浅谈中学数学解题方法(论文) 精品

本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 2006级A班学生孔祥东指导教师麻常利河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书编号：数信学院2010届613论文（设计）题目：浅谈中学数学解题方法院系：数信与信息科学学院专业：数学与应用数学班级： 06A班学生姓名：孔祥东学号： 2006012613 指导教师：职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务深入研究中学（特别是高中）的数学问题，探寻用更短的时间解决更多的中学数学问题，以及掌握处理大多数中学数学问题的通法通解。

2、论文（设计）的主要内容本文针对中学的几种典型的数学方法进行了研究和总结，并以示范性典例和再现性典例的形式加以归纳和再现，以典型题来阐述各数学方法的精妙。

3、论文（设计）的基础条件及研究路线半年来对中学数学试题的广泛研究，尤其是北京地区高考题的研究，加之对众多教辅资料的研读与分析，结合自己的心得和体会加以研究和归纳。

4、主要参考文献[1] 郑毓信、肖柏荣、熊萍数学思维与数学方法论 [M]. 成都：四川教育出版社[2] 陆书环、傅海伦数学教学论[M]. 北京：科学出版社[3] 张雄、李得虎数学方法论与解题研究 [M]. 北京：高等教育出版社[4] 周房安.数学选择题解答策略[J].广东教育，2006,(04).62～63.[5] 傅钦志.高考解题中的优先策略[J].高中数理化，2004,(02).1～2.指导教师签名：系主任（教研室主任）签名：年月日年月日学院审查意见：教学院长签名：年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院数学与应用数学专业 2010 届本科生毕业论文设计浅谈中学数学解题方法作者姓名指导教师所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学教育班级（届） 06级A班完成日期 2010 年 5 月 6 日目录中文摘要、关键词 (2)引言 (3)一、配方法 (3)二、换元法 (3)三、待定系数法 (3)四、定义法 (3)五、数学归纳法 (3)六、参数法 (3)七、反证法 (3)参考文献…………………………………………………………（）英文摘要、关键词………………………………………………（）附录………………………………………………………………（）摘要：在与北京地区十余位高中毕业班学生的接触后，结合我自身的经验，我发现当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学方法融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

高考试题十分重视对于数学解题方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。

我们要有意识地应用数学解题方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。

而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学解题方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学方法和思想也还是对你起作用。

数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。

数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本文浅陋介绍高考中常用的数学基本解题方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以两种典例的形式出现。

示范性典例进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范，再现性典例是一组简单的选择填空题进行方法的再现旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。

每个典例中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

关键词:高考解题方法数学解题技巧数学思想配方法换元法待定系数法数学归纳法参数法消去法反证法1、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2； a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；…… 等等。

1.1、示范性典例：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。

长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5 所以选B 。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p )2≤7成立，求实数k 的取值范围。

【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 , (p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。

又 ∵p 、q 为方程x 2＋kx ＋2=0的两实根， ∴ △＝k 2－8≥0即k ≥22或k ≤－22 综合起来，k 的取值范围是：－10≤k ≤－22 或者 22≤k ≤10。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

本题由韦达定理得到p ＋q 、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p ＋q 与pq 的组合式。

假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0，求(a a b +)1998＋(b a b+)1998 。

【分析】 对已知式可以联想：变形为(a b )2＋(a b )＋1＝0，则a b＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a ＋b)2＝ab 。

则代入所求式即得。

【解】由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a b )2＋(a b)＋1＝0 ， 设ω＝a b ，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω＝b a ，ω3＝3＝1。

又由a 2＋ab ＋b 2=0变形得：(a ＋b)2＝ab ，所以 (a a b +)1998＋(b a b +)1998＝(a ab 2)999＋(b ab 2)999＝(a b )999＋(b a )999＝ω999＋ω999＝2 。

【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。

一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a 2＋ab ＋b 2＝0变形得：(a b )2＋(a b )＋1＝0 ，解出b a ＝-±132i 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a b )999＋(b a )999后，完成后面的运算。

此方法用于只是未-±132i 联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝-±132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

1．2、再现性典例：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 5]B. [5,+∞)C. (－1,5]D. [5,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数列性质am p-am p+＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。

答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。

3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。