d2
解 方法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ， 由条件得a－d＋a＋a d2＝16，
a＋a＋d＝12.
明目标、知重点
a＝4， a＝9，
解得
或
明目标、知重点
它是一个与n无关的常数， 所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列. 同理可证{can}(c为非零常数)也是等比数列.
明目标、知重点
反思与感悟 利用等比数列的定义aan＋n 1＝q(q≠0)是判定一 个数列是等比数列的基本方法.要判断一个数列不是等比数 列，举一组反例即可，例如 a22≠a1a3.
么数列{a1n}，{an·bn}，{bann}，{|an|}仍是等比数列，且公比分 别为q11，q1q2，qq21，|q1|；
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
an=amqn-m (m，n∈N*)
【例】a10=a5q( )， a12=a20q( )
是等比数列通 项公式的推广
追
踪 在等比数列{an}中： 训
练
(1)a5=3，q=
1 3
，a9=＿＿。
(2)a4=4，a7=-32，则q=＿＿。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
an=amqn-m (m，n∈N*)
【例】a10=a5q( )， a12=a20q( )
是等比数列通 项公式的推广
追
踪 在等比数列{an}中： 训
练
(1)a5=3，q=
1 3
，a9=＿＿。
(2)a4=4，a7=-32，则q=＿＿。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版高中数学必修五-等比数列课件 (2)
为公比的等比数列，
4
an 1,
其通项公式为a
a n 1
4
3
1
4
4
3 ( 1 )n1 3( 1 )n .
44
4
第二章 数 列
【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2a =42，由此列出方程组解得公比 和首项a1，利用定义求a ，
第二章 数 列
4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11. 解析： ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64，又∵a3＋a7＝20， ∴aa73＝＝146， 或aa73＝＝41.6， 当a3＝4，a7＝16时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4， 当a3＝16，a7＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝54，∴q4＝14， ∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
正确说法的个数为（ ）
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
第二章 数 列
【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保 证各项及公比不为0,所以错误.
第二章 数 列
2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0
(B)１或2
(C)-1或2
(D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝ 2 ，所以 ＝-1或2.
第二章 数 列
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
第二章 数 列
1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定
高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二)课件 新人教
解 方法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ，
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结论: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时, 数列｛an×bn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列.
探究1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时, 数列｛pan×qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗? 探究2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时, 数列｛pan÷qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗? 联系1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时, 数列｛pan+qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗? 联系2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时, 数列｛pan－qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗?
兴宁一中数学组
复习:等比数列概念
一、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数), 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母q表示。
an q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an1
二、等比数列 an 的通项公式为
an a1 • qn1，它的图象又是怎样？
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
(课本P58). 例3 一个等比数列的第3项与第4 项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解： 用 an表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
补充例题．三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数 减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq2
则必有 2aq a (aq2 32)
①
(aq 4)2 a(aq2 32)
②
由①得：
q 4a 2
a
代入②得： a 2 , q 5
即 bn 是公比为2的等比数列 bn 3 2n1
2
∵
cn
an 2n
∴ cn1 cn
an1 2 n 1
an 2n
an1 2an 2 n1
bn 2 n 1
将bn
3 2n1
代入得：cn1 cn
3 4
∴ cn 成等差数列
祝同学们学习愉 快，
人人成绩优异！
P59.练习习题2.4B组.2 P59.作业习题2.4 A组.1,3
证:1 ∵ ∴ a1 1
a1 a2 S2 4a1 1 a2 5, b1 a2 2a1 3
∵ ,两式相减得： Sn1 4an 2 , Sn2 4an1 2
an2 4an1 an
即： ∵ ∴ an2 2an1 2(an1 2an )
bn an1 2an
bn1 2bn
或
a5 9
, q 38 5
故原来的三个数是：2,10,50. 或 5 , 38 ,1444
9 9 45
练习:已知数列 an中，Sn是它的前 n 项和，并且
a1 1, Sn1 4an 2.
1 设 bn an1 2an,求证数列 bn 是等比数列；
2 设
cn
an 2n
,
求证数列 cn 是等差数列。
a3 12, a4 18,
即a1q a1q
2 3
12 18
an a1 • qn1
解得
a1
16 3
,q
3 2
因此，
a2
a1 q
16 3
3 2
8
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16、｛bn｝是项数相同的等比数列 的,仿照下表中的例子填写表格.从中你得出什么结 论?(表格和解题过程见课本P58. 掌握下面的结论和探究)
探究1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时, 数列｛pan×qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗? 探究2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等比数列时, 数列｛pan÷qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等比数列吗? 联系1: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时, 数列｛pan+qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗? 联系2: 当｛an｝、｛bn｝是项数相同的两个等差数列时, 数列｛pan－qbn｝(其中p 、 q是常数)也是等差数列吗?
兴宁一中数学组
复习:等比数列概念
一、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它 的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数), 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母q表示。
an q(是与n无关的数或式子 ,且q 0） an1
二、等比数列 an 的通项公式为
an a1 • qn1，它的图象又是怎样？
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
(课本P58). 例3 一个等比数列的第3项与第4 项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解： 用 an表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
补充例题．三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数 减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq2
则必有 2aq a (aq2 32)
①
(aq 4)2 a(aq2 32)
②
由①得：
q 4a 2
a
代入②得： a 2 , q 5
即 bn 是公比为2的等比数列 bn 3 2n1
2
∵
cn
an 2n
∴ cn1 cn
an1 2 n 1
an 2n
an1 2an 2 n1
bn 2 n 1
将bn
3 2n1
代入得：cn1 cn
3 4
∴ cn 成等差数列
祝同学们学习愉 快，
人人成绩优异！
P59.练习习题2.4B组.2 P59.作业习题2.4 A组.1,3
证:1 ∵ ∴ a1 1
a1 a2 S2 4a1 1 a2 5, b1 a2 2a1 3
∵ ,两式相减得： Sn1 4an 2 , Sn2 4an1 2
an2 4an1 an
即： ∵ ∴ an2 2an1 2(an1 2an )
bn an1 2an
bn1 2bn
或
a5 9
, q 38 5
故原来的三个数是：2,10,50. 或 5 , 38 ,1444
9 9 45
练习:已知数列 an中，Sn是它的前 n 项和，并且
a1 1, Sn1 4an 2.
1 设 bn an1 2an,求证数列 bn 是等比数列；
2 设
cn
an 2n
,
求证数列 cn 是等差数列。
a3 12, a4 18,
即a1q a1q
2 3
12 18
an a1 • qn1
解得
a1
16 3
,q
3 2
因此，
a2
a1 q
16 3
3 2
8
答：这个数列的第1项与第2项分别是
16、｛bn｝是项数相同的等比数列 的,仿照下表中的例子填写表格.从中你得出什么结 论?(表格和解题过程见课本P58. 掌握下面的结论和探究)