第十二章 弯曲刚度和变形

1/ρ l l 1/ρ
1/ρ s s 1/ρ θ/ρ l θ/ρ
1/ρ 1/ρ
1/ρ
f
l
M — 1/ρ曲线
请大家认真体会图中 Bs、 Bl 、 B 的区别
受弯构件的挠度变形验算
◆ 由于弯矩沿梁长的变化的，抗弯刚 度沿梁长也是变化的。但按变刚度梁 来计算挠度变形很麻烦。 ◆ 《规范》为简化起见，取同号弯矩 区段的最大弯矩截面处的最小刚度 Bmin，按等刚度梁来计算 ◆ 这样挠度的简化计算结果比按变 刚度梁的理论值略偏大。 ◆ 但靠近支座处的曲率误差对梁的 最大挠度影响很小，且挠度计算仅考 虑弯曲变形的影响，实际上还存在一 些剪切变形，因此按最小刚度Bmin计 算的结果与实测结果的误差很小。
(下限)
B2
考虑部分荷载长期作用的影响
M q (M k M q )
长期作用的荷载效应 短期作用的荷载效应
M q = Ml
Mk = MS
Ml 2 (M s M l ) 2 f = S l S l Bs Bs
长期作用荷载 产生的总挠度
长期作用荷载产 生的短期挠度
短期作用荷载产 生的短期挠度
M
等效惯性矩法
EI0
B
Branson建议
EIcr
M cr a M cr a Ie = ( ) I 0 [1 ( ) ]I cr M M
ACI318-95取a=3，于是有：
I
A
o
f
I0
M cr 3 I e = I cr ( I 0 I cr )( ) M
Icr
o
Mcr
My
M
等效刚度法----同济大学研究人员建议的方法
C
M s = C hh0= c h0 b hh0 M s = T hh0 = s As hh0
Ms c = hbh02
Ms s = As hh0
sAs
hh0
c Ms Ms =c = e c = ce c = c 2 hEcbh0 E c Ecbh02
刚度是反映力与变形之间的关系：
= Ee 应力-应变：
M = EI ×f 弯矩-曲率：
EI P = 48 × × f 荷载-挠度： （集中荷载） l3 EI V = 12 d（两端刚接） 水平力-侧移： h3
由于混凝土开裂、弹塑性应力-应变关系和钢筋屈服等影响， 钢筋混凝土适筋梁的M-f 关系不再是直线，而是随弯矩增大， 截面曲率呈曲线变化。
ec fi = , h0
ec e fl = 1h0
crp c
fl
e = (1 ) fi 1 ec
crp c
ec
eccrp
As’
由f=sfl2得
1h0
h0
h0
fi
Ms
fcrp
crp e ccrp e f l = s (1 )fi l 2 = (1 c ) f i 1 ec 1 ec
第十二章 弯曲刚度和变形
变形限值
f ≤[f]
[f]为挠度变形限值。主要从以下几个方面考虑： 1、保证结构的使用功能要求。结构构件产生过大的变形将影响甚至 丧失其使用功能，如支承精密仪器设备的梁板结构挠度过大，将 难以使仪器保持水平；屋面结构挠度过大会造成积水而产生渗漏； 吊车梁和桥梁的过大变形会妨碍吊车和车辆的正常运行等。 2、防止对结构构件产生不良影响。如支承在砖墙上的梁端产生过大 转角，将使支承面积减小、支承反力偏心增大，并会引起墙体开 裂。 3、防止对非结构构件产生不良影响。结构变形过大会使门窗等不能 正常开关，也会导致隔墙、天花板的开裂或损坏。 4、保证使用者的感觉在可接受的程度之内。过大振动、变形会引起 使用者的不适或不安全感。
As
e ccrp (1 )fi ec
ACI318-95（Branson的结果）
f l = (1 ) f i , =
'
1 50 '
, 0 ' 2
关于受弯构件刚度的讨论
1.混凝土是弹塑性体，在荷载作用下会发生塑性变形，荷载越大 塑性变形也越多, 所以受弯构件即使在荷载短期效应Ms作用下，刚 度Bs 随荷载增加也会逐渐减小; 2.实验表明，在荷载效应长期作用下,混凝土梁的变形会增加θ 倍； 3.工程中梁的荷载中只有一部分是长期作用的，所以在变形验算 中只应考虑这部分荷载（而不是全部荷载）的长期作用；可近似地 先计算荷载长期效应Ml 引起的长期变形，再计算其余部分荷载效应 （Ms - Ml ）引起的短期变形，然后叠加； （应当指出，非弹性材料不能应用叠加原理，这里只是近似计算；） 4. 应当强调的是荷载长期效应Ml 同样也会引起短期变形1/ρl ，随 时间延续，由于徐变等原因，变形1/ρl 逐渐增大到θ /ρl 。
源自文库 6 E = 0.2 1 3.5g f
g f =
(bf b)hf bh0
受压翼缘加强系数
3、钢筋应变不均匀系数
= 1.1 0.65
sk
M sk = As hh0
sk te
As te = Ate
f tk
当 <0.2时，取 =0.2； 当 >1.0时，取 =1.0； 对直接承受重复荷载作 用的构件，取 =1.0。
考虑部分荷载长期作用 的抗弯刚度
Ms 2 f =S l Bl
MK B= Bs M（ q 1 ) +MK
时变系数法
*无As’时，徐变后钢筋应力增 大，压区混凝土应力略有增大； M
s
ec
eccrp
As’ h0 As
1h0
h0
fi fcrp
*有As’时， 徐变后，As’的应力 增大，使得压区混凝土应力减 小，徐变减小
MM
MM s s
EI 1
Bs
1
B Bl 1 1
MM l l
EI 或 B=M / (1/ρ)，即刚度为图中各 彩色斜线的斜率， EI —理想弹性体的抗弯刚度； Bs—在荷载短期效应作用下的抗弯刚 度; B—考虑部分荷载效应长期作用的抗 弯刚度; Bl —荷载长期效应作用下的抗弯刚度； Ml —荷载长期效应组合； Ms —荷载短期效应组合, 即荷载标准 值作用下的的最不利内力组合Mk ；
sk te
f tk
在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数h、 和 中， h 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。
该参数反映了裂缝间混凝土参与受拉工作的情况，随着弯矩增 加，由于裂缝间粘结力的逐渐破坏，混凝土参与受拉的程度减 小，平均应变增大， 逐渐趋于1.0，抗弯刚度逐渐降低。
M
B0
180 160 140
B1
B2
=1.27% =0.98% =0.81%
o
定义混凝土开裂前的 截面刚度为初始刚度 ， 开裂后至割线刚度突 变结束时的割线刚度 为开裂后刚度
f
M (×106N.mm)
120 100 80 60 40 20 0 -20 0 20
=0.66% =0.52%
=0.40%
te为以有效受拉混凝土截面面积
计算的受拉钢筋配筋率。
Ate为有效受拉混凝土截面面积，对
受弯构件取
Ate = 0.5bh (b f b)h f
Bs =
E h
Es A h
2 s 0
Es A h Bs = 6 E 1.15 1 3.5g f
2 s 0
= 1.1 0.65
Ms = e s = e s = E s h Es As h0
Ms Ms 2 M s e s e c Ec bh0 h Es As h0 f = = = Bs h0 h0
s
Bs =
E h
2 Es As h0
参数h、 和的讨论
1、开裂截面的内力臂系数h 试验和理论分析表明，在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围， 裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况，h 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取h=0.87。 2、受压区边缘混凝土平均应变综合系数 根据试验实测受压边缘混凝土的压应变，可以得到系数 的试 验值。在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，系数 的变化很小， 仅与配筋率有关。《规范》根据试验结果分析给出，
“最小刚度刚度原则”
M EcI0 My Ms
M
E cI 0 0.85EcI0
Mcr
Mcr Bs
f
f
短期弯矩Msk一般处于第Ⅱ阶段，刚度计算需要研究构件带裂 缝时的工作情况。该阶段裂缝基本等间距分布，钢筋和混凝土 的应变分布具有以下特征：
ec c = ec
f =
es ec
h0
Bs =
Ms
f
es = es
刚度公式的建立
在荷载长期作用下，由于混凝土的徐变会使梁的挠度随时间增 长。此外，钢筋与混凝土间粘结滑移徐变、混凝土的收缩等也会导 致梁的挠度增大。根据长期试验观测结果，荷载长期作用的挠度与 短期作用的挠度的比值 可按下式计算：，
= 2.0 0.4
Ml 2 (M s M l ) 2 f = S l S l Bs Bs
=0.29%
40
60
6
80 mm-1 )
100
120
£ ¦ Õ (× 10­
M
B0
B1
B2
o
f
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 ä ½ Å î Â Ê ¦ Ñ % 1
0.6
¼ ã Æ Ë Ç ú Ï ß â º Ä Ï ú Ç Ï ß
È Õ ¶ ¼ ¸ õ Ê È /³ Õ ¶ ±¸ ·Ê ü þ î Ç Ö ½ ¸
材料力学中曲率与弯矩关系的推导
f=
e
y
几何关系
= Ee e =
M = y I

E
物理关系 平衡关系
M = f= = y Ey EI
e

短期刚度Bs：
解析刚度法 1、几何关系： 2、物理关系：
f =
es ec
h0
c c
es =
s
Es
，
c ec = Ec
h0
3、平衡关系：根据裂缝截面的应力分布
È Õ ¶ ¼ ¸ õ Ê È /³ Õ ¶ ó ¸ Ñ º ª Á ¿
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 ¼ ã Æ Ë Ç ú Ï ß â º Ä Ï ú Ç Ï ß
1.5
0
0.5 ä ½ Å î Â Ê ¦ Ñ £ ¥
1
1.5
M B0 B1
B2
o
f
函数关系式
B1 1 = b B0 a1 1
混凝土的强度 等级

B2 1 = B0 a b2 2
B B0 B1 b2 0.65 0.77 0.88 1.15 o Mcr My M

(上限) a1 C20 C25 C30 C50 0.65 0.63 0.61 0.59 b1 0.49 0.56 0.65 0.84 a2 1.27 1.15 1.10 1.06