“三个二次”之间的关系(二次函数)
专题08 三个“二次”的关系 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇ 典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<；（3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->；（5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ；（2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．典例剖析05 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0；（2）ax 2－2≥2x －ax ；（3）ax 2＋2x ＋1>0．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．（2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．（3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是_____．（4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.小试牛刀03 解下列关于x 的不等式：（1）56x 2－ax －a 2<0.（2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数（3）220()x x a a ++<为实数．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1） 方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料08 三个“二次”的关系◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 一元二次不等式形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．知识链接02 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次方程 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集x <x 1或x >x 2x ≠x 1全体实数一元二次方程 ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集x 1< x <x 2 无 解 无 解知识链接03 一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．（2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．知识链接04 含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．（1）当0a >时，不等式的解为：bx a >； （2）当0a <时，不等式的解为：bx a<；（3）当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数； ② 若0b ≤，则不等式无解．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 解下列不等式：（1）2320x x -+< ； （2）2654x x +<； （3）2320x x +-≥； （4）2210x x -->； （5）24410x x -+>； （6）2530x x -+<．【解析】（1）不等式可化为(1)(2)0x x --<，∴ 不等式的解集是{|12}x x <<；（2）不等式可化为(21)(34)0x x -+<，∴ 不等式的解集是41{|}32x x -<<； （3）不等式可化为2230x x --≤，即(1)(3)0x x +-≤，∴ 不等式的解集是{|13}x x -<<；（4）不等式可化为(21)(1)0x x +-> ∴ 不等式的解是112{|}x x x <->或； （5）不等式可化为2(21)0x ->，∴ 不等式的解集是1{|}2x x ≠； （6）2530x x -+=的根为513x ±= 513513x -+<<．典例剖析02 解下列不等式：（1）22120(0)x ax a a --<< ； （2）()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭(01)a <<． 【解析】（1）{|43}x a x a <<-； （2）1{|}x a x a<<．典例剖析03 已知不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，求a 和b 的值， 并解不等式250bx x a --≤．【解析】 依题意，12-和13是方程210ax bx ++=的两根， 法1：由韦达定理，∴ 1123b a-+=-，11123a -⨯=，解得6a =-，=1b -．法2：直接代入方程得，2211()()102211()()1033a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+=⎪⎩，解得6a =-，=1b -∴ 不等式250bx x a --≤为2560x x +-≥，解得1x >或6x <-．∴ 不等式250bx x a --≤的解集为{|16}x x x ><-或．典例剖析04 已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a <－3或a >2，所以a >2．典例剖析05 （1）解关于x 的不等式222m x mx m +>+．（2）已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值．【解析】（1）分m 与0，2的大小关系讨论；（2）32k =-．典例剖析06 解下列关于x 的不等式：（1）x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； （2）ax 2－2≥2x －ax ； （3）ax 2＋2x ＋1>0．【解析】（1）将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∴a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∴R 且x ≠a }．（2）原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0∴(ax －2)(x ＋1)≥0.∴当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0∴x ≤－1.∴当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0∴x ≥2a 或x ≤－1. ∴当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； 当2a <－1，即a >－2，原不等式等价于2a≤x ≤－1． 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∴⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞． （3）略．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知不等式()21680k x x --+<的解是425x x <->或，则k =_____．4- （2）已知不等式20x px q ++<的解集是32x -<<，则p q +=________．5- （3）不等式20ax bx c ++>的解集为23x <<，则20ax bx c -+>的解是________．32x -<<- （4）已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．（ⅰ）求a ，b 的值； （ⅱ）解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.【解析】（4）（ⅰ）因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（ⅱ）不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0无解.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0无解.小试牛刀02 解下列不等式：（1）2x 2－3x －2≥0； （1）－3x 2＋6x >2.x ≤－12或x ≥2 1－33<x <1＋33小试牛刀03 解下列关于x 的不等式： （1）56x 2－ax －a 2<0. （2）21()10(0,)x a a a a-++<≠为实数 （3）220()x x a a ++<为实数．【解析】（1）56x 2－ax －a 2<0∴(7x －a )(8x ＋a )<0∴⎝⎛⎭⎫x －a 7⎝⎛⎭⎫x ＋a 8<0 当a >0时，a 7>－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a 8<x <a 7； 当a ＝0时，a 7＝－a 8，原不等式可化为x 2<0. ∴原不等式无解； 当a <0时，a 7<－a 8.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a 7<x <－a 8. （2）原不等式可变为：1()()0x a x a --<，（ⅰ）当1a >或10a -<<时，{}1x x a a<<； （ⅱ）当1a =±时，无解；（ⅲ）当01a <<或1a <-时，{}1x a x a<<． （3）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，44a ∆=-，当1a ≥时，440a ∆=-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-，所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-综上所述，1a ≥时，原不等式无解；当1a <时，原不等式的解为：{|1111}x a x a ---<<-+-．小试牛刀04 已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．【解析】 222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或． 小试牛刀05 已知一元二次方程240x x k -+=，求下列各条件下，实数k 的取值范围．（1）方程有两个正根；（2）方程有一正一负两个根；（3）有两个大于1的根．（1）04k << （2）0k < （3）34k <≤。
谈三个二次关系及及综合运用--
谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。
邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。
一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。
初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。
只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。
2.三个二次的关系。
3.一元二次不等式的解法。
知识点拓展：4.分式不等式的解法。
5.高次不等式的解法。
本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。
2.解含参数的一元二次不等式。
3.三个二次之间的关系。
4.简单高次不等式、分式不等式的解法。
5.XXX成立问题。
6.一元二次不等式的应用。
知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。
解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。
注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。
三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。
一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。
2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。
具体关系见下表（1）所示。
一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。
例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。
例析三个二次的关系
例析三个“二次”的关系 055350 河北隆尧一中 焦景会 一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：基础知识点：1、二次函数的三种表示形式（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2+h(a ≠0)；（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。
2、二次函数的性质设f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为，对称轴为，在24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2b x a =-,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 是减函数，在 是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则（1）若＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ； a b 2ab 2（3）若p ≤－＜x 0，则f(－)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤＜q ，则f(－)=m ，f(p)=M 。
a b 2a b 2a b 2a b 23、二次方程f(x)=0的实根分布一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－与区间端ab 2点的关系。
设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：（1） ； (2) ；120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩120()02k x x f k b k a⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪->⎩(3) (4) ； 12()0x k x f k <<⇔<112122120()0,(,)()02f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪∈⇔>⎨⎪⎪<-<⎪⎩(5) 有且仅有一个在内或或12,x x 12(,)k k 12()()0f k f k ⇔⋅<1211()0,22k k b f k k a +=<-<。
二次函数及三个二次间的关系
第三讲：二次函数 及三个二次间的关系1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ).若－ab 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ;若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－ab 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+ab 2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|>|β+ab 2|;(3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 若函数()()2312f x a x b x a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．二次函数图象的对称性例1： 若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．例2：已知二次函数()2fx a x b x c=++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则 122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2b a-B ．b a-C ． cD ．244ac b a-例3：二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.例4：函数()2f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关系是A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <-<C ．()()()101f f f <<-D ．()()()101f f f -<<二次函数的单调性及最值例5：已知函数()()215f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．例6：已知函数()223f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A ．[)1,+∞B ．[]0,2C ．[]1,2D ．(),2-∞例7. 函数y x x =-+-242在区间[]03，上的最大值是_________，最小值是_______。
高一数学三个二次的关系
三个“二次”之间的关系教学内容一、知识梳理1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法： y ＝ax 2＋bx ＋)0(≠a c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a ；y ＝a (x －x 0)2＋)0(≠a n . (2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21 (p ＋q ). 若－ab 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－ab 2)＝m ，)(q f ＝M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－ab 2)＝m ； 若－ab 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ． 2.二次方程)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0； (2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立. (5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q ) ⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α])∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0；(2)当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b2|＜|β＋a b2|，当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b2|＞|β＋a b2|；(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,0)(,2p f p ab或⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a ba bf q a b p 或(4) c bx ax ++2＞0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<++⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00;0,0,0,02c b a a c bx ax c b a a 或恒成立或二、方法归纳1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为221x x x +=. (2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．(3)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()2(x f a x f -=+成立，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．注意：)()(x a f x a f -=+与)()2(x f a x f -=+是等价的．4．二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．三、典型例题精讲［例1］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[－2，2]C.(－2，2]D.(－∞，－2)解析：当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，∴ a ＝2满足．当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ，解得－2＜a ＜2， 所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C【技巧提示】 由题意，函数)(x f ＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4的图象全部在x 轴以下，于是当a ＝2时，)(x f ＝－4，满足题意；当a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a 时，满足题意．又例：若不等式 0120822<--+-mx mx x x 对一切x 恒成立，求实数m 的范围. 解析： ∵ 04)4(20822>+-=+-x x x ，∴ 只须 012<--mx mx 对一切x 恒成立即可，与例１类似．∴ m 的取值范围是 04≤<-m ． 再例：若不等式13642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. RB. ()3,1C. ()1,∞-D. () 1,∞-()+∞,3 解析：将13642222<++++x x k kx x 化为013642222<-++++x x k kx x ， 即 0364)3()62(222<++-+-+-x x k x k x ， 而 03642>++x x 恒成立，∴ 0)3()62(22<-+-+-k x k x 对R x ∈恒成立． 0)3()2(4)62(2<-⨯-⨯--=∆k k即 31<<k ，故选B.［例2］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小．∴ 22122122--+<--x x x即 22)1(12-<+x x 22)1(12-<+x x∴ －2＜x ＜0．答案：－2＜x ＜0．【技巧提示】 二次函数)(x f 的图象为开口向上（下）的抛物线时，距对称轴近的点的纵坐标较小（大）；［例3］（1）已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解析：（1）由0)0()12(<⋅+f m 即 0)1()12(<-⋅+m m ，从而得 121<<-m 即为所求的实数m 的范围． （2）由00)0(22)1(0>⎪⎩⎪⎨⎧>⨯+-->∆f m ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧>->>-+0108)1(2m m m m ⇒⎩⎨⎧>+>-<<02232230m m m 或 ∴03m <<-或3m >+即为所求实数m 的范围．【技巧提示】 善于将方程的根的分布特征转化为由不等式或不等式组形成的限制条件，是解决这类题的关键．如“有一正根和一负根”，“两个不等正实根”分别被转化为相应的不等式或不等式组．又例：（1）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 在（0，1）内有且只有一个实根，求m 的取值范围．（2）若方程02)13(722=--++-k k x k x 的两根分别在（0，1）和（1，2）内，求k 的取值范围．［例4］已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A ．)1(f ≥25B ．)1(f ＝25C ．)1(f ≤25D ．)1(f ＞25 解析：由函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，得 242-≤⨯--m ， 即 16-≤m 而 251699)1(=+≥-=m f ，故选A ． 【技巧提示】 二次函数)(x f 的单调性以对称轴为界．开口向上，左减右增；开口向下，左增右减． 又例：已知函数()m x mx x f ++=42，若R x ∈时恒有()3>x f ，则m 的取值范围是（ ） A. ()4,∞- B. ()+∞,4 C. ()1,-∞- D. ()+∞-,1 答案 B. ［例5］求函数()122+-=ax x x f 在[]3,1∈x 上的最小值． 解析：对称轴a x = （1）当a ＜1时，()min 122y f a ==-； （2）当1≤a ≤3时，()2min 1y f a a ==-； （3）当a ＞3时，()min 3106y f a ==-． 【技巧提示】 二次函数在闭区间上的最值问题，核心是对函数对称轴与给 定区间的相对位置关系进行讨论．一般分为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况． 又例：求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 解析：对称轴方程为2ax =，（1）2-<a 时，max ()(1)f x f =-；（2）a ≤-22≤时，max ()()2af x f =；（3） 2>a 时，max ()(1)f x f =．再例：求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．［例6］已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．解析：2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-，（1）若0,()1,a f x ==，不合题意；（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+由814a +=，得38a =； （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-由14a -=，得3a =-； 综上知38a =或3a =-． 【技巧提示】 此例为例5所列问题的逆问题，即已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间的参数．又例：已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．解析：（1）令21()32a f a --=，得12a =- 此时抛物线开口向下，对称轴为2-=x ，且32[,2]2-∉- 故12a =-不合题意； （2）令(2)3f =，得12a =，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故12a =符合题意； （3）若3)23(=-f ，得23a =-，经检验，符合题意； 综上，12a =或23a =-． ［例7］已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.解析： 由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴()()()1312-+=-f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,∴()1025≤-≤f .【技巧提示】 本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.［例8］已知对于x 的所有实数值，二次函数1224)(2++-=a ax x x f (a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x ＝|a －1|＋2的根的取值范围 解析：由条件知Δ≤0，即(－4a ）2－4(2a ＋12)≤0，∴ －23≤a ≤2 (1)当－23≤a ＜1时，原方程化为 x ＝－a 2＋a ＋6，∵ －a 2＋a ＋6＝－(a －21)2425 ∴ a ＝－23时，x mi n ＝49，a ＝21时，x max 425 ∴ 49≤x 425 (2)当1≤a ≤2时，x ＝a 2＋3a ＋2＝(a ＋23)2－41 ∴ 当a ＝1时，x mi n ＝6，当a ＝2时，x max ＝12，∴ 6≤x ≤12 综上所述,49≤x ≤12． 【技巧提示】 由于2+a x ＝|a －1|＋2的根中含|a －1|，分类讨论就是为了去掉绝对值号，将根化为关于a 的二次函数．再由a 的取值范围得出根的取值范围．四、课后训练1．已知669)(2+-=x x x f ，解下列方程：（1）5)(=x f ； （2）x x f 9)(=．2．函数5432)(2+--=x x x f 的值域是 3．二次函数a x x x f +-=2)(，（a ＞0）若)(m f ＜0，则)1(-m f 的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能 4．若方程043)1(2=+-+a ax x a 的所有根均小于1，求实数a 的范围．5．(1)方程x 2－2a x ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 ________．(2)方程x 2－2a x ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是______．6．设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明:()x f x x <<1. 五、参考答案1．（1）31；（2）32，1 2． [1-，)23． A4．解析：当a ＝－1时，方程的根为34=x ＞1，不符合题意； 当a ≠－1时，043)1(2=+-+a ax x a 的所有根均小于1，等价于二次函数a ax x a x f 43)1()(2+-+=的图象与x 轴的交点的横坐标都小于1．即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⨯+-=∆<+>+=->04)1(491)1(23021)1(12a a a a a a f a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⨯+-=∆<+<+=-<04)1(491)1(23021)1(12a a a a a a f a ∴ 021≤<-a ． 5．(1) 252<≤a (2) a ＞25． 6．分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-. ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.。
三个“二次”之间的关系
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.其中二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，应认真研究、熟练掌握.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.首先，我们来回顾一下三个“二次”的基本关系：接下来，我们一起来谈谈有关三个“二次”的四类重要题型：（一）解含参二次不等式例1 解关于x的不等式：ax2+（a-1）x-1>0（a∈R）分析当a=0时，此不等式为一次不等式，可直接求出不等式的解集；当a≠0时，要分a>0与a<0两种情况进行讨论，再看方程ax2+（a-1）x-1=0根的情况.解①当a=0时，得x<-1.②当a>0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）>0，解得x1a.③当a<0时，不等式可化为（x-1a）（x+1）<0，若1a<-1，即-1 若1a=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若1a>-1，即a<-1，则-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x|x1a}；当a=0时，不等式的解集为{x|x<-1}；当-1 当a=-1时，不等式解集为空集；当a<-1时，不等式解集为{x|-1<x<1a}.变式若关于x的不等式ax2+（a-1）x-1>0的解集为{x|x12}，求实数a的值.由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：a>0，12?（-1）=-1a，12+（-1）=-a-1a，解得a=2.解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.注意：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.（2）判断方程的根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系.（3）确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.（二）二次函数在给定区间上的最值问题例2 求函数f（x）=x2-2ax，x∈[0，4]的最小值与最大值.分析函数f（x）在区间[0，4]上的单调性不确定，因此需对对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.解 f（x）的对称轴为x=a.当a≤0时，f（x）在[0，4]上单调递增，f（x）min=f（0）=0；当0 当a≥4时，f（x）在[0，4]上单调递减，f（x）min=f（4）=16-8a.所以f（x）min=0，-a2，16-8a， a≤0，0 a≥4.f（x）max=max{f（0），f（4）}=0，16-8a， a≥2，a<2.变式1 已知函数f（x）=-x2+8x，求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）.解 f（x）的对称轴为x=4.当t+1≤4即t≤3时，h（t）=f（t+1）；当t<4<t+1即3<t<4时，h（t）=f（4）；当t≥4时，h（t）=f（t）.所以h（t）=-t2+6t+7，16，-t2+8t， t≤3，3<t<4，t≥4.变式2 已知函数y=-x2+ax-a4+12在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a的值.解令f（x）=-x2+ax-a4+12，函数的对称轴为x=a2，当a2≥1即a≥2时，ymax=f（1）=-12+34a=2.解得a=103∈[2，+∞）.当0 当a2≤0即a≤0时，ymax=f（0）=-a4+12=2，解得a=-6∈（-∞，0].所以a=103或a=-6.求解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在给定区间[p，q]上的最值问题：实际上是研究函数在[p，q]上的单调性.常用方法是：（1）当a>0时求最小值或当a0时最大值为max{f（p），f（q）}，当a<0时最小值为min{f（p），f（q）}.（三）一元二次不等式恒成立问题例3 已知不等式mx2-2x-m+1<0.（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.分析（1）不等式mx2-2x-m+12，不等式不恒成立；当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，则m无解.综上可知不存在这样的m.（2）从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，由于已知m的取值范围，不妨换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式在m∈[-2，2]上恒成立，求参数x的范围.解设g（m）=（x2-1）m+（1-2x），则其为一个以m为自变量的一次函数（或常函数），其图象是线段，由题意知当-2≤m≤2时该线段在x轴下方，即g（m）max<0.所以g（-2）<0，g（2）<0，即-2x2-2x+3<0，2x2-2x-1<0.解得-1+72<x<1+32.所以x的取值范围为{x|-1+72<x<1+32}.变式1 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是减函数，如果当x∈[0，1]时不等式f（1-2x2+4a2）+f（4ax-3）≥0恒成立，求a的取值范围.解由题意得，f（x）是奇函数，所以f（1-2x2+4a2）≥f（3-4ax），又因为f（x）在R上是减函数，所以1-2x2+4a2≤3-4ax，即x2-2ax+1-2a2≥0对x∈[0，1]恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g（x）=x2-2ax+1-2a，对称轴为x=a，当a≤0时，g（x）min=g（0）=1-2a2≥0，得-22≤a≤0；当0 当a≥1，g（x）min=g（1）=2-2a-2a2≥0，因为a≥1，所以无解.综上，{a|-22≤a≤33}.变式2 设函数f（x）=x2-1，对任意x∈[32，+∞），f（xm）-4m2f（x）≤f（x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是.解由题意得：（xm）-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）恒成立，即（1m2-4m2-1）x2+2x+3≤0恒成立，即1m2-4m2-1≤-2x-3x2恒成立.因为g（x）=-2x-3x2=-3x2-22在[32，+∞）上是增函数，故当且仅当1m2-4m2-1≤g（32））即可.解得m≤-32或m≥32.解决一元二次不等式恒成立问题的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.1.一元二次不等式在x∈R上恒成立：（用Δ法）ax2+bx+c>0（a≠0）a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0（a≠0）a<0，Δ<0.注意：a=0的情况.2. 一元二次不等式在区间上恒成立：①化归为区间最值问题：f（x）>0f（x）min>0；f（x）<0f（x）max<0.②分离参数法：a≥f（x）恒成立a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立a≤f（x）min.以上就是对三个“二次”之间关系的几种题型的处理. 综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图象上的点；一元二次不等式是截取二次函数图象上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系.。
三个二次的关系及应用
三个二次的关系及应用二次方程是一个重要的数学概念，在很多数学和科学领域都有广泛的应用。
在本文中，我将介绍三个与二次方程相关的关系及其应用。
第一个关系是二次函数的顶点与轴对称性。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。
二次函数的图像是一个抛物线，它可以从顶点和轴对称性来描述。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点是二次函数的特殊点，它具有很多有用的性质。
首先，根据二次函数的开口方向，顶点可以告诉我们最大值或最小值的位置。
如果a>0，即抛物线开口向上，那么顶点表示最低点的坐标。
相反，如果a<0，即抛物线开口向下，那么顶点表示最高点的坐标。
其次，通过顶点，我们可以了解二次函数的对称轴。
对称轴是通过顶点和抛物线的开口方向垂直的一条直线。
具体而言，对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴对于绘制二次函数的图像和解决与二次函数相关的问题是很有帮助的。
除了描述二次函数的形状，二次函数还有许多实际应用。
其中一个应用是在物理学中描述自由落体的运动。
自由落体是指只受重力作用下落的物体。
根据牛顿第二定律，自由落体的加速度是一个常数，即g ≈9.8 m/s^2。
通过观察自由落体的运动，可以建立它与时间的关系。
根据重力加速度的影响，自由落体的高度随时间变化的关系可以用二次函数来描述。
具体来说，自由落体的高度h可以表示为h = -0.5gt^2 + vt + h₀，其中g是重力加速度，t是时间，v是初始速度，h₀是初始高度。
这是一个二次函数形式的方程，其中最高点（顶点）对应于自由落体的最大高度。
通过求解二次方程，可以确定自由落体的最大高度、时间和速度等参数。
另一个与二次方程相关的重要关系是二次根式。
二次根式是指具有形式sqrt(ax^2 + bx + c)的表达式，其中a、b和c是常数。
二次根式在数学和物理学中有广泛的应用。
三个“二次”的关系(一、二)
【初高中衔接】4-5．三个“二次”的关系【知识要点归纳】 一． 一元二次方程1. 根的判别式：2. 根与系数的关系（韦达定理）：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么 ．这一关系也被称为韦达定理．二. 一元二次不等式三．一元二次函数根的分布【经典例题】例1：已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2：已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．例3：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例4：已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．例5：解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6：已知方程2x -2(m+2)x +2m -1=0，根据下列条件求实数m 的取值范围（只列式，无需求出结果） （1） 有两个不相等的正根（2） 有两个不等实根都大于2（3）有两个不等实根，一个根大于0小于1，一个根大于1小于2【课后练习】1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；答案：（1）x ＜－1，或x ＞43； （2）－3≤x ≤4；2．使实系数一元二次方程2(1)0kx k x k --+=有两个实根的k 的取值范围是（ ） A ．113k -<<且 0k ≠ B ．113k -≤≤C ．1k ≤-或13k ≥D ．113k -≤≤且0k ≠【解析】A. 若方程有两个根，则其必为二次函数，那么0k≠，同时方程的判别式0∆>，即()()()22141310k k k k --=-->，解得113k <<，综合0k ≠，可得A 为正确选项。
三个二次之间的关系探讨
《三个二次之间的关系探讨》教学设计原州区第五中学田风高一、教学内容人教版九年级上第二十六章《二次函数》后续探讨——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。
二、教材分析一、教材的地位和作用函数是中学数学的经络，函数思想贯穿着中学数学教学的始终，也是微积分、泛函分析等高等数学的基础。
同时在现实生活及其它学科中具有普遍的应用，比如：物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁衍、经济学中生产本钱的核算、Excle中的数据处置、花园中喷水池的建造、拱形桥的设计、导弹的途径……，能够说，函数在现实生活中无处不在，无时不有。
二、学情分析学生已经把握了一次函数、二次函数的图像与性质，已有数形结合思想，会用图像说话。
关于新知识也充满着好奇心和强烈的求知欲望。
因此，本节课学生在教师的引导下，自主探三个二次之间的关系，不仅能巩固二次函数的图像和性质，而且对他们的数形结合思想、二次函数模型的应用意识也有了必然的提高。
三、教学目标一、把握二次函数的图像和性质，明白得二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。
二、通过绘制二次函数的图像体会一元二次方程的根与函数图像与x轴的交点的关系，一元二次不等式的解集与二次函数图像上的点的关系。
3、培育学生的识图、画图、用图能力，体会数形结合思想及普遍联系的辩证观。
四、教学重点、难点因为，数形结合是函数学习的大体方式，因此熟练地绘制二次函数的大致图像及图像的变换是把握二次函数的性质的基石。
因此，本节课的重点是二次函数的图像、性质及三个二次之间的关系。
由于学生的试图能力有限，对函数处置的方式不完整，没有形成模式，故而，在三个二次之间的关系探讨中需要教师的指导，是本节的难点。
通过学生观看、讨论分散难点。
五、教法、学法分析义务教育《数学课程标准》（实验稿）指出“数学教学活动必需成立在学生的认知进展水平和已有的知识体会基础之上。
教师应激发学生的学习踊跃性，向学生提供充分从事数学活动的机遇，帮忙他们在自主探讨和合作交流的进程中真正明白得和把握大体的数学知识与技术、数学思想和方式，取得普遍的数学活动体会。
三个二次之间的关系
三个二次之间的关系作者：董中枝来源：《新课程学习·下》2015年第01期三个二次是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函数。
这三个二次都是中学数学的重要内容，它们之间相互联系，相互渗透，其中二次函数最重要，其图象是纽带。
它将等与不等，数与形紧密结合在一起。
它既包含了方程的根，又包括了不等式的解集。
利用数形结合使一些数学问题得到很好的解决。
三个二次之间的关系表：上表告诉我们：利用函数观点认识方程和不等式。
一元二次方程的根分别对应着二次函数与x轴交点的横坐标，同时对应着一元二次不等式解集的端点。
函数的正值区间就是不等式大于0的解集对应着函数图象在x轴上方各点横坐标的集合。
函数的负值区间就是不等式小于0的解集对应着的函数图象在x轴下方各点的横坐标的集合。
下面通过例子来看这几种关系。
一、利用方程有无根与？驻之间的关系求解例1.当m为何值时，函数y=x2+2（m-1）x+3m2-11=0的图象与x轴有一个交点、两个交点、无交点？分析：函数图象与x轴有无交点，就是对应方程有无实数根。
一个交点？葑一个实根？葑？驻=0两个交点？葑两个实根？葑？驻>0无交点？葑无实数根？葑？驻<0而？驻=[2（m-1）]2-4×1×（3m2-11）我们来解关于m的方程或不等式可以使问题得以求解解：？驻=[2（m-1）]2-4×1（3m2-11）=-8（m2+m-6）当？驻>0时：m2+m-6<0 解得-3<m<2即：当-3<m<2时图象与x轴两个交点。
当？驻=0时：m2+m-6=0 解得m=-3或m=2即：当m=-3或m=2时图象与x轴一个交点。
当？驻<0时：m2+m-6>0 解得m<-3或m>2即：当m<-3或m>2时图象与x轴没有交点。
二、利用方程的根和不等式解集之间的关系求解例2.已知ax2-bx-1>0的解集为（-■，-■）求x2-bx-a<0的解集。
专题12三个二次之间的关系(原卷版)
专题12 三个二次之间的关系【考点清单】“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。
因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。
升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
1、二次函数①二次函数的三种形式在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ：它的配方形式： 224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠配方形式中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于对称值时函数值的取值特点。
从而它的对称轴：2b x a=-它的顶点坐标：24(,)24b ac b a a--它的因式分解形式：12()()y a x x x x =--，其中12,x x 是一元二次方程的两根.从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y 值何时等于0、y 何时大于0、y何时小于0等特点。
总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。
②二次函数的最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：()()n f x f =（1）若[,]2bm n a-∈， 则max ()max{(),(),()}2b f x f m f f n a =-，min ()min{(),(),()}2bf x f m f f n a=- （2）若[,]2bm n a-∉，则max ()max{(),()}f x f m f n =，min ()min{(),()}f x f m f n = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。
三个二次的关系
“三个二次”的关系知识点：1．“三个二次”的关系2.(x －a 题型一 一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： （1）－x 2＋8x －3>0；（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．（3）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)(－12，1](3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．练习：1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x <1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1<x ≤3}D ．{x |1<x <3}答案 C题型二、根据条件解不等式1．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎨⎧ －b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.1、若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．答案： (－2,3)2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 练习：1．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( A ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为(C ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)(3)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解．∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 练习：1．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a}解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B ．(－32，12)C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D ．(－12，32)答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0， 由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1， ∴x <－32或x >12.6．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.。
三个二次间关系(教师)
三个“二次”间的关系一．知识梳理一．二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二．含参数的一元二次型的不等式：在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：1. 关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.2. 关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．3. 关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.三．不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题1. 恒成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)max<B.2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上f(x)min<B.3. 恰成立问题若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的解集为D.四．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布分布情况两根都小于即k k x k x <<21,两根都大于即 kk x k x >>21,一个根小于，一个大于k k即12x k x <<)0()(2>++=a c bx ax x f 大致图象得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 分布情况两根都在内()n m ,两根有且仅有一根在内（有两种情况，()n m ,只画了一种）一根在内，另一根在()n m ,内，()q p ,q p n m <<<)0()(2>++=a c bx ax x f 大致图象得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p fq ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩二．典例剖析题型一 一元二次不等式的解法【例1】1.（2013·重庆高考）关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A. B. C. D. 5272154152解: 法一：不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1,x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知Error!∴x 2－x 1＝＝＝15，又∵a >0，∴a ＝，故选A.(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(2a )2－4(－8a 2)52解法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为kkk(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝，故选A.522.（2013·江西高考）下列选项中，使不等式x <<x 2成立的x 的取值范围是( )1xA. (－∞,－1)B. (－1,0)C. (0,1)D. (1,＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为Error!解得x <－1，选A.【课堂练习1】(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝2＋b －.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝.∴f (x )(x ＋a 2)a 24a 24a 24＝2.又∵f (x )<c .∴2<c ，即－－<x <－＋.(x ＋a 2)(x ＋a 2)a 2c a2c ∴Error!②－①得2＝6，∴c ＝9.c 题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 1. 解不等式042>++ax x 解：∵ ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为162-=∆a ()4,4-∈a 0<∆R 4±=a ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且当或即,此时两根分别为，，显然,4>a 4-<a 0>∆21621-+-=a a x 21622---=a a x 21x x >∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或2. 解不等式)0(01)1(2≠<++-a x aa x 解：原不等式可化为：，令，可得：()0)1(<--a x a x aa 1=1±=a ∴当或时， ，故原不等式的解集为；1-<a 10<<a a a 1<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。
三个二次及其关系(完整版)
二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法 y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ) 若－a b 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b 2)=m ; 若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m 2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0; (2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a 3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是 (－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab 2|, 当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+a b 2|>|β+a b 2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或典型题例示范讲解例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围巩固练习 1 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)2.已知函数282y x x =--和(y kx k k =+为常数）则不论k 为何值，这两个函数的图像（ ）A ．只有一个交点B ．只有二个交点C ．只有三个交点D ．只有四个交点3.设21212(,),(,)(0),A x m B x m y ax bx c a x x x =++≠=+是图上两点当时，二次函数的值（ ）A ．22b c a+ B ．24b c a -+ C ．m D ．c4.二次函数221,,0,y ax bx a b a =++->图象是下列四个图象之一若则=（ ）A ．152-+ B ．—1 C ．152-- D ．15.若二次函数2(0),(0,1),y ax bx c a A =++≠图象的顶点在第一象限且图象经过两点 (1,0),B S a b c -=++则的变化范围是（ ）A ．0<S<2B ．0<S<3C ．1<S<2D ．—1<S<16 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( )A 正数B 负数C 非负数D 正数、负数和零都有可能7 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________8 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________9.二次函数21212132(,0),(,0),,0,22y x mx m x A x B x y C x x =--<<交轴于交轴于点 2121().AB CO O =+为原点（1）求m （2）在x 轴下方是否存在抛物线上的点P 。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表了二次函数的系数。
本文将对二次函数与这三个系数之间的关系进行总结和探讨。
1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向和形状。
当a > 0时，二次函数的抛物线开口向上，形状较为窄长；当a < 0时，抛物线开口向下，形状较为宽扁。
此外，a的绝对值越大，抛物线的开口越窄，形状越尖锐。
2. 系数b的影响：系数b决定了二次函数的对称轴和平移。
对称轴的表达式为x = -b/2a，也可以理解为抛物线的中轴线。
当b > 0时，抛物线向右平移；当b < 0时，抛物线向左平移。
同时，b的绝对值越大，抛物线在水平方向上的平移距离越远。
3. 系数c的影响：系数c决定了二次函数与y轴的交点或抛物线的纵坐标平移。
当c > 0时，抛物线在y轴上方与y轴相交；当c < 0时，抛物线在y轴下方与y轴相交。
c的绝对值越大，抛物线与y轴的交点越远。
4. 二次函数与顶点的关系：二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)为二次函数的表达式。
顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。
通过观察可知，系数b的值决定了顶点在平面坐标系中的横坐标位置，系数c的值决定了顶点在纵坐标上的位置。
总而言之，二次函数的系数a、b和c分别决定了抛物线的形状、平移和顶点位置。
在解题和分析二次函数的过程中，我们可以通过观察这些系数的取值来推断抛物线的性质及与坐标轴的关系。
以上是对二次函数与系数a、b、c之间关系的简要总结。
了解和理解这些关系可以帮助我们更好地掌握二次函数的性质和特点，为解决相关问题提供有力的数学工具。
希望本文能为读者对二次函数的理解提供一定的帮助。
高考数学总复习 二次函数
高考数学总复习 二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。
4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。
(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。
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“三个二次”之间的关系
注：上表中a>0,若a<0转化后再解不等式。
二次不等式的知识：
1、概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2、一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其所有解的形成的范围，称为这个一元二次不等式的解集.
3、解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
其他方法：十字相乘法
（二次函数、不等式、方程）
1. 解关于x 的不等式： x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，．
2．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．
3．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－
21＜x ＜31，解x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．
4．若不等式012>++p qx x p
的范围为42<<x ，求实数p 与q 的值．
5. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
6. 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.
7. 已知二次函数)0,,(1)(2
>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .
（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；
（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.
8. 为何值时，关于的方程的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。
9.若不等式
2
2
820
1
x x
mx mx
-+
<
--
对一切x恒成立，求实数m的范围.
10.设不等式ax2+bx+c>0的范围是-2<x<3,求不等式cx2+bx+a<0的范围.。