08-09工科数学分析试卷及答案

1 哈尔滨工业大学（威海）2008/2009学年 秋季学期工科数学分析 （A 班） 试题卷（A ）（答案）考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70 %一、填空题（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理）答案：1． e 312． 1- Ⅱ 3． 21,14． 22)1(t t e t - 5． 632=-+z y x 6．337． C x x x ++----13tan 2tan 318． 22121123f f f ''+''+''9． 161- 10． 1 1．=++++++∞→3231323)1ln(limnnen n e n n n2．115+-=x x y 的间断点是=x ，且是 类间断点。

3．已知0]1[lim 2=--+++∞→b ax x x x ，则=a ，=b4．已知：⎩⎨⎧=+=tey t x 12，则=22dx yd 5．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-M 处的切平面方程为教研室主任签字：第1 页（共 12 页）姓名: 班级： 学号：26．函数)0(>=z z u xy沿21P P =l 的方向导数=∂∂1P ul，其中21,P P 分别为)1,1,1(与)2,2,2(。

7．⎰=x x dx24cos sin8．设),(),2,(v u f y x y x f z ++=有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z29．⎰==13ln xdx x I10．设R x xe y x ∈=-,1，则=∈y Rx max 二、选择题：（每题2分，共20分）（不填题首答案按零分处理） 答案：1．设nn x xx f 211lim)(++=∞→ ，则（ ）成立。

（A ）有间断点1=x ； （B ）有间断点1-=x ； （C ）有间断点0=x ； （D ）无间断点2．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-1,11,)(22x ex e x x f x 在1±=x 两点处的连续性与可导性为（ ）（A ）在1±=x 处连续但不可导；（B ）在1±=x 处可导 ；（C ）在1=x 可导，在1-=x 处不可导 ； （D ）在1=x 不可导，在1-=x 处可导。

3．设)2()(x x x f -=，则（ ）（A ）0=x 是)(x f 的极值点，但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点；第3 页（共 12 页）遵 守考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范3（B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但)0,0(是曲线)(x f y =的拐点； （C ）0=x 是)(x f 的极值点，)0,0(也是曲线)(x f y =的拐点； （D ）0=x 不是)(x f 的极值点，)0,0(也不是曲线)(x f y =的拐点。

4．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在,0>δ使得（ ） （A ） )(x f 在),0(δ内单增； （B ） )(x f 在)0,(δ-内单减；（C ） 对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f > ； （D ） 对)0,(δ-∈∀x 有)0()(f x f > 5．设),(y x f z =在),(00y x 处的全增量为z ∆，若),(y x f z =在),(00y x 处可 微，则在),(00y x 处（ ）（A ）dz z =∆； （B ）y f x f z y x ∆+∆=∆； （C ）dy f dx f z y x +=∆； （D ）22),(y x o dz z ∆+∆=+=∆ρρ6．曲面),(y x f z =对应于),,(000z y x 处与z 轴正向成锐角的法向量为（ ） （A ）{}),(),,(,10000y x f y x f y x ；（B ）{}1),,(),,(0000y x f y x f y x （C ）{}1),,(),,(0000--y x f y x f y x （D ）{}1),,(),,(0000y x f y x f y x --7．曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线必平行于（ ）（A ）xoy 平面；（B ）yoz 平面；（C ）zox 平面；（D ）平面0=++z y x 8．=+→→22)(lim 22y x y x y x （ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）∞ （D ）0第 5 页（共 12 页）4 9．当0→x 时，⎰xdt t sin 02)sin(是32x x +的（ ）（A ）同阶无穷小；（B ）等价无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小 10．由0),(=x zx y f 确定了可微函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂yz y x z x（ ） （A ）z ； （B ）z - ； （C ）y ； （D ）y -三、试解答下列各题：（每小题4分，共20分） 1．求极限：330arctan 2sin 2)1ln(lim 2x xe x x xx +-+→解：原式=)()()1(2)!31(2lim3332330x x x x x x x x x οο++++--→ 33330231lim x x x x x ++=→ 313=2．求不定积分：dx ex⎰arcsin 解：⎰⎰==tdt e dx et tx xcos sin arcsin⎰-=t d e t e tt cos cos⎰-+=tdt e t e t e tt t cos sin cos由此得⎰++=C t t e dx etx)sin (cos 2arcsin()C x x e x++=)sin(arcsin )cos(arcsin 2arcsin第 7 页（共 12 页）5 3．设)(x f 在[)+∞,0上可导，且,0)0(=f 存在)()(1x g x f=-，已知：⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，求)(x f解：[])2()()(2x x e x f x f g x +='⋅ )2()(+='x xe x f x x )2()(+='x e x f x⎰+=dx e xe x f xx )2()(C x e C e xe C e e xe x x x x x x ++=++=++-=)1(2 由0)0(=f 得1=C ，12)1()(++-=∴x x e x f x 4．计算定积分：⎰-=adx x a x I 0222解：dt t a I ta x ⎰==2024sin 2sin 4π⎰+=20224)2cos 2(sin 8πdt t t a164a π=5．设[]b a C f ,∈，且⎰=badx x f ,0)(试证：),(b a ∈∃ξ：⎰=+ξξaf dt t f 0)()(证：设⎰⋅=xax dt t f e x )()(ϕ显然0)()(==b a ϕϕ，且)(x ϕ在[]b a ,内可导，故由罗尔定理知0)(:),(='∈∃ξϕξb a 即 0)()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰ξξξa f dt t f e ，因0≠ξe ，故有 ⎰=+ξξaf dt t f 0)()(6四、设),(y x f z =，其中)(x y y =由x y y x =确定，其中f 存在一阶连续偏导数，求dxdz 。

（5分） 解：)1( dxdy y f x f dx dz ⋅∂∂+∂∂= 又 由y x x y ln ln =两边对x 求导得y yx y x y x y '⋅+=+'ln ln 解得 )2(ln ln ln ln 22 x x xy y y xy yx x x yy y --=--=' 把（2）代入（1）得22ln ln xx xy y y xy y f x f dx dz -+⋅∂∂+∂∂=五、设)(x f 在[]b a ,上连续单调递增，证明：⎰⎰+≥ba ba dx x fb a dx x xf )(2)( （5分） 证：设⎰⎰+-=x a xadt t f x a dt t tf x F )(2)()(，则0)(=a F 因 )(2)(21)()(x f xa dt t f x xf x F x a +--='⎰ ⎰--=xa dt t f x f a x )(21)(2 0)(2)(2=---≥x f ax x f a x 故)(x F 在[]b a ,上单调递增。

从而有0)(≥b F ，即⎰⎰+≥baba dx x fb a dx x xf )(2)(。