数学文化之海伦—秦九韶公式#精选.
人教版数学八年级下册第十六章二次根式阅读与思考《海伦—秦九韶公式》优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解海伦公式的定义和意义，掌握海伦公式的推导过程。
五、案例亮点
1.情境创设：本节课通过多媒体展示三角形模型，引导学生观察三角形的特征，并提出问题，激发了学生的学习兴趣和好奇心。这种情境创设使得学生能够更加直观地理解三角形的性质，为后续的学习打下了坚实的基础。
2.问题导向：在教学过程中，我设计了系列问题，引导学生思考和讨论海伦公式和秦九韶公式的推导过程。这种问题导向的教学方法使得学生能够主动参与学习，培养了他们的独立思考能力和解决问题的能力。
4.培养学生学会关爱他人，学会合作，培养良好的团队精神。
在教学过程中，我将以生动的语言、丰富的教学手段，激发学生的学习兴趣，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高能力，培养情感。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示三角形模型，引导学生观察三角形的特征，提出问题：“如何计算三角形的面积？”
人教版数学八年级下册第十六章二次根式阅读与思考《海伦—秦九韶公式》优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级下册第十六章二次根式中的阅读与思考《海伦—秦九韶公式》是一个重要的数学历史知识点，它不仅涉及到数学知识，还涉及到数学家的历史贡献，以及数学方法的创新。本节课的主要内容是让学生了解海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用，培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。
海伦公式
海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
记入史册的海伦-秦九韶公式的证明
大家应该都知道著名的海伦-秦九韶公式吧,那就是根号下P(P-A)(P-B)(P-C) 注: P=(A+B+C)/2可是数学书上并没有这个公式的推导过程,本来我也不想去费脑细胞去推导这个这个公式,可是有一天我同桌和我比谁先推导出这个公式.所以我就推了一下,没想到古人的公式竟然被我在十几分钟内推导完成.以下就是我的推导过程:首先随意画一个三角形设三边分别是A,B,C做B边的高,设被高分成两条线段的B边的其中一段为X,另一段为B-X则根据勾股定理可得方程A^2-X^2=C^2-(B-X)^2A^2-X^2=C^2-B^2+2BX-X^2A^2=C^2-B^2+2BX2BX=A^2+B^2-C^2X=(A^2+B^2-C^2)/2B所以高=根号下A^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4B^2=根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2所以S三角形=高*B*0.5=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4B^2*B^2=0.5*根号下【4A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2】/4=0.5*根号下A^2*B^2-(A^2+B^2-C^2)^2/4=根号下1/4【A^2*B^2-(「A^2+B^2-C^2」/2)^2】=根号下(AB/2)^2-(「A^2+B^2-C^2」/4)^2=根号下(AB/2+「A^2+B^2-C^2」/4)(AB/2-「A^2+B^2-C^2」/4)=根号下(「2AB+A^2+B^2-C^2」/4)(「2AB-A^2-B^2+C^2」/4)=根号下(「A+B」^2-C^2)/4*(C^2-「A-B」^2)/4=根号下(A+B+C)/2*(A+B-C)/2*(B+C-A)/2*(A+C-B)/2=根号下P(P-2C/2)(P-2A/2)(P-2B/2) 注:P=(A+B+C)/2=根号下P(P-C)(P-A)(P-B)有了这个公式只要把三角形的三边长带入就可以求出三角形的面积。
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式是一种用于求解三角形面积的数学公式。
该公式由古希腊数学家海伦提出，后来被中国古代数学家秦九韶所发扬光大，因此也被称为“海伦-秦九韶公式”。
海伦秦九韶公式的表达式为：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S为三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边的长度，p 为三角形半周长，即：
p = (a+b+c)/2
海伦秦九韶公式的推导过程较为复杂，但其优点在于可以快速、准确地计算任意形状的三角形的面积，而不需要事先知道其高度或底边长。
由于其实用性和广泛应用，海伦秦九韶公式已成为中学数学教学中不可或缺的一部分。
- 1 -。
数学文化之海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程 ①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a-x,
由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，
则h 2=c 2-x 2=b 2-（a-x ）2，
解出x 得x=222
c -b +a 2a ， 于是h=222
2c -b +a c -2a 2
（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222
2c -b +a c -2a 2
（），
即S=12222
22c +a -b c a -22（），
令p=1
2（a+b+c ），
对被开方数分解因式，并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证.
②由海伦公式推导秦九韶公式
秦九韶公式：])2([4122
2
222c b a b a S -+-=.
推导过程:
))()((c p b p a p p ---.。
数学人教版八年级下册海伦-秦九韶公式历史介绍
补充知识1.海伦简介和海伦公式的历史与意义：海伦，古希腊数学家、力学家、机械学家。
海伦有许多学术著作，都用希腊文撰写，但大部分已失传。
主要著作是《度量论》一书。
该书共3卷，分别论述平面图形的面积，立体图形的体积和将图形分成比例的问题。
其中卷Ⅰ第8题给出著名的已知三边长求三角形面积的海伦公式。
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。
这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地得出答案。
2、秦九韶简介和秦九韶公式的历史与意义、秦九韶（1208年－1261年），南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。
字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）。
精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，1247年完成著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献划时代巨著—《数书九章》秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。
他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。
数学文化之海伦—秦九韶公式
数学文化之海伦—秦九
韶公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程
①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x,
由于AD是△ABD、△ACD的公共边，
则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，
对被开方数分解因式，并整理得到
②由海伦公式推导秦九韶公式
推导过程:
p
a
p-
-
-.
)
p
)(
b
)(
(c
p。
《海伦-秦九韶公式》课件PPT
海伦-秦九韶公式
海伦-秦九韶公式
如图，△ABC中，AB=
3 , BC=
15
, AC=2
2
, 求△ABC的面积.
如图，△ABC中，AC= 6 , BC=8 , ∠C= 30︒,求该三角形的面积。
海伦-秦九韶公式
已知：三角形的三边，a=1 ,b= 2 2 , c= 3, 求该三角形的面积。
已知： △ABC的三边，a=5 ,b= 12 , c= 13, 求该三角形的面积。
4
4.勾 股 定 理：
∠C=90︒
2
2
2
a
b
c
勾股定理的逆定理：
a 2 b 2 c 2.
∠C=90︒
1
ah
2 .
问题探究
学习新知
如图，在∆ABC中,BC=a,AC=b,AB=c, 求∆ABC的面积。
D
问题探究
学习新知
解:设CD=X,则BD=a-x
∵AD⊥BC
∴在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=c2-(a-x)2
4
=
1
[(a b) 2 c 2 ][c 2 (a b) 2 ]
4
=
1
(a 2 b 2 c 2 2ab)[(a 2 b 2 c 2 2ab)]
4
=
1
4a 2 b 2 ( a 2 b 2 c 2 ) 2
4Байду номын сангаас
=
1
2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4
2a
1
1
1
2
2
2a
∴S = BC ∙ AD = a ∙
海伦—秦九昭公式的推导和应用
海伦—秦九昭公式的推导与应用海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
阅读与思考海伦—秦九韶公式-人教版八年级数学下册教案
阅读与思考：海伦—秦九韶公式-人教版八年级数学下册教案摘要本文介绍了人教版八年级数学下册中的海伦—秦九韶公式教案，通过阅读教案并思考，能够更深入地理解这一公式的背后原理和应用。
一、教学目标通过学习，使学生掌握以下知识和技能： 1. 掌握海伦—秦九韶公式的推导和应用方法； 2. 认识海伦—秦九韶公式在实际问题中的应用； 3. 能够应用海伦—秦九韶公式求解实际问题。
二、教学重难点1.掌握海伦—秦九韶公式的推导过程；2.能够应用海伦—秦九韶公式解决实际问题。
三、教学内容及方法1. 教学内容（1）海伦—秦九韶公式的概念和应用；（2）海伦—秦九韶公式的推导过程；（3）应用海伦—秦九韶公式解决实际问题。
2. 教学方法（1）讲授法；（2）举例法；（3）实物法。
四、教学流程1. 引入教师介绍海伦—秦九韶公式在几何中的应用，并举例说明，在哪些场景下可以使用这一公式。
2. 学习和理解教师通过讲解和示范，让学生理解海伦—秦九韶公式的推导过程和原理。
3. 拓展和巩固教师用实例展示海伦—秦九韶公式在实际应用中的解决方法。
并让学生自行尝试解决一些实际问题，加深对公式的理解和掌握程度。
4. 总结与归纳教师引导学生对本节课所学内容进行总结，并归纳出几个重要的知识点和思考点。
五、教学评价1.能够熟练地运用海伦—秦九韶公式解决实际问题；2.能够理解和归纳出公式推导的基本原理；3.学生参与度和专注度较高；4.教师在引导和点拨学生的思考和讨论方面表现出色。
六、教学反思1.本节课的教学内容在应用性和实用性方面均能够达到预期效果；2.在教学过程中，学生的交流和讨论有些不够充分和深入；3.下一次教学，可以增加评价的多元化，不单单局限于数学成绩评价，还可以考虑到学生的思维能力、分析能力等综合能力评价。
海伦公式的推导和应用
海伦公式公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗国王希伦叙拉古利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
二世发现的公式，,也称海龙）（Heron所发现，在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德但根据Morris Kline，也提出了“三斜求积术”以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶它与海伦公式基本一样。
可由以下公式求得：S、c，三角形的面积假设有一个三角形，边长分别为a、bp-a)(p-b)(p-c)] S=√[p( p为半周长：而公式里的p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————s作为半周长，所以：Metrica(《度量论》)手抄本中用注1p两种写法都是可以的，但多用-a)(p-b)(p-c)] S=√[p(p和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]作为半周长。
——————————————————————————————————————————————所以海伦公式可以用作求多边的多边形都可以分割成n-2个三角形，n 由于任何边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
）：证明（1中的原始证明不同，在此我们用三角公)与海伦在他的著作Metrica(《度量论》余弦定，则B的对角分别为A、、Ccba式和公式变形来证明。
设三角形的三边、、理为(a^2+b^2-c^2)/2ab = cosCS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式——精选推荐
海伦公式
关于海伦公式（Heron's formula或Hero's formula）的历史
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式（利⽤三⾓形的三条边长来求三⾓形⾯积）相传是亚历⼭⼤港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。
亦有认为早于阿基⽶德时代已经懂得这条公式，⽽由于《Metrica》是⼀部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
亚历⼭⼤⾥亚的海伦（希腊语：ἭρωνὁἈλεξανδρεύς）（公元10年－70年），是⼀位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。
他也是⼀名活跃于其家乡亚历⼭⼤⾥亚的⼯程师，他被认为是古代最伟⼤的实验家，他的著作在希腊化时期⽂明（Hellenistic civilization）科学传统⽅⾯享负盛名。
南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第⼆题即三斜求积。
“问沙⽥⼀段，有三斜，其⼩斜⼀⼗三⾥，中斜⼀⼗四⾥，⼤斜⼀⼗五⾥，⾥法三百步，欲知为⽥⼏何？”答⽈：“三百⼗五顷．”其术⽂是：“以⼩斜幂并⼤斜幂，减中斜幂，余半之，⾃乘于上；以⼩斜幂乘⼤斜幂，减上，余四约之为实，……开平⽅得积。
”若以⼤斜记为a，中记为b,⼩斜记为c,秦九韶的⽅法即相当于海伦公式。
秦九韶公式到海伦公式的变形过程
秦九韶公式到海伦公式的变形过程哎呀，你们这些小可爱，让我给你们讲讲秦九韶公式到海伦公式的变形过程吧！别着急，我保证这篇文章既有趣又好懂，绝对能让你们轻松掌握这个知识点。
我们得知道什么是秦九韶公式。
哎呀，简单来说，秦九韶公式就是一个求多项式乘法的公式，它的原理就是把一个多项式的每一项都拆分成两个部分，然后通过加减乘除运算得到最终的结果。
这个公式可厉害了，它可以解决很多实际问题呢！好了，现在我们来谈谈海伦公式。
哎呀，海伦公式是一个求三角形面积的公式，它的原理是根据三角形的三边长和半周长来求面积。
这个公式也很重要哦，因为它可以帮助我们计算很多实际问题，比如说地图上的距离、建筑物的高度等等。
那么，秦九韶公式和海伦公式有什么关系呢？其实，它们之间有一个非常重要的联系，那就是它们都是通过变换的方式来解决问题的。
具体来说，秦九韶公式是通过把一个多项式拆分成两个部分来求解的，而海伦公式则是通过把一个三角形的三边长或半周长表示成一个函数来求解的。
这两个公式都是通过变换的方式来解决问题的，所以它们之间有很多相似之处。
接下来，我们来看看秦九韶公式到海伦公式的变形过程。
我们需要了解一些基本的概念。
比如说，什么是多项式？什么是三角形？什么是函数？这些问题可能有点难懂，但是别担心，我会用最简单的语言来解释。
我们来看一下什么是多项式。
哎呀，多项式就是一个由多个单项式相加而成的式子。
比如说，f(x) = 2x^2 + 3x + 1就是一个多项式。
这个式子里有三个单项式：2x^2、3x和1。
这些单项式相加就组成了一个多项式。
接下来，我们来看一下什么是三角形。
哎呀，三角形就是一个由三条线段相互连接而成的图形。
这三条线段分别是三角形的三边长。
比如说，我们可以用一条线段表示底边，另外两条线段表示腰。
这样就构成了一个三角形。
我们来看一下什么是函数。
哎呀，函数就是一个用来描述一个变量如何随另一个变量变化的数学模型。
比如说，f(x) = 2x^2 + 3x + 1就是一个函数。
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古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程 ①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a-x,
由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，
则h 2=c 2-x 2=b 2-（a-x ）2，
解出x 得x=222
c -b +a 2a ， 于是h=222
2c -b +a c -2a 2
（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222
2c -b +a c -2a 2（），
即S=12222
22c +a -b c a -22
（），
令p=1
2（a+b+c ），
对被开方数分解因式，并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证.
②由海伦公式推导秦九韶公式
秦九韶公式：])2([412
2
2222c b a b a S -+-=.
推导过程:
))()((c p b p a p p ---.
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