浙江工商大学应用随机过程2013--2015年考博真题／博士研究生入学考试试题

dN t N t dt dBt , t 0, ，
其中 , , N 0 为常数，试用Ito公式求 N t 的表达式。
答案写在答题纸上，写在试卷上无效
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X n , n 1, 2,，令 S
f (t ) e
t
n
X1 X n , 则 S n 服从参数为n， 的 分布，即分布密度为
( t ) n1 , t 0。 (n 1)!
答案写在答题纸上，写在试卷上无效
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7．（本题10分） 设 {B (t ), t
k＝1
n
4．（本题15分）设{ N(t) , t 0 }是更新过程，P{ X i ＝1}＝1/3, P{ X i ＝2}＝2/3, 求P{N(1)=k}，P{N(2)=k}和P{N(3)=k}。
W (t ), t 是参数为 2 的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量； 5．（本题15分）设
Nt n 1
Yt n ,
对任意 t 0 ，
(1) 求 Yt 的特征函数；(2)若 1 的二阶矩存在，求 Yt 的期望和方差；(3) 证明 Yt 是一个独立增量过程。
2．（本题15分）一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一 时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵；判断此链是否具有遍历性，若有，求 出其极限分布。
浙江工商大学2013年博士研究生入学考试试卷（A）卷
招生专业：统计学 考试时间：3小时 考试科目：应用随机过程 总分：100分
1．（本题15分）已知 son过程，且与
N t , t 0是强度为 的Pois n , n 1是独立同分布的随机变量序列，
n , n 1相互独立。设
是独立同分布的随机变量序列，令 m(t ) E (e tX i ) , 固定t并假定 3．（本题10分）若 X 1 ， X 2，
m(t ) ，令 S 0 0, S n ＝ X k ，求证 M n [m(t )] n e tS n 是关于 X 1 , X 2 , 的鞅。
x(t)EENrtf5, +*+H FpWh 1z;it aE
4. (4tr
1 5 h ) & . H V ! + ) t t * r : { 0 , 1, 2 , 3 \ f f | q f t f f i , E f r ! - f r w & & A F f E p s t ,
l/4 /4 /4 /41 L0 0 0 1"1 ( 1) ES{t#*€f'K; ( 2 ) r'J&#jtTtil*,; ( 3 ) r'J)tr*dl'ElIttTthffi"
且对任意的 t ， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t ) R ，求随机过程
X (t ), t 的均值函数、相关函数和协方差函数。
6．（本题10分）若强度为 的齐次Poisson过程 {N t , t
0} 的到达时间间隔序列为
L o P : l / z /% t/ t/ lt/
t/ o ol l% o / L Ir I
tt/ ol
t/l l,
E*tra$ffiffiL,
5ftifr61.fiit
s- (Affi rs h) W€xttl#ffiEfr!/pn iifg 0f,,/ t 0), itlAffirEHt trX.h- poisson ffi n litr ^ffifr,trr+*,h €nn. w {€,,n = I,2,...}*-uan E,}4.Bg ffitrlA E'Fil,
6ifrf4El, DHffif/ri$f5 ,H. A ' l oo,|
1 . ( A F E1 sb ) & A , B Z A i I E E R T ^ . 1 o / (z 0),h f r , a h H W , W
X (t) = Acosat +B sinat (1) x(t)Bt!!€ 8#fnvrrE8&; frE tr StW. " (o.t 0.7 o ) 2. (Affi roA) W4Btrr*ffi *|W&M+fEFFt,p=l 0 0.2 o.* l,
[0.7 0 0.3 ) ( I ) * w i r + t t t ) f f i a f f i w p r "h . \ 4 u t h / d f r h p { x 0= 1 } = 1 ,p { x | = 2 ) = p { x o = 3 } = 0 F,f 4 f f i f r W & E A + t t A z f l i f f i r + ,( 2 ) * q ^ ( E ^ + S B ' l + i l g , } f r " 3 . ( 4 t r t o i i ) - E * + r . / R E H d r t f + * 1 + , m ,U N , j . e E , i f f i E r SE f f iB ! , , \ & . 1 H f r ) f,fii 4 N,fHE'd4i, E l i , E Y A E b\ f f i t 1 f l a \ A € ,& f f i i t r i t A B t 6 f y ' . f E t r Z H n I t u D ) p effiiEHfiHm, lou=t,4o,:#.ffi jEHfiEffifitu\#" (l) itHE(oj); (2)
0} 为Brown运动， (1) 对任意 s 0, t 0 且 s t ，求
2 ( B ( s ), B (t )) 的联合概率密度函数；(2) 证明 {exp{ B(t ) 1 2 t}; t 0} 为鞅。
8．（本题10分）设 {B (t ), t
0} 为Brown运动，且随机过程{N t , t 0} 满足微分方程