《物理学基本教程》课后答案 第九章 静电场中的导体和电介质

第九章 静电场中的导体和电介质

9-1 把一厚度为d 的无限大金属板置于电场强度为0E 的匀强电场中，0

E 与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度．

分析 对于有导体存在的静电场问题，首先由静电

平衡条件分析放入静电场后导体上电荷的重新分布情况，再计算空间电场和电势的分布．

本题中，将金属板放入均匀电场后，由于静电感应，平板两面带上等值异号感应电荷．忽略边缘效应，两带电面可视为平行的无限大均匀带电平面．

解 设平板两表面的感应电荷面密度分别为σ'和

σ'-，如图9-1所示．由例题8-7结果知，带感应电荷

的两表面视为带等量异号电荷的无限大平行平面，在导体中产生的场强为0

εσ'

='E ，方向与0E 相反，由场强叠加原理，平板中任一点的总场强为

00εσ'-

='-=E E E E 根据静电平衡条件，金属板中场强0=E ，代入上式得

00

0='

-

εσE 则 00εσE ='， 00εσE -='- 结果与板的厚度无关．

9-2 一金属球壳的内外半径分别为R 1和R 2，在球壳内距球心为d 处有一电荷量为q 的点电荷，（1）试描述此时电荷分布情况及球心O 处电势；（2）将

球壳接地后，以上问题的答案；（3）如原来球壳所带电荷量为Q ，（1）、（2）的答案如何改变．

分析 当导体内达到静电平衡后，应用高斯定理可以确定导体上电荷重新分布的情况，然后用电势叠加原理求电势．

解 （1）按照静电平衡条件，导体内部

0=E ，

在球壳内外表面间作同心高斯球面，应用高斯定理，可知球壳内表面上应有q -的感应电荷，为非均匀分布，如图9-2所示．根据电荷守恒定律和高斯定理，球壳外表面上有+q 的感应电荷，且均匀分布．

点电荷q 在O 点产生的电势为

d

q V 0=

πε41

球壳内外表面上的感应电荷q -和+q 无论分布情况如何，到球心距离分别为

R 1和R 2，电势叠加原理表达式为标量求和，所以在O 点产生的电势分别为

1

24R q V 0-

=πε 234R q V 0=

πε

O 点电势为 2

1

321444R q

R q d q V V V V 000+

-

=

++=πεπεπε

1

11(

42

1R R d q +-=

πε （2）将球壳接地后，外球面上的感应电荷消失，球面上电荷分布不变，得

)11(4121R d q

V V V -=

+=0πε （3）如果原来球壳带电量为Q ，达静电平衡后外球面上电荷Q +q 均匀分布，

内球面上电荷分布不变，得

2

213214)111(

4R Q R R d q V V V V 00

++-=

++=πεπε 球壳接地后，结果与（2）相同．

9-3 一无限长圆柱形导体半径为R a ，单位长度带有电荷量λ1，其外有一共轴的无限长导体圆筒，内外半径为分为R b 和R c ，单位长度带有电荷量λ2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）a R r <，b c R r R <<，c b R r R <<，

c R r >四个区域的电场强度．

分析 静电平衡条件下，在圆筒导体内场强为零，用高斯定理和电荷守恒定

律可求出感应电荷的分布．

解 （1）如图9-3所示，在圆筒形导体内作半径为r ，高为单位长的同轴

圆柱形高斯面S ，设导体圆筒内外表面单位长的感应电荷分别为λ'-和λ'，由静电平衡条件知导体内0=E , 故有

⎰=⋅S E d 0)(1

110

='-=∑λλεεq

即得半径为R b 的圆筒内表面单位长上的感

应电荷为-λ1．

由电荷守恒定律知，半径为R c 的圆筒外表面

上单位长的感应电荷应为λ1，加上原有电荷量

λ2，单位长上总带电量为12λλ+．

（2）电荷重新分布的结果形成三个同轴的无限长带电圆柱面如图9-3，由

于电荷分布具有轴对称性的，产生的电场也是轴对称的，用高斯定理可求出

a R r <时，

0=E

b a R r R <<时，

r

E 0=

πελ21

c b R r R <<时， 0=E c R r >时， r

E 02

12πελλ+=

9-4 证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A 和B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小相等，符号相同，如果两金属板的面积同为100cm 2，电荷量分别为C 1068A -⨯=Q 和

C 1048B -⨯=Q ，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电荷面密度．

分析 根据静电平衡条件，一切净电荷都分布在导体表面，本题中的电场空间可视为四个无限大均匀带电平行平面产生的电场的叠

加，金属板A 、B 内任意点场强为零．由电荷守恒定律可以建立各表面的电荷面密度与两金属板的总电荷量之间的关系．

解 设A 、B 两板的四个表面上的电荷面密度（先假定为正）分别为σ1、σ2、σ3和σ4，如图9-4所示．设向右为正向，由无限大均匀带电平面的场强公式和场强叠加原理，考虑到金属板A 、B 内任意点场强为零，得 金属板A 内

022224

3201=---0

00εσεσεσεσ 金属板B 内 022224

3201=-++0

00εσεσεσεσ 解得

32σσ-=， 41=σσ