矩阵理论矩阵的Jordan标准型(课堂PPT)
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第3章 矩阵的Jordan标准形
1 ⋱ 1 E (i(k )) = k 第i行 ； 1 ⋱ 1 1 ⋱ 第i行 1 ϕ (λ ) E (i, ϕ (λ ) j ) = ． ⋱ 1 第j行 ⋱ 1
A(λ ) B (λ ) = E ，
从而有 A(λ ) B(λ ) = A(λ ) B(λ ) = E = 1 ， 因为 A(λ ) 与 B(λ ) 都 的多项式， 都是零次多项式， 是 λ 的多项式，所以 A(λ ) 与 B (λ ) 都是零次多项式，故 A(λ ) 为非 零常数． 零常数． 充分性 设 A(λ ) = d 为非零常数， A(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵， 为非零常数， 的伴随矩阵，
定义 3.1.5 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 λ －矩 阵的初等矩阵． 阵的初等矩阵．分别记为 E (i, j ), E (i (k )), E (i, ϕ (λ ) j ) ， 即
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 第i行 1 E (i, j ) = ； ⋮ ⋱ ⋮ 1 第j行 1 0 ⋯ 1 ⋱ 1
秩的，但不可逆． 秩的，但不可逆．
3.1.2 λ－矩阵的初等变换与等价
与数字矩阵类似， 矩阵，也可进行初等变换． 与数字矩阵类似，对于 λ －矩阵，也可进行初等变换． 矩阵的初等变换 初等变换： 定义 3.1.4 下列三种变换称为 λ －矩阵的初等变换： 矩阵的两行（ 互换位置； （1） λ －矩阵的两行（列）互换位置； ） 矩阵的某一行（加到另一行（ （3） λ －矩阵的某一行（列）的 ϕ (λ ) 倍加到另一行（列） ） ， 的多项式． 其中 ϕ (λ ) 是 λ 的多项式．
2.3 矩阵的Jordan标准形
第二章 λ-矩阵及Jordan标准形
a11 (λ ) a12 (λ ) a1n (λ ) a21 (λ ) a22 (λ ) a2 n (λ ) A(λ ) = a (λ ) a (λ ) a (λ ) m1 m2 mn
6 2 2 − 6 k1 − 3k2 3 . 1 1 − 3 − k1 , 1 1 − 3 − k 2 4 设 P −1 AP = J , 1 . P = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ), 1 2 2 −6
′ = ( 2, 0, 1) , ξ1 = ( −1, 1, 0) , ξ 2 = ( 3, 0, 1) ? ξ 2 T T ξ = ( 2 , 0 , 1 ) , ′ ′ ξ 2 = k1ξ1 + k2ξ 2 = ξ1 + ξ 2 = ( 2, 1, 1) , 3 k1 = k2 = 1, 第二章 λ-矩阵
λi J 1 0 其一般形状 , 其中 J i = J s 1 1 λi ki ×ki
λi
第二章
λ-矩阵
3
初等因子, Jordan形的推导
例
D3(λ) = (λ-2) , λE-A有一个2阶子式
A= 0 2 2 1 2 1 2
第二章 λ-矩阵
5
初等因子, Jordan形的推导
− 1 − 2 6 例 求矩阵A的Jordan标准形, A = − 1 0 3 . − 1 − 1 4 解 1 λ − 4 r2 − r1 1 λ +1 2 − 6 r3 − (λ + 1)r1 r1 ↔ r3 λ −3 λE − A = 1 λ −3 1 λ +1 2 − 6 1 1 − 4 λ 1 0 0 λ −4 1 c2 − c1 1 c3 − (λ − 4)c1 1− λ 1− λ 0 λ −1 0 λ −1 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 0 0 0 1 1 r3 + r2 c3 + c2 1− λ 0 Smith标准形. 0 λ −1 0 λ −1 2 ( −1)r3 2 0 − − − 0 ( λ 1 ) 0 0 ( λ 1 ) 1 A的初等因子: λ-1, (λ-1)2. J = 1 1 . A的Jordan标准形为: 6 1 第二章 λ-矩阵
a11 (λ ) a12 (λ ) a1n (λ ) a21 (λ ) a22 (λ ) a2 n (λ ) A(λ ) = a (λ ) a (λ ) a (λ ) m1 m2 mn
6 2 2 − 6 k1 − 3k2 3 . 1 1 − 3 − k1 , 1 1 − 3 − k 2 4 设 P −1 AP = J , 1 . P = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ), 1 2 2 −6
′ = ( 2, 0, 1) , ξ1 = ( −1, 1, 0) , ξ 2 = ( 3, 0, 1) ? ξ 2 T T ξ = ( 2 , 0 , 1 ) , ′ ′ ξ 2 = k1ξ1 + k2ξ 2 = ξ1 + ξ 2 = ( 2, 1, 1) , 3 k1 = k2 = 1, 第二章 λ-矩阵
λi J 1 0 其一般形状 , 其中 J i = J s 1 1 λi ki ×ki
λi
第二章
λ-矩阵
3
初等因子, Jordan形的推导
例
D3(λ) = (λ-2) , λE-A有一个2阶子式
A= 0 2 2 1 2 1 2
第二章 λ-矩阵
5
初等因子, Jordan形的推导
− 1 − 2 6 例 求矩阵A的Jordan标准形, A = − 1 0 3 . − 1 − 1 4 解 1 λ − 4 r2 − r1 1 λ +1 2 − 6 r3 − (λ + 1)r1 r1 ↔ r3 λ −3 λE − A = 1 λ −3 1 λ +1 2 − 6 1 1 − 4 λ 1 0 0 λ −4 1 c2 − c1 1 c3 − (λ − 4)c1 1− λ 1− λ 0 λ −1 0 λ −1 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 1 − λ − (λ − 1)(λ − 2) 0 0 0 0 1 1 r3 + r2 c3 + c2 1− λ 0 Smith标准形. 0 λ −1 0 λ −1 2 ( −1)r3 2 0 − − − 0 ( λ 1 ) 0 0 ( λ 1 ) 1 A的初等因子: λ-1, (λ-1)2. J = 1 1 . A的Jordan标准形为: 6 1 第二章 λ-矩阵
矩阵论系列课件05 对角化与Jordan标准形
u3
H H u2 u2 u2 un un H H un u2 un un
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A1 ，其特征值为 2 , , n ，与 上相同，可得一个酉矩阵 U1 ，使得
2 0 H U1 AU 1 1 0
u1H u1H u1 u1H u2 H H u u u uH u H 2 U 0 U 0 u1 u2 un 2 1 2 2 H H H un un u1 un u2 对 A 进行酉相似变换： u1H H u H U 0 AU 0 2 A u1 u2 un uiH Au j nn H un
T T
复矩阵 A ，若满足 A A AA ，则 A 为复正规矩阵。
H H
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 相同的特征值、迹、行列式。
det( I P 1 AP ) det[ P 1 ( I A) P ] det( P 1 ) det( I A) det( P ) det( P 1 ) det( P ) det( I A) det( I A)
tij 0
0 1 2 H U AU 0 n 0 1 2 H ，要证 A 为正 必要性：已知存在酉矩阵 U 使 U AU 0 n
规矩阵。
H U H AAHU H H H U A AU
A2 ( n2)( n2)
依次类推，分别可找到酉矩阵 U 2 ,U 3, ,U n 2 使
Jordan标准型总结PPT精品文档
Jordan标准型总结
1. 行列式因子，不变因子，初等因子互相确定。 2. Lambda 矩阵初等变换下上述性质不变。
3. A ~ B iff E A ~ E B.
1
4.
若而当块
J
1
1
初等因子 ( 1)n.
1
1
nn
5. 矩阵初等变换中不允许用 f () 去乘除某行或者列。
也不允许某行的非多项式倍数加到某行或列。
第二章 行列式 第一节 引言
A1
4.
准对角矩阵
初等因子是所有
Ai
初等因子之并。
Ak
J1
5.
A
~
重数。
,
则
A
有
k
个线性无关特征向量；任一特征值的几何重数不超过代数
Jk
证明：事实上，考虑 A 一个特征值 1 ，设对应于 1 的若而当块有 m 个，则
1E J1
r
1E
A
r
1E J2
例4. 上次第 6 题。 想办法利用任意性，和逆矩阵等联系起来。
第二章 行列式 第一节 引言
A 特征值实部为 1 ，于是 0 不是 A 特征值，从而 A 可逆。 2
第二章 行列式 第一节 引言
例2． 第八题
0
事实上，
A
~
1
0
0 0
J.
(0 E
J
)n1
0
0
1
0
1
0
0
0
,
(0
E
J )n
0.
0
（1） 0E A ~ 0E A k, (0E A)k ~ (0E A)k .从而 m=n。
问题化为
1. 行列式因子，不变因子，初等因子互相确定。 2. Lambda 矩阵初等变换下上述性质不变。
3. A ~ B iff E A ~ E B.
1
4.
若而当块
J
1
1
初等因子 ( 1)n.
1
1
nn
5. 矩阵初等变换中不允许用 f () 去乘除某行或者列。
也不允许某行的非多项式倍数加到某行或列。
第二章 行列式 第一节 引言
A1
4.
准对角矩阵
初等因子是所有
Ai
初等因子之并。
Ak
J1
5.
A
~
重数。
,
则
A
有
k
个线性无关特征向量；任一特征值的几何重数不超过代数
Jk
证明：事实上，考虑 A 一个特征值 1 ，设对应于 1 的若而当块有 m 个，则
1E J1
r
1E
A
r
1E J2
例4. 上次第 6 题。 想办法利用任意性，和逆矩阵等联系起来。
第二章 行列式 第一节 引言
A 特征值实部为 1 ，于是 0 不是 A 特征值，从而 A 可逆。 2
第二章 行列式 第一节 引言
例2． 第八题
0
事实上，
A
~
1
0
0 0
J.
(0 E
J
)n1
0
0
1
0
1
0
0
0
,
(0
E
J )n
0.
0
（1） 0E A ~ 0E A k, (0E A)k ~ (0E A)k .从而 m=n。
问题化为
Jordan标准型
-
初等矩阵都是可逆矩阵，并且有
P (i , j ) P (i , j ), P ( j(k )) P ( j(k )),
1
1
1
P [ j(h( )), i ] P[ j( h( )), i ]
1
定义2.2.3
若
-矩阵 A( ) 经过
有限次初等变换，化成 -矩阵 B( )，
2 1 1 1 2 2 1 1 A 1 2 1 2 0 0 0 3
1 0 A 0 0
关于
－矩阵的三种初
两行（列）互换位置
⑵
⑶
某行（列）乘不等于零的数
用 的多项式 h ( ) 乘某行（列
）并加另一行列上。
三种初等变换对应三个初等矩阵，
P(i, j ), P(i(k )), P[h( ) j, i]
并且，施于行变
换时，相当左乘相应初等矩阵，施 于列变换时，相当右乘相应初等矩 阵，可以证明初等变换不改变 矩阵的秩。
第二讲 Jordan标准型
2.1
-矩阵和初等因子
2.2 行列式因子和初等因子
2.3 Jordan 标准型
2.1
-矩阵和初等因子
引入 -矩阵
a11 ( ) a12 ( ) a21 ( ) a22 ( ) A( ) a ( ) a ( ) n2 n1 a1n ( ) a2 n ( ) ann ( )
（1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等 价。 （2） 对称性：若 A( ) 与 B( )等价，则 B( ) 与 A( )等价，这是因为初等变换具有可逆 性。
（3）传递性：若 A( )与 B ( ) 等价， ) B( 与 C ( ) 等价,则 A( )与 C ( ) 等价。
矩阵分析课件
引理 设 矩阵 A 的左上角元a11 0， 并且 A 中至少有一个元素不能被它整除，那 么一定可以找到一个与 A 等价的矩B ， 它的左上角元素也不为零，但是次数比a11
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
第3讲(3)Jordan标准形
17
[方法2] 用初等变换，把J(λ)=λE − J化成 (6.4.1)的形式.
⎡λ − a
(λ
E
−
J
)
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
18
3
⎡0 ⎯c⎯1+c2⎯×(λ⎯−a⎯)→ ⎢⎢(λ − a)2
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
r2 + r1×(λ
ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向 量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2 即 (A−E)ξ2 = ξ1. 便可解得.
42
7
因此取
⎡⎢0 ⎢
−1 2
2
⎤ ⎥
⎥
P = [ξ1,ξ2 ,ξ3 ] = ⎢0 0 1 ⎥ ,
⎢⎢1 0 −6⎥⎥
⎣
⎦
就可使
⎡1 1 0⎤ P −1AP = J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
0 0⎤ ⎥
1
1
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦
⎡1 1
或
⎢ ⎢0
1
⎢ ⎢⎣
0
0
0⎤
0
⎥ ⎥
−2
⎥ ⎥⎦
36
6
例6 设
⎡ 1 2 0⎤
A
=
⎢ ⎢
0
2 0⎥⎥
⎢⎣−2 −2 1⎥⎦
问：A是否与对角阵相似？如不与对角 阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为 Jordan标准形.
37
解 λ −1 −2 0
λ E − A = 0 λ − 2 0 = (λ −1)2(λ − 2) 2 2 λ −1
[方法2] 用初等变换，把J(λ)=λE − J化成 (6.4.1)的形式.
⎡λ − a
(λ
E
−
J
)
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
18
3
⎡0 ⎯c⎯1+c2⎯×(λ⎯−a⎯)→ ⎢⎢(λ − a)2
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
r2 + r1×(λ
ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向 量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2 即 (A−E)ξ2 = ξ1. 便可解得.
42
7
因此取
⎡⎢0 ⎢
−1 2
2
⎤ ⎥
⎥
P = [ξ1,ξ2 ,ξ3 ] = ⎢0 0 1 ⎥ ,
⎢⎢1 0 −6⎥⎥
⎣
⎦
就可使
⎡1 1 0⎤ P −1AP = J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
0 0⎤ ⎥
1
1
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦
⎡1 1
或
⎢ ⎢0
1
⎢ ⎢⎣
0
0
0⎤
0
⎥ ⎥
−2
⎥ ⎥⎦
36
6
例6 设
⎡ 1 2 0⎤
A
=
⎢ ⎢
0
2 0⎥⎥
⎢⎣−2 −2 1⎥⎦
问：A是否与对角阵相似？如不与对角 阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为 Jordan标准形.
37
解 λ −1 −2 0
λ E − A = 0 λ − 2 0 = (λ −1)2(λ − 2) 2 2 λ −1
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
所以，A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
矩阵理论第三章矩阵的Jordan标准型[可修改版ppt]
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若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(
矩阵论 Jordan标准形介绍讲解
例题1 （P.56， eg10， eg11）
例题2 设A R4×4 ，mA（ )=( 1 ) ( 2 )2
求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。
例题3 设 g( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )
是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。
2 . 性质（定理2 . 7）
• AX = 0 X g(A)X= g(0 )X
• P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B)
A1
•A
A2
g( A1 )
Ak
g( A)
g( A2 )
g( Ak )
f ( ) I A ( 1 )k1( 2 )k2 ( s )ks
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39)
T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
例题2 已知{1，2 ，3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换，
使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。
f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
三、最小多项式
1 定义（P.54， 定义2 . 5）
mA（ ）是最小多项式
mA（ A） =0 mA（ ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。
g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
例题1 设 g( ) 3 42 5 1
对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。
例题2 设A R4×4 ，mA（ )=( 1 ) ( 2 )2
求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。
例题3 设 g( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )
是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。
2 . 性质（定理2 . 7）
• AX = 0 X g(A)X= g(0 )X
• P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B)
A1
•A
A2
g( A1 )
Ak
g( A)
g( A2 )
g( Ak )
f ( ) I A ( 1 )k1( 2 )k2 ( s )ks
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39)
T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
例题2 已知{1，2 ，3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换，
使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。
f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
三、最小多项式
1 定义（P.54， 定义2 . 5）
mA（ ）是最小多项式
mA（ A） =0 mA（ ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。
g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
例题1 设 g( ) 3 42 5 1
对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。
矩阵论第3章矩阵的Jordan标准形
数余子式等概念．
定 义 3.1.2 设 - 矩 阵 A() P[]mn ， 若 A() 中 有 一 个
r(1 r min{m, n}) 阶子式不为零，而所有 r 1阶子式（如果有的 话）全为零，则称 A() 的秩为 r ，记为 rank(A()) r ．
进一步，若 n 阶 －矩阵 A() 的行列式 A() 不等于零，则称 A() 是满秩的．
．
所以 rankA() rankB() 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A() 与
B() 等价，则 A() 与 B() 之间只能差一个非零常数因子， 而 A()
与 B() 不满足这一条件，所以 A() 与 B() 不等价．
这个例子说明，秩相等不是 －矩阵等价的充分条件．
3.1.3 －矩阵的Smith标准型
第3章 矩阵的Jordan标准形
－矩阵的理论和矩阵的 Jordan 标准形不但在矩阵理论与计
算中起着十分重要的作用，而且在工程上的控制理论、系统分析、
力学等领域具有广泛的应用．本章主要讨论 －矩阵的概念与基本 性质，及其 Smith 标准形，然后利用 －矩阵的理论导出矩阵的
Jordan 标准形，最后给出矩阵的 Cayley－Hamiltom 定理．
a 11 0
a11b22
a11b12 c22 a11b12b21
（第二行加到第一行）
a11 0
a11b12
a11b22 c22 a11b12b21 a22 a11b12b21
a 11 0
a11b12 (1 a22
b21 ) a22 a11b12b21
元素 a11b12 (1 b21 ) a22 不能被 a11 整除，这就将
（1）第一行存在元素不能被 a11 整除：
定 义 3.1.2 设 - 矩 阵 A() P[]mn ， 若 A() 中 有 一 个
r(1 r min{m, n}) 阶子式不为零，而所有 r 1阶子式（如果有的 话）全为零，则称 A() 的秩为 r ，记为 rank(A()) r ．
进一步，若 n 阶 －矩阵 A() 的行列式 A() 不等于零，则称 A() 是满秩的．
．
所以 rankA() rankB() 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A() 与
B() 等价，则 A() 与 B() 之间只能差一个非零常数因子， 而 A()
与 B() 不满足这一条件，所以 A() 与 B() 不等价．
这个例子说明，秩相等不是 －矩阵等价的充分条件．
3.1.3 －矩阵的Smith标准型
第3章 矩阵的Jordan标准形
－矩阵的理论和矩阵的 Jordan 标准形不但在矩阵理论与计
算中起着十分重要的作用，而且在工程上的控制理论、系统分析、
力学等领域具有广泛的应用．本章主要讨论 －矩阵的概念与基本 性质，及其 Smith 标准形，然后利用 －矩阵的理论导出矩阵的
Jordan 标准形，最后给出矩阵的 Cayley－Hamiltom 定理．
a 11 0
a11b22
a11b12 c22 a11b12b21
（第二行加到第一行）
a11 0
a11b12
a11b22 c22 a11b12b21 a22 a11b12b21
a 11 0
a11b12 (1 a22
b21 ) a22 a11b12b21
元素 a11b12 (1 b21 ) a22 不能被 a11 整除，这就将
（1）第一行存在元素不能被 a11 整除：
Jordan标准形
0 p2 1
1
p取1 k=111，则p3
0 1
2
0
1 0 0
，那么所用P 的 相1 似1变1换 矩阵为
2 1 0
矩阵理论第3讲 - 21
性质:
相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩
矩阵理论第3讲 - 2
n 对 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵 ， P
P使得1 AP A 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
若矩A阵nn
1
与对角阵
2
则1 , 2 , , n 是A 的 n 个特征值。
相似，
n
矩阵理论第3讲 - 3
相似矩阵的线性变换语言叙述
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基/坐标系下的的不同描述。
我们知道一个有限维线性空间到自己上的线性变换可以用矩阵表示，但 是对于同一个线性变换，当取不同的基时，对应的矩阵是不同的。这个 不同就等价于矩阵的相似。换句话说，矩阵商掉相似这个等价关系之后 就是线性变换全体。而相似标准型就是对于一个线性变换，来找一组基，
A( )
di () , (i 1,2,, n)
A( )
求出 的不变因子
3. 求出 的初等因子，并据此写出A的Jordan 标准形
矩阵理论第3讲 - 11
例(1)
1 2 3 4
A
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3
2 1
1—— 2上三 3角阵 4
3.1 Jordan 标准型
矩阵理论第3讲 - 1
相似矩阵的定义及性质
线性变换的Jordan标准型
1 1 P = 6 2 1 1
1 3 1
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 --
1 0 例4 设 J = 0 1 0 0 解
λ −1 (λE − A) = 0 0 −1
-1 A ~ J = 0 0
0 1 0
0 1 1
′ 1 P 1＝ ，－ 1， 1 2 P 2 ＝ (1 , 0 , 0 ) ′ 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2003 1
对于 λ ＝－ 1，特征向量为 对于 λ ＝ 1，求得一个特征向量 由 A （ P 1 P 2 P 3）＝（
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1 2 例2 求矩阵A = 3 4
当14级矩阵A的λ − 矩阵的不变因子是1,1, ⋯,1, (λ − 1),
10 个
(λ − 1) 2 (λ + 1), (λ − 1) 2 (λ + 1) 2 , (λ − 1) 2 (λ + 1) 2 (λ2 + 4), 则其初等因子有9个 : λ − 1, (λ − 1) 2 , (λ − 1) 2 , (λ − 1) 2 , (λ + 1), (λ + 1) 2 , (λ + 1) 2 , (λ + 2i ), (λ − 2i ).其矩阵的若 当标准形是 1 0 1 0 1 ɺ ɺ ɺ + + ( 1 )+ 1 1 1 1 1 −1 0 ɺ ɺ + (2i ) + (−2i ) 1 −1 0 −1 0 ɺ ɺ ɺ + (−1) + + 1 1 −1
第2章2 矩阵的Jordan标准型
于是可得a = 50, b = 0, c = 49.
1 2 2 例1. 已知A = 1 0 3 , 求A100.
1 1 2
即100 = c()g() + 502 49,
故A100 = c(A)g(A) + 50A2 49E
= 50A2 49E
3 0 8 49 0 0
= 50 2 1 4 0 49 0
相似矩阵P的求法
i，dim Vi qi pi
A
1, 2, …, s
11, …, 1q1 , 21, …, 2q2 ,…,s1, …,sq s
线性无关
线性无关
线性无关
11, …, 1q1 , 21, …,2q 2 , …, s1, …,sqs
线性无关
P= 11，L ，1q1 ,21，L ，2q2 ,L ,s1，L ，sqs
2 0 5 0 0 49
199 0 400
= 100 1 200 .
100 0 201
0 11 例2. A = 0 1 0
1 1 2
① c() = |E–A| = (1)3满足c(A) = O
c()的次数为3
A的化零多项式
② f() = (1)2 = 22+1满足f(A) = O. f()的次数为2 次数最低, 首项系数为1
i 1
dimVi =qi pi
A 有 n 个线性无关的特征向量。
定理： n 阶矩阵 A 可以对角化的充分必要条件是
每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
综合
s
设f ：V
V的特征多项式是C ( )
(
i1
i )pi，则下述条件
是等价的：
1. f是可对角化的； 2.i，dim Vi pi ; 3.V V1 V2 Vs
第四章 矩阵的标准型 矩阵理论课件
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
p ij (p i(1 j),p i(2 j), ,p i(n jij))
由 A pij pijJj( i)，可知
(
A
i
I
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p
( i
2 j
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p ( ni ij
j
)
p ( ni j 1) ij
解这个方程组，可得到Jordan链
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0 xAxBu0 0 1x0u.
2 3 0 1
|IA | 3 0 2 3 2 .
故矩阵 A 称为特征多项式 | I A| 的友矩阵。
解： A
的特征值为 `12, `2`31，故设
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i mimi
为 m i 阶Jordan 块。
定理 2 设 ACnn。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 () ( 1 ) m 1 (s ) m s
( m 1 m 2 m s n )
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (1,2,4)T
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
2 (1,1,1)T
矩阵理论-第三章-矩阵的Jordan标准型.ppt
因此 A10 A6 8A A6(A4 E4 ) 8A 8A
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 m n 型的 –矩阵 A() ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A() 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A() 与 B() 是等价的，记作 A() B() ．
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk () .
由定义知 Dn() 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk () | Dk1() (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
( 1)2
1
Hale Waihona Puke 1c1c3 c2 c3
( 1)
( 1)2
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1() 1 ， d2() ( 1) ， d3() ( 1)2 .
方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1() 1 D2() ( 1) D3() 2( 1)3
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
定义 3.5 di (), i 1,2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 m n 型的 –矩阵 A() ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A() 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A() 与 B() 是等价的，记作 A() B() ．
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk () .
由定义知 Dn() 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk () | Dk1() (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
( 1)2
1
Hale Waihona Puke 1c1c3 c2 c3
( 1)
( 1)2
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1() 1 ， d2() ( 1) ， d3() ( 1)2 .
方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1() 1 D2() ( 1) D3() 2( 1)3
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
定义 3.5 di (), i 1,2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
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)
L
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n) 为 的多项式．
.
2
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
加到第 i 行（列）上．
.
8
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
.
9
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ；
2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ．
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
.
1
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( ) a12( ) L
A(
)
a21 (
)
a22( )
L
L
LL
am1
(
)
am2( )
L
a1n( )
a2n
(
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
.
11
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
O
A()
D()
dr ()
0
O
0
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2,L , r 1 (依次相除性)，
di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2,L , r .
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
.
7
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
.
6
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
2
3
3 2 5
4
，
B(
)
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
.
16
( 1)
.
3
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
.
4
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
D(
)
为
A(
)
的等价标准形，称为 .
Smith
标准形.
12
1 2
例 3.2
化
A(
)
为
Smith
标准形.
解
1 2 2 2
1 2 A() c 1c 30
1 2
2
1 2 r 3r10
0 0
2
1 0 0
1 0 0
c 2( 2 )c10
c3()c1
0
0
2
c 3c 2 0 c3(1) 0
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
.
5
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
2, ..., r
则 di ( )(i 1,L , r) 是 r 个首 1 的多项式.
.
15
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1,L , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ),L , dr ( ) 就是 它的不变因子.
3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
.
10
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
0
0
( 1)
.
13
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2,L , n 1 .
.
14
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )