数学建模训练 第一章 建立数学模型
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第n月还款额公式
M n A [ N 1 1 1 r 1 2 ( 1 n N 1 1 ) ] I { n N 1 } B [ N 1 2 1 r 2 2 ( 1 n N 2 1 ) ] I { n N 2 }
后继工作/例子
• 收集数据，编写软件(界面\计算)，写说明书。
• 例子: 80平米, 单价15000元, 首付30%, 公积金40 万, 期限20年,第一套房商业利率7. 05%*0.85,公 积金利率4.9% (2012年1月1日～6月7日).
1.3 示例： 如何施救药物中毒
场景 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.
诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 浓度100μg/ml会出现严重中毒,浓度200μg/ml可致命.
数学模型 和 数学建模
数学模型(Mathematical Model) 通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的 对象, 从而更有效地解决实际问题。 数学建模（Mathematical Modeling)
建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表 述、问题求解、结果解释、结论检验等）
那么 A (1+r1/12)N1-12M [(1+r1/12)N1-1]/ r1=0
这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ [(1+r1/12) N1 -1]
同理 可以计算商业贷款月还款额
第n月还款 额公式
r1(1r1)N1
r2(1r2)N2
MnA1 (12r1)1N 21 1I{nN1}B1 (12r2)1N 22 1I{nN2}
• 最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率 6.55%*0.85，公积金4.5%.
• 补充题2: 如果原案例（第一套）是2012年3月 1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？ (提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可 假设2012年8月以后利率不再调整)
一句话小结
• 只要你留意，数学建模就在你身边 • 数学建模正在不断更新中
率改变以后失效）
数学建模
• 房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R • 首付款额F=房款总额T×首付比例p • 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款
AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 • 设 业后贷台款变N2量月：，公年积利金率贷r2 。款N1月，年利率r1，商 月还款额怎么算？
• [T, F, M]=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1)
• 等额本息(1): 5768元/月(总借84万，约还138万) • 等额本金(2): 7331，7315，…, 3516 (约还130万)
习题
• 补充题1: 如果是第二套住房，且全部为商业贷 款（基准利率*1.1）, 等额本息每个月要付多少?
医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
血液系统
体外
药量y(t) 排除率
正比于y
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .
血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下 降一半所需时间)确定. 半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰 期为5 h，排除的半衰期为6 h) .
调查与分析
血药浓度=药量/血液总量
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体 重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液.
目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml.
临床施救的办法：
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
• 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的 6倍，但是安全性不能得到充分保证.
概念：月利率=年利率/12
等额本息情形
设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.
那么
xn=xn-1(1+r1/12)-M,
计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M
=…= x0 (1+r1/12)n-M [(1+r1/12)n-1+…+1]
由于 x0=A, xN1=0.
12
12
等额本金情形
•月还本贷款本金／还款月数，利息月月清 •月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率） •第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 •第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 •ห้องสมุดไป่ตู้. •第N1个月公积金月还 A/N1+ A[1-(N1-1)/N1]r1/12
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
你身边的数学模型：购房贷款
• 作为房产公司的代理人，你要迅速准确回 答客户各方面的问题。现在要制作一个软 件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平 方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期 限、还款方式等信息计算下列信息：房款 总额、首付款额、月还款额等。
分析与假设
• 贷款种类:[1] 商业 [2] 公积金 [3] 组合(一般) • 还款方式: 等额本息,等额本金 • 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 • 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 • 不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利
模型假设
胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数λ(>0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道, x(0)=1100. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物, y(0)=0.
M n A [ N 1 1 1 r 1 2 ( 1 n N 1 1 ) ] I { n N 1 } B [ N 1 2 1 r 2 2 ( 1 n N 2 1 ) ] I { n N 2 }
后继工作/例子
• 收集数据，编写软件(界面\计算)，写说明书。
• 例子: 80平米, 单价15000元, 首付30%, 公积金40 万, 期限20年,第一套房商业利率7. 05%*0.85,公 积金利率4.9% (2012年1月1日～6月7日).
1.3 示例： 如何施救药物中毒
场景 两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.
诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量 100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.
按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是 100~200mg ，儿童是3~5 mg/kg.
过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高， 浓度100μg/ml会出现严重中毒,浓度200μg/ml可致命.
数学模型 和 数学建模
数学模型(Mathematical Model) 通过抽象和简化，使用数学语言对实际对象 的刻画，以便于人们更深刻地了解所研究的 对象, 从而更有效地解决实际问题。 数学建模（Mathematical Modeling)
建立数学模型的全过程（包括模型假设，模型表 述、问题求解、结果解释、结论检验等）
那么 A (1+r1/12)N1-12M [(1+r1/12)N1-1]/ r1=0
这样 M=A r1 (1+r1/12)N1 /12/ [(1+r1/12) N1 -1]
同理 可以计算商业贷款月还款额
第n月还款 额公式
r1(1r1)N1
r2(1r2)N2
MnA1 (12r1)1N 21 1I{nN1}B1 (12r2)1N 22 1I{nN2}
• 最新情况(2012年7月6日)：第一套房商业利率 6.55%*0.85，公积金4.5%.
• 补充题2: 如果原案例（第一套）是2012年3月 1日贷款买房，2013年的月还款将调整为多少？ (提示：存量房贷利率每年1月1日调整一次,可 假设2012年8月以后利率不再调整)
一句话小结
• 只要你留意，数学建模就在你身边 • 数学建模正在不断更新中
率改变以后失效）
数学建模
• 房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R • 首付款额F=房款总额T×首付比例p • 考虑 组合贷款(其他为特例)。设公积金贷款
AT-F元， 那么商业贷款为B =T-F-A元 • 设 业后贷台款变N2量月：，公年积利金率贷r2 。款N1月，年利率r1，商 月还款额怎么算？
• [T, F, M]=hmorgage2012(80, 15000, 0.3, 400000, 240, 240, 1)
• 等额本息(1): 5768元/月(总借84万，约还138万) • 等额本金(2): 7331，7315，…, 3516 (约还130万)
习题
• 补充题1: 如果是第二套住房，且全部为商业贷 款（基准利率*1.1）, 等额本息每个月要付多少?
医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200 μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.
调查与分析
口服药物
胃肠道 药量x(t)
转移率 正比于x
血液系统
体外
药量y(t) 排除率
正比于y
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” .
血液系统对药物的吸收率 和排除率可以由半衰期(下 降一半所需时间)确定. 半衰期可以从药品说明书上查到(氨茶碱被吸收的半衰 期为5 h，排除的半衰期为6 h) .
调查与分析
血药浓度=药量/血液总量
通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体 重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液.
目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认 为其血液总量约为2000ml.
临床施救的办法：
• 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率 增加到原来（人体自身）的2倍.
• 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的 6倍，但是安全性不能得到充分保证.
概念：月利率=年利率/12
等额本息情形
设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.
那么
xn=xn-1(1+r1/12)-M,
计算得 xn= xn-2(1+r1/12)2-M (1+r1/12)-M
=…= x0 (1+r1/12)n-M [(1+r1/12)n-1+…+1]
由于 x0=A, xN1=0.
12
12
等额本金情形
•月还本贷款本金／还款月数，利息月月清 •月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率） •第一个月公积金月还 A/N1+ Ar1/12 •第二个月公积金月还 A/N1+ (A-A/N1)r1/12 •ห้องสมุดไป่ตู้. •第N1个月公积金月还 A/N1+ A[1-(N1-1)/N1]r1/12
3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h.
4. 孩子的血液总量为2000 ml.
模型建立
口服药物
胃肠道 药量x(t)
你身边的数学模型：购房贷款
• 作为房产公司的代理人，你要迅速准确回 答客户各方面的问题。现在要制作一个软 件，根据客户所选房屋的建筑面积、每平 方米单价、首付比例，贷款种类、贷款期 限、还款方式等信息计算下列信息：房款 总额、首付款额、月还款额等。
分析与假设
• 贷款种类:[1] 商业 [2] 公积金 [3] 组合(一般) • 还款方式: 等额本息,等额本金 • 假设首付比例、贷款期限符合政府规定 • 假设自借款日一个月后，每月固定时间还款 • 不考虑贷款利率的变化（当前计算结果贷款利
模型假设
胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以 孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系 数λ(>0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道, x(0)=1100. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数 μ(>0)，t=0时血液中无药物, y(0)=0.