复合求积法 PPT课件
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计算方法 牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式 PPT
求积节点为
n
a
xk xk+1
b
xk a kh，k 0,1,..., n
在每个小区间 [xk , xk1 ]
上应用梯形公式，得：
(k 0,1, … , n 1)
个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。 • 新想法：将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间
上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区 间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。 此即复合求积公式的基本思想。
4.3.1 复合梯形公式及其误差
将积分区间[a, b]划分为n等分,步长为 h b a
5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
对n=6, 7, 8的情况，见教材。
几个重要的低阶求积公式
在牛顿-柯特斯求积公式中n=1, 2, 4时，就分 别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特 斯公式。
b f(x)dx a
n
(b a) C(kn)f(x k ，) xk
计算方法 (Numerical Analysis)
第7次 牛顿-柯特斯求积公式 与复合求积公式
1. 牛顿—柯特斯求积公式 2. 牛顿-科特斯求积公式的例子 3. 复合求积公式 4. 复合求积公式的例子 • 附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算
法实现与流程图
牛顿—柯特斯求积公式 采用等距节点的插值型求积公式
0.55 15 1 2880 16 0.53 0.5
0.52 15 2880 16
1 0.5
0.25 15 1 2880 16 0.707
0.0001151
| R2(f) | 0.0001151
选修4变换的复合与二阶矩阵的乘法ppt课件
1 2
0 1
，
所以 A2
1，A2
1 1
2
0 1
.
19
【拓展提升】 求逆矩阵的两个方法
(1)待定系数法：设出矩阵A-1，再利用AA-1=E2,列出方程组求 相应的元素.
(2)公式法：先求出|A|，再代入公式A-1=
d b
2 1
k 2
,
可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).
计算得△ABC的面积是1,△A1B1C1的面积是|k|,
由题设知|k|=2×1=2,所以k的值为-2或2.
16
考向2 逆矩阵的求法
【典例2】(2012·福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵
【解析】由题设得
MN
k
0
00
1
1
1 0
0 1
k 0
.
0 k 0 0 0 k 2 0
1
0
0
0
,
1
0
0
2
,
0
1
k 0
AB
(3)对于矩阵A,B,C,若AC=BC,则A=B. ( )
(4)每一个二阶矩阵都可逆.( )
(5)如果A,B都可逆，则AB也可逆.( )
8
人教A版高中数学选修4-2-2.1 复合变换与二阶矩阵的乘法-课件(共28张PPT)
矩阵为 A= 1 0 , 切变变换 r 对应的矩阵为 B= 1 2 ,
1 1
01
变换 s ·r 将向量 a= 1 变成向量 b, 求 AB 及 b.
3
解:
AB=
1 1
0 1
1 0
2 1
=
11+00 11+10
12+01 12+11
=
1 1
2 1
.
b = (AB)a = 1 1
2 1
1 3
=
7 4
.
练习巩固
复合变换, 记为 f·g, 从而, 对任意平面向量 a 有
(f ·g)a=f(ga).
得复合变换
(f ·g)a=f(ga) =
a1 c1
b1 d1
a2 b2 x c2 d2 y
的变换公式为
x y
= =
(a1a2 (c1a2
b1c2 d1c2
)x )x
(a1b2 (c1b2
b1d2 ) d1d2 )
向量
a=
x y
,
依次作两次旋转变
换 Rq 1, Rq 2 , 可视为一次旋转变换 Rq1q2 , 其变换公式
为
x y
= =
xcos(q1 q2) xsin(q1 q2)
ysin(q1 ycos(q1
q2 q2
), ).
此结论.
请用矩阵乘法证明
yA
B
证明: 两次旋转, 复合变换为
q1 a
cosq1 sinq1 cosq2 sinq2 x
例2. 计算
(1)
1 0
1 1
1 2
1 3
;
(2)
复合变换与二阶矩阵的乘法2 PPT
复合变换与 二阶矩阵的乘法
研究任意向量
x
y
先在旋转变
3
R 换
30o：
2 1
2
1 2
作用，再经过切变变Biblioteka 32 1 2
x'
换
：0
1
作用后的向量
y
'
.
对平面上的任意向量依次作变换g,f,得到一 个新的变换，称此变换为变换g与变换f的复
合变换.记为 f • g .
复合变换对应的矩阵为 f • g 对应的矩阵为变 换g与变换f对应的矩阵A,B的乘积，记为AB.
注：矩阵乘法MN的几何意义为：
对向量连续实施的两次几何变换 的复合变换.
二阶矩阵的乘法法则是:
a c
b e d g
f h
ae ae
bg dg
af bh cf dh
验证
例题与练习：
1
1、已知A
2
1
2
计算AB;
1 1
2
,
B
2
1 2
,
1 2
1 2
1 2
2、已知A
1 0
0 2
,
B
1 4 2
3
,
计算AB，BA;
例题与练习：
3、已知A
1
0
,
B
1
0
,
0 0
0 1
C
1
0
计算AB，AC;
0 2
例题与练习：
4、已知A
3 1
0
4
,
B
1 2
1 1
,
计算AB，BA;
例题与练习：
5、若M
cos sin
研究任意向量
x
y
先在旋转变
3
R 换
30o：
2 1
2
1 2
作用，再经过切变变Biblioteka 32 1 2
x'
换
：0
1
作用后的向量
y
'
.
对平面上的任意向量依次作变换g,f,得到一 个新的变换，称此变换为变换g与变换f的复
合变换.记为 f • g .
复合变换对应的矩阵为 f • g 对应的矩阵为变 换g与变换f对应的矩阵A,B的乘积，记为AB.
注：矩阵乘法MN的几何意义为：
对向量连续实施的两次几何变换 的复合变换.
二阶矩阵的乘法法则是:
a c
b e d g
f h
ae ae
bg dg
af bh cf dh
验证
例题与练习：
1
1、已知A
2
1
2
计算AB;
1 1
2
,
B
2
1 2
,
1 2
1 2
1 2
2、已知A
1 0
0 2
,
B
1 4 2
3
,
计算AB，BA;
例题与练习：
3、已知A
1
0
,
B
1
0
,
0 0
0 1
C
1
0
计算AB，AC;
0 2
例题与练习：
4、已知A
3 1
0
4
,
B
1 2
1 1
,
计算AB，BA;
例题与练习：
5、若M
cos sin
人教A版高中数学选修- 第二讲 一 复合变换与二阶矩阵的乘法 课件PPT
再经切变变换ρ作用的结果.
（2）把任意一个平面向量
α=
x 先经
y
旋转变换R30°作用,再经切变变换ρ作
用,变成向量 x′,求 x′.
y′ y′
3
解：（1）R30°
1 =
0
2 1
∴ρ（ R30°
1）= 0
2 12 01
3 2= 1
3 1+
2 1
2
2
（2）∵ R30°=
3 －1 22 13
x= y
3 x
cosθ2 －sinθ2 sinθ2 cosθ2
cos(θ1 + θ2) －sin(θ1 + θ2) = sin(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
cosθ1 －sinθ1 sinθ1 cosθ1
cosθ2 －sinθ2 sinθ2 cosθ2
cosθ1cosθ2－sinθ1 sinθ2 －cosθ1 sinθ2－sinθ1cosθ2 sinθ1cosθ2 + cosθ1 sinθ2 cosθ1cosθ2－sinθ1 sinθ2
(3) ρi =
12Βιβλιοθήκη 1=101 0 0
ρj =
1
2
0 =2
01 1 1
(σ • ρ)i = 2 0
01
(σ • ρ)j = 2 0
01
12
=
00
2=4 11
∴可得到:
y
1
j
O
i1
12 01
x
y
1
j
O
i1
x
y
y
1
20
1
j
01
6b复合求积公式龙贝格算法
步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1]
n1
xi xi +1/2 xi +1
h T2 n f ( xi ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 n1 h f ( xi ) 2 f ( xi 1 2 ) f ( xi 1 ) i 0 4 h n1 h n1 1 h n1 f ( xi ) f ( xi 1 ) f ( xi 1 2 ) Tn f ( xi 1 2 ) 4 i 0 2 i 0 2 2 i 0 13
1 I T2 n (T2 n Tn ) 3
I Tn 4( I T2n )
3I 4T2n Tn
1 3
验后误差估计式 I T2 n (T2 n Tn )
当
T2n Tn 时，T2n即为所求的近似值。
1 (T2 n Tn ) 3
是T2n 的修正项，它与T2n 之和比T2n 、 Tn更接近与真值，即它是一种补偿。
|| T T2-T|< 2-T1|<
输出T2
16
举例
计算精度满足 | T2n Tn | 107
I [ f ]=0.946083070367
例：用梯形法的递推公式计算定积分 解：
1
0
sin( x ) dx , 要求 x
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T (k)
梯形法递推公式
1 h n1 1 h n1 T2 n Tn f ( xi 1 2 ) Tn f ( a ih 0.5h) 2 2 i 0 2 2 i 0
73第三节 复合求积公式
1 I S2 n 2 S2 n Sn 4 1 这从而有递推化(变步长)的复合辛卜生公式. 进一步，还可以得到递推化(变步长)的复合牛 顿-柯特斯公式. 这里就不在赘述了.
得到
数学学院 信息与计算科学系
2. 复合辛卜生公式 将积分区间[a, b]2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, …,2n，则在每个子区间[x2k, x2k+2]上 的积分用辛卜生公式，得
I f ( x )dx
b a n 1 k 0 n 1 x2 k 2 x2 k
(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有
( b a )3 e 1 4 R f ( ) 10 12n2 12n2 2
e 102 67.3087, 计算有 n 6 故取n=68，即将区间[0, 1]进行68等分就满足要求.
(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有
n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.
数学学院 信息与计算科学系
在实际中，常采用积分步长h的自动选取， 具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半， 反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结
果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是
一种事后估计误差的方法.
数学学院 信息与计算科学系
对复合梯形公式，将区间[a, b]n等分的余项式为
2k 1 f f (1) 8
数学学院 信息与计算科学系
3 3 1 4 4 4 4 2 4 2 2 k 2 2 k 1 2 24 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 1 k 1 k 0 4 8
3 3 1 3 16 64 2 4 2 2 6 2 16 k 64 (2 k 1) k 1 k 0
复合求积法PPT课件
固定时而节点个数的长度较大当积分区间直接使用newtoncotes公式的余项将会较大增加时公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度又使算法简单易行往往使用复合方法分成若干个子区间即将积分区间然后在每个小区间上使用低阶newtoncotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加一复合求积公式等份分割为的积分区间将定积分各节点为公式上使用在子区间cotesnewton节点为步长为等份分割为cotesnewton复合梯形公式求积公式可得复合复合simpson公式复合抛物线公式求积公式可得复合sindx计算定积分使用各种复合求积公式为简单起见依次使用8阶复合梯形公式4阶复合simpson公式和2阶复合cotes公式可得各节点的值如右表012509973978702509896158403750976726740509588510806250936155640750908851680875087719257复合求积公式的程序newtoncotesm函数程序funcm分别由复合trapzsimpsoncotes公式有94569086sindx671839460830703精度最高精度次高精度最低比较三个公式的结果那么哪个复合求积公式的收敛最快呢
1
4
)
12
f
(
x
k
2
4
)
32
f
(
x
k
3
4
)]
1
14
k 1
f
( xk )
7
f
(1)]
0.94608307华长生制作 Nhomakorabea9
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
1
4
)
12
f
(
x
k
2
4
)
32
f
(
x
k
3
4
)]
1
14
k 1
f
( xk )
7
f
(1)]
0.94608307华长生制作 Nhomakorabea9
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
复合求积法
h 2 h f (k ) 12
(b a )3 f ( ) R(T ) 12
R( S ) b a ( b a )4 f ( 4 ) ( ) 180 2
h h ( 4) f (k ) 180 2
6
4
2h h ( 6 ) 2 ( b a ) b a 6 (6) R(C ) ( ) f ( ) f (k ) 945 4 945 4
0.94608331
C2
1 1 1 [7 f (0) [32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 )] 14 f ( xk ) 7 f (1)] k k k 180 k 0 k 1 4 4 4
0.94608307
9
精度解
) f ( x2 )] [ f ( xn 1 ) 4 f ( x ) f (b)]
[ xn 1 , xn ] S ( n 1 )
n 1
1 2
n 1 n 1 h S n [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] k 6 k 0 k 1 2
n 1
f (k ) max f ( x) a x b n
由介值定理, [a , b],使得
k 0
n 1
f (k ) f ( ) n
(b a ) 2 h f ( ) 12
12
即有
nh3 n 1 f (k ) nh3 I Tn f ( ) 12 k 0 n 12
11
1. 设被积函数 f ( x) C 2 [a, b], 则复合梯形公式的余项为
3 n 1 h h I Tn [ f (k )] f (k ) 12 k 0 12 k 0 n 1 3
(b a )3 f ( ) R(T ) 12
R( S ) b a ( b a )4 f ( 4 ) ( ) 180 2
h h ( 4) f (k ) 180 2
6
4
2h h ( 6 ) 2 ( b a ) b a 6 (6) R(C ) ( ) f ( ) f (k ) 945 4 945 4
0.94608331
C2
1 1 1 [7 f (0) [32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 )] 14 f ( xk ) 7 f (1)] k k k 180 k 0 k 1 4 4 4
0.94608307
9
精度解
) f ( x2 )] [ f ( xn 1 ) 4 f ( x ) f (b)]
[ xn 1 , xn ] S ( n 1 )
n 1
1 2
n 1 n 1 h S n [ f (a) 4 f ( x 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] k 6 k 0 k 1 2
n 1
f (k ) max f ( x) a x b n
由介值定理, [a , b],使得
k 0
n 1
f (k ) f ( ) n
(b a ) 2 h f ( ) 12
12
即有
nh3 n 1 f (k ) nh3 I Tn f ( ) 12 k 0 n 12
11
1. 设被积函数 f ( x) C 2 [a, b], 则复合梯形公式的余项为
3 n 1 h h I Tn [ f (k )] f (k ) 12 k 0 12 k 0 n 1 3
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
3.2复合求积法
例：利用函数表分别利用复合梯形公式、复合Simpson
sin x dx 的近似值， 公式计算积分 I 0 x
1
xi
f ( xi )
1/2
0
1/8
1/4
3/8
1
5/8
0.997398 0.989688 0.976727
6/8 7/8 1
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
ba 1、首先将区间 [a , b]n等分： h n n 1 h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
• 由以上递推公式可以看出，在已经算出Tn的基础 上再计算T2n时，只要计算n个新分点上的函数值 就行了。与直接利用复合梯形公式求T2n相比较， 计算工作量几乎节省了一半。
二、复合Simpson公式：
ba 将积分区间 [a , b] n等分：分点 xk a kh, h n
在区间 [ xk , xk 1 ] ( k
b
0,1,, n 1) 上采用Simpson公式
n 1 xk 1 xk
I ( f ) f ( x )dx
a
误差控制条件
1 (T2 n Tn ) 4 1
终止时取 I≈T2n
上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。
1 对于复合梯形公式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1
对于复合Simpson公式、Cotes公式可以类似得到
1 I S2 n 2 ( S2 n Sn ) 4 1
复合梯形公式虽然具有结构简单，易在计算机上实现等优点，
但是由它产生的梯形序列 T2
精品PPT课件----D8_4复合求导共24页
精品PPT课件----D8_4复合求导
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
Байду номын сангаас
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
Байду номын сангаас
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12
12
12
又由
I Tn
h3 12
n1 k 0
f
(k )
I Tn
h2
1 n1 12 k 0
f (k )h
1 n1 12 k 0
f (k )xk
1
b
f (x)dx
1
[ f (b)
f (a)]
12 a
12
因此当n足够大时,复合梯形公式的余项为
h n
0
I Tn
h2 [ f (b) f (a)] 1 h2[ f (b) f (a)]
0.94608331
C2
1 [7 180
f
(0)
1
[32
k 0
f
(
x
k
1
4
)
12
f
(
x
k
2
4
)
32
f
(
x
k
3
4
)]
1
14
k 1
f
( xk )
7
f
(1)]
0.94608307
9
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
12
12
13
2. 若被积函数 f (x) C 4[a,b]
则n足够大时 ,复合Simpson公式的余项为
I Sn
n1 k 0
h5 180
24
f (4)(k )
ba 180
h 2
4
f
( 4 ) ( )
h4 180
2
4
[
f
(b)
f (a)]
1 180
h 2
4[
f
(b)
f (a)]
Ci(1) f ( xk i )
k0 i0
n1
h
k 0
1 2
[
f
(
xk
)
f ( xk 1 )]
复合梯形公式
ba[ 2n
f
(a)
n1
2
k 1
f (xk )
f
(b)]
l 2时,可得复合Simpson求积公式
b a
f
(
x)dx
Sn
n1
h
k 0
2 i0
C(2) i
f
(
x k
i 2
)
4
b
a f ( x)dx Sn
t1
a
h
x 0
1
,
2
t 0
1
2
a
h 2
,t 1
1 2
a
3h , 2
s1 s1 s2(1) s2(2)
I h [s0 2s1 4s2(2)] 6
22
n n n,k k 1,
n 4,k 3,h (b a)/n, s0 f (a) f (b)
y1
t 0
1
,
y2
t1 ,
y3
)
f
(
x
k
i l
)
l
h
i0
Ci(l
)
f
(x k
i l
)
由积分的区间可加性,可得
b
a f (x)dx
复合求积公式
n1
xk1 f ( x)dx
k 0 xk
n1
I
( l
k
)
k 0
n1 l
h
k 0
i0
Ci(l )
f
(
x
k
i
l
)
In
3
l 1时,可得复合梯形求积公式
b
n1 1
a f (x)dx Tn h
为此介绍收敛阶的概念
15
定义1. 对于复合求积公式
I
若存在
n
p
0及c
0, 使其余项
I
I
满足
n
lim
h0
I In hp
c
则称复合求积公式 In是p阶收敛的
显然, p阶收敛的概念也等价于
I In (hp )
不难知道,复合梯形、Simpson、Cotes公式的收敛阶分别为 2阶、4阶和6阶
16
通常情况下,定积分的结果只要满足所要求的精度即可
I T2n
h12 [ f (b) f (a)] 12
1 ( h )2[ f (b) f (a)] 12 2
因此有 即
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
因此T2
作为
n
I的近似值的截断误差约
为
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
有时也去掉 精度会更高
以上这种方法称为自适应求积法
20
以复合Simpson求积公式的特点为例
Sn
ba[ 6n
f
(a)
n1
4
k 0
f
(
x
k
1
2
)
n1
2
k 1
f
( xk
)
f (b)]
具有以下特点:
s0
f (a) f (b)的系数总是 1
s1
f (xk )的和的系数总是 2
旧节点 步
长
s2
f
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
1
一、复合求积公式
将定积分 b f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n
h ba n
在子区间[xk , xk1 ](k 0,1, , n 1)上使用Newton Cotes公式
将[
xk
,
xk
1
]分割为l等份,
步长为h l
,
节点为
xk ,
xk
h l
,
xk
2h l
,
,
xk
lh l
xk 1
记为
xk ,
x
k
1
,
x
k
2
,
,
x
k
l
xk 1
l
l
l
2
在[xk , xk 1 ]上作f (x)的l阶Newton Cotes求积公式
xk1 xk
f (x)dx Il(k) (xk 1
l
xk
)
i0
Ci(l
b
I a f (x)dx
(一) 算法名称
autosimpson( fun,a,b, EPS )
(二) 存储方式
24
a 存积分下限 a b 存积分上限 b
y1 存函数值 f (a) y2 存函数值 f (b)
n1 k 0
f
(k )
由于
min { f (x)} n1 f (k ) max f (x)
a xb
k0 n
a xb
由介值定理 , [a,b], 使得
n1 f (k ) f ()
k0 n
即有
I Tn
nh3 n1 f (k )
12 k 0 n
nh3 f () (b a) h2 f ()
18
依此类推
S2
作为
n
I的近似值的截断误差约
为
I
S2n
1 15
(
S2
n
Sn )
C2n作为I的近似值的截断误差约 为
I
C2 n
1 63
(C2
n
Cn )
因此对一般的复合积分
I
有
n
I
I2n
1 pn )
若预先给定的误差限为 只要I2n In p
就有I I2n
I
2
即为满足要求的
n
I的近似值
[ xn1 , xn ] T (n1) h 2
[ f (xn1 ) f (b)]
Tn
h 2
[ f (a)
2 f (x1 )
2 f (x2 )
2 f (xn1 )
f (b)]
6
S b a [ f (a) 4 f ( a b ) f (b)]
6
2
[ x0 , x1 ]
S(0)
h 6
复合求积 公式的程序
newtoncotes.m
函数程序
func.m
8
分别由复合Trapz、Simpson、Cotes公式有
T8
1[ 16
f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f (1)]
0.94569086
S4
1 [ f (0) 4 3
24
k 0
3
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f (xk )
f (1)]
3. 若f (x) C 6[a,b],同样可得复合 Cotes公式的余项
I Cn
n1 k 0
2h7 945 46
f (6)(k )
2(b a) 945
h 4
6
f
( 6 ) ( )
2h6 945 46
[
f
(5)(b)
f
(5)(a)]
2 945
h 4
6
[
f
(
5)
(b)