第九章多元函数积分学总结
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
第九章____多元函数积分学总结
第九章 多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、 三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。
（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、 三重积分的计算：（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2） 计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……投影法方法概要该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V 是曲面()y x z z,1=（称为下曲面），()y x z z ,2=（称为上曲面）与以σxy边界为准线，母线平行于Oz 轴的柱面为侧面。
图形示例适用范围投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。
注意点若xy σ是x 一型区域：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z x x b aVdz z y x f dy dx dv z y x f ϕϕ若σxy 是y 一型区域：()()d x c y x y ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有()()()()()().,,,,,,2121⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z y y dcVdz z y x f dx dy dv z y x f ϕϕ若σxy 是圆域或圆域的一部分时，也可化为σxy 上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。
多元函数微积分汇总
多元函数微积分汇总一、多元函数的极限对于多元函数，其极限的定义与一元函数相似。
设有一个二元函数，如果对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当点(x,y)满足0＜√[(x-a)²+(y-b)²]＜δ 时，必有，f(x,y)-A，＜ε成立，那么常数A是这个二元函数f(x,y)在点(x,y)处的极限，记作lim_(x,y)→(a,b)(f(x,y))=A。
类似地，也可以定义其它维度函数的极限。
二、多元函数的连续性在多元函数中，连续性的定义也与一元函数相似。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限存在且等于f(x0,y0)，则称多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
对于多元函数来说，全体连续点的集合称为多元函数的连续域。
三、多元函数的可微性多元函数的可微性与一元函数的可微性有一些差异。
设有一个二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的（Δx,Δy）,有f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(√Δx²+Δy²)其中A和B为常数，那么称二元函数f(x,y)在点(x,y)处可微。
类似地，对于三元、四元或n元函数也可以定义可微性。
四、多元函数的偏导数对于多元函数，其偏导数是指函数在其中一变量上的导数，而把其他变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)，其对于变量x的偏导数记为∂f/∂x。
偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。
五、多元函数的全微分全微分是指多元函数的微分与偏导数之间的关系。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可表示为df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
全微分可用于描述函数的微小变化。
六、多元函数的方向导数方向导数是指多元函数在其中一方向上的变化率。
给定一个二元函数f(x,y)和一个单位向量u=(cosθ, sinθ)，函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿着方向u的方向导数定义为D_uf(x0,y0)=∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ七、多元函数的梯度多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小为变化率的最大值。
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学二重积分知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.1 二重积分一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题 X型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，(,)f x y 在 D 上连续，则21()()(,)(,)(,)x bDDax f x y d f x y dxdy dx f x y dy φφσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰Y 型区域：设有界闭区域{}12(,),()()D x y c y d y x y φφ=≤≤≤≤其中12(),()y y ϕϕ在[,]c d 上连续，(,)f x y 在D 上连续则21()()(,)(,)(,)y dDDcy f x y d f x y dxdy dy f x y dx ϕϕσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰关于二重积分的计算主要根据X 型区域或Y 型区域I ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合X 型区域中关于D 的要求，又不符合Y 型区域中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合X 型区域或Y 型区域中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域{}12(,),()()D γθαθβϕθγϕθ=≤≤≤≤其中12(),()ϕθϕθ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
多元函数积分小结-46页文档资料
则f(x ,y ,z )d x d y d zd x d zy 2 (x ,z )f(x ,y ,z )d y 。 y 1 (x ,z )
D
3. 若区域 在yz平面上的投D影 ， 且区域为 { x , y , z ) |( x 1 ( x , y ) x x 2 ( x , y ) , ( y , z ) D } ,
f(x,y,z)dxdydz
f ( r s i c n , o r ss i sn i ,r n c) o r 2 ss i d r n d d *
性质
设f(x,y,z)在有界闭 上 区连 域续。 若关于xy平面对称，则
f(x ,y,z)d xd yd z 2 1f(x ,y 0 ,z)d xd yd z若 若 ff((x x ,,y y , , zz )) ff((x x ,,y y ,,zz ))
(3)三重积分化为累次积分
f(x,y,z)dxdydzbdxy2(x)dyz2(x,y)f(x ,y,z)dz。
a y 1(x)
z1(x,y)
(2). 利用柱面坐标计算
xrco ,s
yrsin,
zz。
|J||r|r
f(x,y,z)dxdydz
f(rco ,rs si,n z)rdrddz
f(M)d f(x, y,z)dV
曲线积分 R2或R3上（有向）,曲线
f(M)d f(M)ds. f(M )df(M )d.x
曲面积分 R3上（有向）S曲, 面
f(M)d f(x, y,z)dS.
S
f(M )df(x,y,z)dx.dy
D
y型区域上化 的为 二 x， 先 重后 对 y积 的 对 分 两可 次定
第九章多元函数的积分学
第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界为准线而母线平行于z 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面),(y x f z =，D y x ∈),(，且0),(≥y x f 为D 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V 。
（1）分割区域D ：任取一组曲线网将区域D 分割成n 个小闭区域：1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，（2）近似代替：在i D ∆中任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，则以i D ∆为底，以),(i i f ηξ为高的平顶柱体的体积为：i i i f σηξ∆),(，于是有i i i i f V σηξ∆≈∆),( ),,2,1(n i =（3）作和：∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ。
（4）取极限：记}{max 1i ni d ≤≤=λ，当λ趋于零时，∑=→∆=ni iiif V 1),(limσηξλ引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的有界闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为0),(≥y x ρ,且在D 上连续，现在要计算该薄片的质量M 。
首先作分割，将薄片任意分成n 个小块，在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，就可得到每个小块薄片质量i M ∆的近似值：i i i σηξρ∆),( ),,2,1(n i = 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：∑∑==∆≈∆=ni iiin i iM M 11),(σηξρ，记}{max 1i ni d ≤≤=λ，则∑=→∆=ni iiiM 1),(limσηξρλ。
1.二重积分的定义定义 1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，并用i σ∆表示第i 个小闭区域i D ∆的面积。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
考研数学高数9多元函数积分学
第九讲：多元函数积分学1. 定义设()f x y ，是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域12n σσσ∆∆∆，，，，对小区域()12k k n σ∆=，，上任意取一点()k k ξη，都有()01lim nk k k d k f ξησ→=∆∑，存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而1max k k nd d ≤≤=），则称这个极限值为()f x y ，在区域D 上的二重积分，记以()Df x y d σ⎰⎰，这时就称()f x y ，在D 上可积，如果()f x y ，在D 上是有限片上的连续函数，则()f x y ，在D 上是可积的。
2. 几何意义当()f x y ，为闭区域D 上的连续函数，且()0f x y ≥，，则二重积分()Df x y d σ⎰⎰，表示以曲面()z f x y =，为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。
当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()2z f x y =，，下半曲面方程为()1z f x y =，，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()21Df x y f x y d σ-⎡⎤⎣⎦⎰⎰，， 3. 基本性质 （1）()()() DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰，，为常数（2）()()()()DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，， （3）()()()12DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，，其中12D D D =。
除公共边界外，1D 与2D 不重叠。
（4）若()()()f x y g x y x y D ≤∈，，，，，则()()DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（5）若()()m f x y M x y D ≤≤∈，，，，则 ()DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰，其中S 为区域D 的面积 （6）()()DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，，（7）积分中值定理，设(),f x y 在有界闭区域D 上连续，S 为D 的面积，则存在(),D ξη∈，使得()()Df x y d f S σξη=⎰⎰，，我们也把()1Df x y d S σ⎰⎰，称为()f x y ，在D 上的积分平均值。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
多元积分知识点小结
多元积分知识点小结与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限,并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念.由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类：曲线积分分为对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）和对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）；曲面积分分为对面积的曲面积分（第一类曲面积分）和对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）.需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分，这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来.首先约定，集合E 的测度的含义是：如果集合E 是实轴上的区间，则E 的测度即为该区间的长度；如果集合E 是平面上的区域，则E 的测度即为该区域的面积；如果集合E 是空间立体，则E 的测度即为该立体的体积；…；等等.1.定义：设函数()f P 在集合E 上有定义，以任意方式把集合E 分成n 部分12,,,n E E E ，它们的测度分别记为12,,,n E E E .在i E 上任取一点(1,2,,)i P in ，作和式1()ni i i f P E ，记1m a xi i nE 的直径.如果不论集合E 如何分法，也不论i P 在i E 上如何取法，极限1lim ()ni ii f P E 都存在并且是唯一的，则称函数()f P 在集合E 上可积分，并称该极限值为函数()f P 在集合E 上的积分，记为()Ef P dE ，即1()lim()ni i Ei f P dE f P E .例如，如果E 是实轴上的区间[,]a b ，()()f P f x 为一元函数，则上述积分即是定积分()b af x dx ；如果E 是平面上的区域D ，()(,)f P f x y 为二元函数，则上述积分即是二重积分(,)Df x y d；……；如果E 是空间曲面，()(,,)f P f x y z 为三元函数，则上述积分即是第一类曲面积分(,,)f x y z dS ；等等.2.性质：上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把()b af x dx 换成()Ef P dE ，则定积分的各条性质就成为二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的共性.例如，（1）k 为常数，则()()EEkf P dEkf P dE ；（2）()()Ef Pg P dE()Ef P dE()Eg P dE ；（3）EdE 集合E 的测度；（4）如果12EE E ，且12E E ，则12()()()EE E f P dE f P dEf P dE ；3.中值定理：设函数()f P 在集合E 上连续，则在E 上至少存在一点P ，使得()()Ef P dEf P 集合E 的测度.例如，如果P 是实轴上的区间[,]a b ，()()f P f x 为一元函数，则()b af x dx()()f b a ，[,]a b ；如果P 是平面上的区域D ，()(,)f P f x y 为二元函数，则(,)(,)Df x y df 区域D 的面积，(,)D ；…；等等.由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握.4.物理应用：第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量.除此之外，二重积分，三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量（惯性矩）、质心和引力.因为这些物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作介绍.（1）转动惯量：设质点P 的质量为m ，质点P 绕直线L 转动时，转动半径为r ，则转动惯量（此处不考虑转动惯量的方向）为2I mr .设集合E 的密度为()P ，在E 上任取微元dE ，则dE 的质量为()P dE .如果dE 绕直线L 转动的转动半径为r ，则dE 绕直线L 转动的转动惯量为2(,)dI rx y dE ，从而E绕直线L 转动的转动惯量为2(,)EIrx y dE . 如果E 是平面区域D ，密度为(,)x y ，相应的dEd，(,)x y d，D 绕x 轴、y 轴和原点的转动惯量分别为22(,),(,)xyDDI yx y d I xx y d，22()(,)ODI xy x y d .如果E 是空间区域，密度为(,,)x y z ，相应的dE dv ，(,,)x y z dv ，绕x 轴、y 轴，z 轴和原点的转动惯量分别为22()(,,),x I y z x y z dv 22()(,,),y I x z x y z dv 22()(,,),z I xy x y z dv 222()(,,)OI xyz x y z dv .如果E 是平面曲线L ，密度为(,)x y ，相应的dEds ，(,)x y ds ，L 绕x 轴、y轴和原点的转动惯量分别为22(,),(,)xyLLI yx y ds I x x y ds ，22()(,)OLI x y x y ds .当E 是空间曲线时，绕x 轴、y 轴，z 轴和原点的转动惯量与上述类似. 如果E 是空间曲面，密度为(,,)x y z ，相应的dEdS ，(,,)x y z dS ，绕x 轴、y 轴，z 轴和原点的转动惯量分别为22()(,,),x I y z x y z dS 22()(,,),y I x z x y z dS 22()(,,)z I xy x y z dS 222()(,,)OI xyz x y z dS .（2）质心：设质点系12,,,n P P P 位于某坐标系中相应于u 轴的坐标分别为12,,,n u u u ，质量分别为12,,,,n m m m 则该质点系的质心相应于u 轴的坐标为112212n n nm u m u m u um m m .设集合E 的密度为()P ，在E 上任取微元dE ，dE 相应的坐标为u ，dE 的质量为()P dE ，集合E 的总质量为()EP dE ，则集合E 的质心相应于u 轴的坐标为()()EEu P dE uP dE.如果E 是平面区域D ，密度为(,)x y ，相应的dEd ，则D 的质心相应于x 轴和y轴的坐标分别为(,)(,),(,)(,)DDDDx x y d y x y dxyx y dx y d.特别地，当(,)x y 常数时，上式成为,DDDDxd ydxydd，此即平面区域D 的形心坐标.如果E 是空间区域，密度为(,,)x y z ，相应的dEdv ，则的质心相应于x 轴，y 轴和z 轴的坐标分别为(,,)(,,)(,,),,.(,,)(,,)(,,)x x y z dvy x y z dv z x y z dv xyzx y z dvx y z dvx y z dv如果E 是平面曲线L ，密度为(,)x y ，相应的dEds ，则L 的质心相应于x 轴和y轴的坐标分别为(,)(,),(,)(,)L L LLx x y ds y x y ds xyx y dsx y ds.当E 是空间曲线时时，的质心相应于x 轴、y 轴，z 轴的坐标与上述类似.如果E 是空间曲面，密度为(,,)x y z ，相应的dEdS ，则的质心相应于x 轴，y 轴和z 轴的坐标分别为(,,)(,,)(,,),,.(,,)(,,)(,,)x x y z dS y x y z dS z x y z dS xyzx y z dSx y z dSx y z dS（3）引力：万有引力定律—设有两个质点,p P ，其质量分别为,m M ，p 与P 的距离为r ，则p 与P 之间的引力大小为2,kmM Fr其中k 是引力常数.设质点0P 位于某坐标系中u 轴的坐标为0u ，其质量为M.设集合E 的密度为()P ，在E 上任取微元dE ，dE 相应的坐标为u ，dE 的质量为()P dE ，dE 与0P 的距离为r ，则dE 与0P 之间的引力为2()kMP dEr，其中k 是引力常数，该引力在u 轴上的分力为02()u u kM P dE rr，从而集合E 与0P 之间引力在u 轴上的分力大小为03()().uEkM u u P dEF r如果质点0P 位于xOy 平面内，其坐标为00(,)x y ，而E 是平面区域D ，密度为(,)x y ，相应的dEd，(,)x y d，则D 与0P 之间的引力在x 轴和y 轴上的分力分别为00223/2223/20000()(,)()(,),[()()][()()]xyDDkM x x x y kM y y x y F d F dxx yy xx yy .如果质点0P 位于空间直角坐标系内，其坐标为000(,,)x y z ，而E 是空间曲面，密度为(,,)x y z ，相应的dEdS ，(,,)x y z dS ，则与0P 之间的引力在x 轴、y 轴和z 轴上的分力分别为02223/2000()(,,),[()()()]xkM xx x y z F dS xx y y zz 02223/2000()(,,),[()()()]ykM y y x y z F dS xx y y zz 02223/2000()(,,).[()()()]zkM zz x y z F dS xx y y z z。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言，导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、维空间为二元数组的全体，称为二维空间。
为三元数组的全体，称为三维空间。
为元数组的全体，称为维空间。
维空间中两点间的距离：邻域: 设是的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体称为点的邻域，记为，即空心邻域:的邻域去掉中心点就成为的空心邻域,记为=。
内点与边界点：设为维空间中的点集，是一个点。
如果存在点的某个邻域，使得，则称点为集合的内点。
如果点的任何邻域内都既有属于的点又有不属于的点，则称为集合的边界点,的边界点的全体称为的边界．聚点：设为维空间中的点集，是一个点。
如果点的任何空心邻域内都包含中的无穷多个点，则称为集合的聚点。
开集与闭集: 若点集的点都是内点，则称是开集。
设点集, 如果的补集是开集，则称为闭集。
区域与闭区域：设为开集，如果对于内任意两点，都可以用内的折线（其上的点都属于）连接起来, 则称开集是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集，若存在，使得，即中所有点到原点的距离都不超过，则称点集为有界集，否则称为无界集．如果是区域而且有界，则称为有界区域．有界闭区域的直径：设是中的有界闭区域，则称为的直径。
二、多元函数元函数就是的一个子集到的一个函数，即对任意的，都存在唯一的，使得。
习惯上，我们用表示一元函数，用表示二元函数，用表示三元函数. 一般用或表示元函数．三、多元函数的极限设多元函数在有定义，是的一个聚点，为常数。
如果对任意给定的，都存在，当时，有则称为趋于时函数在上的极限，记为或。
四、多元函数的连续性设多元函数在有定义，是的一个聚点。
如果，则称在点连续。
如果在区域上各点都连续，就称在上连续．如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断, 也称是函数的间断点。
五、偏导数设二元函数，为平面上一点。
如果在的某一邻域内有定义且在点可导，即极限存在, 则称在点处对可偏导，称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为或六、高阶偏导数，，，如果函数的两个二阶混合偏导数都在平面区域D内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D内相等。
第9章多元函数微分学知识点总结
第9章多元函数微分学知识点总结1.多元函数的偏导数：-定义：对于多元函数来说，当变量除了要考虑沿着自变量方向变化外，还要考虑其他自变量是否保持不变，用偏导数来表示。
-计算方法：求各个偏微分时，将其他自变量视为常数，只对需要求的变量求导即可。
2.全微分：-定义：全微分是多元函数在其中一点上沿各个偏导数方向的和所对应的微分形式。
-计算方法：使用偏导数对各个自变量求导数，并乘以相应的变化量，再相加得到全微分。
3.方向导数：-定义：方向导数是函数在其中一点上沿着指定方向的变化率，表征了函数沿着该方向上变化的快慢程度。
-计算方法：先对多元函数求偏导数，然后将其与方向向量进行点积运算，再乘以方向向量的模长。
4.梯度：-定义：梯度是一个向量，其方向是函数在其中一点增大最快的方向，大小表示函数在该点变化率的大小。
-计算方法：求多元函数在其中一点的各个偏导数，并写成一个向量，即为该点的梯度。
5.方向导数与梯度的关系：-定理：函数在其中一点上的方向导数等于该点的梯度向量与方向向量的点积。
6.极值点：-定义：多元函数的极值点是指函数取得极大值或极小值的点。
-判定方法：通过求偏导数等于零的点，再利用二阶导数进行判定。
7.拉格朗日乘数法：-定义：拉格朗日乘数法是求解给定条件下多元函数的极值问题的一种方法。
-使用方法：通过构造拉格朗日函数，利用偏导数为零和给定条件进行求解。
8.海森矩阵：-定义：海森矩阵是多元函数的二次导数在其中一点上的矩阵形式。
-计算方法：对多元函数的各个偏导数再次求偏导数，并按照顺序组成矩阵。
9.二次型：-定义：二次型是多元函数二阶偏导数在其中一点上的二次齐次多项式。
-判定方法：通过海森矩阵的特征值进行判别，判断其正负来决定函数在该点上的行为。
以上是第9章多元函数微分学的主要知识点总结。
掌握了这些知识点，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，求解问题时也能够更有效地运用微分学的方法进行分析和计算。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分的一个重要分支，它主要研究含有多个变量的函数的微分、积分和相关性质。
相比于一元函数微积分，多元函数微积分具有更高的复杂性和更丰富的应用领域。
以下是多元函数微积分的一些重要的知识点：1.多元函数的极限：多元函数的极限定义与一元函数相似，但需要考虑多个变量同时趋于一些点或正负无穷的情况。
可以使用极限运算定理、夹逼定理等方法求解多元函数的极限。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，也可以使用极限的性质证明多元函数的连续性。
此外，也有类似于一元函数的极限运算定理和连续函数的性质定理适用于多元函数。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数描述了函数在一些变量方向上的变化率。
对于二元函数，可以求出两个变量的偏导数；对于三元函数及以上的函数，可以求出每个变量的偏导数。
求偏导数时，将其他变量当作常数对待。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分也称为多元函数的导数。
通过偏导数可求得多元函数在特定点的各个方向的变化率，进而求得多元函数在特定点的全微分。
5.多元函数的方向导数：多元函数的方向导数描述了函数在一些给定方向上的变化率。
通过求解偏导数和方向向量的点积，可以求得多元函数在一些方向上的方向导数。
6.多元函数的梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数在特定点变化最快的方向，大小表示这个变化的速率。
梯度的方向与等高线垂直。
7.多元函数的二阶偏导数：对于多元函数，可以求出其各个变量的一阶偏导数，进一步可以求出相应的二阶偏导数。
二阶偏导数刻画了多元函数在一些变量方向上的变化率的变化率，即函数的曲率。
8.多元函数的泰勒展开：多元函数的泰勒展开是将一个多元函数近似表示为以一些点为中心的多项式的形式。
泰勒展开可以用于函数求值的近似计算和函数性质的分析。
9.多元函数的极值与最值：类似于一元函数，多元函数也有极值和最值的概念。
可以通过求解偏导数和二阶偏导数来判断函数的极值和最值，并应用拉格朗日乘数法等方法求解约束条件下的最值问题。
多元函数积分学
多元函数积分学总结多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。
❖ 几何意义：曲顶柱体的体积❖ 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 ❖ 计算方式：x 型、y 型、极坐标（22y x +）❖ 常见计算类型：① 选择积分顺序：能积分、少分块② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。
④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 ❖ 了解“积不出来函数”：dx x ⎰)cos(2、dx e x ⎰-2、dx x ⎰ln 1、dx xx⎰sin ❖ 概率积分例题展示 证明22π=⎰∞+-dx ex证：令=)(x f 2x e-① 易证)()(x f x f -=⇒)(x f 为偶函数⇒212=⎰+∞-dx exdx ex2⎰+∞∞--（奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ⎰-2为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x2⎰+∞∞--的形式令=w dx ex2⎰+∞-412=w •dx e x 2⎰+∞∞--41=dxdx e x x⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-)(22（了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）③ 令其中一个x 变成y ，构造22y x + 2w 41=dxdy e y x⎰⎰+∞∞-+-+∞∞-)(22④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2w =θdrd e r r ⎰⎰-+∞•π20241=⎰⎰+∞-•π2002θd dr er r2021212dr e r •=⎰+∞-π2021212lim dr e br b •=⎰-+∞→π)1(21212lim --=-+∞→b b e ππ41==⇒w 2π 即220π=⎰∞+-dx e x成立（极坐标系⇔直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分⇔二次积分，了解广义定积分）（此类积分为概率积分 bdt e bdx et bxπ211022⎰⎰∞+-∞+-==）。
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第九章多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。
（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。
2、三重积分的计算：（1）作图，由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找岀来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。
（2）计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球球面坐标变换x -「sin COST , y -「sin :sin 片 z -『cos 10 _ r _ 2二.0 _-二，0 _ ：： _ ::.由直角坐标和球面坐标可知。
v 就是点M x, y, z 在Oxy 平面上投影点 M x, y 的极坐标r,v 中的，此2时！!! f x, y, z dv 二 H ： sin COSJ ,「sin 「sinv,「cos"sind ?.VV1、找出立体 V 在Oxy 平面上投影区域 匚xy 的极角v 的范围:-< "：：-。
即立体V 在两半平面ZOA 与ZOBt 间，即立体V 中的任意一点 M 二：：T 满足、:「：：：〔 <『「2、在：•，1之间过极点作射线v - v , 该射线与Oz 轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。
若对 ［2，B ］之任一 Q 值。
对应的射线与 OZ 轴组成的3T半平面与立体 V 截面的圆形相同。
我们一般选取特殊的 Q 值如Q=_，此时得到的截面，我们观察更清楚。
2找出该区域：的范围•: I ,笃V I 即］•门.门2二（一般情况下「厂- 0 ,且笃二）为 常数）。
过极点O 在该截面上作射线与截面的边界交于两点。
极径小的交点落在下曲面P=气（日，® ），极径大的交点落在上曲面p= P 2（0,®）,即截面上任意一点（申，P ）满足耳（日，申芦P 兰p 2（e ,®）,七 m ：：：〕2匸］,如图6-28.从而在球面坐标立体区域 V 可表示为v - r : j :-二• 一 ：「_ ：\ 亠—二「「宀■< - z 于是若立体V 是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主2 2 2体，（或被积函数中含有 x +y +z ）。
此时用球面坐标系下的计算。
球面坐标系下，总是先积P ,再积申，最后积B ，而且在大多数情况下，P 他申）=0,®』° ）= 0,铁（日）1惴A/ 13mI1/方 法 概 要■； ：2 sin 黑d 】Z_i —「d /V ,卜：sin ；•： sin 二，卜：cos !■占八、、2为常数。
不要忘记p 申因子哦。
第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。
关建是把曲线:表示成参数方程，并且找岀参数的区间'：■ J 1即可化成t的一元函数定积分。
‘X = x(t ) R ,______________(1) 若r'怙兰t 兰为则J「f(x,y,ds= J f(Xt)y(t))J x'2(t)+y'2(t)dt. y = y(t) I ab ■----------- z ------(2) 若「y 二x ,a 空x 乞b,则f x, y ds f x, x J :x dx.(3) 若「x -- y ,c ^ y 乞d,则.f x, y ds 二：f * y , y J 2y dy.(4) 若丨：r = r v ,「*：：v "::-,即x = r v COST, y 二r v sin v，:• "：：v ":: -. _则j『f (x,y恥=f f(申z,「(日丽日vVWTV用.(5)另外」也可以表示为r的函数，但是这种方法不常用以上各种转化的目标是将积分最终转化为一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放4、第一类曲面积分的引入：第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量11 f x, y, z dS 二Q f x, y, z x, y .J ■ z^z,d二.S:-xy若曲面S : y = y X, z , x,z ］三-xy，则i if x, y, z dS 'i f x, y x, z , z若曲面S : x = x y,z , y, z •二yz,则总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为 f x,y ds这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分, 标平面上的积分更好积一些两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的5. 点函数积分的基本性质设f P ,g P 在有界闭区域 门上都可积，有 性质 i f P _ g P d — f P _ g PQQ Q性质2 kf Pd ;；】-k f P d 1（k 为常数）。
QQ上面两条性质称为线性运算法则。
性质3 . f P d 」 f P d 「. f P d 1，其中i I 1 _• i -二11，且i I 1与' 2无公共内QQQ点。
性质4若f P _0,P 门，则f p 肿_0.若 f p _0, f P = 0，且 f P 连续，P ■.1，则 f p 0.Q性质 5 若 f P 乞 g P ，P ■ J ，则 f P d"乞 g P d 1.Q Q若 f P mg P, f P = g P ，且 f P,g P 连续，P ■.1，则 f P :: g P d 1. Q Q性质 6 f P d* f P d 1.性质7若f p 在积分区域门上的最大值为M 最小值为m 则_ f P d" - M 1.Q性质8 （中值定理） 若f P 在有界闭区域I 】上连续，则至少有一点P 1，使得f P d' 1f P d" = f P ” 11 f P称为函数f P 在11上的平均值。
（对于中值定理的理解Q°就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）6. 对称区域上点函数的积分（1）设口R 3， i 1或曲线或曲面或立体。
f x,y,zdS 二 f x y,z ,y,z所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐d .(i )若门-门1 T —，且I 关于Oxy 平面对称，则当f x, y,「z 二-f x, y,z ,即f 关于z 是奇函数, 当f x,y,-z 二fx,y,z ,即f 关于z 是偶函数.(ii )若门-门3 " S ，且'■ 关于Oyz 平面对称，则Q 当f (- x, y,z )= -f (x, y, z)即f 关于x 是奇函数,jf{pd ° =』2 j f (Pd O ,当f (-x,y,z)= f(x,y,z)即f 关于x 是偶函数.(iii )若门-门5「匕，且门5,门6关于Ozx 平面对称，则0,当f x,-y,z = - f x,y,z ,即f 关于y 是奇函数，fPd" = 2 f Pdj 当f x,-y,z =f x,y,z ,即f 关于y 是偶函数.QI Q3简单地说，若：：二R 关于坐标平面对称，当 f P 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为 0；是偶函数时，为平面一侧区域积分的 2倍。
2 .若口R 关于坐标轴对称，当fP 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为 0；是偶函数时，则为该轴一侧区域积分的2倍。
同理可得，若：：二R 关于z 轴对称，当f ：i.「x,「y, z = - f x, y, z 时，积分为o ；当 f ]-x, -y, z = f x, y, z时，积分为z 轴一侧区域上 积分的2倍。
若1】关于原点对称，当 f ]-x,-y,-z = - f x, y, z 时，积分为 o ；当 f [.-x,-y,-z= f x, y, z 时，积分为原点一侧区域上积分的2倍6.应用(求重心(质心、形心)，求转动惯量，求引力)重心公式设密度函数为 T 」p =」x, y, z 连续，求空间形体 「一 R 3的重心坐标(门是曲线、曲面 或空间立体)，设I 】的重心坐标为 x, y, z .n送卩(P i %0iX iJ4(P kd 0J4(p )xd ^x Tim 迁,“ £ H P 验 F (P 四 Mi m■亠Qf P 2 f P d' 1•i P yd ：；i.' iP zd 「」同理 y =. _____________ z =________ （X, y, z ）是0的重心。
M ' M ，xd 「 yd 「 zd 「 特别］二常数时，x 二 ——,y 二 ——,z 二 ——.其中M 是门的质量，「是1的大小。
QQQ当 p =常数时，0关于Oxy 平面对称知，z 关于z 是奇函数，有］z g =0，则2 = 0.同理，当P =Q常数时， Q 关于Ozx 平面对称，则y = 0.当p =常数时，0关于Ozy 平面对称，则x = 0.同理，当二二R 2 （门是曲线或平面区域），设密度函数 J 」P =」x, y 连续，设重心坐标JP xd ［仝 P yd' 1为（x,y ,有 x= ------------ y= ----------------- 当戸=常数时,MM：?=常数，11关于x 轴对称，有y = 0,〔 |关于y 轴对称，有x = 0.转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）若:：二R 3 （■■是空间曲线或曲面或立体） 当 L 是 z 轴时，J z 二 x 2・y 2」Pdi ， x 2 y^1 x,y,z d 1.Q Q 当 L 是 x 轴时，J x 二 y 2・z 2±.Pd ， y 2z ^?：x, y, z d \Q Q当 L 是 y 轴时，J y 二.z 2 • x 2」P d" = . z 2 • x 2 J x, y,z d 1.若"R 2（ i I 是平面曲线或平面区域），当 L 是 x 轴时，J x = J y 24（P m = J y 24（x,y d o .Q Q当 L 是 y 轴时，J y = J x 24（P 血=J x 2卩（x,y d 。
. 0Q引力公式（引力与转动惯量的不同之处在于引力是矢量，要三个坐标轴上分别计算）Fx =km fU （P l ：_xod 纹, QX o 3r xd 」yd 」F y 二km y—y0d“ Q.km " P Z「Z o d- Q F z。