数学建模训练 第一章 建立数学模型
数学建模 第一篇第一章
第一篇 线性规划模型及应用第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质§1-1-1线性规划问题的数学模型引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。
如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。
1.假若考虑只用3B 方式下料，需要用料100根；2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。
但这仍然不是最好的下料方法。
3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。
设用1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B ,7B ,8B 方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，则可以建立线性规划数学模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++++≥++++≥++++++++++=0,,,,,,,10043231002321002..m in 8765432187643176532432187654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x S 用LINGO 10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;根据输出结果，得：,20,4021==x x 90m in ,0,0,30,0,0,0876543=======S x x x x x x (最优解不唯一)；或90m in ,0,0,0,0,30,0,50,1087654321=========S x x x x x x x x 。
第1章建立数学模型
1.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模型假设 1. 椅子四条腿的端点视为四个点，且为正 方形的四个顶点. 2. 地面高度连续变化. 3. 对椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面 相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只 脚同时着地.
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模型构成 如图，椅子的位 置可用θ表示. 设A、 C与地面距离之和为 f(θ)，B、C与地面距 离之和为g(θ). 由于 至少有三条腿着地， 故有f(θ) ≥ 0, g(θ) ≥ 0, f(θ)g(θ) ≥ 0，且f(θ)、 g(θ)为连续函数.
阻滞增长模型 (Logistic模型) 增长率r与人口数x有关: r(x) = r(1x/xm), 其中xm为最大人口容量, 得. dx/dt = r(1x/xm)x, x(0) = x0. 解得 xm x(t) = . xm rt 1 + ( 1)e x0 dx/dt和x(t)的图形见右图.
于是制定安全渡河 方案归结为如下多步决策 问题： 求决策dk∈D (k = 1, 2, …, n)，使sk∈S按照状 态转移律，由初始状态s1 = (3, 3)经有限的n步到达 状态sn+1 = (0, 0).
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模型求解 状态(x, y)如右图. 当k为奇数，渡船从 此岸到彼岸，uk, vk不增， 且至少有一个要减小. 状 态转移方向为左下(图中 实线箭头). 当k为偶数，渡船从 彼岸到此岸，uk, vk不减， 且至少有一个要增加. 状 态转移方向为右上(图中 虚线箭头). 策略如图，不唯一， 课本上为另一策略.
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例(习题p22, 4.) 若ABCD为矩形但非 正方形, 设OA与OB之间夹 角为α, 仍用上面所设的函 数, 则有f(θ + α) = g(θ), 且f 与g都是周期为π的函数, 因此f与g有相同的最大、 最小值. 设f(θ1) = max, f(θ2) = min, 则f(θ1) ≥ g(θ1), f(θ2) ≤ g(θ2). 由函数的连续性, 在θ1与θ2之间至少有一点 θ0使f(θ0) = g(θ0).
数学建模01建立数学模型
机械工程
研究机械结构和动力学， 如机械设计、振动分析等 。
经济领域
金融
研究投资和风险管理，如股票市场分析、风险评估等。
计量经济学
研究经济现象和规律，如经济增长、劳动力市场等。
管理科学
研究决策和优化问题，如生产管理、物流管理等。
社会领域
01
人口学
研究人口结构和动态，如人口增长、人口老龄化等。
02
社会学
推动科技进步
数学建模在科学研究、工程设计、经济分析等 领域发挥着重要作用，推动着科技进步和社会 发展。
提高决策效率
通过数学建模对数据进行处理和分析，能够为 决策提供科学依据，提高决策效率和准确性。
数学建模的历史与发展
起源
数学建模起源于古代的数学和物 理学研究，如阿基米德、牛顿等 人的经典著作。
发展
数学建模01建立数学模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 数学建模概述 • 建立数学模型的基础知识 • 建立数学模型的方法论 • 建立数学模型的实践技巧 • 建立数学模型的应用领域 • 建立数学模型的案例分析
01
数学建模概述
定义与特点
定义
数学建模是指用数学语言描述和刻画客观事物的特征、规律 、关系和属性，并基于数据进行推理、分析和预测的一种方 法。
特点
数学建模具有抽象性、精确性、系统性和可预测性等特点。 通过抽象和简化复杂问题，数学建模能够准确地描述和预测 现象，同时利用数学工具进行数据分析和优化，为决策提供 科学依据。
数学建模的重要性
1 2 3
解决实际问题
数学建模能够将实际问题转化为可计算和可分 析的数学问题，从而为解决实际问题提供有效 工具和方法。
数学建模01建立数学模型
热力学
用数学模型描述热量传递 、物质热性质等，如热力 学第一、第二定律。
生物学
生态学
01
通过数学模型模拟生态系统中的种群动态、食物链等，预测生
态系统变化。
生理学
02
利用数学模型对生物体的生理过程进行定量描述，如心率、血
压等。
遗传学
03
通过数学模型分析基因遗传规律，为基因治疗、药物研发等提
供支持。
社会学ห้องสมุดไป่ตู้
利用仿真技术
混合建模方法通常利用计算机仿真技术，模拟实 际系统的运行过程，以获得更全面和准确的模型 输出。
考虑不确定性和随机性
混合建模方法还需考虑实际系统中存在的不确定 性和随机性因素，以更准确地反映实际系统的特 点和规律。
03
数学模型的应用领域
工程学
01
02
03
结构分析
利用数学模型对桥梁、建 筑等结构进行受力分析， 预测其承载能力、使用寿 命等。
定义变量和参数
根据研究目标，定义需要研究的变量和参数，为后续的数据收集和处 理提供基础。
数据收集与处理
数据来源
根据研究目标和变量定义，确定所需数据的来源，包括实验数据、 调查数据、公开数据库等。
数据清洗
对收集到的数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理、数据 转换等，以保证数据的质量和可靠性。
数据转换
根据研究目标和变量定义，对数据进行必要的转换和处理，以适应 模型建立的需要。
模型选择与建立
模型选择
根据问题的特点和目标 ，选择合适的数学模型 ，包括回归模型、时间 序列模型、决策树模型 等。
模型建立
根据所选模型和数据， 建立相应的数学方程或 算法，以描述问题的本 质和目标。
《数学建模》习题及参考答案 第一章 建立数学模型
第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
数学建模训练第一章建立数学模型精品PPT课件
=…= x0 (1+r1/12)n-M [(1+r1/12)n-1+…+1]
由于 x0=A, xN1=0.
那么 A (1+r1/12)N1-12M [(1+r1/12)N1-1]/ r1=0
这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ [(1+r1/12) N1 -1]
同理 可以计算商业贷款月还款额
第n月还款 额公式
r1 (1r1)N1
r2(1r2)N2
MnA1 (12r1)1N 211I{nN1}B1 (12r2)1N 22 1I{nN2}
12
12
等额本金情形
•月还本贷款本金／还款月数，利息月月清 •月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率） •第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 •第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 •…. •第N1个月公积金月还 A/N1+ A[1-(N1-1)/N1]r1/12
70 S6 110
720 520 88
62 420
1100
202 S1
20
462 S5 10
A13
70
42
10
210 220 A12
195 306
12 31
480 A10300 A11 A9
1150
0
5
10
201 A868011
A1 A1
600 10
450 80
194
205 A7
A6
11
11
A5 A11
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实 际对象的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究 的对象, 从而更有效地解决实际问题。
数学建模综合练习
数学建模综合练习第一章数学建模方法论1．举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型．2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划3．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．4．假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+∆t时间内人口的增长与x m- x(t)成正比（其中x m为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．5．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．6．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c与商品重量w的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素．（2）给出单位重量价格c与w加c减小的程度变小．解释实际意义是什么？7．用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图1）．若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）．如果管道是其它形状呢？8．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k ≈ r 的情况．第二章 初等数学模型1．在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型．2．设某产品的售价为p ，成本为q ，售量为x （与产量相等），则总收入与总支出分别为px I =，qx C =．试在产销平衡的情况下建立最优价格模型．3．在最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型．4．在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q =q 0 +βt ，β为增长率．又设单位时间的销售量为x = a – bp （p 为价格）．今将销售期分为0< t <T /2和T /2< t <T 两段，每段的价格固定，记作p 1，p 2．求p 1，p 2的最优值，使销售期内的总利润最大．如果要求销售期T 内的总销售量为Q 0，再求p 1，p 2的最优值．第三章 微分方程模型1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用．2．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ，α的关系式，并求v ，h 一定的条件下求最佳出手角度．3．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx t xln )(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度E m 和渔场鱼量水平x *0．4．在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象．第四章 运筹学模型1．一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务．根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日．公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元．春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职． （1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模型） （2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模型）2．某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间．例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？第五章概率统计模型1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小．2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．３．假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资．每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元．假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略．4．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功．由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的．试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大参考答案第一章数学建模方法论1．解（略）2．解（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S 1，设通过十字路口的距离为S 2，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线S 1之内的汽车能通过路口，即t ≈（S 1+S 2）/v ．S 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．3．解 人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s '=（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}． 决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n ∈D ，使状态s n ∈S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下：4．解 )(d d x x r txm -=，r 为比例系数,0)0(x x =，解为rtm m x x x t x ---=e )()(0，如图2中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近．5．解（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同 一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是： 8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙 图2 站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．x x6．解 （1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大 于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w wCc γβα，其简图 如图3所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包 装商品便宜；曲线是下凸的，说明单价的减少值随包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品． 图3 7．解 将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为wdlπ，若考虑两端的影响，则应加上απsin dw．对于其它形状管道，只需将d π改为相应的周长即可． 图48．解 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c kc T -=*．当k 》r 时，rc c T 212=*，相当 于不考虑生产的 图5 情况．当k ≈ r 时，∞→*T ，因为产量被销量抵消，无法形成贮存量．第二章 初等数学模型1．解 不妨设1)(+'=b b λλ，表示火势b 越大，灭火速度λ越小，分母b +1中的1是防止b →0x时λ→∞而加的．最优解为λβλβλ'++'+++'=)1()(21]()1(2[23221b c b b b c b c x ． 2．解 因为售量x 依赖于价格p ，记作)(p f x =，称为需求函数，它是p 的减函数．由此可知收入I 和支出C 都是价格p 的函数，所以利润U 可以表示为)()()(p C p I p U -= （1）使利润U （p ）达到最大的最优价格p *可以由0d d *==p p p U 得到，即**d d d d p p p p pC pI ===（2）其中p I d d 称为边际收入，pC d d 称为边际支出．（2）式表明最大利润在边际收入等于边际支出时达到． 假设需求函数是线性函数，即bp a p f -=)(，0,>b a （3）并且每件产品的成本q 与产量x 无关，将总收入函数、总支出函数、需求函数和（3）式代入（1）式可得))(()(bp a q p p U --=用微分法求出使U （p ）达到最大的最优价格p *为baq p 22*+=（4） 在（3）式中a 可以理解为这种产品免费供应时（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”．pxb d d -=表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度．在实际工作中a ，b 可以由价格p 和售量x 的统计数据用最小二乘法拟合来确定．（4）式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q 的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比． 3．不妨设kx q x q -=0)(，k 是产量增加一个单位时成本的降低．最优价格为bakb ka q p 2)1(20*+--=．4．总利润为 ⎰⎰--+--=TT T t bp a t q p t bp a t q p p p U 222201121d ))](([d ))](([),()]}43([)()]4([){(022011Tq p b bp a Tq p b bp a ββ+---++---= 由01=∂∂p U ，02=∂∂p U，可得最优价格 )]4([2101T q b a b p β++=，)]43([2102Tq b a b p β++= 设总销量为Q 0，)(2d )(d )(21222010p p bTaT t bp a t bp a Q T T T +-=-+-=⎰⎰在此约束条件下),(21p p U 的最大值点为8~01T bT Q b a p β--=，8~02T bT Q b a p β+-=第三章 微分方程模型1．解 设t 时刻采用新技术的人数为x (t )．（1）指数模型x t xλ=d d ． （2）Logistic 模型)(d d x N ax tx-=，N 为总人数．（3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有))((d d x N b ax tx-+= （2）和（3）区别见图6．图6 2．解 在图7坐标下铅球运动方程为0=x，g y -= ，0)0(=x ，h y =)0(， αcos )0(v x= ，αsin )0(v y = ． 解出)(t x ，)(t y 后，可以得铅球掷远为ααααcos )2sin (cos sin 212222v g hgv g v R ++=图7 这个关系还可表为 )tan (cos 2222ααR h v g R +=． 由此计算0d d =*ααR ，得最佳出手角度)(2sin 21gh v v +=-*α，和最佳成绩gh v gvR 22+=*．设h =1.5m ，v =10m/s ，则 4.41=*α，m 4.11=*R ． 3．解 模型为Ex xNrx x F x-==ln )( ，如图8所rN/示，有2个平衡点：x = 0和x 0 =rE N -e．可证x = 0不稳定，x 0稳定（与E ，r 的大小无关）．最大持续产量为h m = rN/e ，获得h m 的E m = r ，x *0 =e /N ．4．解 记B 的浓度为时间t 的函数y (t )，A 的浓度为x (t )． 图8 一、假设1．1molA 分解后产生n molB ． 2．容体的体积在反应过程中不变． 二、建立模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立kx tx-=d d 其中k 为比例系数．设反应开始时t = 0，A 的浓度为x 0，由题中条件知当t = 20（分）时，A 的浓度为021)20(x x =．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-)0(d d x x kx tx得 ktx t x -=e )(0它应满足020021e )20(x x x k ==⨯- 解得 2ln 201=k 所以得 )2ln 200e )(（tx t x -=由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e1(]e[)(2ln 2002ln 2000ttnx x x n t y ---=-=三、作图（如图9） 图9第四章 运筹学模型1．解 （1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1, x 2, x 3, x 4人，4个季度开始时nx保姆总数量分别为S 1, S 2, S 3, S 4人．以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥+=+=+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min4321432143432321211443322114321S S S S x x x x x S S x S S xS S x S x S x S xS x S S S S S Z （2）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x 1, x 2, x 3, x 4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y 1, y 2, y 3, y 4人，4个季度开始时保姆总数量分别为S 1, S 2, S 3, S 4人．以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为s .t .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-+=-+=-+=+=+≥+≥+≥+≥+++=0,,,,,,,,,,85.085.085.01205900065555006557500655600065min4321321432134342323121211443322114321S S S S y y y x x x x y x S S y x S S yx S S x S x S x S xS x S S S S S Z 2．解 （1）建立模型设：①每班上班时间为8小时，在上班时间内只能生产一种产品； ②周末加班时间内生产哪种产品不限；③生产A 产品用x 班，生产B 产品用y 班，周加班时生产A 产品用x 1小时，生产B 产品用y 1小时．则有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+=++≤+≤+=+且为整数0,,,101:2148:987084581011111111y x y x y x x x y y x x y y y x （2）求解现在求满足（1）中第2，3个方程可看出：8≤x ，5≥y ；将（1）中的第1个方程代入第4个方程得：1179720128y x y -+= 现在就是在满足5≤y ，1011≤+y x 条件下，使上式两端的取值尽量接近．显然5=y ，01=x ，101=y因此 5=x制定方案为，生产A ，B 两种产品所占总时间各一半，周加班10小时全用于生产产品B ．3．解：设购买食品A 和B 依次为x 1和x 2（kg ），则有 营养最低要求满足：10x 1+5x 2≥50 （铁含量） 5x 1+8x 2≥40 （蛋白质含量）6x 1+5x 2≥42 （钙含量）总花费数记为Z ，则有数学模型2134min x x Z +=s .t .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,)3.3(,4256)2.3(,4085)1.3(,5051021212121x x x x x x x x 用图解法求解上述问题．首先以x 1,x 2为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10），由于x 1,x 2均非负，故只画出了第一象限．其次，将其余约束条件几何化．条件（3.1）表示的是一个半平面，先画出直线10x 1+5x 2=50,因为10x 1+5x 2≥50，故直线（3.1）的上方区域即条件（3.1）所满足的x 1,x 2的取值范围；同理将条件（3.2）、（4.3）也几何化，并注意到几个条件要同时满足，便求得一个以顶点A 、B 、C 、D 为顶点的右上方无界的五边形区域1x ABCD 2x .这个区域内的任一点（x 1,x 2）都是一个可行性配餐方案．图3—10图3—11最后，为了求出最优解，将目标函数也进行几何化，有11)4.3(33412Z x x +-=称为目标函数直线族，因为其中的Z 作为参数出现.易见，随着Z 的逐渐增大，目标函数直线（3.4）向右上方平行移动．也就是说，随着目标函数直线的逐渐往右上方平移，Z 的值越来越大，反之，Z 的值越来越小（如图3-11）.又原问题是求函数Z 的最小值，故应令目标函数直线尽可能往左下方平移．但这种平移是有限制的，即点（x 1,x 2）必须在可行域内.于是两者的结合便可确定本例的最优解.通过上述斜率关系分析可知目标函数直线与直线（3.1）和直线（3.3）的交点（顶点C ）相切，即直线（3.1）与直线（3.3）的交点即最优解点.于是问题就变成了求解方程组⎩⎨⎧=+=+.4256,505102121x x x x 易解得x 1=2,x 2=6为最优解，通常记作：Tx )6,2(62=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=* 对应的目标函数值称为最优值，记作 Z *=26第五章 概率统计模型1．解 设报童每天订购Q 份报纸，则其收益函数为⎩⎨⎧>≤--=Q m am Qm b m Q am m y ,,)()( 利润的期望为∑∑∞+==+-+=1)()(])[()]([Q m Qm m aQP m P bQ m b a m y E比较各个m 的)]([m y E 值，使其最大者即为所求．若m 的取值过多，可将)]([m y E 当成m 的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令0d )]([d =mm y E ．2．解 假设有α%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样．基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a 0，b 0，由题设，a 0：b 0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有%210αb 个女人及%210αb 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2.22.1%0001αα=+=b a b c同理，第二代将有%21210αb ⋅个女人及%21210αb ⋅个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2.22.121%210002αα⋅=+=b a b c依次类推，第n 代将有%)21(0αb n个女人及%)21(0αb n个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为%2.22.1)21(%)21(10001αα⋅=+=--n n n b a b c令∞→n ，则0→n c ．3．解 建立决策树（如图13）．图13在投资A 的决策树中，第一年投资A ，第二年投资B ，第三年投资B 的期望值最大． 在投资B 的决策树中（只在A 的决策树中②节点中的0.4，0.6分别换成0.1，0.9即可），可算得第一年投资B ，第二年投资B ，第三年投资B 的期望值是两个决策树中的最大者． 4．解 建立模型B 1——预测是油井，B 2——预测是气井，B 3——预测是无油气井．由于做取样只能得到不完全的信息，因此根据取样结果，计算出在B 1，B 2，B 3分别发生的条件下，B 1，B 2，B 3发生的概率．然后利用贝叶斯公式，计算出实际是油井、气井和废井情况下，而预测是B 1，B 2，B 3之一的概率值，若给出各种情况下的费用，计算出各个期望值即可．下面画出决策3000 0 20001000 2000 4000 4000 3000 1000 3000 3000 2000树（如图14）．图14。
第章 建立数学模型ppt课件
评奖标准 假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的 清晰程度。
竞赛宗旨： 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
数学建模
第一章 建立数学模型
全国大学生数学建模竞赛网站
地(变量θ的函数)。 正方形的对称性
四个距离
C
两个距离
C'
O
Ax
A、C两脚与地面距离之和为f (θ) B、D两脚与地面距离之和为g (θ)
(f (θ)，g(θ)≥0)
D
D'
示例一 椅子能在不平的地面放稳吗
数学建模
第一章 建立数学模型
模型构成 由地面高度是连续变化的，f和g都是连续函数。
由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f (θ)和g (θ)中至少有一个为零。 当θ＝0时不妨设g (θ) =0， f (θ) >0。
➢ 地面是相对平坦的，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
实例一 椅子能在不平的地面放稳吗
数学建模
第一章 建立数学模型
模型构成 中心问题 用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
❖ 椅子的位置
B
对角线AC与x轴的夹角θ表示了椅子的位置。 B '
❖椅脚着地
A'
椅脚与地面的竖直距离为零时就是椅脚着
数学建模具有涉及面广、复杂多样、对学生思维要求高等特点，是 一种实践性较强、综合运用多种数学思想方法与计算机技术手段解 决实际问题的数学实践活动。
数学建模
第一章 建立数学模型
本课程的重要意义
数学建模 第一章 初等模型
型. 由此模型可解决这两个问题.
2V0
⑴炮弹发射后落地时纵坐标 y
2
0,
2
即
kx l (k 1) x , ( x 0), k x . 2 l (k 1)
dx 1 1 k 0 k 1. 2 2 dk l (k 1) k 1为函数的极大值点, 即最佳角度满足
第一章 初等模型
在这一章中, 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法. 所谓初等模型, 指的是该模型并不涉及高深的数学问题,
用常用的数学工具即可求解此类问题.
一、微积分方法寻找最优点
问题一
铁路线上 AB 段的距离为100km, 工厂C 距 A 处
20km, 并且 AC AB.（见下图） 为了运输需要, 要在 AB上选定一点 D, 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里 货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3: 5, 问D 点
⑼
该方法就称为最小二乘法.
最小二乘法的几何意义
y
y ax b
O
x
进一步地, 若所求曲线为以多项式时, 则也有相应的方 程.
曲线拟合关系中的方程⑼常称为法式方程.
利用软件MatLab，可以简单地得到拟合多项式中的各 项系数. MatLab中曲线拟合命令是 polyfit.
基本格式 polyfit
应选在何处? 建模 设 AD xkm, 则
A x D B
DB 100 x,
20km
C
CD 400 x 2 .
再设铁路上货运的运费为 3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从 B 到 C 的总运费为 y, 则
y 5k CD 3k DB
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数学模型(Mathematical Model) 通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的 对象, 从而更有效地解决实际问题。 数学建模（Mathematical Modeling)
建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表 述、问题求解、结果解释、结论检验等）
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
第n月还款额公式
M n A [ N 1 1 1 r 1 2 ( 1 n N 1 1 ) ] I { n N 1 } B [ N 1 2 1 r 2 2 ( 1 n N 2 1 ) ] I { n N 2 }
后继工作/例子
• 收集数据，编写软件(界面\计算)，写说明书。
• 例子: 80平米, 单价15000元, 首付30%, 公积金40 万, 期限20年,第一套房商业利率7. 05%*0.85,公 积金利率4.9% (2012年1月1日～6月7日).
调查与分析
血药浓度=药量/血液总量
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体 重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液.
目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml.
临床施救的办法：
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
• 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的 6倍，但是安全性不能得到充分保证.
医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
血液系统
体外
药量y(t) 排除率
正比于y
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .
血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下 降一半所需时间)确定. 半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰 期为5 h，排除的半衰期为6 h) .
• [T, F, M]=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1)
• 等额本息(1): 5768元/月(总借84万，约还138万) • 等额本金(2): 7331，7315，…, 3516 (约还130万)
习题
• 补充题1: 如果是第二套住房，且全部为商业贷 款（基准利率*1.1）, 等额本息每个月要付多少?
概念：月利率=年利率/12
等额本息情形
设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.
那么
xn=xn-1(1+r1/12)-M,
计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M
=…= x0 (1+r1/12)n-M [(1+r1/12)n-1+…+1]
由于 x0=A, xN1=0.
你身边的数学模型：购房贷款
• 作为房产公司的代理人，你要迅速准确回 答客户各方面的问题。现在要制作一个软 件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平 方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期 限、还款方式等信息计算下列信息：房款 总额、首付款额、月还款额等。
分析与假设
• 贷款种类:[1] 商业 [2] 公积金 [3] 组合(一般) • 还款方式: 等额本息,等额本金 • 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 • 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 • 不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利
ห้องสมุดไป่ตู้
那么 A (1+r1/12)N1-12M [(1+r1/12)N1-1]/ r1=0
这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ [(1+r1/12) N1 -1]
同理 可以计算商业贷款月还款额
第n月还款 额公式
r1(1r1)N1
r2(1r2)N2
MnA1 (12r1)1N 21 1I{nN1}B1 (12r2)1N 22 1I{nN2}
• 最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率 6.55%*0.85，公积金4.5%.
• 补充题2: 如果原案例（第一套）是2012年3月 1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？ (提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可 假设2012年8月以后利率不再调整)
一句话小结
• 只要你留意，数学建模就在你身边 • 数学建模正在不断更新中
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等额本金情形
•月还本贷款本金／还款月数，利息月月清 •月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率） •第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 •第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 •…. •第N1个月公积金月还 A/N1+ A[1-(N1-1)/N1]r1/12
模型假设
胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数λ(>0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道, x(0)=1100. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物, y(0)=0.
率改变以后失效）
数学建模
• 房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R • 首付款额F=房款总额T×首付比例p • 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款
AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 • 设 业后贷台款变N2量月：，公年积利金率贷r2 。款N1月，年利率r1，商 月还款额怎么算？
1.3 示例： 如何施救药物中毒
场景 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.
诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 浓度100μg/ml会出现严重中毒,浓度200μg/ml可致命.