第十八章 变分法模型

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第十八章 动态优化模型

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。

§1 变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。

1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函

设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。

例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。由微积分知识不难写出

dx x y x y x y J x x )('1)(2))((2

12⎰+=π （1）

容许函数集可表示为

})( ,)(],,[)(|)({2211211y x y y x y x x C x y x y S ==∈= （2）

最简单的一类泛函表为

⎰=2

1

),,())((t t dt x

x t F t x J （3） 被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x 。（1）式是最简泛函。

1.1.2 泛函的极值

泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0t x 接近的

S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量，

而距离定义为

|})()(||,)()({|max ))(),((0002

1t x t x

t x t x t x t x d t t t --=≤≤ 泛函的极大值可以类似地定义。)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(t x 在)(0t x 的增量记为

)()()(0t x t x t x -=δ

也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ))(())()((00t x J t x t x J J -+=∆δ 如果J ∆可以表为

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))(),(())(),((00t x t x r t x t x L J δδ+=∆

其中L 为x δ的线性项，而r 是x δ的高阶项，则L 称为泛函在)(0t x 的变分，记作

))((0t x J δ。用变动的)(t x 代替)(0t x ，就有))((t x J δ。

泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数：

))()(())((=+∂∂

=

ααδα

δt x t x J t x J （4）

这是因为当变分存在时，增量

)),(()),(())(())((x t x r x t x L t x J x t x J J αδαδαδ+=-+=∆ 根据L 和r 的性质有

)),(()),((x t x L x t x L δααδ=

0)

),((lim

)

),((lim

00

==→→x x

x t x r x t x r δαδαδα

αδαα

所以

α

αδαδααα)

()(lim

)(00x J x x J x x J -+=+∂∂→= )(),(),(),(lim 0x J x x L x x r x x L δδα

αδαδα==+=→ 1.1.4 极值与变分

利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系： 若))((t x J 在)(0t x 达到极值（极大或极小），则

0))((0=t x J δ （5） 这是因为对任意给定的x δ，)(0x x J αδ+是变量α的函数，该函数在0=α处达到极值。根据函数极值的必要条件知

0)(00=+∂∂

=ααδα

x x J 于是由（4）式直接得到（5）式。

1.1.5. 变分法的基本引理

引理

],[)(21x x C x ∈ϕ，],[)(211x x C x ∈∀η，0)()(21==x x ηη，有

⎰

≡2

1

0)()(x x dx x x ηϕ，

则],[ ,0)( 21x x x x ∈≡ϕ。

1.2 无约束条件的泛函极值 求泛函

⎰

=

f

t t dt t x

t x t F J 0

))(),(,( （6） 的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线)(t x ，使给定的二阶连续可微函数F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为)(*

t x 。

1.2.1 端点固定的情况

设容许曲线)(t x 满足边界条件

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00)(x t x =，f f x t x =)( （7） 且二次可微。

首先计算（6）式的变分：

0))()((=+∂∂

=ααδαδt x t x J J ⎰=++∂∂

=f t t dt t x t x t x t x t F 00

))()(),()(,(ααδαδα

⎰

+=

f

t t x x dt x x

x t F x x x t F 0

]),,(),,([ δδ （8） 对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0==f t x t x δδ，有

⎰⎰

-=f

f

t t x t t x xdt x

x t F dt

d

dt x x

x t F 0

),,(),,(δδ ， 再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有

⎰=-

=

f

t t x x x d t F dt

d F J 0

0][δδ 因为x δ的任意性，及0)()(0==f t x t x δδ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程

0=-

x x F dt

d F （9） 它是这类最简泛函取极值的必要条件。

（9）式又可记作

0=---x F x F F F x x x x x t x （10） 通常这是)(t x 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确

定。

1.2.2 最简泛函的几种特殊情形

(i) F 不依赖于x ，即),(x t F F = 这时0≡x F ，欧拉方程为0),(=x t F x ，这个方程以隐函数形式给出)(t x ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。

(ii) F 不依赖x ，即),(x

t F F = 欧拉方程为

0),(=x

t F dt

d

x 将上式积分一次，便得首次积分1),(c x

t F x = ，由此可求出),(1c t x ϕ= ，积分后得到可能的极值曲线族

()dt c t x ⎰=1,ϕ

(iii) F 只依赖于x

，即)(x F F = 这时0,0,0===x x x t x F F F ，欧拉方程为

0=x x F x

由此可设0=x 或0=x x F ，如果0=x ，则得到含有两个参数的直线族21c t c x +=。