高中数学必修二空间中的平行关系-高中课件精选

第二课时 辽宁师范大学 王晓桐
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1.2.1 平面的基本性质与推论
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P23-例1.38
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注：证明直线在平 面内的依据
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即 直线在平面内。
P23-例1.39
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P23-例1.40 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条通过这个点的公共直线。
α A b 面直线
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①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相 交又不平行； ②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内 不经过该点的直线是异面直线。

P24-例1.42
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当点在同一平面内，当点不在同一平面内分别讨论。 例1.43：空间中的四点可以确定几个平面？

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图形语言用文字语言表述； 文字语言转化为符号语言。 画图顺序：先画平面，再画点线。
P24-例1.44
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证明三点共线常用方法： 法1、找出两个平面，证明这三点都是这两个平面 的公共点； 法2、选择其中两点确定一条直线。然后证明另一 点也在直线上。
P24-例1.45
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.例1.46：三个平面能把空间分成几
部分？

一个平面能把空间分成几部分？ 二个平面能把空间分成几部分？
求证：EF// 平面 BDD B . 1 1 F D1
C1 A1 B1 A1 B1 D1 F C1
M
ND M
A B E
C A
D E B
C
P26-例1.56
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问题1：命题“若直线a平行于平面α，则 直 线a平行于平面α内的一切直线．” 对吗？
a c b

那么直线a会与平面内那些线平行呢？
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问题2：在上面的论述中平面的直线b
α， a // b， a //α.
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a在平面外 b在平面内 ab平行 可以用判定定理将直线与平面间的平行关系，转化 为直线间的平行问题。

P26-例1.55
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证明：如图,连接BD,在△ABD中,
A E D B F C
因为 E,F分别为AB，AD的中点，
又因为BD 平面BCD, EF 平面BCD,
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所以 AA1 / /DD1
同理可得
AA1 / /EE1
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1，AE=A1E1，
DE=D1E1，
于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
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一组边的方向相同，而另一组边 的方向相反，又如何？
γ
α
β
，互补 , 互补
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证明几点共面问题：可先取不共线的三点确定一个 平面，再证明其余各点都在这个平面内。 证明空间几条直线共面问题：可先取两条相交或平 行直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平 面内。
P24-例1.47 课堂练习：P25
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1.2.2 空间中的平行关系
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平行于同一条直线的两条直线互相平行，符号表述 为：
a∩=A

1、我们把直线与平面相交或平行的情况统称为直 线在平面外，用符号表示为 a ／


2、“直线与平面不相交”说明： “直线与平面没有公共点”说明：
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（1）文字语言：如果不在一个平面内的 一条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行. （2）图形语言：
b a
（3）符号语言： a α，b
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如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线
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空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
P26-例1.50
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空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面 内
直线a与平面相 直线a与平面平 交 行
a

a A
a//
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a
a

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空间中任意的角通过平行移动，角度都不会改变。
P26-例1.49
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（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图 形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的 边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对 角线。
所以 EF ∥BD,
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D1 A1 E D A
F
C1 B1 C B
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例1.53：如图，已知在三棱柱ABC— A1B1C1中，D是AC的中点. 求证：AB1//平面DBC1
A1 C1 B1
P
D A C
B
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例1.54：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1 的中点.
a//c，b//c
a//b.
a
c
b
α
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例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的 一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）

A.1条B.2条源自C.3条 D.4条18

定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对 应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
已知：如图所示，∠BAC和∠B1A1C1 的边AB//A1B1，AC//A1C1，且射线 AB与A1B1同向，射线AC与A1C1同向，
求证：∠BAC=∠B1A1C1.
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证明：对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形， 在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1 的两边上截取线段AD=A1D1和
AE=A1E1.
因为， AD / / A D 所以AA1D1D 1 1 是平行四边形，
(1)两个平面有公共点必有公共直线；
(2)公共点必在公共直线上； 注：1）确定两平面是否相交； 2）证明三点共线的依据；
3）证明三线共点的依据。
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P23-例1.41
公理 3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面 推论3：经过两条平行直线, 有且只有一个平面
注：确定平面的方法。
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共面直线的定义：空间中几条直线都在同一平面内。 异面直线的定义：既不相交又不平行的直线。（不 在任意一平面内）
异面直线 画法： a
b a
a
b
b
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位置 图 示 表示方法 公共点个 关系 数 相 a 一个 Ab a b A 两 交 α 直 a 线 平 a∥b 没有 共 行 b 面 a、b是异 异面 没有