新高考数学试卷(附答案)

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2021年高考数学试卷(新高考Ⅱ卷)(解析卷)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）使用省份：海南､辽宁､重庆一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22æöç÷èø，该点在第一象限，故选：A2. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =I ð（）A. {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B Çð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B Ç=ð，故选：B.3. 抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（）A. 1B. 2C. D. 4【答案】B 【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值..【详解】抛物线的焦点坐标为,02p æöç÷èø，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r p a =-（单位：2km），则S 占地球表面积的百分比约为（）A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%【答案】C 【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r p a ap ---+==»=.故选：C .5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A. 20+B. C.563【答案】D 【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ==下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积((121116433V h S S =+=++=.故选：D.6. 某物理量的测量结果服从正态分布()210,N s，下列结论中不正确的是（）A. s 越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. s 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. s 越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. s 越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2s 为数据的方差，所以s 越小，数据在10m =附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D .7. 已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（）A. c b a << B. b a c<< C. a c b<< D. a b c<<【答案】C 【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a 、b 与c 的大小关系，由此可得出结论.【详解】55881log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A. 102f æö-=ç÷èøB. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B 【解析】【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x L 的离散程度的是（）A. 样本12,,,n x x x L 的标准差B. 样本12,,,n x x x L 的中位数C. 样本12,,,n x x x L 的极差D. 样本12,,,n x x x L 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ^的是（）A. B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC Ð（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，直角三角形OPC ，OC =1CP =，故tan POC Ð==在故MN OP ^不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ^，PQ MN ^，由正方体SBCM NADT -可得SN ^平面ANDT ，而OQ Ì平面ANDT ，故SN OQ ^，而SN MN N =I ，故OQ ^平面SNTM ，又MN Ì平面SNTM ，OQ MN ^，而OQ PQ Q =I ，所以MN ^平面OPQ ，而PO Ì平面OPQ ，故MN OP ^，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ^，故OP MN ^，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO Ð或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故12PQ AC ==，OQ ===PO ===，222QO PQ OP <+，故QPO Ð不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.11. 已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C. 若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离d =，若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.12.设正整数010112222k k k k n a a a a --=×+×++×+×L ，其中{}0,1i a Î，记()01k n a a a w =+++L ．则（）A. ()()2n n w w =B. ()()231n n w w +=+C. ()()8543n n w w +=+D. ()21nnw -=【答案】ACD 【解析】【分析】利用()n w 的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()01k n a a a w =+++L ，12101122222k k k k n a a a a +-=×+×++×+×L ，所以，()()012k n a a a n w w =+++=L ，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==×+×+×，()73w \=，而0120212=×+×，则()21w =，即()()721w w ¹+，B 选项错误；对于C 选项，3430234301018522251212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01852k n a a a w +=++++L ，2320123201014322231212222k k k k n a a a a a a +++=×+×++×+=×+×+×+×++×L L ，所以，()01432k n a a a w +=++++L ，因此，()()8543n n w w +=+，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n --=+++L ，故()21nn w -=，D 选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】y =【解析】【分析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =.【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x Î+¥时，()0f x ¢>；③()¢f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①，()34f x x ¢=，0x >时有()0f x ¢>，满足②，()34f x x ¢=的定义域为R ，又()()34f x x f x ¢¢-=-=-，故()f x ¢是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*nxN f n x =Î均满足）15. 已知向量0a b c ++=r r r r ，1a =r ，2b c ==r r ，a b b c c a ×+×+×=r r r r r r_______．【答案】92-【解析】【分析】由已知可得()20a b c++=r r r，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得()()()22222920a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++×+×+×=+×+×+×=r r rr r r r r r r r r r r r r r r，因此，92a b b c c a ×+×+×=-r r r r r r .故答案为：92-.16.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】()0,1【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得A M =，B N =.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=ì---³ï=íïî，则()0,,0xx x f x e e x ì-ï=<>í¢ïî，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x x AM BN k e k e =-=,所以12121,0x x e e x x -×=-+=，所以()()111111,0:,11x x x x e e x x e AM e y M x -+=---+，所以AM ==()10,1x e =Î=故答案：()0,1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 记n S 是公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =\=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=´-+´=-，.为的则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18. 在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC V 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC V 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（12）存在，且2a =.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==´´=△（2）显然c b a >>，若ABC V 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ÎQ ，故2a =.19. 在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ^平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ^平面ABCD ，从而得到面QAD ^面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO .因为QA QD =，OA OD =，则QO ^AD ，而2,AD QA ==2QO ==.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC V 为直角三角形且QO OC ^，因为OC AD O =I ，故QO ^平面ABCD ，因为QO Ì平面QAD ，故平面QAD ^平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ^，结合（1）中的QO ^平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-uuu r uuu r .设平面QBD 的法向量(),,n x y z =r ，则00n BQ n BD ì×=í×=îuuu v v uuu v v 即220220x y z x y -++=ìí-+=î，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n æö=ç÷èør .而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =u r ，故12cos ,3312m n ==´u r r .二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.20. 已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦=1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y--=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1，解得1k =±，联立(2213y x x y ì=±ïíï+=î可得2430x -+=，所以121234x x x x +=×=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+ìïí+=ïî可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-×=++，===化简得()22310k-=，所以1k=±，所以kb=ìïí=ïî或kb=ìïí=ïî，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)iP X i p i===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p====，求()E X；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：230123p p x p x p x x+++=的一个最小正实根，求证：当()1E X£时，1p=，当()1E X>时，1p<；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用公式计算可得()E X.（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f=及极值点的范围可得()f x的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X=´+´+´+´=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p=++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X £，则123231p p p ++£，故2302p p p +£.()()23220332f x p x p x p p p ¢=+-++，因为()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+-£，故()f x ¢有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<£，且()()12,,x x x Î-¥È+¥时，()0f x ¢>；()12,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()1,x -¥，()2,x +¥上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +¥为增函数且()10f =，而当()20,x x Î时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X £，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p ¢=-++<，()230120f p p p ¢=+->，故()f x ¢有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x Î-¥+¥U 时，()0f x ¢>；()34,x x x Î时，()0f x ¢<；故()f x 在()3,x -¥，()4,x +¥上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.22. 已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点①21,222e a b a <£>；②10,22a b a <<£．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2x f x x e a =-，当0a £时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ³在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x Î-¥，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a Î，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a Î+¥，则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <£，则()21,010b af b >>=->，而()()210b f b b e ab b --=----<，而函数在区间(),0-¥上单调递增，故函数在区间(),0-¥上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b=--+éùéùëûëû()()22ln 21ln 22a a a a a>--+éùéùëûëû()()22ln 2ln 2a a a a =-éùëû()()ln 22ln 2a a a =-éùëû，由于2122e a <…，212a e <£，故()()ln 22ln 20a a a -³éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间()0,¥+上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210fb a =-£-<，当0b ³时，24,42e a ><，()2240f e a b =-+>，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1x H x e x =--，则()1xH x e ¢=-，当(),0x Î-¥时，()()0,H x H x ¢<单调递减，当()0,x Î+¥时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ³恒成立，从而有：1x e x ³+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---³-+-+()()211a x b =-+-，当x ()()2110a x b -+->，取01x =+，则()00f x >，即：()00,10f f ö<+>÷÷ø，而函数在区间()0,¥+上单调递增，故函数在区间()0,¥+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+éùéùëûëû()()22ln21ln22a a a a a £--+éùéùëûëû()()22ln2ln2a a a a=-éùëû()()ln22ln2a a a=-éùëû，由于12a<<，021a<<，故()()ln22ln20a a a-<éùëû，结合函数的单调性可知函数在区间(),0-¥上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2023年全国统一高考数学试卷(新高考II)(解析版)

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（）A．2B．1C．D．﹣1【答案】B【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．故选：B．3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：D．4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（）A．﹣1B．0C．D．1【答案】B【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln＝（x+a），即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）A．e2B．e C．e﹣1D．e﹣2【答案】C【解答】解：对函数f（x）求导可得，，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，则．故选：C．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．8．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。

2024年高考数学真题试卷(天津卷)附详细解答

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为()A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为()A.6B.33142+ C.32D.33142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ;（2）求sin A ;（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ;（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ;（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;（ⅱ）求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;（3）若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B = 故选:B 2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A 4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B 6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= 因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min πsin 32f x =-=-故选:A 8.【答案】C【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m=211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=21sin 5θ=由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =则21122,2,210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:1222PF PF a -==222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C 9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯=.故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7【解析】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p =由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-（舍）故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=故原点到直线AF 的距离为4455d ==故答案为:4513.【答案】①.35②.12【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.【答案】①.43②.518-【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =uur uur ,则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r 可得1,13λμ==,所以43λμ+=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅= 因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ 则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA k BC k BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅ 取到最小值518-;15.【答案】()(1- 【解析】令()0f x =,即21ax =--由题可得20x ax -≥当0a =时,x ∈R ,有211=--=,则2x =±,不符合要求,舍去;当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得)()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =时,即410x +=,即14x =-当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-（正值舍去）当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增令()g x y ==,即2222142a x y a a⎛⎫- ⎪-⎭=⎝故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x xa =±=±即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13aaaa ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x aax ax x a⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x =当()2,0a ∈-,102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a =>-,有两解,舍去即当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在0x ≥时有唯一解则当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在x a ≤时需无解当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a a a a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(11,a ∈- .故答案为:()(1-⋃.三、解答题.16.【答案】（1）4（2）74（3）5764【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B=+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =（负舍）;则4,6a c ==.【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以57sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin 5716A =,解得7sin 4A =【小问3详解】因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由（2）法一知57sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.17.【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）21111【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP 、1D M NP=故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C 则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = 设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = 则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =即()1,3,1m = 、()1,1,0n =则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211;【小问3详解】由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =则有111BB m m ⋅== 即点B 到平面1CB M 的距离为21111.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△故c =所以a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t 由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- 故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t ≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解;②()131419n n S i i n b =-+=∑【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-（舍去）所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124k k n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立所以1n k n b a b -≥⋅;（ii ）由（1）可知:1211n n n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=可知{}i b 为等差数列可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k k k k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑所以()()()232113141115424845431434499n n S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑且1n =,符合上式,综上所述:()131419n n S i i n b =-+=∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时的取值范围是()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤--=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a -+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>=+----所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一:当1211e x x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=--则()ln 1x x ϕ=++'由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln 1ln 11102e 2e e c c ϕ⎛⎫ ⎪=++<+=-= ⎪⎝⎭'且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2c x >时,2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<时,112221e e f f c ⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201c x q <<-时,>可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=--.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。

2023年新高考1卷数学真题试卷附详解

2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________．四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-．故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-．故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确；对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误；对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确；故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确；对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误；对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确；对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确；故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确；故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析（2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析（2）证明见解析【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解；当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。

新高考数学卷子

2023年新高考1卷数学真题试卷附答案详解一、选择题（每题5分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则函数f(x)的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【详解】首先求导数：f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，解得x = -1 或 x = 1。

当x < -1时，f'(x) > 0，函数单调递增；当-1 < x < 1时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，函数单调递增。

因此，f(x)在x = -1和x = 1处分别取得极大值和极小值。

又因为f(-1) = 3，f(1) = -1，所以函数f(x)在x = -1和x = 1附近分别由正变负和由负变正。

所以，函数f(x)的零点个数为3个。

2. 若矩阵A满足A^2 - 2A + 3E = 0，其中E为单位矩阵，则矩阵A的行列式值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【详解】由题意，A^2 - 2A + 3E = 0，移项得A^2 - 2A = -3E。

两边同时左乘A，得A^3 - 2A^2 = -3A。

两边同时右乘A，得A^4 - 2A^3 = -3A^2。

因此，|A^4 - 2A^3| = |-3A^2|，即|A|^4 -2|A|^3 = 3|A|^2。

令|A| = x，得x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0，因式分解得x^2(x^2 - 2x - 3) = 0。

解得x = 0 或 x = 3 或 x = -1。

由于矩阵A满足A^2 - 2A + 3E = 0，所以|A| ≠ 0。

因此，|A| = 1。

3. 设函数g(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数g(x)的零点个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【详解】当x < -1时，g(x) = -x - 1 - (x + 1) = -2x - 2；当-1 ≤ x < 2时，g(x) = -x - 1 - (-x - 1) = -2；当x ≥ 2时，g(x) = x - 2 - (x + 1) = -3。

2023年新高考二卷数学真题试卷附详解

2023年高考数学试卷(全国新高考Ⅱ卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内,()()13i 3i +-对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a （）． A. 2B. 1C.23D. 1-3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有（）．A. 4515400200C C ⋅种 B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种4. 若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a （）． A. 1-B. 0C.12D. 15. 已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线y x m =+与C 交于A ,B 两点,若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍,则m =（）．A.23B.3C. 3-D. 23-6. 已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增,则a 的最小值为（）． A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -7. 已知α为锐角,1cos 4α+=,则sin 2α=（）．A.B. C. D.8. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若45S =-,6221S S =,则8S =（）． A. 120B. 85C. 85-D. 120-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,AB 为底面直径,120APB ∠=︒,2PA =,点C 在底面圆周上,且二面角P AC O --为45°,则（）．A. 该圆锥的体积为πB. 该圆锥的侧面积为C.AC = D. PAC △10. 设O 为坐标原点,直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点,且与C 交于M ,N 两点,l 为C 的准线,则（）． A. 2p =B. 83MN =C. 以MN 为直径的圆与l 相切D. OMN ∆为等腰三角形11. 若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值,则（）． A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac <12. 在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立．发送0时,收到1的概率为(01)αα<<,收到0的概率为1α-；发送1时,收到0的概率为(01)ββ<<,收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案:单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码；三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码（例如,若依次收到1,0,1,则译码为1）.A. 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到l ,0,1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a ,b 满足3a b -=,2a b a b +=-,则b =______．14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为______． 15. 已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+=交于A ,B 两点,写出满足“ABC ∆面积为85”的m 的一个值______． 16. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+,如图A ,B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点,若π6AB =,则()πf =______．四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABC ∆D 为BC 中点,且1AD =．（1）若π3ADC ∠=,求tan B ；（2）若228b c +=,求,b c ． 18. {}n a 为等差数列,6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,记n S ,n T 分别为数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,432S =,316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明:当5n >时,n nT S >．19. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c ,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为()q c ．假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5p c =％时,求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+,当[]95,105c ∈时,求()f c 的解析式,并求()f c 在区间[]95,105的最小值．20. 如图,三棱锥A BCD -中,DA DB DC ==,BD CD ⊥,60ADB ADC ∠=∠=,E 为BC 名中点．（1）证明:BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =,求二面角D AB F --的正弦值．21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为()-, （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ,2A ,过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ,N 两点,M 在第二象限,直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上. 22. （1）证明:当01x <<时,sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围．2023年高考数学试卷(全国新高考Ⅱ卷)解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. A解:因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+则所求复数对应的点为()6,8,位于第一象限. 故选:A. 2. B解:因为A B ⊆,则有:若20a -=,解得2a =,此时{}0,2A =-,{}1,0,2B =,不符合题意；若220a -=,解得1a =,此时{}0,1A =-,{}1,1,0B =-,符合题意；综上所述:1a =. 故选:B. 3. D解:根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人,高中部共抽取2006020600⨯= 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选:D. 4. B解:因为()f x 为偶函数,则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，,解得0a = 当0a =时,()21ln 21x x x f x -=+,()()21210x x -+>,解得12x >或12x <-则其定义域为12x x⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭,关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭- 故此时()f x 为偶函数. 故选:B. 5. C解:将直线y x m =+与椭圆联立2213y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 可得2246330x mx m ++-= 因为直线与椭圆相交于,A B 点,则()223604433m m -⨯-∆=>,解得22m -<< 设1F 到AB 的距离12,d F 到AB 距离2d ,易知())12,F F则1d =2d =122F AB F ABS S===,解得m =或-故选:C.6. C解:依题可知,()1e 0xf x a x '=-≥在()1,2上恒成立,显然0a >,所以1e x x a≥ 设()()e ,1,2xg x x x =∈,所以()()1e 0xg x x =+>',所以()g x 在()1,2上单调递增()()1e g xg >=,故1e a ≥,即11e ea -≥=,即a 的最小值为1e -．故选:C ． 7. D解:因为2cos 12sin 2αα=-=,而α为锐角解得:sin2α=14==．故选:D ． 8.C解:设等比数列{}n a 的公比为q ,首项为1a若1q =,则61126323S a a S ==⨯=,与题意不符,所以1q ≠；由45S =-,6221S S =可得,()41151a q q-=--,()()6211112111a q a q q q--=⨯--名由名可得,24121q q ++=,解得:24q =.所以8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---．故选:C ．二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9. AC解:依题意,120APB ∠=︒,2PA=,所以1,OP OA OB ===A选项,圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=,A 选项正确；B 选项,圆锥的侧面积为π2=,B 选项错误； C 选项,设D 是AC 的中点,连接,OD PD则,AC OD AC PD ⊥⊥,所以PDO ∠是二面角P AC O --的平面角则45PDO ∠=︒,所以1OP OD ==故AD CD ===则AC =C 选项正确；D 选项,PD ==,所以122PACS=⨯=,D 选项错误. 故选:AC.10. AC解:A 选项:直线)1y x =-过点()1,0,所以抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F所以1,2,242pp p ===,则A 选项正确,且抛物线C 的方程为24y x =. B 选项:设()()1122,,,M x y N x y由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--= 解得1213,3x x ==,所以121163233MN x x p =++=++=,B 选项错误.C 选项:设MN 的中点为A ,,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d 因为()()12111222d d d MF NF MN =+=+= 即A 到直线l 的距离等于MN 的一半,所以以MN 为直径的圆与直线l 相切,C 选项正确.D 选项:直线)1y x =-,0y +=O 0y +=的距离为d =所以OMN ∆的面积为11623⨯=由上述分析可知)1213113y y ⎫=-=-=-=⎪⎭所以3OM ON ==== 所以OMN ∆不是等腰三角形,D 选项错误. 故选:AC.11. BCD解:函数2()ln b cf x a x x x =++的定义域为(0,)+∞,求导得223322()a b c ax bx cf x x x x x--'=--= 因为函数()f x 既有极大值也有极小值,则函数()f x '在(0,)+∞上有两个变号零点,而0a ≠因此方程220ax bx c --=有两个不等的正根12,x x于是21212Δ80020b ac b x x a c x x a ⎧⎪=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩,即有280b ac +>,0ab >,0ac <,显然20a bc <,即0bc <,A 错.误,BCD 正确. 故选:BCD 12. ABD解:对于A ,依次发送1,0,1,则依次收到l ,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积它们相互独立,所以所求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--,A 正确；对于B ,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到l ,0,1的事件是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积它们相互独立,所以所求概率为2(1)(1)(1)βββββ-⋅⋅-=-,B 正确；对于C ,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和它们互斥,由选项B 知,所以所求的概率为22323C (1)(1)(1)(12)βββββ-+-=-+,C 错误；对于D ,由选项C 知,三次传输,发送0,则译码为0的概率2(1)(12)P αα=-+单次传输发送0,则译码为0的概率1P α'=-,而00.5α<<因此2(1)(12)(1)(1)(12)0P P αααααα'-=-+--=-->,即P P '>,D 正确.故选:ABD.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.解:因为2a b a b +=-,即()()222a ba b +=-则2222442→→→→→→→→+⋅-=+⋅+b b a a b b a a ,整理得220a a b -⋅= 又因为3a b -=,即()23a b-=则32222==+⋅-→→→→→b b b a a ,所以3b =.故答案为 14. 28解:由于2142=,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6 所以正四棱锥的体积为()1446323⨯⨯⨯=截去的正四棱锥的体积为()122343⨯⨯⨯=,所以棱台的体积为32428-=. 15.2（112,2,,22--中任意一个皆可以）解;设点C 到直线AB 的距离为d ,由弦长公式得AB =所以1825ABC S d =⨯⨯=△,解得:d =或d =由d ==5=5=,解得:2m =±或12m =±．故答案为:2（112,2,,22--中任意一个皆可以）．16. 解:设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由π6AB =可得21π6x x -= 由1sin 2x =可知,π2π6x k =+或5π2π6x k =+,Z k ∈,由图可知 ()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=,即()212π3x x ω-=,4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以8ππ3k ϕ+=,即8ππ3k ϕ=-+,Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭又因为()00f <,所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()2πsin 4ππ3f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ 故答案为:．四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）5（2）2b c == 【小问1详解】方法1:在ABC ∆中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =则1113313sin 12222822ADCABCSAD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯⨯===,解得4a = 在ABD △中,2π3ADB ∠=,由余弦定理得2222cos c BD AD BDAD ADB =+-⋅∠ 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=,解得c=则cos 14B ==sin B ===所以sin tan cos B B B ==. 【小问2详解】方法1:在ABD △与ACD ∆中,由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩整理得222122a b c +=+,而228b c +=,则a =又11sin 2ADCSADC =⨯∠=解得sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=所以2b c ===.18. （1）23n a n =+ （2）证明见解析【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩ 则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩,解得15,2a d ==,1(1)23n a a n d n =+-=+所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+. 【小问2详解】方法1:由（1）知,2(523)42n n n S n n ++==+,23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩ 当n 为偶数时,12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+当5n >时,22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->,因此n n T S >当n 为奇数时,22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-当5n >时,22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->,因此n n T S >所以当5n >时,n n T S >. 方法2:由（1）知,2(523)42n n n S n n ++==+,23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩ 当n 为偶数时21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n--+--++=+++++++=⋅+⋅=+当5n >时,22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->,因此n n T S > 当n 为奇数时,若3n ≥,则132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-,显然111T b ==-满足上式,因此当n 为奇数时,235522n T n n =+- 当5n >时,22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->,因此n n T S >所以当5n >时,n n T S >. 19. （1）97.5c =,() 3.5%q c = （2）0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩,最小值为0.02【小问1详解】依题可知,左边图形第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>,所以95100c << 所以()950.0020.5%c -⨯=,解得:97.5c =()()0.0197.59550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】当[95,100]c ∈时()()()(95)0.002(100)0.0150.002f c p c q c c c =+=-⨯+-⨯+⨯0.0080.820.02c =-+≥；当(100,105]c ∈时()()()50.002(100)0.012(105)0.002f c p c q c c c =+=⨯+-⨯+-⨯0.010.980.02c =->,故0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩所以()f c 在区间[]95,105的最小值为0.02． 20.（1）证明见解析（2）3【小问1详解】连接,AE DE ,因为E 为BC 中点,DB DC =,所以DE BC ⊥①因为DA DB DC ==,60ADB ADC ∠=∠=,所以ACD ∆与ABD △均为等边三角形AC AB ∴=,从而AE BC ⊥②,由①②,AE DE E =,,AE DE ⊂平面ADE所以,BC ⊥平面ADE ,而AD ⊂平面ADE ,所以BC DA ⊥．【小问2详解】不妨设2DA DB DC ===,BD CD ⊥,BC DE AE ∴===2224AE DE AD ∴+==,AE DE ∴⊥,又,AE BC DEBC E ⊥=,,DE BC ⊂平面BCD AE ∴⊥平面BCD ．以点E 为原点,,,ED EB EA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示:设(0,0,0)D A B E设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == 二面角D AB F --平面角为θ,而(0,AB =因为(EF DA ==-,所以(F,即有()AF =-111100⎧=⎪∴-=,取11x =,所以1(1,1,1)n=；2220==⎪⎩,取21y =,所以2(0,1,1)n = 所以,1212cos 33n n n nθ⋅===,从而sin 3θ==．所以二面角D AB F --的正弦值为3． 21. （1）221416x y -=（2）证明见解析【小问1详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,由焦点坐标可知c =则由ce a==2a =,4b== 双曲线方程为221416x y -=.【小问2详解】由(1)可得()()122,0,2,0A A -,设()()1122,,,M x y N x y显然直线的斜率不为0,所以设直线MN 的方程为4x my =-,且1122m -<< 与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=,且264(43)0m ∆=+>则1212223248,4141m y y y y m m +==--直线1MA 的方程为()1122y y x x =++,直线2NA 的方程为()2222y y x x =--联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得:()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=-- 112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯---- 由2123x x +=--可得=1x -,即1P x =- 据此可得点P 在定直线=1x -上运动. 22. （1）证明见详解（2）((),2,-∞+∞解:（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈,则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立则()F x 在()0,1上单调递增,可得()()00F x F >= 所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x xxx x x=--=-+∈则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈构建()()(),0,1g x G x x '=∈,则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立则()g x 在()0,1上单调递增,可得()()00g x g >= 即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立则()G x 在()0,1上单调递增,可得()()00G x G >= 所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述:sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->,解得11x -<<,即函数()f x 的定义域为()1,1- 若0a =,则()()()2ln 1,1,1f x xx =--∈-因为ln y u =-在定义域内单调递减,21y x =-在()1,0-上单调递增,在()0,1上单调递减则()()2ln 1f x x=--在()1,0-上单调递减,在()0,1上单调递增故0x =是()f x 的极小值点,不合题意,所以0a ≠. 当0a ≠时,令0b a => 因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax xa x x bx x =--=--=--且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦所以函数()f x 在定义域内为偶函数. 由题意可得:()()22sin ,1,11xf x b bx x x =--∈'-- （i ）当202b <≤时,取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,()0,x m ∈,则()0,1bx ∈由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +-'=-->--=--- 且22220,20,10b x b x >-≥-> 所以()()2222201x b x b f x x+-'>>-即当()()0,0,1x m ∈⊆时,0)('>x f ,则()f x 在()0,m 上单调递增结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0m -上单调递减所以0x =是()f x 的极小值点,不合题意；（名）当22b >时,取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭,则()0,1bx ∈ 由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++---- 构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=->⎪⎝⎭,则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭ 所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()0,x n ∈时,则()0h x <,且20,10x x >->则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<- 即当()()0,0,1x n ∈⊆时,()0f x '<,则()f x 在()0,n 上单调递减结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0n -上单调递增所以0x =是()f x 的极大值点,符合题意；综上所述:22b >,即22a >,解得a >a <故a 的取值范围为((),2,-∞+∞.。

2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)

2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。

根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。

将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。

因此，f'(1)的值为1，选项B正确。

2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。

直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。

对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。

在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。

由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。

因此，选项A正确。

3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。

由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。

将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。

将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。

因此，选项C正确。

4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。

新高考高二数学试卷及答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 102. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则a10的值为（）A. 29B. 30C. 31D. 323. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = -1C. y = 1D. y = -14. 已知复数z = 2 + 3i，则|z|的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0，则x的取值范围为（）A. x < 1 或 x > 3B. x < 3 或 x > 1C. x < 2 或 x > 2D. x < 1 或 x < 36. 已知等比数列{bn}中，b1 = 2，公比q = 3，则b5的值为（）A. 162B. 243C. 216D. 817. 若函数f(x) = |x| + 1，则f(-2)的值为（）A. 3B. 1C. -3D. -18. 已知复数z = 4 - 3i，则z的共轭复数为（）A. 4 + 3iB. 4 - 3iC. -4 + 3iD. -4 - 3i9. 若不等式2x - 3 < 5，则x的取值范围为（）A. x < 4B. x < 2C. x > 4D. x > 210. 已知等差数列{an}中，a1 = 5，公差d = -2，则a6的值为（）A. -7B. -8C. -9D. -1011. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 212. 已知复数z = 3 + 4i，则z的模长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为______。

2024年新高考全国Ⅱ卷数学试卷试题真题答案详解(精校打印)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1CD ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B．2CD ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段B '，P '为垂足，则线段B '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则a =（）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=.14．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A +=．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 翻折至PEF !，使得PC =．(1)证明：EF PD ⊥；(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--，则z ==故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取1x =-、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取1x =-，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅ ，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+=，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而=b 故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知ℎ为偶函数，根据偶函数的对称性可知ℎ的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为∈−1,1，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于ℎ有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则ℎ为偶函数，根据偶函数的对称性可知ℎ的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即ℎ有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得3AM =，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥P ABC -，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥P ABC -的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯⨯=⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA=DN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++，解得3x=，所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥P ABC-，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥P ABC-的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯，解得d=，取底面ABC的中心为O，则⊥PO底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为1x =-，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为1x =-，A 的圆心(0,4)到直线1x =-的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，0a <时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，(0,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．3-【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--，因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos 3αβ=====-故答案为：3-.14．24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：24cos 30(2cos 0A A A -+=⇔-=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅=+=，根据向量的数量积公式，||||cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211tt A A t t-==++，整理可得，222(2(20((2t t t --+-==--，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==，解得b c ==故ABC V 的周长为2+16．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-x f x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意∈恒成立，可知()f x 在上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a+'=>，可知()g a 在0,+∞内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在0,+∞内单调递增，可知()g a 在0,+∞内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以⊥EF 平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故⊥EF PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==- ，所以cos ,65m n m n m n⋅==，设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin 65θ==，即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.【点睛】18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，()()()3213511C 1P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路三：利用点差法得到()11111n n n n n n P P n n n n x y x y k x y x y +++++++-=+--，()1222112211n n n n n n P P n n n n x y x y k x y x y -+++--++--++-=+--，再结合（2）中的结论得()1122n n n n x y q x y +++++=+，最后证明出112n n n n P P P P k k +-+=即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）方法一：由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x ----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n n n x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k+-的等比数列.方法二：因为(),n n n P x y ，()11,n n n Q x y ++-，11n n n n y y k x x ++-=-+，则111111n n n nn n n nx x y y k k x x y y +++++-++=-++-，由于22112299n n nn x y x y ++⎧-=⎨-=⎩，作差得()()()()1111n n n n n n n n x y x y x y x y ++++-+=-+，1111n n n n n n n n x y x y x y x y ++++-+=-+，利用合比性质知1111111111n n n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y kx y x y x y x y k ++++++++-+-+++===-+-++-，因此{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：11sin ,22UVW S UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅12UV UW =⋅==12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11k k-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- ，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11k k-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- .所以3n n P P + 和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.方法三：由于22112299n n n n x y x y ++⎧-=⎨-=⎩，作差得222211n n n n x x y y ++-=-，变形得()111111111n n n n n n n n n nP P n n n n n n n n y y x x x y x y k x x y y x y x y +++++++++-+++-===-++--①，同理可得()122121221121212211n n n n n n n n n n P P n n n n n n n n y y x x x y x y k x x y y x y x y -++-+-++--+-+-++---+++-===-++--，由（2）知{}n n x y -是公比为11kk +-的等比数列，令11k q k+=-则()11n n n n x y q x y ---=-②，同时{}n n x y +是公比为1q的等比数列，则()1122n n n n x y q x y +++++=+③，将②③代入①，()()()()()()2211111221111122112211n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n q x y q x y y y x y x y x y x y x x x y x y q x y q x y x y x y ++--+++++--+++++--++--++--++-++-===-+--+--+--即112n n n n P P P P k k +-+=，从而1n n S S -=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。

2022年全国统一高考新高考数学一卷试题和答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合{|4}M x =<，{|31}N x x =，则(M N = )A ．{|02}x x <B ．1{|2}3x x <C ．{|316}x x <D ．1{|16}3x x <2．（5分）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（5分）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n = ，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为2.65)(≈)A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A ．16B ．13C ．12D ．236．（5分）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(2π，2)中心对称，则()(2f π=)A ．1B ．32C ．52D ．37．（5分）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ，则该正四棱锥体积的取值范围是()A ．[18，81]4B ．27[4，81]4C ．27[4，64]3D ．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考数学试卷附答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 0D. 5答案：A解析：将x = -1代入函数f(x) = 2x - 3中，得f(-1) = 2×(-1) - 3 = -5。

2. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 3/4D. √-1答案：C解析：有理数包括整数、分数和小数。

3/4是一个分数，属于有理数。

3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 5B. 6C. 1D. -5答案：A解析：根据韦达定理，方程x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = -(-5) = 5。

4. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项a10的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 40答案：B解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得a10 = 2 + (10 - 1)×3 = 30。

5. 若log2x + log2(x - 1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C解析：根据对数的性质，log2x + log2(x - 1) = log2[x(x - 1)] = log2(3)。

两边同时以2为底取指数，得x(x - 1) = 2^3 = 8。

解得x = 4或x = -2。

由于题目要求x > 1，故x = 4。

6. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|^2的值为（）A. 25B. 9C. 16D. 49答案：A解析：复数z的模长|z| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。

所以|z|^2 = 5^2 = 25。

7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 - 6x + 2D. 3x^2 - 6x - 2答案：A解析：对函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1求导，得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。

高考新数学试卷题型及答案

1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处的切线斜率为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：首先求导数f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，代入x = 1得f'(1) = 4，即切线斜率为4。

2. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，b = 4，则c的值为多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D解析：由等差数列的性质，得2b = a + c，代入a + b + c = 12和b = 4，得a + c = 8，又因为b = 4，所以c = 8。

3. 若x^2 + 2x + 1 = 0，则x的值为多少？A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案：A解析：由完全平方公式，得(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。

4. 若log2x + log4x + log8x = 3，则x的值为多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C解析：利用对数的换底公式，得log2x + log2x^(1/2) + log2x^(3/4) = 3，即log2x^((1 + 1/2 + 3/4)) = 3，解得x^((7/4)) = 2^3，即x = 8。

5. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 32，a = 2，则d的值为多少？A. 8B. 16C. 32D. 64答案：D解析：由等比数列的性质，得a d = b c，代入a + b + c + d = 32和a = 2，得2 + b + c + d = 32，即b + c + d = 30，又因为a d = b c，所以2d = 30，解得d = 15。

二、填空题6. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴方程为x = ________。

答案：2解析：对称轴方程为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得x = 2。

2023年新高考全国Ⅱ卷数学试卷(含答案)

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目标要求的。

1. 在复平面内，()()133i i +−对应的点W 位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合{}A0,a =−，{}B 1,2,22a a =−−，若A B ⊆，则a =（）A.2B.1C.23D.-13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（） A. 4515400200C C ⋅ B. 204040020C C ⋅C. 3030400200C C ⋅D. 4020400200C C ⋅4. 若函数()()21ln 21x f x x a x −=++为偶函数，则a =（） A. -1B. 0C.12D. 15. 已知椭圆22C :13x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A,B 两点，若△1F AB 的面积是△2F AB 的2倍，则m =( )A.23C. D.23−6. 已知函数()ln x f x ae x =−在区间（1，2）单调递增，则a 的最小值为（） A.2eB.eC.1e −D.2e −7. 已知a 为锐角，cos a =sin 2a=（）A.8. 已S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，若4S 5=−，62S 21S =，则8S =（）A.120B.85C.-85D.-120二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O,AB 为底面直径，∠APB=120°,PA=2,点C 在底面圆周上，且二面角P-AC-O 为45°，则（）A.该圆锥体积为πB.该圆锥的面积为C.AC =D.△PAC10. 设O 为坐标原点，直线)y 1x −过抛线C :22 (p>0)y px =的焦点，且与C 交于M,N两点，L 为C 的准线，则（） A.p 2=B.8MN 3=C.以MN 为直径的圆与L 相切D.△OMN 为等腰三角形11. 若函数()2ln x (0)b cf x a a x x=++≠既有极大值也有极小值,则（） A.bc 0> B.ab 0> C.2b 80ac +>D.ac 0<12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为(01)a a <<，收到0的概率为1a −；发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1的概率为1β−。

2022年新高考数学一卷及解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学I 卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C =，n D C =，则=B CA.n m 23-B.n m 32+-C.n m 23+D.nm 32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m ⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023 新高考数学2卷(完整版附答案)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =A ．2B ．1C ．23D ．1-3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种4．若21()()ln21x f x x a x -=++为偶函数，则a = A ．1-B ．0C ．12D ．15．已知椭圆2213x C y +=：的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =A ．23B ．3C ．3D ．23-6．已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为 A ．2e B ．e C ．1e -D ．2e -7．已知α为锐角，1cos 4α=，则sin 2α=A ．38B ．18-+ C ．34D ．14- 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S = A ．120 B ．85 C ．85- D ．120-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)[含答案]

2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1．已知集合，，，0，2，，则 3{|55}A x x =-<<{3B =-1-3}(A B = )A ．，B ．，C ．，，D ．，0，{1-0}{23}{3-1-0}{1-2}2．若，则 11zi z =+-(z =)A ．B ．C ．D ．1i --1i -+1i-1i +3．已知向量，，若，则 (0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- (x =)A ．B ．C ．1D ．22-1-4．已知，，则 cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()(αβ-=)A ．B ．C ．D ．3m -3m -3m3m5 ()A ．B ．C ．D ．6．已知函数为在上单调递增，则实数的取值范围是 22,0,()(1),0x x ax a x f x e ln x x ⎧---<=⎨++⎩R a ()A ．，B ．，C ．，D ．，(-∞0][1-0][1-1][0)+∞7．当，时，曲线与的交点个数为 [0x ∈2]πsin y x =2sin(36y x π=-()A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一()f x R ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =定正确的是 ()A ．B ．C ．D ．(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推2.1x =20.01s =X (1.8N 20.1)动出口后的亩收入服从正态分布，，则（若随机变量服从正态分布，则Y (N x 2)s ()Z 2(,)N μσ()0.8413)P Z μσ<+≈A ．B ．C ．D ．(2)0.2P X >>(2)0.5P X ><(2)0.5P Y >>(2)0.8P Y ><10．设函数，则 2()(1)(4)f x x x =--()A ．是的极小值点B ．当时，3x =()f x 01x <<2()()f x f x <C ．当时，D ．当时，12x <<4(21)0f x -<-<10x -<<(2)()f x f x ->11．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点C C O C 满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则 2-(2,0)F (0)x a a =<()A ．B ．点，在上2a =-0)C C ．在第一象限的纵坐标的最大值为1D ．当点，在上时，C 0(x 0)y C 0042y x +三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

新高考数学试卷题型带答案

一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

答案：将f(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。

因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)。

2. 题目：在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，求第10项an的值。

答案：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得an = 2 + (10 - 1)×3 = 29。

3. 题目：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，求sinB的值。

答案：根据勾股定理，得AB^2 + BC^2 = AC^2，即5^2 + 10^2 = 8^2，所以sinB = BC/AC = 10/8 = 5/4。

4. 题目：若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的点积。

答案：向量a与向量b的点积为a·b = 1×2 + 2×(-3) = 2 - 6 = -4。

5. 题目：若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求g'(x)的值。

答案：对g(x)求导得g'(x) = 3x^2 - 6x + 4。

二、填空题6. 题目：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(x)的值。

答案：对f(x)求导得f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。

7. 题目：在等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，求第5项bn的值。

答案：根据等比数列的通项公式bn = b1·q^(n-1)，代入b1 = 3，q = 2，n = 5，得bn = 3×2^(5-1) = 48。

8. 题目：若函数h(x) = e^x - x，求h''(x)的值。

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23．已知函数 f x x3 ax2 bx c ，过曲线 y f x 上的点 P 1, f 1 处的切线方
程为 y 3x 1 ．
（1）若函数 f x 在 x 2 处有极值，求 f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数 y f x 在区间3,1 上的最大值．
24．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD ， PAD 是等边 3
18．在极坐标系中，直线 cos sin a(a 0) 与圆 2cos 相切，则 a __________．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出.现有抛物线 y2 2 px( p 0) ，如图一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行 x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为 4，则该抛物线的方程为
D． 5 x 5
12．如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点.若 M，
O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A．3
B．2
C． 3
二、填空题
13．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
14．复数 i 1 i 的实部为．
三角形， F 为 AD 的中点， PD BF .
（1）求证： AD PB ；（2）若 E 在线段 BC 上，且 EC 1 BC ，能否在棱 PC 上找到一点 G ，使平面 DEG
4 平面 ABCD？若存在，求四面体 D CEG 的体积. 25．选修 4-5：不等式选讲：设函数 f (x) x 1 3 x a . （1）当 a 1时，解不等式 f (x) 2x 3 ；（2）若关于 x 的不等式 f (x) 4 2 x a 有解，求实数 a 的取值范围.
（t 为参数）距离的最小值．
22．已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y 1 x2 4
的焦点，离心率为 2 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
MA 1 AF ， MB 2 BF ，求 1 2 的值.
__________．
20．
16
3 4
81
+log3
5 4
log3
4 5
________.
三、解答题
21．已知曲线 C ：
（t 为参数）， C ：
（为参数）．
（1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 C 上的点 P 对应的参数为，Q 为 C 上的动点，求中点到直线
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（）
A．直角三角形
B．钝角三角形 C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边中，函数 y ax 与 y loga x 的图像是（）
A．
B．
C．
D．
10．设 0＜a＜1，则随机变量 X 的分布列是
该几何体的俯视图为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知平面向量 a =（1，－3）， b =（4，－2）， a b 与 a 垂直，则是（）
A．2
B．1
C．－2
D．－1
4．在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字
新高考数学试卷(附答案)
一、选择题 1．已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x 3 ， y 3.5 ，则由该观测
的数据算得的线性回归方程可能是( )
A． y 0.4x 2.3
B． y 2x 2.4
C． y 2x 9.5
D． y 0.3x 4.4
2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则
相同的信息个数为
A．10
B．11
C．12
D．15
5．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB
A． 3 AB 1 AC 44
B． 1 AB 3 AC 44
C． 3 AB 1 AC 44
D． 1 AB 3 AC 44
6．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3
X
0
a
1
1
1
1
P
3
3
3
则当 a 在（0，1）内增大时（）
A． D( X ) 增大
B． D( X ) 减小
C． D( X ) 先增大后减小
D． D( X ) 先减小后增大
11．已知锐角三角形的边长分别为 2，3， x ，则 x 的取值范围是（）
A． 5 x 13
B． 13 x 5
C． 2 x 5
只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为
A． 2 3
B． 3 5
C． 2 5
D． 1 5
x2 ax 5, x 1,
7．已知函数
f
x
a
是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（）
x , x 1,
A． 3 a 0
B． a 0
C． a 2
D． 3≤a≤2
8．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项 C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项 B；故选 A．考点：线性回归直线.
2．C
解析：C 【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合 C 选项．故选 C．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．考点：三视图．
D． 2
15．△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 b 6, a 2c, B π ，则△ABC 的面 3
积为__________.
16．函数 y lg1 2sin x 的定义域是________．
17．在体积为 9 的斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，S 是 C1C 上的一点，S—ABC 的体积为 2，则三棱锥 S—A1B1C1 的体积为___．

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