百校联盟2021届普通高中教育教学质量检测新高考全国卷数学(1)2020.11.11 - 副本
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题(解析版)
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数221z i i=++，则z =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.【详解】()222122212111i z i i i i i i i-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.2．设集合{}24A x x =-<<，{}260B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}24x x <<【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<， 故选：A. 3．曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .【详解】解：由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法 （1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a ++++++=，则k =（ ）．A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a ++++++2357959a a a a a a ++++++=457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，则60k =．故选：D5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（ ）． A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【分析】根据题意 ()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得()12AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：B6．已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．2B ．2C ．52D ．5【答案】C【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1y x a=，则可求DF 的长，根据1tan DF AOF OD a∠==，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：渐近线方程为1y x a =±，不妨取1y x a=，(),0F c ．其中2221c a =+， 则2211DF a==+，因为D 为AO 中点．因为1tan DF AOF OD a∠==， 所以OD a =，2AO a =． 则12122OAF S a =⨯⨯=△．解得2a =， 所以离心率52c e a ==． 故选：C7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（ ）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米【答案】D【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒， 所以60AC =，在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒22160402604028002=+-⨯⨯⨯=， 所以20753AD =≈（米）． 故选：D【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．234e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】转化为函数()x f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即1x k -=恰好有3个不相等的实数根，设()()xx f x x e=∈R ，则函数()y f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，当0x ≥时，()xx f x e =，故()()211222x xxx e xe x xf x xe e --'==，当102x ≤<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在1[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()00f =，1222e f e ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当0x <时，()x xf x e-=，故()()2112202x xx x e xe x x xe e f x '-----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，函数()f x 的图象如图：由图可知，12012e k f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭， 所以211e k <<+. 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题 9．设函数()1122x x f x --=+，则（ ）．A ．()f x 在()0,∞+上单调递增B ．()f x 的最小值是2C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()f x 的图象关于点()1,0对称【答案】BC【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．【详解】解：对A ，D ，C ，()1122x x f x --=+， ()()()()21121122222x x x x f x f x ------+-=+==∴，即()()2f x f x =-，即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误； 对B ，1120,20x x -->>，()11222x x f x --=+≥=∴，当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列【答案】ACD【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，由112n n S n S n+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以()112n n S n S n +++=+．若11a =，则1120S +=≠，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；由A 知2n n S n +=，则2nn S n =-，当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，即32211111a a a a ++≠++，故B 错误； 若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=， 此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-， 所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确． 故选：ACD11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为12，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（ ）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为14C ．乙最终获胜的概率为932D ．丙最终获胜的概率716【答案】BCD【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错； 第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224P =⨯=，故B 正确；记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，所以甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=． 故选：BCD【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；3、代入概率的计算公式进行运算.12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（ ）．A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是98B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102A B '=C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDED ．平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π3【答案】BD【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，1313333323428BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，可得A M '⊥平面BCDE ，则2222371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上， 因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确． 对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心， 设球的半径为R ，OH d =，则有22233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221d R +=，解得21312R =， 所以外接球的表面积为213π4π3S R ==，故D 正确． 故选：BD.【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.三、填空题13．已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．【答案】14【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.【详解】因为()12f -=，()20f a +=， 所以()2f a =-，由()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，知0x ≤时，()120xf x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14a =． 故答案为：14. 14．已知圆()22:11E x y +=-的圆心与抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 重合，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______． 【答案】1【分析】由题意，求得抛物线方程为24y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，即可求解. 【详解】由题意，圆()22:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12p=，即2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，代入抛物线方程，得2440y ty --=，所以124y y =-，因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，所以()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=， 因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=． 故答案为：1.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．255【分析】根据垂直关系得出111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得()(56212620x x V x -=<<，再利用导数可求出最值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥， 又CM AB ⊥，PAAB A =，所以CM ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ， 又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥， 三棱锥B CMN -体积111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，设BN x =，则MN x =，BM =，在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，因为2AB =，所以2AM =，所以CM =故111326V BN MN CM x =⨯⨯⋅⋅=16x ==0x =<<，令56u x =-，则()45466x x x u ='-=，令0u '=，则x =当06x <<时，0u '>；当6x <<0u '<，故当6x =56u x =-取最大值，此时V 也取最大值，最大值为2max16V =⎝⎭125125618618=⨯=⨯=．. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.四、双空题16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．【答案】π【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可得最大值．【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦， 从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭，设0παβ<<<，且cos α=，cos β=，则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9f α=．故答案为：π． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．五、解答题17．在①2cos 3B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．【答案】答案见解析.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合A 的范围可求π3A =，若补充的条件中有①，则21cos 32B =-<-且(0,)B π∈，可得23B π>,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=， 那么由()sin sin sin B C A C -=-， 可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =， ∴在ABC 中，π3A =． 补充的条件为②③时，三角形存在， 补充的条件为①②或①③时，三角形不存在， 理由如下：若补充的条件中有①，因为21cos 32B =-<-，且()0,πB ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③， 因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯，解得8c =，或5c =-（舍）．所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==． 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π3A =，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2372a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10a >，设数列{}n b 满足231232222n n n b b b b a ++++=，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）3122n n T =-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式 （2）由数列{}2nn b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{}2nn b ⋅的通项公式（注意分类讨论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①∵2372a a =，∴()()211226a d a d +=+， ②由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或130d a =⎧⎨=⎩，当112d a =⎧⎨=⎩时，1n a n =+． 当130d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-． （2）∵10a >，∴1n a n =+，2312322221n n b b b b n ++++=+， ①()231123122222n n b b b b n n --++++=≥， ②①－②得：21nn b =，2n ≥， 得12n nb =，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11,22n nn b n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 所以2n ≥时，12231111222n n nT b b b =+++=++++211113122112212n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--，当1n =时，11T =满足上式，所以3122n nT =-． 【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．（1）证明：11A A A C =；（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式sin n BD n BDθ⋅=代值计算即可.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点． 因为1AC BA ⊥，1BDBA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．因为1AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥， 又AO CO =，所以11A A A C =． （2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥， 从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒， 所以ABC 和1A AC 均为等边三角形， 设2AB =，则)3,0,0B，()0,1,0C ，(13A ，()3,0,0D -．()3,1,0BC =-，(13,0,3BA =-，()23,0,0BD =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，可得100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1x =，则3y =1z =，可取()1,3,1n =，设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ， 则235sin 523n BD n BDθ-⋅===⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5． 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.20．设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，36． 【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为222MF NFMN +=，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，椭圆左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）22MF NF +存在最小值为36，理由如下：设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，0n ≠，直线AM 的方程为()26my x =+， 联立得()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()222227441080m x m x m +++-=，则()()()2222442741080mm m ∆=-+->成立，由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+， 所以()002182627m my x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当3m =时，22542127m m-=+，即DE x ⊥轴， 由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===， 又因为3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，90MFN ∠=︒，此时22236MF NFMN +==，当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率2222180********27FDmmm k m m m -+==---+， 同理269FE nk n=-， 因为DE 过点F ，所以226699m nm n =--，所以9mn =-，()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=所以90MFN ∠=︒，222MF NFMN +=，3m ≠且3n ≠，所以6MN MP NP m n =+=+>==，22236MF NF MN +=>，综上可知，22MF NF +的最小值为36． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润； （2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时得到如下一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-． 【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1464y x =；（ⅱ）256万元.【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元， 则ξ的所有可能取值为150，350，550， 三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.64iii ii u u bu u υυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即()144.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅， 因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1464y x =．（ⅱ）设月收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元． 【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.22．已知函数()()2ln 2xf x e x ax a =--∈R 在点11,22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值；（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，即可求出a ； （2）可知2121f k⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】（1）()212xf x ea x'=--， ()f x 在12x =的切线斜率为12202f e a ⎛⎫=--= ⎪'⎝⎭，解得22a e =-． （2）由（1）知，()()2ln 222xf x e x e x =---，由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2121f k⎛⎫≥+⎪⎝⎭， 又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112k +≤，从而0k ≤，由()()2ln 222xf x ex e x =---，则()21222xf x ee x '=--+，()2214xf x e x''=+， 由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增， 又102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 12x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 而当0k ≤时，112k x +≤恒成立，即()12f x kx ≥+恒成立， 故实数k 的取值范围为(],0-∞．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。
百万联考2020-2021学年高三上学期全国一卷1月联考理科数学试题及答案
高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()212i z =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．2．已知集合{}6A x x =<，()(){}350B x x x =+-<，则A B ⋂=（ ） A ．{}36x x -<< B ．{}56x x << C ．{}35x x -<< D ．{}356x x x <-<<或 3．某校高—年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[]90,100内B ．在(]100,110内C ．在(]110,120内D ．在(]120,130内 4．等差数列{}32n -的前4项和等于该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 5．已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，若P 为C 上异干顶点的任意一点，则1POF △与2POF △的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或166．已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，//a α，//b β，则a b ⊥B ．若//αβ，则b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥C ．若a α⊥，//αβ，//b β，则//a bD ．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则a 与b 异面7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的值可能是（ ） A ．6- B ．2 C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．1539．函数()f x =的定义域为（ ）A ．10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,9 D ．[)9,+∞10．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22 D11．已知函数()()2cos 2144f x x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．412．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24π，则cos 2θ=（ ）A ．13- B ．35- C ．23- D ．45- 二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数()()321f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______．14．9名志愿者到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排3名志愿者，则不同的安排方法共有______种．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S =______．16．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点()(),00P m m >且交C 于A ，B 两点．过点A 和C 的顶点O 的直线交C 的准线于点D ，若BD 与C 的对称轴平行，则m =______．三、解答题：本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 8A B +=，2b a =． （1）求cos A ．（2）若D 是AB 边上一点，且ACD △2，证明：AD CD =． 18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=． （1）求C 的方程．（2）直线l 与y 轴平行，且与C 交于P ，Q 两点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值．19．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为侧棱PD ，PB 的中点，且24PA AD AB ===．（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ．（2）若PC 是平面α的一个法向量，求α与平面AEF 所成锐二面角的余弦值．20．现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为()01p p <<．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 取得最大值．（1）求0p ；（2）设0p p =，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X 万元，求X 的分布列及其数学期望．21．已知函数()()e ln 0x f x a x a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0,1x ∀∈，()2ln f x x x a <+，求a 的取值范围． （二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修44-：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于M ，N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值． 23．【选修45-：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++．（1）求()f x 的值域；（2）若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值． 高三数学试卷参考答案（理科）1．【答案】D【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力．【解答】解：因为34i z =--，所以144i z -=+，则1z -== 故选D ．2．【答案】D【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．【解答】解：因为()(){}{}35035B x x x x x x =+->=<->或， 所以{}356A B x x x ⋂=<-<<或．故选D ．3．【答案】B【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力．【解答】解：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内．故选B ．4．【答案】C【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．【解答】解：等差数列{}32n -的前4项和为1471022+++=，由3222n -=，得8n =．故选C ．5．【答案】D【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想．【解答】解：C 的方程可化为2216416y x -=，所以8a =， 易知1POF △与2POF △周长差的绝对值为216a =，故1POF △与2POF △的周长之差为16-或16．故选D ．6．【答案】B【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力．【解答】解：对于选项A ，当a ，b 都平行于α与β的交线时，//a b ，所以A 为假命题．对于选项B ，b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥，所以B 为真命题．若a α⊥，//αβ，则a β⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则//a b ，所以D 为假命题．故选B ．7．【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力．【解答】解：设()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则()262kT k ππ-=∈Z ，2T πω=，则()3k k ω=∈Z ． 故选A ．8．【答案】C【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养．【解答】解：∵2y x =，2z y =，∵247s x x x x =++=， 由算法的功能可知，输出的10011437x ==． 故选C ．9．【答案】B 【解析】本题考查函数的定义域与对数运算，考查运算求解能力．【解答】解：由()243log 12log log 120x +⋅≥， 得24212243log 121log log 12log 3log 3log log 129x ≥-=-⋅=-=，则19x ≥． 故选B ．10．【答案】D【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养．【解答】解：连接63A A ，14A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =． 设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=， 由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A C AB A A A A ++=+===⋅故λ=D ．11．【答案】B【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想．【解答】解：令21x t +=，则()f x 有且只有一个零点等价于()()2cos 1g t t a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()010g a =-=，故1a =．故选B ．12．【答案】A【解析】本题考查立体几何中的线面角问题、球体的表面积以及三角恒等变换，考查运算求解能力与空间想象能力．【解答】解：设球O 的半径为r ，则2424r ππ=，解得r =因为1AA ⊥平面1111A B C D ，所以11AA A E ⊥， 因为6AE =，所以21622A E =-=，所以E 为11A C 的中点，则1BEB θ=∠，且cos3θ==，故21cos 22cos 13θθ=-=-．故选A ．13．【答案】81【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为()()()32213212f x x x x '=+++⨯， 所以()1275481f '=+=．故答案为：81．14．【答案】1680【解析】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力与应用意识．【解答】解：依题意可得，不同的安排方法种数为3396C C 1680=． 故答案为：1680．15．【答案】()123n-- 【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力． 【解答】解：设{}n a 的公比为q ，则324443S q q =++=，解得2q =-， 则11a =，()123n n S --=．故答案为：()123n--．16．【答案】2【解析】本题考查直线与抛物线，考查抽象概括能力与运算求解能力．【解答】解：设()2000,08y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则直线OA 的方程为08y x y =， 由02,8,x y x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩得016D y y =-．又直线AP 的方程为()02088y y x m y m=--， 由()02028,88,y y x m y m y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得08B m y y =-，因为BD 与C 的对称轴平行，所以B D y y =，故2m =． 故答案为：2．17．【答案】（1）解：∵2b a =，∵sin 2sin B A =，又sin sin A B +=，∵sin A = ∵2b a =，∴a b <，A B <，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故7cos 8A ==． （2）证明：∵21sin 21628ACD S b AD A AD =⋅=⋅=△，∵47AD b =． 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵47CD b =，故AD CD =． 【评分细则】【1】第（1）问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到7cos 8A =±，扣2分．若只得到A B <，而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分． 【2】第（2）问中，未写2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，直接得到2222447427787CD b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不扣分．18．【答案】（1）解：因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=，所以24a =．因为12c e a ==，所以21c =，2223b a c =-=， 故C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ， 则(),Q m n -，22m -<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22ny x m =++， 直线BQ 的方程为()22ny x m =---，()()2,22,2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=--⎪-⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m =，故44P G x x m m⋅=⨯=为定值． 【评分细则】【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a =同样给2分． 【2】第（2）问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分． 19．【答案】（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥． 在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，因为AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥． 因为PA AD =，E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥， 又CD PD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD ．因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD ．（2）解：以A 为坐标原点，AP 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()4,0,0P ，()2,0,2E ，()2,1,0F ，()0,2,4C ．()2,0,2AE =，()2,1,0AF =，()4,2,4PC =-．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0n AE n AF ⋅=⋅=，即220,20,x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，得()1,2,1n =--．所以cos ,PC n ==，故a 与平面AEF 【评分细则】【1】第（1）问解析第二行未写AD PA A ⋂=，但写了AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，不扣分．第五行未写CD PD D ⋂=，要扣1分．【2】第（2）问解析中得到平面AEF 的一个法向量只要与()1,2,1n =--共线即可得分． 20．【答案】解：（1）()()()222224C 161f p p p p p =-=-，()()2222116624f p p p p ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为01p <<，所以当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． （2）因为012p p ==，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍， 所以每场球赛甲队输的概率为13，两队平局的概率为16． 当甲连赢两场时，10X =，且()11110224P X ==⨯=， 当甲赢一场平一场时，5X =，且()11152266P X ==⨯⨯=， 当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X =，且()11111302236636P X ==⨯⨯+⨯=，当甲输一场平一场时，5X =-，且()11152369P X =-=⨯⨯=， 当甲连输两场时，10X =-，且()11110339P X =-=⨯=． 所以X 的分布列为故10551046993EX =⨯+⨯-⨯-⨯=． 【评分细则】【1】第（1）问还可以借助导数的方法求0p ，其步骤如下：()()()()()226212112112f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，当102p <<时，()0f p '>，当112p <<时，()0f p '<． 故当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． 第（1）问还可以借助基本不等式求0p ，其步骤如下：因为()()421361628p p f p p p +-⎛⎫=-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当且仅当1p p =-，即12p =时，等号成立，所以012p =． 【2】第（2）问，严格按照步骤给分．21．【答案】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭． 设函数()1ln g x x x =+，则()21x g x x-'=．当01x <<时，()0g x '<； 当1x >时，()0g x '>． 故()()11g x g ≥=，从而1ln 0x x+>． 当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减． （2）由题意可知0a >．由2ln e ln xx x a a x +>，得ln ln e x x a xa x+>，即ln e ln ln e x x a x a x +>， 即()ln eln e xxa x x a <对()0,1x ∈恒成立．令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x ∈时，()()10h x h <=．由()ln eln e xxa x x a <，得()()e xh x ha <，所以e xx a <，所以e xxa >对()0,1x ∈恒成立． 设()e x x m x =，()0,1x ∈，则()10exxm x -'=>， 所以()m x 在()0,1上单调递增，所以1e a ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭不扣分． 【2】第（2）问中，写到1e a ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分． 22．【答案】解：（1）l 的普通方程为10x y +-=．由22123cos ρθ=+，得2223cos 12ρρθ+=，则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=． （2）由题意，l的参数方程为1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），· 代入22134x y +=，得27160t --=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则127t t +=，12167t t =-， 则121212122711371627t t t t PM PN t t t t +-+=====．【评分细则】【1】第（1）问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分．【2】第（2）问得到27160t --=后，可以直接求出1t ，2t ，其步骤如下：设M ，N 对应的参数分别为1t ，()212t t t <，则1t =，2t =则12111172431122PM PN t t ⨯+=+===． 23．【答案】解：（1）当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>． 综上，()32f x ≥． 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由（1）知，32m =，2232a b +=，则22122a b ++=， 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫⎪⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当22221212b a ab +=+，即21a =，212b =时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2．【评分细则】【1】第（1）问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分．【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分．。
百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三文科数学试题(全国1卷)及答案
则 f (3 ) = 8
A. 2 6 4
B. 2 + 6 4
C. 6 2 4
D. 6 2 2
11.在△ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a= 3，b2+c2bc=3，则 2b+3c 的最大值是
A.5 3
B.2 19
C.3 5
D.19 2
12.已知 O 为坐标原点，点 M 是函数 f(x)=2 (x>0)图象上任意一点，过点 M 作直线 MA，MB 分别与 x
已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1，a3• a4=7.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)设 bn=an • 3"，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
21. (本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x+l)2+y 2= 16 的圆心为 M，过点 N(l，0)的动直线 l(l 与 x 轴不重合)与圆 M 交于 E，F 两点， 且过点 N 作 ME 的平行线交 MF 于点 D. (1) 求动点 D 的轨迹方程； (2)设点 D 的轨迹为曲线 C，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 是直线 x=4 上任意点，直线 PA，PN， PB 的斜率分别为 k1,k2,k3，试探求 k1,k2,k3 是否成等差数列？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
33
4
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3
3
2
3
6.已知 a = log0.20. 3，b=log20. 3，c=log0.32，则 a，b，c 的大小关系为
A. a<b<cຫໍສະໝຸດ B. b<c<a
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷文科数学答案
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷文科数学试题参考答案1．A 【思路点拨】利用集合的并运算即可求解. 【解析】由{3,2,1}A =---，{2,1,0}B =--， 则{3,2,1,0}A B ⋃=---. 故选：A2．B 【思路点拨】依题意计算2iz+，进一步求出答案.【解析】依题意3i (3i)(2i)2i 2i (2i)(2i)z ---==+++-55i 1i 5-==-，则|1i |2i z =-=+故选：B.3．C 【思路点拨】先求3a b -，利用//(3)a a b -求出答案.【解析】3(3,1)3(,4)a b t -=---(33,13)t =--，又(3) a //a b -， 所以(3)13(33)10t -⨯---⨯=，解得12t =. 故选：C.4．B 【思路点拨】列举出基本事件，用古典概型的概率公式求概率.【解析】从1，2，3，…，50中任取一个数共有50种情况，其中能被4整除的数共有4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48共12个，故所求概率1265025P ==. 故选：B【名师指导】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法： （1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.5．B 【思路点拨】根据对数速算的原理，求得该数所处的指数范围，然后换算成对数，对应于表中的数值即可.【解析】设这个正整数为a ，因为a 的62次方是个49位数，所以4862491010a ≤<，即4849lg 6262a ≤<，则lg 0.790.77a ≤<，结合表中数据易知，a 6=. 故选：B.6．A 【思路点拨】根据函数()f x 的是偶函数，求出a ，从而进一步求出(2)f .【解析】若1(1)8f =，则1(1)8f -=，即131(1)228af ----===， 解得2a =.所以221(2)(2)216f f --=-==. 故选：A.7．D 【思路点拨】根据空间中的线线，线面，面面关系一一分析即可.【解析】对于A 项，需要加上n 与l 相交才符合线面垂直的判定定理，故A 错误； 对于B 项，有可能m α⊂，故B 错误；对于C 项，m 与β没有关系，斜交､垂直平行都有可能，故C 错误； 对于D 项，若n β⊥，//αβ，则n α⊥，而//m α，故m n ⊥，故D 正确. 故选：D.8．D 【思路点拨】首先求出函数3cos 47y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭平移和伸缩变化后的函数，然后利用函数的对称中心求出答案.【解析】若将函数3cos 47y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得3cos 27y x π⎫⎛=-⎪⎝⎭， 然后向左平移12π个单位长度，可得3cos 2127y x ππ⎡⎤⎫⎛=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3cos 242x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭， 令2()422x k k πππ+=+∈Z ，得5()221k x k ππ=+∈Z ， 则得到的函数图象的称中心为5,0()221k k ππ⎫⎛+∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：D.9．B 【思路点拨】利用抛物线的焦点求出椭圆的一个焦点，根据2314a =+=，求出a ，进一步求出离心率.【解析】抛物线21:4C y x =-的焦点为(1,0)-，则椭圆2222:1(0)3x y C a a +=>的一个焦点为(1,0)-，则2314a =+=，解得2a =，所以2C 的离心率为12e =. 故选：B.10．C 【思路点拨】根据题目条件可知()02f x '=，进一步求出切点坐标，从而求出a 的值.【解析】由已知，()02f x '=.因为()2cos sin f x x x '=+， 所以()0002cos sin 2f x x x '=+=，联立0022002cos sin 2cos sin 1x x x x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得00cos 2sin 2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00cos sin 10x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为0,6x ππ⎫⎛∈⎪⎝⎭，所以0cos 1,2x ⎛∈- ⎝⎭，而102>，故00cos 10sin 10x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，综上，00cos 2sin 2x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以04x π=，则0002sin cos 2y x x =-=，将()00,A x y代入2y x a =+中，得224a π=⨯+，解得a =-. 故选：C.11．B 【思路点拨】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式、余弦函数的单调性进行求解即可.【解析】因为5cos 7α=>02πα<<，所以04πα<<，sin α==又304πβ<<，所以344ππαβ-<-<，由3cos()52αβ⎛-=∈ ⎝⎭， 可知24ππαβ-<-<，故4sin()5αβ-=-，从而可求得：cos cos[()]βααβ=--=cos cos()sin sin()ααβααβ-+-5347575⎫⎛=⨯+⨯- ⎪⎝⎭1535-=. 故选：B12．D 【思路点拨】由题意可得122F AF π∠=，且2AOF △是等边三角形，所以2AF c =，112sin3AF F F π==，再根据双曲线的定义得122AF AF c a -=-=，由ce a= 即可求解.【解析】如图，设双曲线C 的半焦距为c . 若16OAF π∠=，因为以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点A ，所以122F AF π∠=，所以1||OA OF =，所以116OF A OAF π∠=∠=，所以2113AOF OF A OAF π∠=∠+∠=，又2||OA OF =，则2AOF △是等边三角形，则2AF c =，则112sin3AF F F π=2c ==，再根据双曲线的定义得122AF AF c a -=-=，得1)2c a -=，所以c a ==1=.故选：D13．16【思路点拨】画出可行域求解.【解析】作出不等式组4224x y x y x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤-⎩，所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，观察可知，平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+过点P 时，z 有最大值；联立424x y x =⎧⎨=-⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，故3z x y =+的最大值为43416+⨯=. 故答案为:16.14．0.78【思路点拨】根据概率中独立事件概率的定义计算即可. 【解析】设抽到一等品､二等品､三等品的事件分别为A ，B ，C .则()()0.93()()0.85()()()1P A P B P A P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得()0.07()0.15()0.78P C P B P A =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则抽到一等品的概率为0.78. 故答案为：0.78.15．-由53BD A AC DC B ==，由余弦定理求出5AB =，3AC =，进而由余弦定理可得tan 13B =，再由ABD ACDS BDS DC=，根据三角形的面积公式得出60BAD CAD ∠=∠=︒，由()tan tan 60BDA B ∠=-+︒即可求解.【解析】因为53BD A AC DC B ==. 由余弦定理得222cos12049AB AC AB AC +-⋅︒=， 整理得2249AB AC AB AC ++⋅=，解得5AB =，3AC =，故22213cos 214BA BC AC B BA BC +-==⋅，所以sin 14B =，所以tan B = 由ABDACDS BD S DC ==△△1sin 21sin 2AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠⋅∠，得sin sin BAD CAD ∠=∠，即60BAD CAD ∠=∠=︒，故()tan tan 60BDA B ∠=-+︒=13413+=-=-故答案为：-16．5【思路点拨】设二十四等边体的棱长为1，计算其表面积，再计算正四面体魔方的表面积，即可解得.【解析】设该二十四等边体的棱长为1，则正四面体魔方的棱长也为1，则该二十四等边体的表面积为221816162⨯⨯+⨯=+，正四面体的表面积为214122⨯⨯⨯=2 5.46=≈，所以至少可以涂5个这样正四面体魔方.故答案为：5.17．【思路点拨】（1）利用基本量代换求出通项公式；（2）把112n n a a +转化为112n n a a +113532n n =---，利用裂项相消法求和.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，7a 成等比数列，所以2327a a a =.又14a =-，所以2(42)(4)(46)d d d -+=-+-+，化简得2(6)0d d -=， 又公差不为0，所以6d =.故1(1)n a a n d =+-=4(1)6610n n -+-⨯=-. （2）依题意，11212(610)(64)n n a a n n +=--311(35)(32)3532n n n n ==-----，故111111211447n T =-+-+-+⋅⋅⋅+-1111335322322(23)n n n n n -=-=-----. 【名师指导】(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由S n 求a n ；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③分组求和法；④裂项相消法；⑤错位相减法．18．【思路点拨】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，判断F 为BE 的中点，根据线面平行的判定证//DE 平面ACF ；（2）应用勾股定理、余弦定理求AC ，AF ，CF ，cos AFC ∠，利用三角形面积公式求AFC S △，根据等体积法求点面距离.【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，则O 为BD 的中点， ∵E ，F 为PB 的两个三等分点，∴F 为BE 的中点，则//OF DE ，又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ， ∴//DE 平面ACF .（2）∵3PA AD AB ===，由勾股定理得223332AC =+=22215AF =+=22231111CF =++= 由余弦定理得222(5)(11)(32)cos 2511AFC ∠=⨯⨯55=2154sin 15555AFC ⎫⎛∠=--= ⎪⎝⎭∴154365112255AFC S ==△，设点B 到平面ACF 的距离为d . 由B ACF F ABC V V --=，得213611313232d ⨯⨯=⨯⨯⨯，解得62d =. ∴点B 到平面ACF 6【名师指导】关键点点睛：（1）由等分点，结合中点的性质证线线平行，根据线面平行的判定证线面平行； （2）应用等体积法求点面距离.19．【思路点拨】（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案； （2）由频率分布直方图，直接求平均分；（3）分别求出该中学数学分数在[50,60)和[60,70)的频率和人数进一步求出答案.【解析】（1）由频率分布直方图可得(0.030.035)10123m n n m n ++++⨯=⎧⎨=⎩，解得0.0150.01m n =⎧⎨=⎩.（2）由频率分布直方图可得， 估计该中学数学测试的平均分为(550.01650.015750.035⨯+⨯+⨯+850.03950.01)1076.5⨯+⨯⨯=.（3）因为该中学数学分数在[50,60)的频率是0.01100.1⨯=， 所以估计该中学数学分数在[50,60)的人数是15000.1150⨯=； 同理，因为该中学数学分数在[60,70)的频率是0.015100.15⨯=， 所以估计该中学数学分数在[60,70)的人数是15000.15225⨯=. 所以估计该中学数学分数在[50,70)的人数为150225375+=.20．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案.(2)根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N 的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案.【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >,所以直线l 的斜率存在. 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>.联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410kk∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k -=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-. 设1mmλ=-，[2,3)λ∈， 则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k k λλ--==+-+，则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得0k <≤，即0tan θ<≤，所以0sin θ<≤. 故sin θ的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦. 【名师指导】关键点睛：本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634k y y k +=+，2122934k y y k-=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF mF Nm=∈-，得出关系求解，属于中档题. 21．【思路点拨】（1）函数定义域为(0,)+∞，求导22()axf x x-'=，再分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可得答案； （2）根据题意得22ln 222x x a x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立，故令22ln 22()2x xh x x x++=+，求函数()h x 最大值即可得答案.【解析】（1）函数()2ln 22f x x ax =-+的定义域是(0,)+∞.222()2ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '<，得1x a >；令()0f x '>，得10x a<<， 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）不等式()()f x g x ≤为22ln 222x ax ax x -+≤-，所以不等式22(ln 1)22x ax ax x +≤+-在(0,)+∞上恒成立， 所以22ln 222x x a x x++≥+在(0,)+∞上恒成立. 设22ln 22()2x x h x x x ++=+，则()222(1)(2ln )()2x x x h x x x ++'=-+， 当0x >时，10x +>，()2220x x +>，又()2ln x x x ϕ=+在(0,)+∞上是增函数，112ln 2022ϕ⎫⎛=-<⎪⎝⎭，(1)10ϕ=>， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=， 当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>；当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，即()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()0002ln 0x x x ϕ=+=，00ln 2x x =-， 则()00max 02002ln 22()2x x h x h x x x ++==+02000212x x x x +==+，所以01a x ≥，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以01(1,2)x ∈，又因为a ∈Z ，所以min 2a =，所以a 的最小值为2.【名师指导】本题考查利用导数求解函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为“隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程0()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数()'f x 的正负，进而得到()f x 的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程0()0g x =适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 22．【思路点拨】（1）由22cos sin 1θθ+=可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin Q θθ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得PQ 的最小值.【解析】（1）由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得，2222cos sin 12x y θθ⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=， 故曲线C 的普通方程是2214x y +=. 由2cos 3sin 12ρθρθ-=及公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得2312x y -=，故直线l 的直角坐标方程是23120x y --=；（2）直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 设()2cos ,sin Q θθ，点Q 到直线23120x y --=距离为d =125cos θϕ-+==（其中3tan 4ϕ=）， 当()cos 1θϕ+=时，mind =min PQ =【名师指导】方法点睛：解决与圆或椭圆有关的最大值和最小值以及取值范围的问题，常常设圆或椭圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值以及取值范围的问题，注意三角恒等式()sin cos a b θθθϕ+=+（其中tan b aϕ=，其中0a ≠，且角ϕ的终边过点(),a b ）.23．【思路点拨】（1）分2x <-，21x -≤≤-，1x >-三种情况求解即可得答案.（2）结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，再解()min 34a f x -≥即可得答案.【解析】（1）依题意，|33||2|10x x +++>. 当2x <-时，33210x x ---->，解得154x <-； 当21x -≤≤-时，33210x x --++>，解得112x <-，无解； 当1x >-时，33210x x +++>，则54x >，故54x >； 故不等式()10f x >的解集为155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭.（2）依题意，()|33||2|f x x x =+++45,221,2145,1x x x x x x --<-⎧⎪=---≤≤-⎨⎪+>-⎩，由一次函数的性质知，()f x 在(],1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 所以()min ()11f x f =-=，即()f x 的值域为[1,)+∞，因为方程()34f x a =-有实数解，所以341a -≥，解得12a ≤， 故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【名师指导】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
江苏省百校联考2020-2021学年度第一学期高一年级第一次考试数学试题(word版,含答案)
江苏省百校联考高一年级第一次试卷数学一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数()f x=A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(1,+∞)2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},集合N={(x,y)|x-y=4},则M∩N是A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1)}3.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},则阴影部分表示的集合为A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤3}4.20世纪30年代,里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显,7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的A.20倍B.1g20倍C.100倍D.1000倍5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足1(21)()2f x f-<的x的取值范围是3.(,)4A -∞ 13.(,)44B 13.(,)(,)44C -∞⋃+∞ 3.[0,)4D 6.从这个商标中抽象画出一个函数图象如图所示,其对应的函数可能是21.()1A f x x =- 21.()1B f x x =+ 1.()|1|C f x x =- 1.()|||1|D f x x =- 7.正数a,b 满足912a b +=,若22a b x x +≥+对任意正数a,b 恒成立,则实数x 的取值范围是 A.[-4,2] B.[-2,4] C.(-∞,-4]U[2,+∞) D.(-∞,-2]U[4,+∞)8.若关于x 的不等式2(2)20x m x m -++<的解集中恰有1个整数则实数m 的取值范围是A.[0,1)B.(3,4]C.[0,1)∪(3,4]D.[0.2)∪(2,4]二､选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知集合22{2,334,4}M x x x x =-+-+-,若2∈M.则满足条件的实数x 可能为A.2B.-2C.-3D.110.已知x ∈R ,条件2:,p x x <条件1:,q a x ≥,若p 是q 的充分不必要条件则实数a 的取值可能为 A.-1 B.0 C.1 D.211.下列说法中正确的有A.不等式a b +≥B.不等式a b +≤C.若a,b ∈(0,+∞),则2b a a b +≥D.存在a,使得不等式12a a+≤成立 12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一享有“数学王子”的称号他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家用其名字命名了“高斯函数”.设x ∈R ,用[x]表示不超过x 的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数221()21x f x x =-+,则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的有A.g(x)是偶函数B.f(x)是奇函数 .()C g x 的值域是{-1,0} .()D g x 是R 上的增函数三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知2(21)2,f x x x +=-则f(7)=________.14.若命题“∃x ∈R ,使得2(1)10x a x +-+<”是真命题,则实数a 的取值范围是___.15.已知a>0,b>0,且2ab=a+b+4,则a+b 的最小值为_________.16.设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩,当a=1时,f(x)的最小值是________;若2()f x a ≥恒成立,则a 的取值范围是_________.(本题第一空2分,第二空3分)四､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在2{|2},B x x x =+>①{|B x y =②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中.问题.已知全集U=R ,A={x|2x-1<0},且_________,求().U A B ⋂注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18..本小题满分12分)(1)计算2233041168()()1)281---+-； (2)计算222lg5lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+.已知函数2()()f x x a b x a =+++.(1)若关于x 的不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2},求a,b 的值;(2)当b=1时,解关于x 的不等式f(x)>0.20.(本小题满分12分)2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我们控制住了疫情.接着我们一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产减少经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m(m ≥0)万元满足41k x m =-+(k 为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将产品的销售价格定为每件产品1224x x+元. (1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?21.(本小题满分12分)定义在(-1,1)上的函数2()1ax b f x x +=+,满足f(x)+f(-x)=0,且12().25f -=- (1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;(3)解关于x 的不等式f(2x)+f(x-1)<0.设a,b ∈R ,若函数f(x)定义域内的任意一个x 都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x 都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数92().2x g x x -=+ (1)证明:函数g(x)的图象关于点(-2,9)对称.(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x ∈[0,1]]时2,()h x x mx m =-++,1.若对任意的1[0,2],x ∈,总存在2[0,2],x ∈,使得12()()h x g x =)成立,求实数m 的取值范围.。
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)试卷及答案
A. {7}
B. {1,4,7}
C. {1,3,7}
D. { 1,3,4,7}
2.
已知复数
z
满足
z
=
2 + mi 1−i
(m
∈
R)
且|
z
|=
2
，则
m
的值为
A. 2
B. −2 或 2
C. 3
D. −3 或3
3. 已知实数 a > 0 , b > 0 ，则“ a > b > 1 ”是“ ea + 2b > eb + 2a ”的
AM 与 CD1 所成角的余弦值为
A. 10 5
B. 5 5
10 C. 10
5 D. 2
6. 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的增函数且其图像关于点 (2,0) 对称，若 g( x ) = f (2− x ) ，则不等式 g( x + 3) + g(1−2x ) ≥ 0 的解集为
A. [ 2,+ ∞)
，则下列说法正确的有______；
（请将所有正确的序号填在横格上）
①k
=
2
；② k
>
2
；③ ln
x0
= −x0
1 ；④
e
<
x0
<
1 2
.
16. 在三棱锥 P − ABC 中，已知 PA ⊥ BC , PB ⊥ AC , PA = PB = 2AB = 4 ，则三棱锥 P − ABC 外接球的表 面积为______；
图像，若函数 g( x )
的最小正周期为 π
， x=
π 3
为函数 g( x )
2020年11月百校联盟(全国卷I理数)
绝密★启用前2020 届普通高中教育教学质量监测考试全国 I 卷 理科数学注意事项：1. 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分.2. 本试卷满分 分，测试时间 分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.4. 所有答案写应写在指定的答题区域（选择题答案应填写在选择题答题卡中，填空题答案写在题目后面 的横线上，解答题答案写在相应题目下方的空白处）.5. 考试范围：必修 ；必修 第 , 章；必修 ；必修 ；选修 第 , 章；选修 第 , 章.第 I 卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合, , ,则 A. B. C. D.2. 已知复数 满足 且 ，则 的值为 A. B. 或 C. D. 或3. 已知实数, ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数 满足 , ,则A. B. C. D. 5. 如图，在正方体 中,点 为 中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D.6. 已知函数 为定义在上的增函数且其图像关于点 对称，若 ，则不等式 的解集为I II 1501201212452−1132−213125A ={x |x =3k +1,k ∈N }B ={y |y =4k −1,k ∈N }C ={1,2,3,4,5,6,7,8}(A ∪B )∩C ={7}{1,4,7}{1,3,7}{1,3,4,7}z z =2+m i 1−i (m ∈R )|z |=2m 2−223−33a >0b >0a >b >1e a +2b >e b +2a f (x )f (x +2)=1+f (x )f (x +2)f (0)=2f (2018)+f (2020)=−121−12ABCD −A 1B 1C 1D 1M A 1D 1AM CD 110555101052f (x )R (2,0)g (x )=f (2−x )g (x +3)+g (1−2x )≥0A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D. 8. 函数 在区间 上的大致图像为9. 已知角 , 满足 ，若 ，则实数 的值为 A. B. C. D.10. 已知函数 ，过点 的直线 与 的图像有三个不同的交点，则直线 斜率的取 值范围为A. B. C. D. 11. 已知函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的 图像，若函数 的最小正周期为 ， 为函数 的一条对称轴，则函数 的一个增区间为A. B. C. D. 12. 已知数列 , 满足 , , , , ，令 ,则 满足 的 的最小值为 A. B. C. D.[2,+∞)[4,+∞)(−∞,4][2,4]10383273f (x )=x sin x +1x 2−14π2[−2π,2π] sin(2 + )=3sin 1tan −1tan= tan 2346f (x )=3x 3−3x A (−1,0)l f (x )l (−34,6)(−23,6)∪(6,+∞)(−34,6)∪(6,+∞)(−34,+∞)f (x )=sin ( x +ϕ)−cos ( x +ϕ)( >0,|ϕ|<π2)π3g (x )g (x )πx =π3g (x )g (x )(0,π6)(π2,π)(π3,5π6)(π6,π3){a n }{b n }a 1=1.1b 1=0.2a n +1=b n +1+a n2b n +1=13a n +23b n n ∈N *c n =a n −b n c n ≤1104n 9101112A B C D选择题答题卡二、填空题（本大题共 小题，每小题 分）13. 已知函数 的图像在 和 处的切线互相垂直，则 ______；14. 若实数 , 满足不等式组 ，存在可行解 满足 ，则实数 的最小值 为______；15. 已知函数 在 上存在唯一零点 ，则下列说法正确的有______； （请将所有正确的序号填在横格上）① ；② ；③ ；④ . 16. 在三棱锥中，已知 , , ，则三棱锥 外接球的表 面积为______；第 II 卷三、解答题（本大题共 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 分）已知平面向量 a ，b .（1）若 a // b ，求 的值；（2）若 a b ，求向量 a + b 与 b 夹角的余弦值. 题号123456789101112得分答案45f (x )=ax 3−ax (a >0)x =0x =1a =x y x −y +2≥02x +y −2≥04x −y −4≤0⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪(x ,y )mx −y −6m =0m f (x )=e x −k −1+ln xx−1(k ∈R )(0,+∞)x 0k =2k >2ln x 0=−x 01e <x 0<12P −ABC PA ⊥BC PB ⊥AC PA =PB =2AB =4P −ABC 610=(1,2)=(k ,3)k ⊥18.（本小题满分 分）已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， , .（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个零点，求实数的取值范围.12f (x )R x ≥0f (x )=|e −x −m |m ∈R m =12f (x )g (x )=f (x )−14m已知数列 满足： , , .（1）求证： 为等差数列，并求出 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 成立，求正整数 的最 小值.{a n }a n >0a 1=1a n =a n +1(2a n +1)(n ∈N *){1a n }a n b n =1a n −1(n 2+n )2(n ∈N *){b n }n S n S n ≥9991000n如图，在 中，已知 , , , 为 中点， , 分别为线段 , 上 的动点（不包括端点），记 .（1）当时，求证： ； （2）当 时，求四边形 的面积 关于 的表达式.ΔABC AB =1BC =2∠ABC =60°M BC E F AB AC ∠EMB =θEM ⊥FM EM =3FM ∠EMF =60°AEMF Sθ如图 ，在直角梯形 中， , 分别为 的 三等分点， // , // , , ,若沿着 , 折叠使得点 , 重合，如图 所示，连结 , . （1）求证：平面平面 ； （2）求二面角 的余弦值.1ABCD E F AB FG BC ED BC AB =3BC =2FG ED A B 2GC BD GBD ⊥BCDE B −GC −D已知函数 .（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）当 时，若实数 , 满足 ，求证： .f (x )=e x +cos x −ax (a ∈R )f (x )(0,+∞)a a =−1x 1x 2(x 1<x 2)f (x 1)+f (x 2)=4x 1+x 2<0。
江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试数学试题
【分析】
利用复数的乘法运算法则计算 ，令虚部为0即可.
【详解】
因为 ，
所以 即 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的运算以及复数的为纯虚数的条件，属于基础题.
3．C
【分析】
利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为 ， ， ， ， ， ，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，10 ，
3．2021年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
4．若函数 的图像经过点 ，则 （）
A． B． C． D．
D．当 时，
三、填空题
13．已知点 是抛物线 上一点， 为抛物线的焦点，且 ，则 _______.
14．若圆锥的母线长是5，高是4，则该圆锥的体积是______.
15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧 是一个以 点为圆心､ 为直径的半圆， 米.圆弧 的圆心为 点， 米，圆弧 与圆弧 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
（1）求学生甲恰好得到2个红球的概率；
（2）求学生乙至少得到1个红球的概率.
20．如图，已知 ， 平面 ， 平面 ，过点 且垂直于 的平面 与平面 的交线为 ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）设点 是 上任意一点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值.