几何——曲线型面积
奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何
第三讲几何——曲线形面积与立体几何---- w，™顷■■ - _斤知识点拨圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生.、与圆的面积相关的方法:⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个减计算.⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除.二、立体几何相关的方法：⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面.⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割.如例题精讲模块一、曲线形面积【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）.60【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n）【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点•求C点经C1到C2走过的路径的长.【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3）【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米•现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）【例5】（祖冲之杯竞赛试题）如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积.【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I .它的对角线长恰好是5cm .让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形n的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置•求点A走过的路程的长.A B C D E【例6】（2004年第九届华杯赛初赛）半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n（n 1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【例7】如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米•圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）.在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的•那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3. 14,除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位•如有多种答案请全部写出）P【例8】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置•问：这枚硬币自身转动了多少圈？模块二、立体图形【例9】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状， 已知相邻（有公共面）的积木颜色不同,标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【例10】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视 图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？【例11】（第十二届全国 华罗庚金杯”少年数学邀请赛）用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图 a ,从正面看这个立体图形，如下图 b ，则这个立体图形的表面积最多是 ___________•a b【例12】（2009年希望杯”二试六年级）用棱长为 1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面 看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要 _________________________________ 块小立方体.【例13】（日本第七届算术奥林匹克 ）有很多白色或黑色的棱长是 1cm 的小正方体.取其中的27个，拼成一个棱长是3cm 的大正方体，每一面都各用 2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。
高二数学曲边梯形的面积
y x2
拆分为一些小曲边梯形.对每
一个小曲边梯形" 以直代曲" 即用矩形的面积近似 代 替 小 曲边梯形的面积,得到每个小
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 1 3
1 1 n
1 趋向于S,从而有S 2n
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 f i n
1 n
思考 图1.5 2中的曲边梯形与我们熟悉的"直边 图 形"的 主 要 区 别 是 什 么?能 否 将 求 这 个 曲 边 梯 形 面积S 的问题转化为求"直边图形"面积问题?
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯 形 与" 直 边 图 形" 的 主 要 区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
1. 3
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势.
区 间0,1的 等 分 数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的 近 似 值Sn
0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
六年级下册数学试题-小升初能力训练：几何综合——曲线几何(解析版)全国通用
第03讲 几何综合——曲线几何1：7个圆，半径分别是1、2、3、4、5、6、7，求阴影面积阴影面积为()()()22222221325476ππππ⨯+⨯-+⨯-+⨯-()()()1325476ππππ=⨯+⨯++⨯++⨯+28π=84=2：如图，直角三角形的三条边长度为，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？6,8,106S 阴影直角三角形半圆设半圆半径为，直角三角形面积用表示为：r r 610822r r r ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为，168242⨯⨯=所以，824r =3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影3：如图，已知扇形的面积是半圆面积的34倍，则角的度数是________．BAC ADB CAB DCB A :设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．ADB 21ππ122⨯=BAC π42π233⨯=因为扇形的面积为，所以，，得到，BAC 2π360n r ⨯22ππ23603n ⨯⨯=60n =即角的度数是60度．CAB 4：如图，已知三角形是边长为26厘米的正三角形，圆的半径为厘米．GHI O 15 ．求阴影部分的面积．90AOB COD EOF ∠=∠=∠=︒直接解决． 总阴影面积每块阴影面积(大弓形小弓形)．=3⨯=-3⨯ 关键在于大弓形中三角形的面积， 设为弧的中点，则可知是菱形，是正三角形，J GI GOIJ GOJ 所以，三角形的面积．GOI1152622=⨯⨯ 所以大弓形的面积：21115π1526322GJIS=⨯-⨯⨯ 235.597.5=- ．138= 小弓形的面积：．2211π1515176.625112.564.12542FJES=⨯-⨯=-= 所以，总阴影面积(平方厘米)．13864.1253221.625=-⨯=5：下图中，ABAD如图可知3，设大半圆半径为，小圆半径为，如右图，，EF =R r R EH =r HG EG ==根据勾股定理得，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知222R r =S S S =-阴影小圆柳叶2)EHF EHF S SS =-- 小圆扇形（22EHF EHF S SS =-+ 小圆扇形2EHFS S S =-+ 小圆大半圆2EHFS = 332 4.5EF GH =⨯=⨯÷=6：某仿古钱币直径为厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在桌面4上能覆盖的面积为多少？:将古钱币分成个部分，外部的个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，84中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：．222444π224π6π810.84222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯÷⨯=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2(cm )7：如图中三个圆的半径都是5，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取)cm3.14:将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为255 3.14239.25(cm )⨯⨯÷=8：求右图中阴影部分的面积．(取3)πA欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积． 所以阴影部分面积为(平方厘米)．21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=9：如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以B 、C 为圆心，BK 、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．()π 3.14=EE :根据题意可知扇形的半径恰是正方形的对角线，所以，r 223218r =⨯=如右图将左边的阴影翻转右边阴影下部，S S S =-阴影扇形柳叶1118π2(18π33)34=⨯-⨯-⨯183π8.58=-=10：如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？()π 3.14=:如图，点是在以为中心的扇形上，所以，同理，则是正三角形，C B AB CB =CB AC =ABC ∆同理，有是正三角形．有，CDE ∆60ACB ECD ∠=∠= 正五边形的一个内角是，因此，1803605108-÷= 60210812ECA ∠=⨯-= 也就是说圆弧的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5个，AE 所以中间阴影部分的周长是．()122 3.1412512.56cm 360⨯⨯⨯⨯=11：ABCD 四个齿轮，直径分别是3、2、4、1.5，AB 共轴，问：C 转动一周时，重物被提起______语法第一练语法第二练语法第一练答案语法第一练答案。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
小学奥数 几何类 曲线图形 圆与扇形(一).题库版
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。
求月牙形例题精讲圆与扇形ADBEA （阴影部分）的面积。
D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2006年，第11届，华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。
立体几何图形公式大全
立体几何图形公式大全最早的几何学当属平面几何。
平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。
为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
立方图形名称符号面积S和体积V1、正方体 a-边长 S=6a2 ; V=a32、长方体a-长;b-宽 ;c-高; S=2(ab+ac+bc) ; V=abc3、圆柱 r-底半径;h-高;C—底面周长;S底—底面积;S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h =πr2h4、空心圆柱 R-外圆半径;r-内圆半径;h-高V=πh(R2-r2)5、直圆锥r-底半径;h-高V=πr2h/36、圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/37、棱柱S-底面积;h-高;V=Sh8、棱锥 S-底面积h-高 ;V=Sh/39、棱台S1和S2-上、下底面积h-高 ;V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/310、拟柱体S1-上底面积 ;S2-下底面积 ;S0-中截面积 ;h-高V=h(S1+S2+4S0)/611、球 r-半径 ;d-直径V=4/3πr3=πd2/612、球缺 h-球缺高;r-球半径;a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)13、球台r1和r2-球台上、下底半径;h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/614、圆环体R-环体半径;D-环体直径;r-环体截面半径;d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/415、桶状体D-桶腹直径;d-桶底直径;h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
解析几何《圆锥曲线的综合应用》
解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析
抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。
它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。
抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。
在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。
我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。
通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。
同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。
最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。
本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。
【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。
同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。
（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。
然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。
最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。
（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。
通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
小学奥数题库《几何》-曲线型-圆环-1星题(含解析)
几何-曲线型几何-圆环-1星题课程目标知识提要圆环•概述圆环是由两个半径不相等的同心圆构成的，大圆面积比小圆面积多的部分就是圆环。
•面积公式S=πR2−πr2=π(R2−r2)精选例题圆环1. 如下图所示，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米．（π取3.14）【答案】45【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π(R2−r2)=141.3(平方厘米),所以阴影部分面积为R2−r2=141.3÷3.14=45(平方厘米).2. 如下图所示，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是平方厘米．（π取3.14）【答案】157平方厘米【分析】将小正方形转45∘，如下图所示，可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是400平方厘米，所以大圆面积为314平方厘米，小圆面积为157平方厘米，圆环面积为314−157=157(平方厘米)．3. 如下图所示，有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．如果射击时命中最里面的小圆得10环，命中最外面的圆环得1环．得1环圆环的面积是10环圆面积的倍．【答案】19【分析】1环、2环、10环的外圈的圆的半径值比为10:9:1，面积比为100:81:1，1环面积是10面积的(100−81)÷1=19倍．4. 两个半径不等的同心圆，内圆半径3cm，外圆直径8cm，圆环面积是多少？【答案】21.98平方厘米．【分析】注意外圆的直径是8cm，半径应是4cm，那么圆环的面积是π×4×4—π×3×3=21.98(平方厘米).5. 图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．（π取3.14）【答案】157平方厘米【分析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是R2−r2=50平方厘米，那么环形的面积为：πR2−πr2=π(R2−r2)=π×50=157(平方厘米).6. 图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．【答案】157cm2．【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有R 22−r22=25，即R2−r2=50.则圆环面积为：πR2−πr2=π(R2−r2)=50π=157(cm2).7. 在直径为6米的圆形花坛的外面，围绕着一条宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少？【答案】21.98平方米．【分析】此题相当于知道小圆直径和环宽，求圆环的面积．小圆半径3米，大圆半径4米，圆环的面积是21.98平方米．8. 已知与小圆相切的线段长度是10厘米，那么图中圆环的面积是多少？【答案】25π平方厘米【分析】连接OC、OB，则OC⊥AB，在直角三角形OBC中，OB 2−OC 2=BC 2=(12AB)2=25, 图中圆环的面积为πR 2−πr 2=π(R 2−r 2)=π×(OB 2−OC 2)=25π(平方厘米).9. 如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径是 20 厘米，中间有一直径为 8 厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？（π 取 3.14）【答案】 65.94【分析】 卷纸问题：依据体积不变原则求解，缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：[π×(202)2−π×(82)2]×100=8400π(立方厘米)薄膜展开后为一个长方形，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π÷0.04=659400(平方厘米)=65.94(平方米).。
【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型(解析版)
【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型（解析版）一、知识点1、圆周长：C＝πd＝2πr扩倍问题（1）：若圆的半径扩大到n倍，则直径扩大到n倍，周长扩大到n倍，面积扩大到n²倍扩倍问题（2）：若两个圆的半径比为n：m，则它们的直径比为n：m，周长比为n：m，面积比则为n²：m²构造圆在长方形中画一个最大的圆在长方形中画最大的半圆技巧：长的一半与宽比较，谁小谁是半径。
2、半圆周长：C＝πr＋d面积：πr²÷23、圆环＝大圆面积－小圆面积＝πR²－πr²圆环面积：S环4、扇形弧长：r nl π2360⨯=面积：2360r nS π=5、组合图形方中圆：正方形与圆面积之比为4：π圆中方：圆与正方形面积之比为π：2方中圆中方：大正方形面积是小正方形面积的2倍圆中方中圆：大圆面积是小圆面积的2倍割补法：重叠问题：整体减空白一、填空题。
（每道小题5分，共 40分）1. （1）一个圆的半经扩大到3倍，直径扩大到 倍；周长扩大到 倍；面积扩大到 倍。
【解答】3，3，9。
（2）大圆和小圆的半径比是3：2，它们的直径比是 ，他们的周长比是 ，它们的面积比是 。
【解答】3：2，3：2，9：4。
2. 在一个长10厘米、宽4厘米的长方形内画圆，圆的直径最大是 厘米，能画 个这样的圆且互不重叠。
【解答】如下图，4：2。
3. 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是3厘米，图中阴影部分的周长是 厘米。
【解答】如下图，半径为3÷2＝1.5（厘米），连接BP 与CP ，因为BC 、CP 、PB 均为半径，所以△BCP 是等边三角形，那么∠PBC ＝∠PCB ＝60（度），弧长PB ＝60＝弧长PC ＝36060×3.14×3＝1.57（厘米），阴影部分的周长为1.57＋1.57＋1.5＝4.64（厘米）。
六年级上册数学讲义：奥数拓展-几何：曲线形面积人教版
话说在那个三国混乱纷争的时代，董卓权倾朝野，枭雄祸国，这时袁绍从渤海起兵，沿途召集十八路诸侯，兴兵讨伐董卓。
这时的曹操抱负远大，想到别人都有几万兵马，自己贫瘠，担心不会被别人看在眼里，于是就开始想办法，充实自己的实力，希望在第一场大仗“曲线形面积”时大获全胜⋯⋯在会盟的路上，小战不断，曹军也因此有所损失，实力不断衰减，正在这时，神仙田小花出现了，她拥有战法秘笈，可以帮助曹军首战必胜。
但眼扫一周，只许你在大战前的小战中率兵出战，并胜利时才是真正掌握秘笈的时刻，否则一切记忆清空。
首战成败，取决与你，现在就开战喽！环的面积＝大圆－小圆＝πR2－πr2＝π(R2－r2)【例1】难度系数战利品：1万步兵如图所示，最外面是正方形，边长为4米，图中阴影部分的面积为5平方米米，那么最里面正方形的边长为多少米？【赛前练兵】扇形的半径是6厘米，求阴影部分的面积。
【例2】难度系数战利品：1万骑兵已知小圆的面积均为平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？4【例3】难度系数战利品：精良兵器这是一个圆心角为90度、半径为20厘米的扇形，求阴影部分的面积。
【例4】难度系数战利品：5座火炮求图中阴影部分的面积(单位：厘米)【例5】难度系数战利品：2员猛将如下图，阴影部分的面积为多少平方厘米(π＝3.14)【例6】难度系数战利品：天子诏三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，并且AB＝20厘米，如果阴影⑴的面积比阴影⑵的面积大17曲线面积要获胜基础面积要记清必杀信念是转化找到规则做减加割补旋转和平移排除容斥差不变四大战法需演练首战定能获成功曹军获得了首战的成功，并且得到了更多的支持，为成就霸业奠定了坚实的基础，当然你的功劳也被记入了史册⋯⋯。
圆锥曲线面积公式
圆锥曲线面积公式圆锥是一种三维曲面，它具有非常独特的性质，是许多几何结构中常见的几何形状之一。
它是由一个圆和一条接近它的直线组成的，其特性可以用一种称为“圆锥曲线面积公式”的公式来描述。
圆锥曲线面积公式是描述圆锥形状及其面积的一种经典几何公式。
其中，圆锥体的表面积可以用以下公式表示：S =r(h + r)其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
圆锥曲线面积公式是世界上最常用的一个几何公式，它可以用来解决圆锥的表面积、体积和对称性等相关问题。
在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域，圆锥曲线面积公式在图形绘制和几何处理方面都被广泛使用。
在高等数学中，圆锥曲线面积公式也被广泛应用，它可以帮助数学家们求解许多复杂的几何问题。
举个例子，假设有一个圆锥体，它底部半径为5，高度为10，则根据圆锥曲线面积公式，它的表面积为π5(10+5)，也就是785.398163。
圆锥曲线面积公式也可以用来解决另一种复杂的几何问题，那就是求解圆锥体的体积。
圆锥体的体积是由底面圆和圆锥面积之积所得，因此，圆锥体的体积公式可以用以下公式表示：V=rh/3，其中，r表示圆锥底部圆的半径，h表示圆锥高度，π表示3.1415926。
举个例子，假设有一个圆锥体，其底部半径为5，高度为10，则根据圆锥体的体积公式，它的体积为π510/3，即261.7990512。
圆锥曲线面积公式不仅可以用于解决圆锥底部半径、高度和面积、体积等问题，还可以用于解决其他一些几何问题，比如计算圆锥面积的分段函数，以及计算平面内的圆锥的平行于底面的线段的长度。
圆锥曲线面积公式可以让数学家们知道如何去计算几何图形，为科学家们在多个学科领域工作提供了极大的帮助。
总之，圆锥曲线面积公式是一种经典的几何公式，用于描述圆锥曲线的面积及其相关特性，它可以用来解决圆锥表面积、体积、分段函数等多种复杂的几何问题，并且在建筑设计、医学技术和其他多种应用领域中被广泛使用，为科学家们工作提供了极大的帮助。
决胜陈杯讲座五年级
五年级陈杯三个月冲刺规划
建议时间：10月—11月中旬 1、优先关注薄弱专题 2、翻看错题本和以前的讲义 3、做好复习计划，具体到天 建议时间：11月中旬—12月中旬 1、09、10两年MO试题 2、重点关注和陈杯相似的杯赛 建议时间：12月中下旬 1、陈杯近三年五年级真题 2、适当练习六年级陈杯真题 3、针对性地陈杯模拟题演练
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行程真题赏析
华华和英英分别从A、B两地同时出发相向而行。当华华经过A、B两 地的中点C地100米后，两人第一次相遇；然后两人又继续前进，当华 华到达B地后立即返回，又经过C地300米后他追上了英英，则AB两地 相距_______米。 小强从家里步行到考场参加“2010年陈省身数学周活动”，如果每分 钟走50米，就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到 考场，那么从小强家到学校的路程是 米。 A、B两地相距4800米，甲在A地，乙丙在B地，第一天，甲向B出发， 乙丙向A出发，甲乙相遇后乙掉头，10分钟后乙和丙相遇；第二天， 甲向B的反方向出发，乙丙向A出发，乙追上甲后掉头，20分钟后乙和 丙相遇。甲的速度为每分钟45米，求丙的速度。
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近期活动
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FB GC来自Page 19几何真题赏析
如图，已知CD=5cm，DE=4cm，EF=9cm，FG=3cm。直线AB将图形分 成两部分，左边部分面积是42cm2，右边的面积是62cm2，那么三角形 ADG面积是 cm2
一个平行四边形，其相邻的两边的长度分别是14cm和10cm，而它的 一条高是12cm，则这个平行四边形的面积是 cm2。
时间
2010年 2011年
圆及不规则图形面积
第二讲 几何之圆与扇形教学目标组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”（已在暑假班重点精讲），跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。
其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。
教师版答案提示：纸的厚度为：(206)27-÷=（厘米），那么有70.04175÷=圈纸，中心的卷轴到纸用完时大约会转175圈；圆环的面积为：2210391ππ⨯（-）=，因为纸的厚度为0.4毫米，即0.04厘米，所以纸展开后的长度约为：910.0422757143.5ππ÷=≈厘米.利用“加、减”思想解答问题【例1】 （04年华罗庚金杯数学邀请赛）如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段AB 是月牙外半圆弧的直径，长为2厘米。
初始时，A 、B 两点在矩形屏幕的一条边上。
屏幕的长和宽分别为30厘米和20厘米。
问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（π取3）分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为0.5平方厘米。
想 挑 战 吗 ？卷筒软纸中的数学右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径 为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴，若纸的 厚度为0.4毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（π取3.14）［前铺］如右图所示，等腰直角三角形ABC 的高AD=4厘米，以AD 为直径作圆分别交AB 、AC 与E 、F ，求阴影部分的面积。
（π取3） 分析：连接EF ，那么有BED ABD EOD S S S =-阴影三角形扇形，计算可得阴影部分面积为6平方厘米。
［巩固］（第三届兴趣杯）一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(π取3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的4倍， 114111π⨯⨯-⨯⨯=［拓展］（华罗庚金杯数学邀请赛）如右图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。
曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积
曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积一、引言曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积是一个深奥而有趣的数学问题，它涉及到微积分、解析几何和立体几何等多个领域。
在这篇文章中，我们将深入探讨这一问题，从简单的曲线旋转开始，逐步深入，最终得出关于曲面面积的一般性结论。
通过本文的阅读，读者将对这一数学问题有一个全面、深刻的理解。
二、基本概念让我们从基本的概念开始。
当我们讨论曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积时，我们通常是指一个平面曲线在xOy平面上的图形，它绕x轴旋转形成一个曲面。
这个曲面可以是一个旋转体，也可以是一个旋转曲面。
我们的目标是计算这个曲面的面积，以便更好地理解它的几何特征。
三、简单情况：旋转体的面积让我们考虑一个简单的情况：当曲线是一条简单的函数图像，如y=f(x)时，它绕x轴旋转一周所得到的曲面是一个旋转体。
这种情况下，我们可以利用立体几何的方法来计算曲面的面积。
具体地，我们可以将旋转体分解为无穷多的薄片，每个薄片可以近似看作是一个长方形，通过计算每个薄片的面积，然后对所有薄片的面积进行求和，就可以得到整个曲面的面积。
四、复杂情况：旋转曲面的面积然而，当曲线的形状更加复杂时，如y=f(x)在一定区间上有极值点、拐点等情况，计算曲面的面积就变得更加困难。
这时，我们就需要借助微积分的方法来处理。
具体地，我们可以利用定积分的概念，将曲线分解为无穷小的微元，然后通过积分来计算每个微元对曲面面积的贡献，最终得到整个曲面的面积。
五、一般情况：广义函数曲线的面积在实际问题中，曲线的形状可能是非常复杂的，甚至不是用一个函数来描述的。
这时，我们就需要考虑更一般化的情况。
通过引入参数方程、极坐标或者其他数学工具，我们可以处理更加复杂的曲线，并计算其绕x轴旋转一周所得曲面的面积。
在这个过程中，我们需要充分发挥数学工具的优势，灵活运用微积分、几何学、代数学等多个领域的知识，来解决实际问题。
六、总结与展望曲线绕x轴旋转一周所得曲面面积是一个复杂而有趣的数学问题。
几何图形面积计算的几种常用方法
几何图形面积计算的几种常用方法吴仕为(福建省福鼎市第八中学ꎬ福建宁德３５５２１５)摘㊀要:几何图形面积问题是初中数学中的重难点部分ꎬ该部分知识在高中数学中也同样占据着重要地位.因此ꎬ对于初中学生而言ꎬ必须打好几何知识基础.在几何图形面积问题中ꎬ不规则图形面积或阴影部分面积的求解是十分常见的ꎬ学生在面对此类问题时ꎬ往往找不到正确的解题思路与方法.针对此种情况ꎬ便需要学生灵活应用常见几何图形面积的计算方法进行求解.基于此ꎬ文章主要分析与研究几何图形面积计算的几种常用方法ꎬ以期为广大师生提供解题参考与借鉴.关键词:几何图形ꎻ面积ꎻ常用方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:吴仕为(１９７３.９ )ꎬ男ꎬ福建省福鼎人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀与几何图形面积有关的计算问题主要考查学生的数学思维与计算能力ꎬ由于几何图形的变化灵活多样ꎬ从而导致大部分学生对这类问题感到困难与茫然ꎬ尤其是在计算不规则图形的面积时ꎬ学生很难快速获取解题突破口.实际上ꎬ解决与几何图形有关的面积问题时ꎬ只要充分掌握常用方法ꎬ熟悉常用解题套路ꎬ便能够高效完成问题解答.鉴于此ꎬ文章围绕典型的几何图形面积计算问题ꎬ分析求几何图形面积的几种常用方法.１巧用平移法计算几何图形的面积平移法ꎬ顾名思义是通过图形的横向㊁纵向水平运动进行解题ꎬ即把几何图形中的部分进行切割ꎬ然后使其横向或纵向水平运动到恰当位置ꎬ进而重新组合成常见的规则几何图形ꎬ然后利用规则图形的面积公式求解ꎬ以此达到简化解题难度的目的[１].在实际解题过程中ꎬ学生可以通过观察几何图形的结构特征ꎬ快速判断是否需要利用平移法计算面积.例１㊀如图１ꎬ现有一块长度为３２ｍ㊁宽度为２０ｍ的矩形地面ꎬ需在地面上按照阴影区域设计修建道路ꎬ其余非阴影区域用于绿化设计ꎬ若绿化设计面积为５４０ｍ２ꎬ请问道路修建的宽度应为ｍ.图１㊀矩形地面构造示意图学生在遇到此类不规则图形的面积问题时ꎬ通过观察已知图形便能够快速发现其结构特征ꎬ可考虑利用平移法ꎬ将不规则几何图形转化为规则的基本图形ꎬ然后利用规则图形的面积公式求解面积.基于此ꎬ本题有两种求解计算方法ꎬ求解过程如下.方法１㊀如图２ꎬ将不规则图形经过平移变为三个规则的矩形ꎬ通过平移与组合阴影部分的图形ꎬ能够得到两个规则的阴影矩形.假设道路的宽度为ｘｍꎬ结合题目条件能够列出(２０－ｘ)(３２－ｘ)＝５４０ꎬ这是一个关于ｘ的一元二次方程ꎬ解此方程即可得到问题的答案.解法１㊀设道路宽度为ｘｍ.根据题意ꎬ得(２０－ｘ)(３２－ｘ)＝５４０ꎬ即ｘ２－５２ｘ＋１００＝０ꎬ解得ｘ１＝５０(不合题意ꎬ舍去)ꎬｘ２＝２.故道路的宽度应为２ｍ.２５图２㊀平移变为三个规则的矩形方法２㊀如图３ꎬ将不规则图形平移变换为四个规则的矩形ꎬ此时绿化设计面积被分成四个规则的矩形ꎬ根据题目中的已知条件能够得到２０ˑ３２－(２０＋３２)ｘ＋ｘ２＝５４０ꎬ这是关于ｘ的一元二次方程式ꎬ解此方程即可得到问题的答案.图３㊀平移变换为四个规则的矩形解法２㊀设道路宽度为ｘｍ.根据题意ꎬ得２０ˑ３２－(２０＋３２)ｘ＋ｘ２＝５４０ꎬ即ｘ２－５２ｘ＋１００＝０ꎬ解得ｘ１＝５０(不合题意ꎬ舍去)ꎬｘ２＝２.故道路修建的宽度应为２ｍ.通过典型例题讲解可以发现ꎬ利用平移法解决不规则几何图形的面积问题时ꎬ平移的方式不同ꎬ可能会得到不同的解题思路.教师应抓住典型例题的 一题多解 思路ꎬ进一步拓展学生的数学逻辑思维ꎬ进而引导学生突破固有思维限制.２巧用旋转法计算几何图形面积旋转法主要应用于构造直角三角形㊁全等三角形等基本图形求面积问题ꎬ这种解法的基本原理是面积的旋转不变性[２].例２㊀如图４ꎬ点Ｐ是等边әＡＢＣ内的一点ꎬＰＡ＝３ꎬＰＢ＝４ꎬＰＣ＝５ꎬ则әＡＢＣ的面积是(㊀㊀).Ａ.９＋２５３４㊀㊀㊀㊀Ｂ.９＋２５３２Ｃ.１８＋２５３Ｄ.１８＋２５３２根据总结的旋转法解题技巧ꎬ应找到旋转中心.根据等边三角形边长的性质易知ＡＢ＝ＢＣꎬ故可考虑以点Ｂ为旋转中心ꎬ将әＢＰＣ逆时针旋转６０ʎꎬ可图４㊀等边әＡＢＣ示意图得到әＢＥＡꎬ如图５所示.由旋转的性质可得ＢＥ＝ＢＰ＝４ꎬøＰＢＥ＝６０ʎꎬ进而能够判断әＢＰＥ是等边三角形ꎬＰＢ＝ＰＥ＝４ꎬøＢＰＥ＝６０ʎ.此时ꎬ在әＡＥＰ中ꎬＡＥ＝５ꎬＡＰ＝３ꎬＰＥ＝４ꎬ利用勾股定理的逆定理能够判断әＡＰＥ是直角三角形ꎬ即øＡＰＥ＝９０ʎꎬ进而能够计算出øＡＰＢ的度数.过点Ａ作ＡＦʅＢＰꎬ交ＢＰ的延长线于点Ｆꎬ利用三角函数可计算出ＡＦ及ＰＦ边长ꎬ再次利用勾股定理可得出ＡＢ边长ꎬ最终利用三角形面积公式计算得到әＡＢＣ的面积.图５㊀旋转变换后的图形解㊀因为әＡＢＣ是等边三角形ꎬ所以ＢＡ＝ＢＣ.以Ｂ点为旋转中心ꎬ把әＢＰＣ逆时针旋转６０ʎ得到әＢＥＡꎬ连接ＥＰꎬ过点Ａ作ＡＦʅＢＰꎬ交ＢＰ的延长线于点Ｆꎬ则ＢＥ＝ＢＰ＝４ꎬＰＣ＝ＡＥ＝５ꎬøＰＢＥ＝６０ʎꎬ所以әＢＰＥ是等边三角形ꎬ所以ＰＢ＝ＰＥ＝４ꎬøＢＰＥ＝６０ʎ.在әＡＥＰ中ꎬＡＥ＝５ꎬＡＰ＝３ꎬＰＥ＝４ꎬ所以ＡＥ２＝ＰＥ２＋ＰＡ２ꎬ所以әＡＰＥ是直角三角形ꎬøＡＰＥ＝９０ʎꎬ所以øＡＰＢ＝１５０ʎꎬ所以øＡＰＦ＝３０ʎ.在әＡＰＦ中ꎬＡＦ＝１２ＡＰ＝３２ꎬＰＦ＝３２ＡＰ＝３２３.在әＡＢＦ中ꎬＡＢ２＝ＢＦ２＋ＡＦ２＝(４＋３２３)２＋(３２)２＝２５＋１２３ꎬ所以әＡＢＣ的面积为３４ＡＢ２＝３４(２５＋１２３)＝９＋２５３４.故正确选项为Ａ.３巧用分割法计算几何图形面积在计算几何图形面积的过程中ꎬ分割法较为常３５用ꎬ其本质是对原图添加合适的辅助线ꎬ从而达到将原图分隔为若干个规则的几何图形ꎬ如直角三角形㊁等腰三角形㊁正方形㊁长方形等ꎬ然后利用规则图形的面积公式解决问题ꎬ从而求得原图形的面积.例３㊀已知☉Ｏ为әＡＢＣ的内切圆ꎬ其中Ｆ㊁Ｄ㊁Ｅ分别是ＡＢ㊁ＢＣ㊁ＡＣ边上的切点ꎬ若ＢＣ＝ｘ㊁ＡＣ＝ｙ㊁ＡＢ＝ｚꎬ☉Ｏ的半径为Ｒꎬ请计算әＡＢＣ的面积Ｓ.解㊀如图６所示ꎬ将圆心Ｏ分别与点Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ连接ꎬ形成әＣＯＢ㊁әＣＯＡ㊁әＢＯＡ三个三角形ꎬ这三个三角形的面积之和即为әＡＢＣ的面积Ｓ.因为Ｄ㊁Ｅ㊁Ｆ为☉Ｏ与ＣＢ㊁ＣＡ㊁ＢＡ边的切点ꎬ所以ＯＦʅＢＡꎬＯＥʅＣＡꎬＯＤʅＣＢ.因为☉Ｏ的半径为Ｒꎬ所以ＦＯ＝ＥＯ＝ＤＯ＝Ｒ.所以Ｓ＝ＳәＢＯＡ＋ＳәＣＯＢ＋ＳәＣＯＡ＝１２Ｒ ｚ＋１２Ｒ ｙ＋１２Ｒ ｘ＝１２ｚ＋ｙ＋ｘ()Ｒ.图６㊀分割后的әＡＢＣ示意图４巧用 补 法计算几何图形面积补 方式与 割 方式相反ꎬ 割 是指将原几何图形分割为若干个常见的规则图形ꎬ而 补 是指利用添加辅助线方式ꎬ将原不规则图形转化为规则图形ꎬ利用规则图形的面积公式直接求解ꎬ从而达到降低实际解题难度的目的.同时也能够根据不同的 补 的方式ꎬ将原不规则图形转化为多样化的规则图形ꎬ进而为学生提供多元化的解题路径.例４㊀如图７ꎬ将一个边长为３的正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转３０ʎꎬ得到ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄꎬ请计算图７中阴影部分的面积.图７㊀不规则阴影部分示意图分析㊀本题目主要考查正方形性质与旋转性质ꎬ故借助图形的旋转不变性㊁正方形的性质即可实现求解.如图８所示ꎬ这是基于 补 方式处理后的示意图.图８中ＡＥＣＢ为直角梯形ꎬ基于此便可以利用题目中所给条件与直角梯形相关公式完成阴影部分面积的分析与计算.图８㊀将阴影部分 补 成规则图形解㊀设ＣＤ与ＢᶄＣᶄ的交点为Ｅꎬ连接ＥＡ.根据已知条件ꎬ将正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针方向旋转３０ʎ得到正方形ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄꎬ由旋转的性质可得ꎬøＢᶄＡＢ＝３０ʎ.因为ＡＢＣＤ为正方形ꎬ所以ＡＢᶄ＝ＡＤ.因为ＡＥ＝ＡＥꎬøＢᶄ＝øＤ＝９０ʎꎬ所以әＥＢᶄＡɸәＥＤＡ.因为øＤＡＢᶄ＝øＢＡＤ－øＥＡＢᶄꎬ且øＥＡＢᶄ＝３０ʎꎬ所以øＤＡＢᶄ＝６０ʎꎬøＥＡＤ＝３０ʎꎬ所以ＥＤ＝ＤＡ ｔａｎ３０ʎ＝３ˑ３３＝１.从而可知阴影部分面积Ｓ阴＝ＳＡＢＣＤ－２Ｓꎬ即Ｓ阴＝３ˑ３－２ˑ１ˑ３ˑ１２＝３－３.５结束语综上所述ꎬ解决几何图形面积计算问题ꎬ对提高初中生数学成绩㊁强化学生解题能力与数学思维十分有利.因此ꎬ教师应积极通过典型的几何图形面积计算问题的讲解与解析ꎬ帮助学生充分掌握常用的几何图形面积计算方法ꎬ进而总结解题方法和技巧ꎬ熟悉常规题型的解题套路ꎬ实现快速㊁正确解题.参考文献:[１]蒋艳ꎬ杨品方.例析解几中涉及三角形面积的多种题型[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(７):５９－６１. [２]李宏杰.关注几何面积探寻考查方式:以中考试题为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０２３(３):７３－７５.[责任编辑:李㊀璟] ４５。
西安2015小升初考点
小学升初中重点考查内容一、计算专题（一）抵消思想--裂项（二）抵消思想--约分（三）数学基本功--四则混合运算（四）初中基本功--解方程（五）定义新运算（六）计算技巧综合--重要公式、常用结论、经典方法等等。
如循环小数与分数互化、等比数列求和、平方和公式等等例1. 计算15%)]203132(5232[922⨯⨯--÷ （分数、小数四则混合运算）分析：此类题中包含了分数、小数和百分数。
计算时应先统一化成分数，再按照运算顺序计算。
解：原式=15)5131********(920⨯⨯+-÷ =15)5131(920⨯⨯÷ =1515920⨯⨯ =500例2. 655161544141433121⨯+⨯+⨯（运用四则运算定律和性质速算和巧算） 分析：观察发现3121拆分为31+34后再用乘法分配律，可简便运算，以此类推。
解：原式=（20+34）43⨯+（40+45）54⨯+65)5660(⨯+ =15+1+32+1+50+1=100例3.x5.6%18:203= （解方程） 分析：这道题符号右边的分数线变为比号，即x x :5.65.6=就成了一个比例方程，解比例方程，需用到比的性质，内相积=外向积。
解：x5.6%18:203= （先变“—”为“：”） x5.6%18:203=6.5⨯18%=203：xx =32010018213⨯⨯ x =539 二、计数专题 （一）尝试性探索思维--枚举法（二）计数两大原理--加乘原理（三）排列组合--盘点排列组合常见的三个考点（四）容斥原理--总结容斥原理中常考的几种题型（五）计数方法综合（1）--标数法、递推法等（六）计数方法综合（2）--对应法、整体法等（七）概率与统计--两个知识点：古典概型与概率可乘性例1. 六个人分成3组，每组2人，有几种分法？分析：很多人认为，应该是p （6,3）或者c （6,3），很明显不对，这6人必须都得分出去。
双曲线三角形面积公式
双曲线三角形面积公式
双曲线三角形是一种独特的几何体，它由三条双曲线构成，而不是三条普通线段。
因为它结构独特，所以双曲线三角形面积的计算非常复杂，也很有技巧性。
由双曲线三角形构成的几何体在实际应用中非常广泛，因此，掌握双曲线三角形面积公式的计算方法非常重要。
一般来说，计算双曲线三角形面积的原理是采用立体几何的“求体积”公式，可以将面积转换为体积来计算。
这里需要利用双曲线的几何特性，充分发挥几何体的立体形状，计算体积。
根据立体几何公式，体积是三角形的三边长乘以上下两平面距离乘以1/2，因此，双曲线三角形的面积也是这个公式。
基于上述原理，根据双曲线三角形的几何特性，可以得到下面的公式：
S=A*h/2=1/2*[(a/2)*b+2acos(γ)]*h
其中，S代表双曲线三角形面积，A为取点连线得到的三角形面积，h为上下两平面的距离，a为双曲线第一条边的长度，b为另外两条边的长度，γ为第一条边与另外两条边的夹角。
通过以上公式，可以得到双曲线三角形的面积，但是由于这是一种复杂的几何体，因此在进行计算时，需要使用实际的数据，比如双曲线的坐标系等，才能准确计算双曲线三角形的面积。
双曲线三角形最重要的优势在于其结构和角度的变化，它可以构成各种不同的形状，为物体带来新的颜色和空间感，可以用来改善空间环境。
另外，一些复杂的雕刻、拼贴等技术也需要借助双曲线三角
形完成，因此，掌握双曲线三角形面积公式有助于改善实际制作技术。
综上所述，双曲线三角形是一种独特的几何体，可以轻松计算出双曲线三角形的面积，由此可以了解到双曲线三角形的几何特性，从而掌握更多实用的几何技术。
六年级下册数学试题-小升初提升：曲线形面积(无答案)全国通用
曲线形面积（1）【本讲要点】曲线型面积问题(上)——静态问题之三种整容技术【例1】(★★☆)如图所示的四个圆，半径都是10厘米。
试求阴影部分的面积总和是多少平方厘米。
(圆周率取近似值3)【巩固】(★★)如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，弧AC＝弧CD＝弧DB，M是弧CD的中点，H是弦CD的中点。
若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是____平方厘米。
【例2】(★★★☆)如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周率π取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?【例3】(★★★☆)求图中四条竖直线与水平线之间添加标示垂直的符号的阴影部分的面积。
(π取3.14)【巩固】(★★☆)(十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8∶3，求阴影部分的面积。
【例4】(★★★)(四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，BC＝6厘米，AC＝8厘米，求阴影部分的面积。
【例5】(★★★)(四中考题)如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF 的半径CB＝4厘米，求阴影部分的面积。
(π取3)【本讲要点回顾】静态曲线型几何问题：6＋3＋36——6种基本图形：圆、环、扇、弓、谷、角；3——3条基本结论：圆接方、方接圆模型，月牙模型，金鱼模型；3——3种整容技术：韩国、中国、非洲整容技术。
曲线形面积（2）【本讲要点】曲线型面积问题(下)——动态问题之轨迹绘画技巧【例1】(★★☆)从点A到点B沿着大圆周走合沿着中、小圆的圆周走的路程相同吗？【巩固】在一个直径为d米的地球仪赤道上用铁丝打一个箍，需要多长的铁丝？如果要把这个铁丝箍向外扩张1米(即直径增加2米)，需要增加多长的铁丝？地球的赤道半径约是6370千米，如果我们也可以给地球的赤道上用铁丝打一个箍，再把这个铁丝箍向外扩张1米，需要增加多长的铁丝？(圆周率可直接用π表示，不需要代入数值)【例2】(★★★★)图中三角形的边长是4厘米，圆形的半径是1厘米。
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本讲主线
1、基本面积公式&模型.
2、复合图形的分割、补图。
知识要点屋
1、圆的周长：C d π= 或 2C r π=
2、圆面积：2S r π=
3、扇形：在圆的基础上360n ⨯
4、三大基本曲线面积模型：
=-弓形扇形三角形 =-弯角正方形扇形 2=⨯谷子弓形面积
【课前小练习】(★)
1、已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60︒，则这个扇形的半径和周长各是多少? ( 圆周率按3.14计算)
2、如图中扇形的半径6OA OB ==厘米，45AOB ∠=︒，AC 垂直OB 于C ，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米? ( 3.14π≈)
例题精讲
【例1】(★★)
如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部分面积为
S，空白部
1
分面积为
S，那么这两部分面积之比为。
(π取3.14)
2
【巩固】(★★)
、、、分别为直径画半圆，求这四如图，ABCD是边长为4厘米的正方形，以AB BC CD DA
个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
(π取3)
【例2】(★★★)
如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。
求阴影部分的面积和。
(圆周率取3.14)
【拓展】(★★)
如图，是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4。
图中阴影部分的面积是多少? (π取3.14)
如图，1BD DC DA ===。
求阴影部分面积。
【例4】(★★★)
如图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15，扇形ACB 是
以C 为圆心，AC 为半径的圆弧。
求阴影部分面积。
【例5】(★★★)第四届走美杯决赛试题
如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC
为边向内侧作等边三角形，分别以B C 、为圆心，BK CK 、为半径画
弧。
求阴影部分面积。
(π取3.14)
如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长。
(π取3.14)
知识大总结
1、圆的公式：
⑴周长，C d π=⨯ ⑵面积，2S r π=⨯
2、扇形公式：在圆的基础上360n
⨯
3、三小模型：弓形，弯角，谷子
4、求面积：割补、平移、对称、旋转。