平面直角坐标系及伸缩变换

lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
练习1. 解:
2.
y2 x2
yx的
B
3.
B
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是__y_2=__4(_x_-_1)_
解:设动点为(x，y)，则由题设得
x 2 2 y 2 |x|
题 型 一 直接法求轨迹方程
【例 1】已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足 MN MP 6 | NP | .
(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0
的距离的最小值．
(((222)))由由由几几几何何何性性性质质质意意意义义义知知知，，，椭椭椭圆圆圆CC与C与平与平行平行于行于于ll的的l切切的线线切l线l′′的的l′的 距距距离离离等等等于于于QQQ与与与ll的l的的距距距离离离的的的最最最小小值小值．值．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
由由由动动动圆圆圆MMM与与与圆圆圆OO22O外外2切切外，，切有有，||MM有OO|22M||＝＝Orr＋2＋|＝22..r＋2.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(ab0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
课外练习: 1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（ ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
设设ll：：：xxx＋＋＋22y2y＋y＋＋DDD＝＝＝00..将0将.将其其其代代代入入椭入椭圆椭圆方圆方程方程消消程去去消x去x，，x，
化化简简简得得得：：：11166y6y2y2＋＋2＋11212D2DyDy＋＋y＋33((D3D(2D2－－2－44))＝＝4)0＝0.. 0.
y
∴∴ΔΔΔ＝＝＝11144444DDD22－－2－11919292(2(DD(2D2－－2－44))＝4＝)＝00⇒⇒0D⇒D＝＝D±＝±44，±，4，
求∴动∴∴∴|M圆||M|MOM圆OO2O|－2心2|2|－－|－|MM||MM|OM的OO1O|11轨＝||＝＝1|迹＝333...方3. 程，并说明轨迹是何种曲线．y
∴∴∴∴点点点点MMMM的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹是是是是以以以以OOO11O1,,O,OO12,22O为为2 为焦焦点焦点点,点,, ,
xp 2
线 的
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
( 0，p ) 2
yp 2
标 准
y
O F
l
x
x2=-2py ( 0， p )
(p>0)
2
y p 2
方 程
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确，应为x=3,
(2)不正确, ，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确, 应为x=0(-3≤y≤0).
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
设动圆 M 的半径为 r，
则设设设由动动动动圆圆圆圆MMMM的的的与半半圆半径径径为O为1为内rr，，切r，，有|MO1|＝r－1； O
x
则则则由由由由动动动动圆圆圆圆MMMM与与与圆与圆圆圆OOO211外O内内1切切切内，，，切有有有，|M||MM有OOO2|1|1M＝||＝＝Orr＋r－1－|＝211.；；r－1；
x
求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹
的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可
以减少运算量，提高解题速度与质量．
题 型 二 相关点法求轨迹方程 【例 2】已知△ABC，A(－2,0)，B(0,－2)，第三个顶点 C
在曲线 y＝3x2－1 上移动,求△ABC 的重心的轨迹方程．
化简得: y2=4(x-1)
这就是所求的轨迹方程.
题 型 一 直接法求轨迹方程
【例 1】已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足 MN MP 6 | NP | .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0 的距
离的最小值．
y
解解::((11))设设动点点 PP((xx，，yy)，)，MN MP 6 | NP |
(x，解解y)，则:则:((11M)MM设)设NP动动＝点M点((PxxP－－(Px4(，46,x,y，|yy)N，))，，yPM)M，M|NNNM＝＝(N－M(－3P,MM03)，,P0P6)P，|NNP66＝NP||(N|1N＝－PPO(x1|,|－yx),，－y)， x －迹(4x4y方－,2＝y程4)，)1由 化 ∴则 由 化 ∴是＝则 由 化 ∴2由 化 ∴M，椭已 简 点点 已 简6M已 简 点已 简 点NM即圆知 得知 得知 得PPPP知 得＝1xPP4得－2C得的＝的的333＋(得的：x＝－x3xx－－轨－轨(轨22yx23x＋＋－ x＋322轨4(233－＋＝迹 迹23,x＋迹＋0((44(3－4xx迹)14yx方y方，－(y－－方4y2.3,2－x＝22＝ 4y方程yP＝程＝－4y4程,2)4)N1＝，)1是 y＝2程1是)1＝24，2是)＝.，M2，＝)， 1椭6椭是6＝，2椭6即NM(圆即，1圆即 椭61圆 －x4＝1Nx－2C4即即1x－＋圆2C圆4x：＋－2(Cx,：＝1x－＋＝ －1xy4x34x：x－42C22y－4x2C3＋2＝＋x2y322(＋y4(3＋：＋＝－：)x2－,22x4x，＋01＋＝2y－y3)＋ .331xy322x4，32322－4y＋＝.3212＋＝,2y,2－＋0y＋.P03＝y22)11)1，N＝，－y，.y1－2.3y1.3，2.2.P21＝P＝y＝，y.NN21(21，1，..＝－＝x((1,1－－－yx)x，,－,－yy))，，
y＝9x2＋12x＋3.
【2】若曲线
x2 4
y2
1
上有一动点P，O点为坐标
原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程.
解: 设点M的坐标是(x , y), 点P的坐标是(x0 , y0),
由于点M是线段OP 的中点,
x x0 , y y0 ,
y
于是有2
2
x0=2x,
y0=2y.
①
动点P在曲线 x2 y2 1上运动,
1.1 平面直角坐标系 与曲线方程
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
解解解:::设设设△△△AAABBBCCC的的的重重重心心心GGG的的的坐坐坐标标标为为为解((x(x，:x，，设yy)y，)△)，，ABC 的重心 G 的坐标为
＋， ，，－3解1. .①由 代 ∴ y:由 代 ∴ y∴顶由 代 ∴＝由 代 ∴ y顶＝顶顶＝设三 入 △三 入 △点三 入 △三 入 △9点9点点xy9△x角① Ax角① A1x1角① A角① A2C＝B＝2＋2CBCAB形中＋C＋B形中形中C形中的CBC33的C1的的的，11y的，的的，Cx2的，的2的坐2＋的坐x坐＋坐 x重并x的重并重＋重并重＋重并重＋标标重2标2标心整心整重心.心整3心，3心整心为3为心.为.为坐理.坐理心的坐理的坐理的((的(xx(标 标， ，x轨轨标，x11G标，轨1，，轨1，公得公得，迹迹公得的公得迹yy迹式y式1方yy1方y式)1坐式)方y＝1，＝方y)，)＝，程＝，程标9程∴xy程9∴xyx9为＝∴＝xy9x∴为xy＝＝为2x为y＝＝x为2＋＝＝y12y＋xy2＝y1＋yx1(＋11y＝x11－y1x由 代 ∴ yx3－＝131＝1－1顶213－3，＝311－3－1－3233－xx232三 入 △2323xx2＋21，点2，9yxx2－2xx2＋21，2，)x＋角① A21，－，＋， 21，3，－2－1CB.3＋3形中.13.①C1.的1..∴1①.的，.①的∴ 2①坐∴∴x重并xy重＋11标xy＝＝xy心整xy11心311＝为＝113＝3.＝＝＝坐理yx的3(3＋＋33xy3y3标，xy轨x1＋yx＋22＋，＋＋＋公得.，迹222y22.2式，1.方y，.)，＝，程x9∴xyx为＝＝
y
f(x,y)=0
常见公式：直线方程，平行，垂直，0 x 中点，中心，距离，
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
x2 y2 1(ab0) a2 b2
x a 或 x a ， y R
..
y
A2 F2
B2
源自文库
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1(a0,b0)
a2 b2 y a 或 y a ， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
∴ ∴∴ ∴∴ ∴∴ ∴实点a探＝实点a实点a实点a轴究＝M＝＝32轴轴M轴M长，3232M提的32长，长，长，为的c的高的轨＝为为cc轨轨为c＝＝3轨迹＝233迹迹2，2的3迹方，，2的的方方，的 ∴双∴双 方 ∴程 双程程∴b双曲b曲b曲程为2为2为＝2b曲线＝＝线线为42244＝c9xc线9的c9x的 x2的42222－2－－c－9－x－的左左2222－aa－a444左支2277支2yy7y＝＝＝a2242．＝支．＝22．＝7y74＝747422.1..．＝1174(((.x1xx≤≤≤(x－－≤－3232－32))．)．．32)． O