菱形基础知识点及同步练习、含答案汇编
菱形练习题及答案
菱形练习题及答案一、菱形的定义和特征菱形是指具有四条边长度相等且相互平行的四边形。
其特征包括：1) 所有四个角都是直角；2) 对角线相等，且互相垂直。
在数学中，菱形常被用作练习几何图形的平面几何题目。
二、菱形练习题以下是一些菱形练习题，每个题目后附有解题答案，以帮助学生更好地理解和掌握菱形的性质。
1. 题目：菱形ABCD的对角线AC长度为8cm，角ADC的度数为60°，求菱形的面积。
解答：首先，由于对角线相等，可以得知BD的长度也为8cm。
由菱形的性质可知，对角线相互垂直，故角BDC的度数为90°。
于是，我们可以通过AD和BD的长度以及ADC的度数，计算出三角形ADC 的边长。
根据余弦定理，我们可以得到：AC² = AD² + DC² - 2 * AD * DC * cos(ADC)8² = AD² + AD² - 2 * AD * AD * cos(60°)64 = 2AD² - 2 * AD² * 0.564 = AD²得到 AD = 8cm，同理可得DC = 8cm。
因此，菱形ABCD的面积为1/2 * AD * DC = 1/2 * 8 * 8 = 32cm²。
2. 题目：菱形EFGH的对角线EF长度为10cm，角EFG的度数为120°，求菱形的周长。
解答：由菱形的性质可知，菱形的周长等于4倍对角线的长度。
因此，菱形EFGH的周长为4 * 10 = 40cm。
三、菱形练习题答案1. 菱形ABCD的面积为32cm²。
2. 菱形EFGH的周长为40cm。
通过以上两个练习题，我们可以巩固菱形的定义和性质，掌握计算菱形的面积和周长的方法。
总结：菱形作为一种常见的几何图形，在数学学习中经常出现。
通过练习菱形题目，我们可以巩固菱形的定义和特征，提高解题能力，并运用这些知识解决实际问题。
2020届人教版八年级数学下册 18.2.2菱形(2)同步练习(含解析)
18.2.2菱形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１. 一组邻边相等的平行四边形是菱形．２.对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列说法中，不正确的是（）A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C. 一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形D. 有一组邻边相等的矩形是正方形2．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF，则四边形AECF是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法确定3．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（）A. 10B. 12C. 18D. 244．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A. AC=BDB. ∠1=∠2C. ∠ABC=90°D. ∠1=90°5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )A. 当AB＝BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形D. 当AC＝BD时，它是正方形6．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（）A. ②④B. ①③C. ②③④D. ①③④7．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. 12B.13C.14D.158．如图，已知∠AOB，王华同学按下列步骤作图：(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D，分别以点C、点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE；(2)在射线OE上取一点F，分别以点O、点F为圆心，大于12OF的长为半径作弧，两弧交于两点G、H，作直线GH，交OA于点M，交OB于点N；(3)连接FM、FN.那么四边形OMFN一定是( )A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于点E，AE平分∠BAC，AO＝CO，AD＝DC＝2，下面结论：①AC＝2AB；②AB3S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥AE.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（）A.（1345,0）B.（1345.5，）C.（1345，）D.（1345.5，0）二、填空题11．对角线相等的四边形顺次连接各边中点所得的四边形是__________．12．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是__________13．如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥AB，则△ABC满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．14．如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，若AE=BE=2，AD=3，则CE=_____．、重合），PE 15．如图，菱形ABCD中，AC=2，BD=5，P是AC上一动点（P不与A C∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积为______________。
菱形的性质练习题及其详解
菱形的性质01 基础题知识点1 菱形的性质1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是(B )A ．∠ADB ＝∠CDB B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AB ＝AD第2题图 第3题图3．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为(C ) A ．1 B .3 C ．2 D ．234．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D )A ．10B ．8C ．6D ．55．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．6．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF.AE 和AF 有什么样的数量关系？说明理由．解：AE ＝AF.理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BC ＝CD. 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.知识点2 菱形的面积7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为(A)A ．2 2 B. 2 C ．6 2 D ．82第7题图 第8题图8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积是24． 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.02 中档题10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A )A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米第10题图 第11题图11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于(A )A ．3.5B ．4C ．7D ．1412．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )习题解析A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°13．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A ．2 B.5 C ．3 D ．4 14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为15．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.(1)求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．解：(1)∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4，又∵O 为BD 的中点，∴OB ＝2. 又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.又∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．。
北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)
第一章特殊平行四边形1．1 菱形的性质与断定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，那么△ABD的周长是(C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3 B．4 C．8 D．8 38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，那么OH的长等于(A)A．B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.假设∠DAC＝28°，那么∠OBC的度数为(C) A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，那么BC＝__5__．13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．假设墙上钉子间的间隔AB＝BC＝15 cm，那么∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图) 14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，那么较长的对角线长度是16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)假设∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的断定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的断定1．小明和小亮在做一道习题，假设四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图) 4．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，那么四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如下图，能得到四边形ABCD 是菱形的根据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图) 6．(易错题)如图，以下条件能断定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2021·淄博)▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)：如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ； (2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形10．(2021·徐州)假设顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出以下条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含60°角的直角三角形ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN ，∴AM ＝AN (2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF ＝90°，∴∠BAF ＝120°.又∵∠B ＝∠F ＝60°，∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°，∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形。
18.2.2.1 菱形的性质-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)
§18.2.2.1菱形的性质一、知识导航1.菱形的定义：有一组邻边相等的四边形叫做菱形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一组邻边相等，二者缺一不可；（2）菱形的定义既是它的性质，也是它的判定方法；（3）一组邻边相等的四边形不一定是菱形.2.菱形的性质类别性质符号语言图形边菱形的四条边都相等 四边形ABCD是菱形AB BC CD DA ∴===对角线菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角四边形ABCD是菱形,,,AC BD OA OC OB OD∴⊥==,ABD CBD ADB CDB∠=∠=∠=∠BAC DAC BCA DCA∠=∠=∠=∠对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（即对角线所在的直线）3.菱形面积计算（1）平行四边形的面积公式：底×高（2）两条对角线长的积的一半二、重难点突破重点1利用菱形的性质求线段长度例1.菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24【答案】C【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分这一性质解题即可.【详解】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，，∴菱形的周长为：4×5=20，故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．变式1-1如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE 的长等于（）A ．2B ．3.5C ．7D ．14【答案】B 【分析】由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 14=⨯28=7，且O 为BD 的中点．∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 12=AB =3.5．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键．变式1-2如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A ．125B ．185C ．4D ．245【答案】D【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高DE 即可．【详解】记AC 与BD 的交点为O ，菱形ABCD ,6,AC =,3,,AC BD OA OC OB OD ∴⊥===5,AB = 22534,8,OB BD ∴=-==∴菱形的面积16824,2=⨯⨯=,DE AB ⊥ ∴菱形的面积,AB DE =∙524,DE ∴=24.5DE ∴=故选D ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．变式1-3如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．485【答案】B 【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC 的面积，然后利用面积法，SABP +SCBP =SABC ，即可求出PE PF +的值．【详解】连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为20，∴AB =BC =20÷4=5，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴SABC =24÷2=12，又SABC =SABP +SCBP∴SABP +SCBP =12，∴111222AB PF BC PE += ，重点点拨：当菱形的一个内角为120°或60°时，菱形被其对角线分为4个含30°角的直角三角形；菱形较短的一条对角线将其分成两个等边三角形，因此可利用其性质进行计算.∵AB =BC ，∴()1122AB PE PF += ∵AB =5，∴PE +PF =12×25=245．故选：B．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．重点2利用菱形的性质求角度例2.如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒【答案】A 【分析】由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．变式2-1如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°【答案】C 【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得1652DBE ABC ∠︒=∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB -∠︒∠=即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD =50°，∴O 为BD 中点，∠DBE =12∠ABC =65°．∵DE ⊥BC ，∴在Rt △BDE 中，OE =OB =OD ，∴∠OEB =∠OBE =65°．∴∠OED =90°-65°=25°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．变式2-2如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF∠的度数是（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可得出△ABC 、△ACD 是等边三角形，从而先求得∠B =60°，∠C =120°，在四边形AECF 中，利用四边形的内角和为360°可求出∠EAF 的度数．【详解】解：连接AC ，∵AE垂直平分边BC，∴AB=AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，又∵AF垂直平分边CD，∴在四边形AECF中，∠EAF=360°-180°-120°=60°．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及菱形四边形等的性质．变式2-3如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当100BAD∠=︒时，则CDF∠=（）A．15︒B．30°C．40︒D．50︒【答案】B【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC=50°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠FBA=∠FAB，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后求出∠CBF，最后根据菱形的对称性可得∠CDF=∠CBF．【详解】如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=12×100°=50°，∵EF是AB的垂直平分线，∴∠FBA=∠FAB=50°，∵菱形ABCD的对边AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=80°-50°=30°，由菱形的对称性，∠CDF=∠CBF=30°．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．重点3利用菱形的性质计算面积及其应用例3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x 的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=12×8×6=24cm2，重点点拨：在菱形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．变式3-1已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A．B．8C．D．【答案】D【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．【详解】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝∴菱形的面积＝12 AC•BD＝12故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．变式3-2如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96B．48C．24D．6【答案】C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．重点4利用菱形的性质证明线段相等例4.如图，在菱形ABCD 中，BE ⊥CD 于点E ．DF ⊥BC 于点F ．求证：BF ＝DE；【分析】根据菱形的性质得到CB =CD ，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB =CD ，∵BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠BEC =∠DFC =90°，∵∠C =∠C ，∴△BEC ≌△DFC （AAS ），∴EC =FC ，∴CD －CE ＝CB －CF∴BF =DE ；【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．变式4如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒，点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，G ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．求证：AF EF =；重点点拨：菱形的对角线容易作为一个直角三角形的斜边，这样两条对角线的交点也是斜边的中点；菱形的面积等于对角线乘积的一半重点点拨：利用菱形的性质证明边的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合【分析】连接CF ，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF=EF 和CF=AF 即可得证；【详解】连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF=EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF=AF ，∴AF=EF；【点睛】本题考查了菱形的性质，最短路径，等边三角形的判定和性质，中位线定理，难度一般，题中线段较多，需要理清线段之间的关系．重点5利用菱形的性质证明角相等例5.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD ＝∠CBE．【分析】根据菱形的性质得出∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，推出∠AFD ＝∠CDE ，证△BCE ≌△DCE ，推出∠CBE ＝∠CDE 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCE ＝∠DCE ，BC ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠CDE ，在△BCE 和△DCE 中BC CD BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCE ≌△DCE ，∴∠CBE ＝∠CDE ，∵∠AFD ＝∠CDE ，∴∠AFD ＝∠CBE ．【点睛】考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△BCE ≌△DCE 是解题关键．变式5如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO =∠DCO．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD =OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =OB ，然后根据等边对等角求出∠OHB =∠OBH ，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH =∠ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，∠COD =90°，∵DH ⊥AB ，∴OH =12BD =OB ，∴∠OHB =∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH =∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO =90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB =90°，∴∠DHO =∠DCO ．【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．难点6菱形中的图形变换问题例6.如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A 3B ．2C ．23D ．4【答案】B 【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====重点点拨：利用菱形的性质证明角的相等关系时，常常会与全等三角形的性质和判定、等腰（边）三角形的性质和判定相结合∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形，∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线，∴122EF BD ==故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．变式6-1如图，在菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 长分别为16、12，折叠纸片使点A 落在DB 上，折痕交AC 于点P ，则DP 的长为（）A ．BC ．D ．【答案】A 【分析】首先设O 点的对应点为E ，连接PE ，由菱形的性质，可求得OD ，OA 与AD 的长，由折叠的性质，根据勾股定理可得方程：即（8-x ）2=42+x 2，可求x 的值，由勾股定理可求DP 的长．【详解】解：设O 点的对应点为E ，连接PE ，由折叠的性质可得：PE=OP ，DE=OD ，∵四边形ABCD 是菱形，1111,168,1262222AC BD OA AC OB BD ∴⊥==⨯===⨯=10AD ∴==设OP=x，则PE=x，AE=AD-DE=10-6=4，AP=OA-OP=8-x，在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即OP=3，DP∴===故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．变式6-2如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】C【分析】连接BD，首先根据∠A=60°，AB=AD，得到△ABD是等边三角形，然后根据等边三角形三线合一的性质得到DP⊥AB，然后根据平行线的性质得到∠CDP=∠APD=90°，最后根据折叠的性质求解即可．【详解】如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∠ADC=120°，∵点P是AB的中点，∴DP⊥AB，∵CD AB，∴∠CDP=∠APD=90°，∴由折叠的性质可得：∠CDE=12∠CDP=45°．故选：C．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质以及折叠的性质等知识，解题的关键是在含有60°内角的菱形中，连接较短的对角线，把菱形分成的两个三角形是等边三角形．难点7菱形中的最值问题例7.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）A ．12B ．1C 2D ．2【答案】B 【分析】先作点M 关于AC 的对称点M ′，连接M ′N 交AC 于P ，此时MP +NP 有最小值．然后证明四边形ABNM ′为平行四边形，即可求出MP +NP =M ′N =AB =1．【详解】如图难点点拨：解决菱形问题的思考方向：①边；②对角线.有60°的特殊角，就可以由菱形的性质构造等边三角形解决问题；有等边三角形，有中点，会出现“三线合一”作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，以及最小值问题，解题关键在于熟练掌握菱形性质以及求最值的作图方式.变式7如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．【详解】∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质；轴对称-最短路线问题三、提升训练1.下列结论中，不正确的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形D ．菱形的面积等于对角线乘积的一半难点点拨：解决线段之和最小问题，一般转化为解决“两点之间，线段最短”问题.“两点一线”型：()minPA PB +“一点两线”型：()min ''''''ABC C AB AC BC A B A C BC A A ∆=++=++=【答案】C【分析】由菱形和矩形的判定得出A 、B 正确，由等腰梯形的判定得出C 不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D 正确，即可得出结论．【详解】解：A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A 正确；B.∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴B 正确；C.∵一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，∴C 不正确；D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，∴D 正确；故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积；熟记菱形，矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键．2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（）A ．90︒B ．100︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得1203AC AE cm ==，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得．【详解】如图，连接AC四边形ABCD 是菱形20,//AB BC cm AD BC∴== 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =1203AC AE cm ∴==AB BC AC∴==ABC ∴ 是等边三角形60B ∴∠=︒//AD BC180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．3.如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AC ∥交AB 于点E ，DF AB ∥交AC 于点F ，若8AF =，则四边形AEDF 的周长是（）A ．24B ．28C ．32D ．36【答案】C 【分析】由题意知四边形AEDF 是平行四边形，有BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE ==，，AD 平分BAC ∠，可得BAD CAD ADF ∠=∠=∠，AF DF =，平行四边形AEDF 是菱形，进而计算周长即可．【详解】∵DE AC DF AB∥，∥∴四边形AEDF 是平行四边形∴BAD ADF ∠=∠，AE DF AF DE==，∵AD 平分BAC∠∴BAD CAD ADF∠=∠=∠∴AF DF=∴平行四边形AEDF 是菱形∴432AE DE DF AF AF +++==故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用．4.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A ．20B ．24C ．40D ．48【答案】A 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【详解】由菱形对角线性质知，AO =12AC =3，BO =12BD =4，且AO ⊥BO ，则AB =5，故这个菱形的周长L=4AB =20．故选A ．【点睛】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB 的长是解题的关键，难度一般．5.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝20°，则∠DHO 的度数是（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选A．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245B．125C．5D．4【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB5，∵S菱形ABCD＝12AC BD AB DE ⨯⨯=⨯，∴18652DH ⨯⨯=⨯，∴DH＝24 5，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝12×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．7.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝135°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD 于F．若△DEF的周长为2，则菱形ABCD的面积为（）A．B C．2D．2【答案】A【分析】根据题意利用菱形的性质，可得AH＝DH，再根据等腰直角三角形的判定与性质得出DE EF，再求出DH＝DE+EH AB＝2.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝135°，∴∠DAB＝45°，∠DAC＝∠BAC，且EH⊥AB，EF⊥AD∴EF ＝EH ，∠ADH ＝∠DAB ＝45°∴AH ＝DH∵∠DAB ＝45°，DH ⊥AB∴∠ADH ＝45°，且EF ⊥AD∴∠ADH ＝∠DEF ＝45°∴DF ＝EF ，∴DE EF∵△DEF 的周长为2，∴DE +EF +DF ＝2∴2EF ＝2∴EF ＝2∴EH ＝2，DE ＝2，∴DH ＝DE +EH ∵∠DAB ＝∠ADH ＝45°∴AH ＝DH ，∴AD AH ＝2∴AB ＝2∴菱形ABCD 的面积＝AB ×DH ＝故选A ．【点睛】此题考查菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.8.如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠= ,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．132【答案】B【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则2CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠= ，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==，4AH BH ==，3PB = ，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．9.如图，平行四边形ABCD 中，2AB BC =．AE 平分BAD ∠，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与BFN ∆全等的三角形有5个；③7FMN BCEN S S ∆=四边形；④当FM FN =时，60BAD ∠=︒．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【分析】①根据四边形ABCD 是平行四边形，可得：AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，再由AE 平分∠BAD ，可得出∠AED =∠DAE ，进而推出AF =DE ，即可运用菱形的判定方法证得结论；②根据题目条件可证明△BFN ≌DEN ，其它三角形均不能证明；③根据题目条件可得出12FMN DMN BFNS S S ==，S 菱形BCEF =4S △BFN ，S 四边形BCEN =3S △BFN ，即可判断结论③错误；④由FM =FN 可得出DF =AF =AD ，即△ADF 是等边三角形，可判定结论④正确．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，∵点F 为AB 边的中点，∴AF =12AB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∵AB ∥CD ，∴∠AED =∠BAE ，∴∠AED =∠DAE ，∴AD =DE ，∴BC =DE ，∵AB =2BC .∴BC =12AB ，∴AF =DE ，∵AF ∥DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∵AD =DE ，∴四边形ADEF 是菱形，故①正确；∵AB ∥CD ，∴∠FBN =∠EDN ，DE =AF =BF ，∠BNF =∠DNE ，∴△BFN ≌DEN （AAS ），能够确定与△BFN 全等的三角形只有1个，故②错误；③∵△BFN ≌DEN ，∴FN =EN ，BN =DN ，∵四边形ADEF 是菱形，∴DM =FM ，∴12FMN DMN BFNS S S == ，同理可证：四边形BCEF 是菱形，∴S 菱形BCEF =4S △BFN ，∴S 四边形BCEN =3S △BFN ，·S △BFN =2S △FMN ，∴S 四边形BCEN =4S △FMN ，故③错误；④当FM =FN 时，∵FN =EN ，EF =AF ，∴AF =2FM ，∵DF =2FM ，∴DF =AF =AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠BAD =60°，故④正确；故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，菱形的判定，全等三角形判定和性质，三角形面积和四边形面积，等边三角形判定等，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．10.已知某菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形的面积为A ．22cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长为2，再利用菱形的面积=底⨯高即可【详解】解：菱形的边长：842÷=．菱形的面积：212⨯=．【点睛】本题主要是考题菱形的性质与面积，易出现求面积时不懂的把菱形当作平行四边的面积来求．11.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，DB =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则DH 的长为【分析】由菱形对角线和边长组成一个直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长，再利用面积相等建立等式，进而可求解高DH 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4cm ，OB =12BD =3cm ，在Rt △AOB 中，OA =4cm ，OB =3cm ，∴AB ，菱形的面积S =12AC •BD =AB •DH ，即12×8×6=5×DH ，解得DH =245cm ，【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解题的关键.12.如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则DEC ∠的度数为________．【答案】75°【分析】连接BD ，先证明ABD △为等边三角形，然后根据三线合一定理得到30ADP BDP ∠=∠=o 即可得到90PDC ∠= ，则45CDE PDE ∠=∠=o ，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD =AB ，60C A ∠==o ∠，AB ∥CD ，∴180A ADC ∠+∠= ，∴120ADC ∠=∵60A ∠= ，∴ABD △为等边三角形，∵P 为AB 的中点，∴DP 为ADB ∠的平分线，即30ADP BDP ∠=∠=o ，∴90PDC ∠= ，由折叠的性质得到45CDE PDE ∠=∠=o ，在DEC 中，()18075DEC CDE C ∠=-∠+∠=o o ．故答案为：75°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13.如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF．【分析】先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=，A C ∠=∠，DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，90AED CFD ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和CDF ∆中，AED CFD A C AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，AE CF ∴=．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．14.如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB//CD，然后证明得到BE=CD，BE//CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证.（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解.【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB//CD.又∵BE=AB，∴BE=CD，BE//CD.∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=EC.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD.∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.【点睛】本题主要考查了，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
中考数学复习之菱形习题(含答案)
中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。
在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。
本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。
习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BAD=∠DAC=60°。
又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。
又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。
因此，∠CBD的度数为0°。
习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，∠BOA=∠COD=90°。
又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。
根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。
因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。
因此，∠AOB的度数为180°。
习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。
解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。
因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。
设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。
又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。
根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。
自学初中数学资料-菱形的性质及判定(资料附答案)
自学资料一、菱形及其性质【知识探索】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．2．菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【说明】（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称轴，对称轴是其对角线所在的直线．【错题精练】第1页共16页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【解答】C【答案】C【举一反三】1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是__________。
【解答】二、菱形的判定【知识探索】1．菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形．第2页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【错题精练】例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD【解答】C【答案】C例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．第3页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；第4页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【解答】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，∴∠EAB=∠DAC，∴△AEB≌△ADC（SAS）．（3分）②方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°，∴∠ABE=∠BAC，∴EB∥GC．（5分）又∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）∵EG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）（2）①②都成立．（8分）（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD（10分）又∵CD=CB，∴BE=CB．（11分）由②得四边形BCGE是平行四边形，∴四边形BCGE是菱形．（12分）方法二：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD．（9分）又∵四边形BCGE是菱形，∴BE=CB（11分）∴CD=CB．（12分）方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，∴BE∥CG，EG∥BC，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）第5页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，∴AB=BE=BF，∴AE⊥FG（11分）∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30度．（12分）例5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF=DE．【解答】（1）有一组邻边相等的平行四边形为菱形，AD和BC既平行又相等，所以四边形ABCD为平行四边形，而AD=DC=BC，所以平行四边形ABCD为菱形；（2）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现．证明：（1）∵AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD=DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC=∠DAC．又∵EF⊥AC，AG=AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．又∵∠BMF=∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF=AE．第6页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴BF=DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF=DE（8分）【举一反三】1．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③【答案】A2．（2002•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个第7页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训D. 0个【解答】C【答案】C3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是__________．【解答】首先根据BD⊥CD，点E是BC的中点可知DE=BE=EC=BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC=BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．4．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．【解答】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．5．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．第8页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，进而可得AC的长度．6．如图，在∠ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．【解答】（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．（1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵DE=AB，EF=BC，且AB=BC，∴DE=EF，∴四边形BDEF是菱形；（2）7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．第9页共16页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【解答】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA 判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF（2分），∴△ABE≌△CDF（ASA）；（4分）（2）1．如图，在菱形ABCD中，BC=3，点是BD的中点，延长BD到点E，使得BD=DE=2，连结CE，点M是CE的中点，则OM=．【答案】√17．22．如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，DF∥BE交BC于点F．第10页共16页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（1）求证：四边形BEDF是菱形．（2）若AB=4，AD=8，请求出菱形BEDF的边长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90∘，AD∥BC，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，由折叠，得∠Capos;=∠C，DCapos;=DC，∴∠A=∠Capos;，AB=DCapos;，又∵∠AEB=∠Capos;ED，∴△AEB≌△C′ED（AAS），∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：设AE=x，则BE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴BE=8−3=5，即菱形BEDF的边长为5．【答案】（1）略；（2）5．3．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABC沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70∘，则∠ABC=35∘；②若点F是CD的中点，则S△ABE=1S ABCD3下列判断正确的是（）A. ①，②都对；B. ①，②都错；C. ①对，②错；D. ①错，②对．【答案】A4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）请在图2中用圆规和直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】（1）证明：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）解：如图，四边形AECF就是所求作的菱形．【答案】略．5．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. 点A；B. 点B；C. 点C；D. 点D．【答案】D6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．；（2）略；（3）略．【答案】（1）837．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．【解答】（1）解：∵BE平分∠ABC，∠ACB=90∘，EF⊥AB，垂足为F，∴EF=CE．在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90∘，{BE=BE，EF=EC∴△BFE≌△BCE，∴BF=BC=8．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=10，∴AF=AB−BF=2．设EF=x，则CE=x，AE=6−x，在直角△AEF中，由勾股定理，得AE2=EF2+AF2，∴(6−x)2=x2+22，解得x=8；3（2）证明：∵在△BCE中，∠CEB=90∘−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90∘−∠DBG，，∴∠CEB=∠CGE，∴CE=CG；（3）证明：CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=CG，∴CEFG是菱形．【答案】（1）8；（2）略；（3）略．3● 矩形。
人教版初中数学19.2《菱形》同步练习(含答案)
19.2.1 菱形的性质运用菱形的有关知识进行计算和说理专题练习题1．已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的4个角分别为()A．30°，150°，30°，150°B．45°，135°，45°，135°C．60°，120°，60°，120°D．以上都不对2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC相交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°3．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝____度．4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E 两点，求∠AFO的度数．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝13 cm，BC边上的高AH＝5 cm，那么对角线AC的长为____cm.6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为()A.245B.125C ．5D ．4 7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝10，则菱形ABCD 的面积为____．8．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和4时，则阴影部分的面积为____．9．如图，O 是菱形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，CD ＝5 cm ，OD ＝3 cm, 过点C 作CE ∥DB ，过点B 作BE ∥AC ，CE 与BE 相交于点E .(1)求OC 的长；(2)求四边形OBEC 的面积．10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝44°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连结DF ，则∠CDF 等于( )A ．112°B ．114°C ．116°D ．118°11．在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 ．12．如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD 于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．14．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．15．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____．16．如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.(1)求证：CE＝CF；(2)如图2，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.答案：1. C2. C3. 504. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，∠DOA ＝90°，∵AE平分∠CAD，∴∠OAF＝15°，∴∠AFO的度数为90°－15°＝75°5. 266. A7. 308. 109. (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴在Rt△OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4 (cm)(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB＝OD，∴S四边形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)10. B11. 45°或105°12. 连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB ，CD ＝BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∠CFD ＝∠CEB ＝90°，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE (HL )，∴DF ＝BE13. (1)连结AC ，BD ，并且AC 和BD 相交于点O ，∵AE ⊥BC ，且AE 平分BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴BE ＝12BC ＝2，∴AE ＝42－22＝23，S ＝BC ·AE ＝4×23＝83， ∴菱形ABCD 的面积是83(2)∵AC ＝AB ＝AD ＝CD ，△ADC 是等边三角形，∵AF ⊥CD ， ∴∠DAF ＝30°，又∵CG ∥AE ，AE ⊥BC ， ∴四边形AECG 是矩形，∴∠AGH ＝90°， ∴∠AHC ＝∠DAF ＋∠AGH ＝120°14. (1)连结AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE ＝EC(2)点F 是线段BC 的中点．理由：在菱形ABCD 中，AB ＝BC ， 又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°， ∵AE ＝EC ，∴∠EAC ＝∠ACE ，∵∠CEF ＝60°， ∴∠EAC ＝12∠CEF ＝30°，∴∠EAC ＝12∠BAC ，∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于点F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点 15.17216.(1)易证△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE ＝CF(2)延长BA 与CF ，交于点G ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AF ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠G ＝∠FCD ，∵点F 为AD 的中点，且AG ∥CD ，易证△AGF ≌△DCF (AAS )，∴AG ＝CD ，∵AB ＝CD ，∴AG ＝AB ，∵△BCE ≌△DCF ，∴∠ECB ＝∠DCF ＝∠G ，∵∠CHB ＝2∠ECB ，∴∠CHB ＝2∠G ，∵∠CHB ＝∠G ＋∠HCG ，∴∠G ＝∠HCG ，∴GH ＝CH ，∴CH ＝AH ＋AG ＝AH ＋AB。
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)菱形是一种特殊的平行四边形，其定义为具有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质包括四条边相等、两条对角线互相垂直并平分一组对角、是轴对称图形且有两条对称轴。
菱形可以用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直及有关计算问题。
菱形的面积可以通过平行四边形的面积公式或者两条对角线乘积的一半计算。
菱形的判定方法有三种，包括定义、对角线互相垂直的平行四边形和四条边相等的四边形。
例题：已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数。
由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，可知∠AEC＝78°。
欲求∠XXX的度数，只需求出∠AEF的度数。
由∠EAF＝60°，易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°。
连接AC，由四边形ABCD 是菱形可知AB＝BC，∠ACB＝∠ACF。
又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB=AC。
∴∠ACF＝∠B＝60°，又∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF。
因此，△AEF为等边三角形，∴∠AEF＝60°。
2）利用菱形的性质，即对角线相等，结合EF的运动情况列出方程，解得t=2，代入验证即可．答案】（1）证明略．2）当t=2时，四边形ACFE是菱形．解析】1）略．2）设EF与AC的交点为点D，由题意可知：AG∥BC，∠BAC=60°，BC=6。
EF的速度为2cm/s，AE=l。
XXX的方程为：y=2x+l．XXX的中点为M，∴MC=MA=3。
AC的方程为：y=-√3x+3．D为AC的中点，∴D的坐标为（1.5，1.5√3）。
DE的方程为：y=-√3x+3√3．XXX≌CDF。
第十八章 菱形的性质及判定知识点梳理及练习
1第十八章 菱形的性质及判定知识点梳理及练习【目标知识点】1. 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
证明：几何语言：例1：如图，已知菱形ABCD 的周长为12，∠A=60°，则BD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8③菱形的对角线相互垂直且平分每一组对角。
证明：几何语言：例2：如图，在菱形ABCD 中，AC=8，BD=6，则△ABC 的周长是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．203. 菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形（根据定义）。
几何语言：例3：已知：如图中，AD 是∠A 的角平分线，DE ∥AC ，DF ∥AB ．求证：四边形AEDF 是菱形．2例4：如图：在平行四边形ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，交AC 于O 点，试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．②对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
证明：几何语言：例5：如图：在平行四边形ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，交AC 于O 点，试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．③四条边都相等的四边形是菱形。
证明：几何语言：例6：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ．求证：四边形AEDF 是菱形．4. 菱形面积公式：推导：Array例7：菱形的两条对角线长分别为9cm与4cm，则此菱形的面积为（）cm2．A．12 B．18 C．20 D．36【例题精讲】1、下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是轴对称图形2、已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是长2cm，则另一条对角线长是（）A．4cm B．2cm C ．cm D．3cm3、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）4、下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．平行四边形是轴对称图形5、菱形ABCD中，∠A：∠B=1：5，高是8cm，则菱形的周长是cm．6、菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为cm2．7、已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是cm．38、如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．9、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是菱形外一点，且DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：OE=CD．10、如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【目标检测题】1、如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2、下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD43、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC4、下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形5、如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（）A．AB⊥AC B．AB=AC C．AB=BC D．AC=BC6、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm7、如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是．形ABCD的周长是．56 9、如图，用完全相同的两个矩形纸片交叉叠合得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ．10、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，AB=6，BO=3．求AC 的长及∠BAD 的度数．11、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边的中点．求证：AE=AF ．12、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D 点，交BC 于E 点，过点A 作BC 的平行线交直线ED 于F 点，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若AB=10，∠ACB=30°，求菱形AECF 的面积．13、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE=CF ．求证：（1）△ABE ≌△ADE ．（2）四边形BFDE 是菱形．。
八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析
八年级数学下册《菱形》同步练习题及答案解析一．选择题1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm22．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°3．在小正方形组成网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是（）A．AD∥BC B．DC＝ABC．四边形ABCD是菱形D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合4．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A．150°B．135°C．120°D．100°5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为（）A．45°B．50°C．60°D．70°6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（）A．4B．2C．D．47．已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．18．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．B．C．3cm D．10．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．∠ABD＝∠CBD C．AB＝BC D．AC＝BD11．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，点E在BC上，且∠CAE＝15°，AE与BD 相交于F，下列结论不正确的是（）A．∠EBF＝30°B．BE＝BF C．F A＞EF D．OE⊥BC12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．513．下列说法中，错误的是（）A．对顶角相等B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．两直线平行，同位角相等D．两边及一角对应相等的两个三角形全等14．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB 长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．1315．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为（）A．54°B．64°C．74°D．26°二．填空题（共5小题）16．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是．17．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．18．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF 的面积为4cm2，则△BDH的面积是cm2．19．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF ⊥AD于F．则OE+OF＝．20．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是．三．解答题（共5小题）21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形．（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．22．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D 作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．（1）求证：四边形ABOE是菱形；（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．25．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．参考答案与解析一．选择题1．解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm；∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形；∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC；∵DH⊥AB；∴DH⊥CD，∠DHB＝90°；∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线；∴OH＝OD＝OB；∴∠1＝∠DHO；∵DH⊥CD；∴∠1+∠2＝90°；∵BD⊥AC；∴∠2+∠DCO＝90°；∴∠1＝∠DCO；∴∠DHO＝∠DCA；∵四边形ABCD是菱形；∴DA＝DC；∴∠CAD＝∠DCA＝20°；∴∠DHO＝20°；故选：A．3．解：A、由图形可知：BC和AD是连接7×2的图形的对角线，即AD∥BC，故本选项错误；B、设小正方形的边长是1，由勾股定理得：DC＝＝，AB＝，即AB＝CD，故本选项错误；C、由图形可知：AD∥BC，CD∥AB，即四边形ABCD是菱形，但BC＝＝≠AB，故本选项正确；D、将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合，正确，故本选项错误；故选：C．4．解：过A作AE⊥BC；由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点；则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC；∴∠ABC＝60°；∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．5．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AD＝AB；∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝75°；由作图可知，EA＝EB；∴∠ABE＝∠A＝30°；∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°；故选：A．6．解：∵菱形的面积等于12；∴AC•BD＝12；∵AC＝6；∴BD＝4；∵菱形ABCD对角线互相垂直平分；∴BO＝OD＝2，AO＝OC＝3；∴AB＝＝＝；∴菱形的周长为4．故选：D．7．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为8；∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，AD∥BC；∴∠B+∠BAD＝180°；∴∠B＝180°﹣120°＝60°；∴△ABC为等边三角形；∴AC＝AB＝2；即该菱形较短的对角线长为2；故选：C．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO；∵DE⊥BC；∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°；∴∠ODE＝∠OED＝20°；故选：B．9．解：如图，∵菱形的一个内角是60°，边长是3cm；∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等边三角形；∴AC＝AB＝3cm；即这个菱形的较短的对角线长为3cm；故选：C．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠ABD＝∠CDB；又∵∠ABD＝∠CBD；∴∠CDB＝∠CBD；∴BC＝DC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC；∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD；∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：D．11．解：如图在菱形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD；∵AB＝AC；∴AB＝CB＝AD＝CD＝AC；∴△ABC和△ADC都是等边三角形；∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°；∵BD＝BD（公共边）∴△ABD≌△CBD（SSS）；∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；∴∠EBF＝30°．∴A正确；∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∠CAE＝15°；∴∠BAE＝60°﹣15°＝45°；∴∠BEF＝180°﹣60°﹣45°＝75°；∴∠BFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°；∴∠BEF＝∠BFE；∴BE＝BF．∴B正确；过点F作FG∥BC，交AD于点G；∵AB＝BC＞BE；∴F A＞EF；∴C正确；假设OE⊥BC正确，则∠BEO＝90°；∵∠BEF＝75°；∴∠OEA＝90°﹣75°＝15°＝∠CAE；∴OE＝OA＝OC；∴∠OEC＝∠OCE＝60°；∵∠OEC＝60°与OE⊥BC相矛盾；∴假设不成立；∴OE⊥BC错误；∴D不正确．故选：D．12．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O；∵两条纸条宽度相同；∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD；∴四边形ABCD是菱形；∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD；∴BO＝＝＝2；∴BD＝4；∴四边形ABCD的面积＝＝4；故选：A．13．解：A、对顶角相等，本选项说法正确，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法正确，不符合题意；C、两直线平行，同位角相等，本选项说法正确，不符合题意；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．14．解：连接EF，AE与BF交于点O，如图；∵AO平分∠BAD；∴∠1＝∠2；∵四边形ABCD为平行四边形；∴AF∥BE；∴∠1＝∠3；∴∠2＝∠3；∴AB＝EB；同理：AF＝BE；又∵AF∥BE；∴四边形ABEF是平行四边形；∴四边形ABEF是菱形；∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE；在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8；∴AE＝2OA＝16．故选：A．15．解：∵四边形ABCD为菱形；∴AB∥CD，AB＝BC；∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO；在△AMO和△CNO中；；∴△AMO≌△CNO（ASA）；∴AO＝CO；∵AB＝BC；∴BO⊥AC；∴∠BOC＝90°；∵∠DAC＝26°；∴∠BCA＝∠DAC＝26°；∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．故选：B．二．填空题16．解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，∠BAC＝∠BAD＝×120°＝60°；∴AC＝4，∠AOB＝90°；∴∠ABO＝30°；∴AB＝2OA＝4，OB＝2；∴BD＝2OB＝4；∴该菱形的面积是：AC•BD＝×4×4＝8．故答案为：8．17．解：根据作图，AC＝BC＝OA；∵OA＝OB；∴OA＝OB＝BC＝AC；∴四边形OACB是菱形；∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2；∴AB•OC＝×2×OC＝4；解得OC＝4cm．故答案为：4．18．解：如图，连接FH；∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E；∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2）；∴BD∥FH；∴△BDH的面积＝△BDF的面积；∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2）；故答案为8.5．19．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO；∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8；根据勾股定理得：AG＝＝＝6；∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD；即BD•AG＝AB•OE+AD•OF；∴16×6＝10OE+10OF；∴OE+OF＝9.6．故答案为：9.6．20．解：如图，设CD与AB1交于点O；∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高；∴AE＝；由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形；∴S△ABB1＝BA•AB1＝2，S△ABE＝1；∴CB1＝2BE﹣BC＝2﹣2；∵AB∥CD；∴∠OCB1＝∠B＝45°；又由折叠的性质知，∠B1＝∠B＝45°；∴CO＝OB1＝2﹣．∴S△COB1＝OC•OB1＝3﹣2；∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．三．解答题21．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠DMO＝∠BNO；∵MN是对角线BD的垂直平分线；∴OB＝OD，MN⊥BD；在△MOD和△NOB中；；∴△MOD≌△NOB（AAS）；∴OM＝ON；∵OB＝OD；∴四边形BNDM是平行四边形；∵MN⊥BD；∴平行四边形BNDM是菱形；（2）解：由（1）可知，OB＝BD＝15，OM＝ON＝MN＝8，四边形BNDM是菱形；∴BN＝DN＝DM＝BM；∵MN⊥BD；∴∠BON＝90°；∴BN＝＝＝17；∴菱形BNDM的周长＝4BN＝68．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD；∴∠DEA＝∠F AE；∵AE平分∠BAD；∴∠DAE＝∠F AE；∴∠DEA＝∠DAE∴AD＝ED；∵AD＝AF；∴DE＝AF；∴四边形AFED是平行四边形；又∵AD＝ED；∴平行四边形AFED是菱形；（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：∵∠DAB＝60°；∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°；∴AG＝AD＝2；∴DG＝＝＝2；由（1）得：四边形AFED是菱形；∵AF＝AD＝4；∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8．23．（1）证明：∵AD∥BC；∴∠ADB＝∠CBD；∵BD平分∠ABC；∴∠ABD＝∠CBD；∴∠ADB＝∠ABD；∴AD＝AB；∵AB＝BC；∴AD＝BC；∵AD∥BC；∴四边形ABCD是平行四边形；又∵AB＝BC；∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形；∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2；在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4；∴BD＝2OD＝8；∵DE⊥BC；∴∠DEB＝90°；∵OB＝OD；∴OE＝BD＝4．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形；∴OB＝OD＝BD；∵BD＝2AB；∴AB＝OB；∵AE∥BD，OE∥AB；∴四边形ABOE是平行四边形；∵AB＝OB；∴四边形ABOE是菱形；（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：∵四边形ABOE是菱形；∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE；∵S四边形ABOE＝4；S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE；∴BE＝4；∴BF＝2；∴OB＝＝＝；∴BD＝2OB＝2．25．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB；∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线；∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°；∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6；∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形；∴DE＝BC＝6．∴．。
19.2 菱形 华东师大版八年级下册同步练习(含解析)
19.2 菱形基础过关全练知识点1 菱形的定义及性质1.【一题多变】(2022四川凉山州会东参鱼中学期中)如图,若四边形ABCD 是菱形,AC =24,BD =10,则菱形ABCD 的边长是( )A.13B.12C.26D.52[变式一](2022河南许昌建安期中)菱形的面积为12 cm 2,一条对角线的长为6 cm,那么菱形的另一条对角线的长为( )A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm[变式二](2022四川眉山期末)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC =4,BD =5,则△AOD 的面积为( )A.52B.5C.112D.62.(2022福建福州立志中学期中)如图,在菱形ABCD 中,∠DAC =25°,则∠B =( )A.120°B.125°C.130°D.150°3.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD 相交于点O,DH⊥AB于H,连结OH,若∠CAD=25°,则∠DHO的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°4.(2022广东中考)菱形的边长为5,则它的周长为 .5.(2022湖北武汉江岸期中)如图,在菱形ABCD中,过顶点C作CE⊥BC 交对角线BD于点E,若∠A=130°,则∠BEC= °.6.(2022甘肃武威三中期中)如图,在菱形ABCD中,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:AE=CF.7.(2022湖南长沙麓山国际实验学校期中)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.8.(2021福建厦门模拟)如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC 的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F.(1)求证:AM=DM;(2)若DF=3,求菱形ABCD的周长.知识点2 菱形的定义判定法9.【教材变式·P118习题T2变式】如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于点E,请你添加一个条件: ,使四边形AEDF 是菱形.10.(2022江苏盐城大丰实验初中月考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:四边形OBEC是菱形.11.(2022广东湛江雷州模拟)如图,点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD 上,BE=DF,∠BAF=∠DAE.求证:四边形ABCD是菱形.12.(2022福建泉州科技中学期中)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)连结AC,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求ED的长.知识点3 菱形的判定定理113.(2022湖南郴州中考)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形.14.(2022陕西西安高新区一中期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,F在DE上,且AF=CE=AE,试探索当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形.15.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,连结BE交AC于F,连结DF.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)试探究BE满足什么条件时,∠EFD=∠BCD,并说明理由.知识点4 菱形的判定定理216.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)17.(2022江苏连云港中考改编)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.求证:四边形DBCE为菱形.18.(2022江苏宿迁宿城期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,E是边AC 的中点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连结DE并延长交AF于点F,连结FC.(1)求证:△AEF≌△CED.(2)当AB与AC满足什么关系时,四边形ADCF是菱形?并说明理由.能力提升全练19.(2022广西河池中考,8,)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( )A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠DAC=∠BAC20.(2022四川乐山中考,13,)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD 的长分别是8 cm和6 cm,则菱形的面积为 cm2.21.(2022北京中考,21,)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F 在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.22.(2022浙江舟山中考,18,)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD.∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.23.(2022湖南岳阳中考,19,)如图,点E,F分别在▱ABCD的边AB,BC 上,AE=CF,连结DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使▱ABCD为菱形.(1)你添加的条件是 (填序号);(2)添加了条件后,请证明▱ABCD为菱形.24.(2021山东聊城中考,21,)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.素养探究全练25.【推理能力】(2020广东阳江阳西期末)如图,在菱形ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)①当AM的值为 时,四边形AMDN是矩形;②若AM=6,求证:四边形AMDN是菱形.答案全解全析基础过关全练1.A ∵四边形ABCD 是菱形,∴OA =OC ,OB =OD ,AC ⊥BD ,∵AC =24,BD =10,∴OA =12,OB =5,在Rt △AOB 中,由勾股定理得,AB =OA 2+OB 2=122+52=13,故菱形ABCD 的边长为13,故选A.[变式一]B 设另一条对角线的长为x cm,则12×6x =12,解得x =4.故选B.[变式二]A ∵四边形ABCD 是菱形,AC =4,BD =5,∴AO =12AC =2,DO =12BD =52,AC ⊥BD ,∴∠AOD =90°,∴S △AOD =12AO ·DO =12×2×52=52.故选A.2.C ∵四边形ABCD 是菱形,∠DAC =25°,∴∠DAB =2∠DAC =50°,AD ∥BC ,∴∠DAB +∠B =180°,∴∠B =130°,故选C.3.A ∵四边形ABCD 是菱形,∠CAD =25°,∴BO =OD ,∠DAO =∠BAO =25°,AC ⊥BD ,∴∠ABD =90°-∠BAO =65°,∵DH ⊥AB ,BO =DO ,∴∠BDH =90°-∠ABD =25°,HO =12BD =DO ,∴∠DHO =∠BDH =25°,故选A.4.答案 20解析 菱形的四条边都相等,故它的周长为4×5=20.5.答案 65解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴∠DBC=12∠ABC,AD∥BC,∴∠A+∠ABC=180°,∵∠A=130°,∴∠ABC=180°-130°=50°,∴∠DBC=12×50°=25°,∵CE⊥BC,∴∠BEC=90°-25°=65°.6.证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C,∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°,在△ADE和△CDF中,∠AED=∠CFD,∠A=∠C,AD=CD,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AE=CF.7.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,又∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BD=EC. (2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.8.解析 (1)证明:连结BD,如图所示,∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB∥CD,∴∠EAM=∠FDM,∵EF⊥AC,∴EF∥BD,∴四边形EFDB是平行四边形,∴DF=EB,∵E是AB的中点,∴AE=EB,∴AE=DF,在△AEM和△DFM中,∠AME=∠DMF,∠EAM=∠FDM,∴△AEM≌△DFM(A.A.S.),AE=DF,∴AM=DM.(2)∵AE=DF,DF=3,∴AE=3,∵E是AB的中点,∴AB=2AE=6,∴菱形ABCD的周长为4×6=24.9.答案 DF∥AB(答案不唯一)解析 添加条件:DF∥AB.∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠EAD=∠FAD,∴∠ADF=∠FAD,∴FA=FD,∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).(答案不唯一)10.证明 ∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OBEC是菱形.11.证明 ∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,在△ABE和△ADF中,∠BAE =∠DAF ,∠ABE =∠ADF ,BE =DF ,∴△ABE ≌△ADF (A.A.S.),∴AB =AD ,∴四边形ABCD 是菱形.12.解析 (1)证明:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵AD ∥BC ,∴∠ADB =∠CBD ,∴∠ADB =∠ABD ,∴AB =AD ,又∵BA =BC ,∴AD =BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∵AB =AD ,∴四边形ABCD 为菱形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵DE ∥AC ,∴DE ⊥BD ,∵AD ∥BC ,DE ∥AC ,∴四边形ACED 为平行四边形,∴CE =AD =BC =5,∴BE =BC +CE =10,在Rt △BDE 中,由勾股定理得,DE =BE 2―BD 2=6.13.证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD ,∠DAB =∠DCB ,AC 平分∠DAB ,CA 平分∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =12∠DAB ,∠DCA =∠ACB =12∠DCB ,∴∠DAC =∠BAC =∠DCA =∠ACB ,∵AE =CF ,∴△ADE ≌△ABE ≌△CBF ≌△CDF (S.A.S.),∴DE =BE =BF =DF ,∴四边形DEBF是菱形.14.解析 当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠EAC=60°,∵ED垂直平分BC,∴∠BDE=90°,∴∠BED=60°,∴∠FEA=60°,∵AF=CE=AE,∴△AEF、△EAC都是等边三角形,∴AF=EF=EC=CA,∴四边形ACEF是菱形.15.解析 (1)证明:在△ABC和△ADC中,AB=AD, CB=CD, AC=AC,∴△ABC≌△ADC(S.S.S.),∴∠BAC=∠DAC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.(2)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD,理由如下:由(1)知四边形ABCD为菱形,∴∠BCF=∠DCF,在△BCF和△DCF中,BC=DC,∠BCF=∠DCF, CF=CF,∴△BCF≌△DCF(S.A.S.),∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,∴∠BCD+∠CBF=∠EFD+∠CDF=90°,∴∠EFD=∠BCD.16.答案 AB=CD(答案不唯一)解析 若添加AB=CD,因为AB∥CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形.因为AC⊥BD,所以四边形ABCD为菱形.(答案不唯一) 17.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∵DE=AD,∴DE=BC.∵点E在AD的延长线上,∴DE∥BC,∴四边形DBCE为平行四边形,又∵BE⊥DC,∴四边形DBCE为菱形.18.解析 (1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠CDE,∵E是AC的中点,∴AE =CE ,在△AEF 和△CED 中,∠AFE =∠CDE ,∠AEF =∠CED ,AE =CE ,∴△AEF ≌△CED (A.A.S.).(2)当AB =12AC 时,四边形ADCF 是菱形.理由:由(1)知,△AEF ≌△CED ,∴AF =CD ,∵AF ∥CD ,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD =∠BAD ,∵AE =12AC ,AB =12AC ,∴AE =AB ,在△AED 和△ABD 中,AE =AB ,∠EAD =∠BAD ,AD =AD ,∴△AED ≌△ABD (S.A.S.),∴∠AED =∠B =90°,即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形.能力提升全练19.C 菱形的四条边相等,对角线互相垂直且平分对角,故A 、B 、D 选项不符合题意;菱形的对角线不一定相等,故C 选项符合题意.20.答案 24解析 ∵菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8 cm和6 cm,=24 cm2.∴菱形的面积为8×6221.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,即OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.∴BD⊥AC,又∵四边形EBFD是平行四边形,∴四边形EBFD是菱形.22.解析 赞成小洁的说法.补充AB=CB(补充的条件不唯一).证明:∵AC⊥BD,OB=OD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD,CB=CD,∵AB=CB,∴AB=AD=CB=CD.∴四边形ABCD是菱形.23.解析 (1)①或③(填一个即可).(2)添加①:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠1=∠2,∠A=∠C, AE=CF,∴△ADE≌△CDF(A.A.S.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.添加③:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△ADE和△CDF中,∠A=∠C, AE=CF,∠3=∠4,∴△ADE≌△CDF(A.S.A.),∴AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.24.解析 (1)证明:在△AOE和△COD中,∠EAO=∠DCO,AO=CO,∠AOE=∠COD,∴△AOE≌△COD(A.S.A.),∴OD=OE.又∵AO=CO,∴四边形AECD 是平行四边形.(2)∵AB =BC ,AO =CO ,∴直线BO 为线段AC 的垂直平分线,∴BO ⊥AC ,∴平行四边形AECD 是菱形.∵AC =8,∴CO =12AC =4,在Rt △COD 中,OD =CD 2―CO 2=52―42=3,∴DE =2OD =6,∴S 菱形AECD =12DE ·AC =12×6×8=24,即四边形AECD 的面积为24.素养探究全练25.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB ∥CD ,∴∠DNE =∠AME ,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =DE ,在△NDE 和△MAE 中,∠DNE =∠AME ,∠DEN =∠AEM ,DE =AE ,∴△NDE ≌△MAE (A.A.S .),∴NE =ME ,∴四边形AMDN 是平行四边形.(2)①当AM 的值为3时,四边形AMDN 是矩形.详解:∵四边形ABCD 为菱形,∴AB =AD =6,∵点E 是AD 边的中点,∴AE =12AD =3,∴AM =AE ,∵∠DAB =60°,∴△AEM 是等边三角形,∴EM =AE ,MN,∴MN=AD,∵NE=ME=12∴平行四边形AMDN是矩形.②证明:∵AB=AD=6,AM=6,M在AB上,∴点M与点B重合,AD=AM,∵∠DAB=60°,∴△AMD是等边三角形,∴ME⊥AD,∴平行四边形AMDN是菱形.。
菱形4复习题及答案
菱形4复习题及答案
1. 菱形的定义是什么？
答：菱形是一种四边形，其中所有四条边的长度都相等。
2. 菱形的对角线有哪些特性？
答：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线都将菱形分成两个全等的等腰三角形。
3. 菱形的内角和是多少？
答：菱形的内角和为360度。
4. 菱形的面积如何计算？
答：菱形的面积可以通过其对角线乘积的一半来计算，即面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。
5. 菱形的周长如何计算？
答：菱形的周长等于四条边长的总和，即周长= 4 × 边长。
6. 菱形的对边平行吗？
答：是的，菱形的对边是平行的。
7. 菱形的对角线是否相等？
答：不一定，菱形的对角线只有在菱形同时也是正方形的情况下才相等。
8. 菱形的中心点有什么特性？
答：菱形的中心点是其对角线的交点，并且该点到菱形四个顶点的距离相等。
9. 菱形的对称性如何？
答：菱形具有两条对称轴，分别是其对角线所在的直线。
10. 菱形的边长和对角线长度之间有什么关系？
答：如果设菱形的边长为a，对角线长度分别为d1和d2，则根据勾股定理，有 (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = a^2。
人教版八年级下册数学《菱形的性质与判定》同步练习(含答案)
菱形的性质与判定一 、填空题（本大题共6小题）1.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是 ．2.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．3.如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．4.已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．5.菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为6.已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是二 、解答题（本大题共7小题）DCAB 图21CBAE F DBCA7.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．8.如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．9.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．10.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBAC'DCB A EQEP NMDCBA11.如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分12.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．13.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBACDH GFEBAGF E DCBAFEDCBA菱形的性质与判定答案解析一 、填空题 1.42.AB AD AC BD =⊥，3.120︒；由题意可知：构成三角形为等边三角形4.2或65.56.150°；如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则12AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1302AE AB ABC =∠=︒，，150BAD ∠=︒二 、解答题7.⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ 150︒．8.根据题意可知则. ∵， ∴. ∴， ∴.∴， ∴四边形为菱形. 9.如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线EDCBA'CDE C DE ∆≅∆'''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，//AD BC C DE CDE '∠=∠CDE CED ∠=∠CD CE =CD C D C E CE ''===CDC E 'QNMD C∴PQ AC ∥且12PQ AC = 同理MN AC ∥且12MN AC = ∴MN PQ ∥且MN PQ = ∴四边形PQMN 为平行四边形． 在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===. 10.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．11.连结EG GF FH HE ，，，，根据题意，EG HF ，分别是DAB CAB ∆∆，的中位线，所以12EG HF AB ==，同理可证：12GF EH CD ==，因为AB CD =，所以ABCDEFEG HF GF EH ===，则四边形EGFH 是菱形，所以EF GH ，相互垂直12.当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形．∵AB GF ∥，AG BF ∥ ∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒ ∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB = ∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．13.连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒ ∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ABEFGHD CABCDEF∴18∠=︒CEF分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．。
菱形练习题(含答案)
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5， ∠3=∠4． CF=CD．
CF=DE．因为CF DE．所以四边形CDEF是平行四边形．所以□CDEF是菱形．
13.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
复习：
1.如图，在 中， 是 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于 ，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中点；（2）若 ，试猜测四边形 的形状，并证明．
解答：（1）证明： ， ．∵E是 的中点， ．
又 ， ． ．∵ ， ．
（2）解：四边形 是矩形，证明：∵ ， ， 四边形 是平行四边形．∵ ， 是 的中点， ．即 ． 四边形 是矩形．
1、世界是由物质构成的。我们身边的书、橡皮、电灯、大树、动物、植物包括我们自己都是由物质构成的。 M为AD的中点.又∵AD=2AB, CD=DM CDMN是棱形,所以CE⊥DF.
3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。 12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为65°
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菱形【知识梳理】1.定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形: 一组邻边相等）2.性质: （1）边: 四条边都相等；（2）角: 对角相等、邻角互补；（3）对角线: 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形.3.菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4.识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.（2）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等.5、面积:设菱形ABCD的一边长为a, 高为h, 则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b, 则S菱形=ab【经典题】一、选择题1.(201.广东省珠海市.边长为3 cm的菱形的周长是.. )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm3.(201.贵州省毕节地区.如图所示, 菱形ABCD 中, 对角线AC.BD 相交于点O, H 为AD 边的中点, 菱形ABCD 的周长为28, 则OH 的长等于. ）A.3.5B.4C.7D.14B C（第8题图）4.(201.湖南省长沙市.如图, 已知菱形ABCD 的边长等于2, ∠DAB=60°,则对角线BD 的长....)A. 1B.C. 2D. 25.(201.江苏省徐州市.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形, 则该四边形一定是矩形 B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.(201.山东省枣庄市.如图, 菱形ABCD的边长为4, 过点A.C作对角线AC的垂线, 分别交CB和AD的延长线于点E, F,AE=3, 则四边形AECF的周长为.. ）A. 22B. 18C. 14D. 117.(201.浙江省宁波市.菱形的两条对角线长分别是6和8, 则此菱形的边长...... .. ）A.1.......B........C.......D.58.(201.黑龙江省农垦牡丹江管理局.如图, 在菱形ABCD中, E是AB边上一点, 且∠A=∠EDF=60°, 有下列结论: ①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF, 其中结论正确的个数是（）A. 3B. 4C. 1D. 29.(201.上海市.如图, 已知AC.BD是菱形ABCD的对角线, 那么下列结论一定正确的是.. ）.(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的周长相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍.10.(201.浙江省台州市.如图, 菱形ABCD的对角线AC=4cm, 把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH, 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4：3 B．3：2 C．14: 9 D．17: 9二、填空题11.(201.吉林省长春市.如图, 在边长为3的菱形ABCD中, 点E在边CD上, 点F为BE延长线与AD延长线的交点. 若DE=1, 则DF的长为.. .12.(201.福建省莆田市.如图, 菱形ABCD的边长为4, ∠BAD=120°, 点E是AB的中点, 点F是AC上的一动点, 则EF+BF的最小值是2 ．13.(201.甘肃省陇南市.如图, 四边形ABCD是菱形, O是两条对角线的交点, 过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时, 则阴影部分的面积为12.14.(201.甘肃省兰州市.如果菱形的两条对角线的长为a 和b, 且a, b 满足（a ﹣1）2+=0, 那么菱形的面积等于 _________ .15.(201.湖北省十堰市.如图, 在△ABC 中, 点D 是BC 的中点, 点E 、F 分别在线段AD 及其延长线上, 且DE=DF, 给出下列条件: ①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形, 你认为这个条件.... （只填写序号）DAB C F E16.(201.江苏省宿迁市.如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 若菱形ABCD 的顶点A, B 的坐标分别为(－3, 0), (2,0), 点D 在y 轴上, 则点C 的坐标......17.(201.辽宁省大连市.如图, 菱形ABCD 中, AC.BD 相交于点O, 若∠BCO=55°, 则∠ADO=. .18.(201.四川省宜宾市.菱形的周长为20cm, 两个相邻的内角的度数之比为l ∶2, 则较长的对角线长度是cm.19.(201.四川省凉山州.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形... , 学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6m 和8m, 则这个花圃的面积......20.(201.四川省泸州市.一个平行四边形的一条边长为3, 两条对角线的长分别为4和, 则它的面积...... .21.(201.福建省漳州市.若菱形的周长为20cm, 则它的边长是 cm ．22.(201.重庆市A 卷.如图, 菱形ABCD 中, ∠A=60°, BD=7, 则菱形ABCD 的周长为________.CAB23.(201.辽宁省锦州市.菱形ABCD 的边长为2, ,E 是AD 边中点, 点P 是对角线BD 上的动点, 当AP+PE 的值最小时, PC 的长是__________.24.(201.山东省淄博市.已知□ABCD, 对角线AC, BD 相交于点O, 请你添加一个适当的条件, 使□ABCD 成为一个菱形. 你添加的条件........三、证明题25.(201.福建省厦门市.如图6, 在四边形ABCD.., AD ∥BC, AM ⊥BC, 垂足为M, AN ⊥DC, 垂足为N. 若∠BAD ＝∠BCD, AM ＝AN, 求证四边形ABCD 是菱形.B D(第15题图)图626.(201.贵州省贵阳市.如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, D.E 分别为AB, AC 边上的中点, 连接DE, 将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE, 连接AF, CD.（1）求证: 四边形ADCF 是菱形；（5分）（2）若BC =8, AC =6, 求四边形ABCF 的周长．（5分）27.(201.江苏省淮安市.如图, 在三角形ABC 中, AD 平分∠BAC, 将△ABC 折叠, 使点A 与点D 重合, 展开后折痕分别交AB.AC 于点E 、F, 连接DE 、DF.求证: 四边形AEDF 是菱形.28.(201.四川省乐山市.如图, 在△ABC 中, AB=AC, 四边形ADEF 是菱形, 求证: BE=CE.29.(201.湖南省张家界市.如图, 在四边形ABCD 中, AB ＝AD, CB ＝CD, AC 与BD 相交于O 点, OC=OA, 若E 是CD 上任意一点, 连结BE 交AC 于点F, 连结DF.（1）证明: △CBF ≌△CDF ；（2）若AC=2, BD=2,求四边形ABCD 的周长；（3）请你添加一个条件, 使得∠EFD ＝∠BAD, 并予以证明.第18题图 E D C A四、猜想、探究题30.(201.四川省攀枝花市.如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1cm, 一只电子甲虫, 从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行, 当电子甲虫爬行2014cm时停下, 则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C。
第01讲 菱形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第1讲 菱形的性质与判定1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
知识点 1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
知识点2：菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BD AC BD AC S S AOB Rt ABCD •=••⨯==∆2121212144菱形知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【题型1菱形的概念和性质】【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（）A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，则∠A的度数为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【变式1-2】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式1-3】如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式2-3】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【题型2：菱形的判定】【典例4】依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC＝BD【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AO＝BO【变式4-3】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）A．度量四个内角是否相等B．测量两条对角线是否相等C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合【典例5】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-1】（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．【变式5-2】（2022•天宁区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．【题型3：菱形的性质与判定综合】【典例6】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-2】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【变式6-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．1．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 2．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D 作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8 3．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．6C．12D．30 4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB ＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5.（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．6．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．7．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE ＝AF．求证：CE＝CF．8．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．9．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）2．（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5 3．（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022秋•南海区期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的周长是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 5．（2021秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．8C．12D．16 6．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192B．48C．96D．40 7．（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC 于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°9.（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直10.（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形11．（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．12.（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．13.（2022秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．。
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学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【重点难点解析】1．菱形的性质(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4)菱形是轴对称图形．2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．A．重点、难点提示1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4．体会特殊与一般的关系．B．考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．（这是略证，并不是完整的证明过程）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，∴EF∥AG，且EF=AG，∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．解：在菱形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，又AB+BC+CD+DA=20cm，∴AB=BC=CD=DA=5cm，又∵AC=5cm，∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，∴△ABC和△DAC都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．证法一：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．（等角对等边）同理，AB=AF，BE=EF，∴AB=BE=EF=AF，∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）证法二：∵AF∥BE，∴∠FAE=∠AEB，又∵∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．又∵∠FBA=∠FBE，∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）同理，BO=OF，∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27，∠B：∠A=1：2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°， 过A 作AE ⊥BC 于E ，∴∠BAE=30°，1AB 21BE ==∴，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） 312B E AB AE 2222=-=-=∴，（勾股定理） 32AE BC S ABCD =⋅=∴菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高） 解法二：如图4-28，∠B ∶∠A=1∶2，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=60°，∠A=120°，连结AC 、BD 交于点O ，︒=∠=∠∴30B 21ABD ，AC ⊥BD ． （菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直） 在Rt △ABO 中，1AB 21AO ==， 312AO AB B O 2222=-=-=∴，∴AC=2，32BD =， 3232221BD AC 21S ABCD =⨯⨯=⋅=∴菱形． 答：菱形的面积为32．【典型热点考题】例1 如图4-13，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF 的度数．点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．解：连接AC．∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，∴△ABC与△CDA为等边三角形．∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF．∴ AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△EAF为等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，∴ 60°+18°=60°+∠CEF，∴∠CEF=18°．例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE∴ AE=AG，∴∴四边形AEFG为平行四边形．又∵ AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵ AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．∴∠DAE=2∠ABD．∵∠DAE=2∠BAE，∴∠ABD=∠BAE，∴ OA=OB．∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，∴∠BOE=2∠BAE．∴∠BEA=∠BOE，∴ OB=BE，∴ AO=BE．说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．解：∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1：∠2=4：5，∴∠1=40°，∠2=50°，∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．【同步达纲练习一】 一、选择题1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) (A)45°， 135° (B)60°， 120° (C)90°， 90° (D)30°， 150°2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( )(A)S (B)S 21 (c)S 321 (D)S 521二、填空题3．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 4．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________.5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.6．已知一个菱形的面积为38平方厘米，且两条对角线的比为1：3，则菱形的边长为_________.三、解答题 7．已知：O 为对角线BD 的中点，MN 过O 且垂直BD ，分别交CD 、AB 于M 、N ．求证：四边形DNBM 是菱形．8．如图4-17，已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm ，BD=12cm ，求菱形的高．【同步达纲练习二】1．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( ) A ．2:3B ．3:3C ．1：2D ．1:32．已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cm B ．3cm ，4cm C ．12cm ，16cm D ．24cm ，32cm 3．菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直B ．互相平分且相等C ．互相平分且垂直D ．互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4．已知菱形的面积等于2cm 160，高等于8cm ，则菱形的周长等于____________． 5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 6．菱形的周长是40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 7．如图4-29，在△ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AG ⊥BC ，且BD 、AG 相交于点E ，DF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFD 是菱形．8．如图4-30，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ．求证：四边形AFCE 是菱形．参考答案【同步达纲练习一】一、1．B ； 2．D ；二、3．80°；4．222b a ，ab 21；5．对角线互相垂直，各边长相等． 6．4厘米．三、7．由已知MN 为BD 的垂直平分线， 有 DM=BM ，DN=BN ，又由△DOM ≌△BON ，得DM=BN ，∴ DM=BM=BN=DN ．∴四边形DNBM 是菱形.8．过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 为菱形的一条高． 又∵ AC 、BD 互相垂直平分于O ， ∴ 821==AB OA 厘米，621==BD OB 厘米． 由勾股定理，得 1022=+=BO AO AB (厘米)．又∵OA BD DH AB ⋅=⋅2121， ∴812211021⨯⨯=⨯⨯DH ，DH=9.6厘米．【同步达纲练习二】1．B ； 2．C ； 3．C ； 4．80cm ； 5．5； 6．10；7．证法一：在Rt △ABD 和Rt △FBD 中，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠FBD ，∠DAB=∠DFB=90°，又∵BD=BD ，∴Rt △ABD ≌Rt △FBD ∴AD=DF ，∠ADE=∠EDF又∵DF ⊥BC ，AG ⊥BC ，∴DF//AE ，∴∠EDF=∠DEA ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ， ∴AE=DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形． ∵AD=DF ，∴四边形AEFD 为菱形． 证法二：同证法一得DF=DA=AE ，∵Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ， ∴AE=EF ，∴DF=DA=AE=EF ，∴四边形AEFD 是菱形．证法三：同证法一：Rt △ABD ≌Rt △FBD ，∴AB=BF ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠GAB=∠EFB ，又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°， ∴∠C=∠GAB ，∴∠C=∠EFB ，∴EF ∥AC ，又∵DF ∥AG ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AD=DF ，∴四边形AEFD 是菱形．8．∵AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE=CF ，又∵AE ∥CF ， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）∴四边形AFCE是菱形．。