大学理论力学全套课件9

& & dF1 = [∑ ( pα qα − Pα Qα ) − ( H − H )]dt LL (1)
α =1
s dF1 & & = ∑ ( pα qα − Pα Qα ) − ( H − H ) 或 dt α =1
s
如果通过这类正则变换使得新的哈密尔顿函数恒为零，即：
H (Qα , qα , t ) ≡ 0
再将（12）式的第一式代入，得
s = s (Qα , qα , t )
∂s ∂s + H (qα , , t ) = 0 (α = 1,2,3, L s )LL (14) ∂t ∂qα
由于H是广义速度的二次齐次函数，广义动量和广义速度是线性关 系，所以这个方程是母函数s的一阶二次偏微分方程，其独立变量 是 ( qα , t ) ，共有s个。它是Jacobian和Hamilton用不同的方法提出来 的，所以所来的人称为是H-J方程。
石河子大学物理系殷保祥
关于H-J方程的求解：
由微分方程理论知，就s个自由度的力学体系而言，H-J方程的积 分中应含有s+1个积分常数，因为此方程中并不含有母函数s本身， 只是包含s的偏微商。所以s+1个常数中必有一个是相加常数。也 就是说，H-J方程的解的形式是
s = s (t ; q1 , q2 , L qs ; a1 , a2 , L, as ) + c
∂s ，并写出H-J方程： ∂ qα
∂s ∂s , t ) + = 0 (α = 1,2,3, L s ) H (qα , ∂qα ∂t s (3)、求解偏微分方程，得到它的解： = s (Qα , qα , t ) + c
∂s ∂s = pα ,− = bα 得到 qα , pα 和联立方程组，从而 (4)、利用 ∂qα ∂t 解出力学体系的运动积分
代回H-J方程可以得到w满足的一阶偏微分方程。
∂w ∂w ∂w , ,L, )=h H = H (q1 , q2 , L , qs ; ∂qs αq1 ∂w2
此方程称为简化的H-J方程。由它可以求出特性函数w。求出的 形式为
w = w(q1 , q3 , L qs ; a1 , a2 , L as −1 , h) + as
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用H-J方程求解稳定系统的正则方程时，需要求解H-J方程它 不一定简单容易，但带来一种好处：在求出运动规律的同时，还 求出了轨道和动量，所以正则方程的这种解法也有一定用处。
§5.8.4 H-J方程应用举例
利用H-J方程求解力学体系的运动，可按下述步骤进行： (1)、写出力学体系的Hamilton函数 H (qα , pα , t )； (2)、将H中的 pα 换为
α =1
s = s (qα , t ) LL (5)
s ds ∂s ∂s & LL (6) =∑ qα + 有 dt α =1 ∂ qα ∂t
另外，根据作用量的定义 s
=
∫
t2
t1
Ldt LL (7)
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ds 并注意这时的上限是活动的，可得： = LLL (8) dt S & 再利用Hamilton函数的定义 H = − L + ∑ pα qα
其中 a1 , a2 , L , as 是任意常数，它们可以是新的广义坐标。c是任 意的可加常数。 一旦H-J方程的解求出，根据第一种正则变换，先求得
∂s ∂s = pα ,− = bα (α = 1,2, L , s ) ∂qα ∂aα 然后将已知的s代入上式，可得到 pα 和 qα 的联立方程组。继而
qα = qα (aα , bα , t ), pα = pα (aα , bα , t )
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得 L = −H +
& ∑ pα qα LL (9) α
=1
S
α =1
S ds & ∴ = − H +0）式可改写为 ds （6）（10）比较，得
= − Hdt + ∑ pα dqαLL (11)
α =1
S
∂s ∂s = pα , = − H , (α = 1,2, L s )LL (12) ∂t ∂qα q 在上面的各式中，α , pα 是广义坐标和广义动量在活动终点上的
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则H-J方程的解为 s = − ht + w( q1 L qs ; a1 L as −1 , h) + as 由此还能得到原来的正则方程的解
∂s ∂w = = bα (α = 1L s ), ∂qα ∂aα ∂w ∂s = = pα (α = 1L s ) & & ∂qα ∂qα ∂w = t − t0 ∂h
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则变换后的正则方程组将是：
& = ∂ H ≡ 0, P = ∂ H ≡ 0, (α = 1,2,3, L s ) LL (2) & Qα α ∂Qα ∂Pα
Q 对它直接求积分，得： α
S
= aα , Pα = bα LL (3)
aα , bα都是常量。由（2）（1）式，得：
dF1 = ∑ pα dqα − HdtLL (4)
§5.8 Hamilton -Jacobian方程 §5.8.1一种特殊的母函数
一个正则变换的成效如何，全看它的母函数选得是否优良。 一个正则变换的成效如何，全看它的母函数选得是否优良 因为母函数一旦选定，就可以由它确定正则变换式新变量下的 Hamilton函数 H 。知道了 H ，就知道了有多少个循环坐标。我们 可以提出这样一个问题：如果所选的母函数使得新的Hamilton函 数恒等于零，将会导出什么样的结果呢？下面逐步分析这个母函 数恒等于零，将会导出什么样的结果呢？ 数的特殊性、求法以及怎样用它求出力学系的运动。 第一类正则变换的母函数 H ，应满足方程
因为这时的独立变量t不公开包含在方程中，所以由一阶偏微分方 程理论知，方程独立变量的数目可以减少一个，而且上方程解的 形式为
s = − ht + w(qα )
∂s ∂s ∂w = − h, = ∂t ∂ qα ∂ qα
其中h是任意常数，w 是广义坐标和一个函数，称为特性函数。 由（上）知
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§5.8.3稳定力学体系处理
力学体系的H不显含时间的情况是常见的。我们曾经讨论过这 是的H是力学体系的一个守恒量。在力学体系受稳定约束时，它就 是力学体系的机械能。下面研究这种情况下H-J方程的解。设
H = H (qα , pα )
∂s ∂s + H ( qα , )=0 H-J方程的形式为 ∂t ∂ pα
在上面的第一组方程中有s-1个积分，称为几何积分，它们不包 含时间是位形空间中的一条曲线，就是力学系的位轨线；第三组 方程是一个包含时间的积分，叫运动积分。 第三和第一组方程联合可能求得 qα = qα (t ) ，是给出的系统的代 表点沿位轨线的运动规律，正如象三维空间中的运动方程。第二 组方程叫作中间积分，用来确定系统的广义动量。
值。将（11）和（4）比较，可以得到一个重要结果：
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真实运动的作用量s就是要找的特殊母函数F1。(11)(12)是该母函数 应满足的关系，它表达了这个特殊函数的性质。
§5.8.2 雅可比方程
从上面的（12）式中的第二式知，特殊的正则变换母函数
∂s + H (qα , pα , t ) = 0 LL (13) 只要满足 ∂t
可以求出
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{
qα = qα (aα , bα , t ) pα = pα (aα , bα , t )
(α = 1,2, L s )
这是原来方程的解。2s个积分常数由初始条件决定。 在求解H-J方程中，在求解H-J方程的同时，也伴随着解出了原 来的正则方程。所以正则方程的求解已经归结为如何从H-J方 程求解特殊母函数s的问题了。这就是H-J方程的实质。 对于各种不同的具体力学问题，求解s的难易程度是不同的。