机器人技术 第四章 动力学分析和力
第四章机器人静力学动力学
0
nz
(
p
n
)
y
(
p
o
)
y
( p a)y
ox
oy
oz
( ( (
p p p
n)
o)
a)
ax
z z z
dx dy dz
x
ay
y
az z
{T}
根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换 关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
4.2 机器人的静力学
0F [Fx , Fy ]T
存在怎样的关系
(1, 2 )
( f ,n)
y0
2
1
x0
机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力 和 力矩 ，统称为末端广义（操作）力矢量。记为
n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量 称为关节力矢量
利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi ，末端执行器相应 的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端 执行器所作的虚功应该相等，即
简写为: 又因为
, 所以得到 与 之间的关系
式中
称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，
操作力向关节力映射的线性关系。
x t33
x t34
dx
x x x x
t
41
t42
t43
t44
x x x x
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动 后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对 于基坐标系（静系）进行的(右乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
机器人运动学和动力学分析及控制
机器人运动学和动力学分析及控制引言随着科技的不断进步，机器人在工业、医疗、军事等领域发挥着越来越重要的作用。
而机器人的运动学和动力学是支撑其运动和控制的重要理论基础。
本文将围绕机器人运动学和动力学的分析及控制展开讨论，探究其原理与应用。
一、机器人运动学分析1. 关节坐标和笛卡尔坐标系机器人运动学主要涉及的两种坐标系为关节坐标系和笛卡尔坐标系。
关节坐标系描述机器人每个关节的转动，而笛卡尔坐标系则描述机器人末端执行器在三维空间中的位置和姿态。
2. 正运动学和逆运动学正运动学问题是指已知机器人每个关节的位置和姿态，求解机器人末端执行器的位置和姿态。
逆运动学问题则是已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人每个关节的位置和姿态。
解决机器人正逆运动学问题对于实现精确控制非常重要。
3. DH参数建模DH参数建模是机器人运动学分析中的重要方法。
它基于丹尼尔贝维特-哈特伯格(Denavit-Hartenberg, DH)方法，将机器人的每个关节看作旋转和平移运动的连续组合。
通过矩阵变换，可以得到机器人各个关节之间的位置和姿态关系。
二、机器人动力学分析1. 动力学基本理论机器人动力学研究的是机器人在力、力矩作用下的运动学规律。
通过牛顿-欧拉方法或拉格朗日方程，可以建立机器人的动力学模型。
动力学模型包括质量、惯性、重力、摩擦等因素的综合考虑，能够描述机器人在力学环境中的行为。
2. 关节力和末端力机器人动力学分析中的重要问题之一是求解机器人各个关节的力。
关节力是指作用在机器人各个关节上的力和力矩，它对于机器人的稳定性和安全性具有重要意义。
另一个重要问题是求解末端执行器的力，这关系到机器人在任务执行过程中是否能够对外界环境施加合适的力。
3. 动力学参数辨识为了建立精确的机器人动力学模型，需要准确测量机器人的动力学参数。
动力学参数包括质量、惯性、摩擦等因素。
动力学参数辨识是通过实验方法，对机器人的动力学参数进行测量和估计的过程。
工业机器人的力学分析
第!!卷!第"期#$%&!!!’$&"!!!!!平!原!大!学!学!报()*+’,-)./0’12*,’*’0#3+4052!!!!!667年8月!(9:;&!667工业机器人的力学分析姬清华!平原大学机电工程学院"河南新乡<7"66"#!!摘!要!随着机电一体化技术的迅速发展!工业机器人在工业生产中的地位越来越重要!本文从工业机器人的力学分析入手!分别作了静力学和动力学的分析研究!为工业机器人手部及运动各构件提供了力学的分析原理及方法"关键词!工业机器人#静力学#动力学#力矩中图分类号!5/!<!W !!!文献标识码!,!!文章编号!=66>?"@<<!!667#6"?6==8?6!!!收稿日期!!667?6"?6>作者简介!姬清华$=@A 8%&!男!河南新乡人!主要从事机电一体化及数控加工方面的研究"!!随着工业机器人技术的发展"工业机器人的力学分析变得至关重要$工业机器人力学分析主要包括静力学分析和动力学分析"它们是工业机器人操作机设计%控制器设计和动态仿真的基础$P 静力学分析静力学分析是研究操作机在静态工作条件下"手臂的受力情况$P &P 静力平衡方程如图=所示"为开式链手臂中单个杆件的受力情况$杆件)通过关节)和)N =分别与杆件)U =和)N =相连接"以)关节的回转轴线和)N =关节回转轴线为2)U =和2)坐标分别建立两个坐标系)U =和)$令5)U =")表示)U =杆作用在杆上的力"5)")N =表示)杆作用在)N =杆上的力"则U 5)")N =表示)N =杆作用在)杆上的力"*)为)杆的重心"重力<1作用在*)上"于是杆件)的力平衡方程为&5)U =")N 5)N =")N <)1K 6)K ="!"’"#若以5)")N =代替5)N =")"则有&5)U =")U 5)")N=N <)1K 6!=#!!又令;)U =为)U =杆作用于)杆上的力矩"U ;)")N =为)N =杆作用于)杆的力矩"则力矩平衡方程为;)U =")U ;)")N=U !&)")N =N &)"*)#V 5)U =")N !U &)"*)#V U 5)")N =K 6!!)K ="!"’"!!#式中"第三项为5)U =")对重心取矩"第四项为U 5)")N =对重心取矩$若工业机器人操作机由#个杆件构成"则由式图=!杆件的受力分析!=#和式!!#可列出!#个方程"两式共涉及力和力矩!#g !个"因此"一般需结出两个初始条件方程才能有解$在工业机器人作业过程中"最直接受影响的是操作机手部与环境之间的作用力和力矩"故通常假设这两个量为已知"以使方程有解$从施加在操作机手部的力和力矩开始"依次从末杆件到机座求出所施加的力和力矩"将式!=#和式!!#合并并变成从前杆到后杆的递推公式"即5)U =")K 5)")N=U <)1;)U =")K ;)")N =N !&)U =")N &)"*)#V 5)U =")U !&)"*)V 5)")N =#!!)K ="!"’"#P &N 关节力和关节力矩为了使操作机保持静力平衡"需要确定驱动器对相应杆件的输入力和力短与其所引起的操作机(8==( 万方数据手部力和力矩之间的关系!令*)为驱动元件)的第)个驱动器的驱动力或驱动力矩"并假设关节处无摩擦"则有当关节是移动副时"如图!所示"*)应与该关节的作用力5)U =")在2)U =上的分量平衡"即*)K -O)U =5)U=")式中-)U =为)U =关节轴的单位向量!上式表明驱动器的输入力只与5)U =")在2)U =轴上的分量平衡"其他方向的分量由约束力平衡"约束力不作功!当关节是转动副时"*)表示驱动力距"它与作用力矩;)U =")在2)U =轴上的分量相平衡"即*)K -O)U =;)U=")图!!移动关节上的关节力N 动力学分析动力学分析是研究操作机各主动关节驱动力与手臂运动的关系"从而得出工业机器人动力学方程!目前已提出了多种动力学分析方法"这里仅就用牛顿欧拉方程建立工业机器人动力学方程作简要介绍!图"!杆件动力学方程的建立!!动力学方程可以用两个方程表达#一个用以描述质心的移动"另一个描述质心的转动!前者称为牛顿运动方程"后者称为欧拉运动方程!取工业机器人手臂的单个杆件作为自由体"其受力分析如图"所示!图中(*)为杆件)相对于固定坐标系的质心速度"+)为杆件)的转动角速度!因为固定坐标系是惯性参考系"所以将杆件)的惯性力加入到静力学方程式$=%中"于是有牛顿运动方程#5)U =")U 5)")N=N <)1U <)W (*)K 6)K ="!"&"#$"%作用在杆件)上的惯性矩是该杆件的瞬时角动量对时间的变化率!令+)为角速度向量"B )为杆件)质心处的惯量"于是角动量为B )+)!因为惯量随杆件方位的变化而变化"所以角动量对时间的导数不仅包含B )W +)"而且包含因B )的变化而引起的变化+)V B )+)"即陀螺力矩"上述两项加到静力学力矩平衡式$!%中"得;)U =")U ;)")N =N &)"*)V 5)")N =U &)U ="*)V 5)U =")U B W +)U +)V B )+)K 6)K ="!"&"#$<%公式$"%和$<%是单个杆件的动力学特性关系式"若将工业机器人的:个杆件均列出相应的上述两个方程"即得到工业机器人完整的动力学方程组的基本形式#牛顿’欧拉方程!!!参考文献!!="徐元昌#陶学恒&工业机器人!["&北京$中国轻工业出版社#=@@@&!!"陈小川#刘晓冰&虚拟制造体系及其关键技术!("&计算机辅助设计与制造#=@@@#%=6&&!""盛晓敏#邓朝晖&先进制造技术!["&北京$机械工业出版社#!66<&!<"邱士安&机电一体化技术!["&西安$西安电子科技出版社#!66<&【责任编校!李东风】@"@"’-.()(45B %*$’")*(!"U 474#_K +)"2?$,’$C "*0$#)*$+$#DX +"*8&)*$+X #1)""&)#1H "I $&8<"#8’5%)#1.3$#6#)("&7)8."9)#:)$#1"!"#$#<7"66"40)#$%@7(#1’*##_C G BG B ;F E J C II ;T ;%$J M ;:G$O [;H B E G F E :C H D "G B ;F $K $GE J J %C ;IC :C :I 9D G F L BE T ;K ;H $M ;M $F ;E :IM $F ;C M J $FG E :G &5B C D E F G CH %;E :E %L c ;D O F $M M ;H B E :C H D "I C D H 9D D ;D O F $MG B ;D G E G C H D E :II L :E M C H D D ;J E F E G ;%L E :I$O O ;F D G B ;G B ;$F C ;D $O E :E %L c C :Q E F M M $T ;M ;:G E :I H $M J$:;:G $O F $K $G D &A %.:41/(#F $K $G (D G E G C H D (I L :E M C H D (M $T ;M ;:G )A ==) 万方数据工业机器人的力学分析作者：姬清华， JI Qing-hua作者单位：平原大学,机电工程学院,河南,新乡,453003刊名：平原大学学报英文刊名：JOURNAL OF PINGYUAN UNIVERSITY年，卷(期)：2005,22(3)被引用次数：2次1.邱士安机电一体化技术 20042.盛晓敏;邓朝晖先进制造技术 20043.陈小川;刘晓冰虚拟制造体系及其关键技术 1999(10)4.徐元昌;陶学恒工业机器人 19991.陈登瑞六自由度机械手本体结构关键技术研究[学位论文]硕士 20062.张烈霞工业机器人运动及仿真研究[学位论文]硕士 2006本文链接：/Periodical_pydxxb200503036.aspx。
机器人运动学与动力学分析及控制研究
机器人运动学与动力学分析及控制研究近年来，机器人技术一直在飞速的发展，机器人的使用越来越广泛，特别是在工业领域。
随着机器人的发展，机器人运动学与动力学分析及控制研究变得越来越重要。
本文将介绍机器人运动学、动力学分析与控制研究的现状以及未来发展趋势。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析主要研究机器人的运动学特性，包括机器人的姿态、速度以及加速度等方面。
机器人运动学分析的目的是确定机器人的运动学参数，同时确定机器人工作空间的大小。
机器人运动学分析的方法主要有以下几种：1、直接求解法。
直接求解法是指通过物理意义来推导机器人的运动学方程。
这种方法计算效率较低，但是精度较高。
2、迭代法。
迭代法是通过迭代计算机器人的运动学方程，精度较高，但是计算效率较低。
3、牛顿-拉夫森法。
牛顿-拉夫森法是一种求解非线性方程组的方法，可以用于求解机器人运动学方程。
此方法计算速度比较快，但是相对精度较低。
机器人运动学分析的结果可以用于机器人的路径规划，动力学分析以及控制研究。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析主要研究机器人的动力学特性，包括机器人的质量、惯性矩以及外力等方面。
机器人动力学分析的目的是确定机器人的动力学参数，同时确定机器人的力/力矩控制器和位置/速度控制器。
机器人动力学分析的方法主要有以下几种：1、拉格朗日方程法。
拉格朗日方程法是一种描述机器人运动的数学方法，可以用于求解机器人的动力学方程。
此方法计算效率较低，但是精度较高。
2、牛顿-欧拉法。
牛顿-欧拉法是机器人动力学分析中的一种方法，一般用于计算运动学链中的运动学角速度和角加速度，并根据牛顿和欧拉定理将牛顿和欧拉方程转换为轨迹方程。
此方法计算速度较快，但是精度相对较低。
机器人动力学分析的结果可以用于机器人的力/矩控制器的设计，位置/速度控制器的设计以及控制研究。
三、机器人控制研究机器人控制研究主要研究机器人的控制算法，包括力控制算法、位置/速度控制算法、逆动力学算法等方面。
(完整版)机器人技术习题集答案
《机器人技术》习题集答案第1章绪论一、选择题（4选1）1—2）；2—1）；3—3）；4—3）；5—2）二、判断题（Y/N）1—Y；2—Y；3—Y；4—N；5—N；6—Y；7—Y；8—Y；9—Y；10—Y三、简答题1．机器人学是关于研究、设计、制造和应用机器人的一门科学。
一般包括：机器人结构、机器人坐标系统、机器人运动学、机器人动力学、机器人控制、机器感知、机器视觉、机器人语言、决策与规划等。
相比机器人技术研究的更为概括、抽象和理论一些。
2．一般将机器人分为三代。
* 第一代为示教再现型机器人。
由操作人员预先给出（示教）机器人的运动轨迹，然后机器人准确地重复再现这种轨迹。
* 第二代为感觉判断型机器人，亦称为感知融合智能机器人。
机器人带有一些可感知环境的装置，通过反馈控制，使机器人能在一定程度上适应变化的环境。
* 第三代为自主感知型机器人，亦称为自主感知思维智能机器人。
机器人具有多种感知功能，可进行复杂的逻辑推理、判断及决策，可在作业环境中独立行动；具有发现问题且能自主地解决问题的能力。
3．直角坐标机器人圆柱坐标机器人极坐标机器人多关节型机器人串联关节机器人垂直关节机器人水平关节机器人并联关节机器人串并联关节机器人4．优点：结构最紧凑，灵活性大，占地面积最小，工作空间最大，能与其他机器人协调工作，避障性好缺点：位置精度较低，有平衡问题，控制存在耦合，设计与控制比较复杂5．优点：刚性好，结构稳定，承载能力高，运动精度高缺点：活动空间小。
6．气动机器人液压机器人电动机器人新型驱动方式机器人（如静电驱动器、压电驱动器、形状记忆合金驱动器、人工肌肉及光驱动器等）7．内部传感器是用来检测机器人自身状态（内部信息）的机器人传感器，如检测关节位置、速度的光轴编码器等。
是机器人自身运动与正常工作所必需的；外部传感器是用来感知外部世界、检测作业对象与作业环境状态（外部信息）的机器人传感器。
如视觉、听觉、触觉等。
是适应特定环境，完成特定任务所必需的。
第四章(机器人学动力学)
第四章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标。 2
3
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 Li 的固联坐标系 oi xi yi zi ，可得： Fi Fi 1 G i M i M i 1 r i F i 1 r Ci G i i 1 或 i i i 0
4.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆 Li， i 1 。设在杆 Li 1上的 Oi 1 点 L 作用有力矩 M i 1和力 F i 1；在杆 Li 上作用有自重力 G i 〔过质 r 心 Ci ）；i 和 rCi 分别为由 Oi 到 Oi 1 和 Ci 的向径。 M i 1 F i 1
18
4.4.4 牛顿——欧拉法基本运动方程
刚体的运动可分解为随质心的移动和绕质心的转动。借助于 杆件运动学知识，我们把达朗贝尔原理用于每个杆件，描述机 器人各杆件的运动。达朗贝尔原理可应用于任意瞬时，它实质 上是牛顿第二运动定律的一种变型，可表示为： d mi vi ( Fi ) Fi mi vi 牛顿定理 : dt d I ii Ni I ii i ( I ii ) 欧拉方程 : ( Ni ) dt 式中：mi — 杆i 质量； Fi — 杆i上所有外力合力； N i — 杆i上所有外力对质心的合力矩；
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
工业机器人课件第四章 机器人动力学
（4.2-2) Dii I ai I ai 为传动装置的等效转动惯量
Dij Dijk
p maxi , j
n
I ai
Trace(
Tp q j
Ip
TpT qi Ip
) TpT qi
（4.n T T p T
n
Trace(
2Tp q j qk rp
把相应的偏导和导数代入拉格朗日方程，可求得力矩T1和T2的动力学表达式 d L L T1 dt 1 1 (m d 2 m d d cos ) [(m m )d 2 m d 2 2m d d cos ]
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
（4.1-9)
（4.1-10)
将在关节i上产生 D 的惯性力； Dii—关节i的有效惯量：关节i的加速度 i ii i 将在关节j和i上分别产 和 Dij—关节i和j的耦合惯量：关节i和j的加速度 j i 生一个等于 Diji 和 Dij j 的惯性力；
2 D22 m2 d 2
耦合惯量 向心加速度 系数
2 D12 m2 d2 m2 d1d2 cos2
D111 0 D122 m2 d1d 2 sin 2 D211 m2 d1d 2 sin 2 D222 0
哥氏加速度 系数
重力项
D112 D121 m2 d1d 2 sin 2 D212 D221 0
) （4.2-4)
（4.2-5)
Di m p g
p i
p
qi
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定 性和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
第4章 机器人的动力学初步
图４-４ 质点平移运动 作为回转运动的解析
机器人的静力学
如果Ｉ ＝ｍｒ２，则式（４-１４） 就改写为
式（４-１５）是 质 点 绕 固 定 轴 进 行 回 转 运 动 时 的 运 动 方 程 式 。 与 式 （４⁃ １１）比较，Ｉ相当于平移运动时的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
机器人的静力学
对于质量连续分布的物体， 求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小 物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。这时， 微小物体的质量ｄ ｍ 及其微小体积ｄＶ 的关系， 可用密度ρ 表示为 所以， 微小物体的惯性矩ｄＩ， 依据Ｉ ＝ｍｒ２， 可以写成
行器在笛卡尔空间的轨迹已确定（轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱
动力或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简称为逆动力学问题。
概述
不管是哪一种动力学问题都要研究机器人动力学的数学模型，区别在于问
题的解法。人们研究动力学的重要目的之一是对机器人的运动进行有效控制，
以实现预期的运动轨迹。 常用的方法有牛顿.欧拉法、拉格朗日法、凯恩动力学法等。牛顿·欧拉动
原理。
机器人的静力学
如图４⁃１所示，已知作用在杠杆一端的力ＦＡ，试用虚功原理求作用于另 一端的力ＦＢ。假设杠杆长度ＬＡ和ＬＢ已知。 按照虚功原理，杠杆两端受力所做的虚功应该是
式中，δ ｘＡ 、δ ｘＢ是杠杆两端的虚位移。而就虚位移来讲，下式成立
式中， δθ 是绕杠杆支点的虚位移。 把式（４⁃２）代入式（４⁃１）消 δ ｘＡ 、δ ｘＢ，可得到下式 图４-１ 杠杆及作用在两端上的力
机器人动力学方程式
式中， ｎ 为机器人的关节总数。其次我们来考虑把Ｋ 作为机器人各关节 速度的函数。这里ｖＣｉ与ω ｉ 分别表示为
机器人的动力学分析与优化
机器人的动力学分析与优化第一章介绍机器人技术的不断发展给人们带来了便利和效率，但机器人的动力学问题一直困扰着研究人员。
动力学问题涉及到机器人的运动、力学和控制方面，为了解决这一难题，科学家们开始对机器人进行动力学分析和优化。
本文将深入探讨机器人的动力学分析与优化技术。
第二章动力学分析机器人的动力学分析是针对机器人系统的力学，通过建立机器人的数学模型，运用牛顿-欧拉法、拉格朗日方程等力学原理进行机器人的运动分析，得到机器人的动力学模型。
根据机器人的运动特征和控制方式，动力学分析一般分为正运动学和逆运动学分析。
正运动学分析是指给定机器人的各关节的位姿参数，得到机器人各个部位的坐标和朝向等位置信息的运动学问题。
逆运动学分析是指根据机器人预期的位姿任务，反向计算出机器人各关节的位姿参数。
动力学分析过程中，需要关注机器人的质量参数和其运动状态的描述参数等，掌握机器人的力学特性，并进行系统的力学分析。
第三章动力学优化动力学优化是对机器人的动态行为进行优化的过程，目的是提高机器人的控制性能、运动精度、效率和稳定性等，可根据机器人的控制目标、任务要求和性能指标等进行动力学优化设计，以满足相应的应用需求。
机器人的动力学优化需要考虑多个方面的因素，例如，助力器件和驱动器件的设计，运动过程中的能量分配和分配过程的最优化等，通过运用数学模型和优化算法，提高机器人的性能指标，实现机器人的最优化设计。
动力学优化设计应当考虑机器人的应用环境、性能需求以及其它相关因素，是机器人发展的重要研究方向。
第四章动力学应用机器人动力学分析及优化可应用于各种机器人系统，包括普通工业机器人、协作机器人、服务机器人、医疗机器人等。
在工业生产和生活领域，这些机器人的应用越来越普遍，优化机器人的动力学参数，有助于提高其有效性和合理性。
以智能家居为例，机器人通过高精度的动力学分析，掌握家居环境的信息，通过优化设计，提高其移动速度、精确性和准确度，以满足更多家庭环境的需求。
第04章-机器人动力学剖析
研究机器人动力学的目的
研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现 最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中 需根据连杆质量、运动学和动力学参数、传动机构特征和负
载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
第四章机器人的动力学
n
1
v Ci
v Ci
1 2
i Ii i )
T
1
[m 2
i 1 n
i
(J L q ) J L q (J A q ) IiJ A q ]
(i) (i) T (i) T T
1
(m 2
i 1
i
q
JL
(i)T
JL q q
(i)
二、机器人静力学关系式推导
以2自由度机械手为例，要产生图a所示的虚位移 , ， r ， 则图b所示各力 , 和 F 之间的关系：
1 2
1
2
由 虚 功 原 理 知 ： 1 1 2 2 F r 0 即： 1
2
1 F 2
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度
，惯
性张量
与作用力矩N之间满足欧拉方程：
IC (IC ) N
——欧拉运动方程
Ic R
3 3
是绕重心 c 的惯性矩（转动惯量） N 回转力矩
， I c的各元素表示对应的力
矩元素和加速度元素间
的惯性矩；
回转角速度；
对于对于zz轴轴于是于是12联立可得联立可得对于一般形状连杆对于一般形状连杆除第33分量以外其它分量皆不为分量以外其它分量皆不为00的第1122分量成为改变轴方向的力矩但在固定分量成为改变轴方向的力矩但在固定轴场合与这个力矩平衡的约束力生成轴场合与这个力矩平衡的约束力生成22式中的式中的1122分分量不产生运动
由虚功原理得：
F A x A FB x B 0 即 ： F A L A F B L B 0 ( F A L A F B L B ) 0 F A L A FB L B 0 FB LA LB FA
机器人运动学与动力学建模分析
机器人运动学与动力学建模分析机器人运动学和动力学建模是研究机器人行为和运动规律的重要领域。
运动学主要关注机器人的位置、速度和加速度等几何特性，而动力学则研究机器人运动背后的力学原理。
在这篇文章中，我们将介绍机器人运动学和动力学建模的基本概念和方法，并通过实例分析来加深理解。
一、机器人运动学建模机器人运动学建模是描述机器人位置和运动规律的数学模型。
在机器人控制中，运动学模型非常重要，它可以帮助我们预测机器人的运动轨迹、速度和加速度等信息。
常用的机器人运动学模型包括点式机器人和刚体机器人模型。
1. 点式机器人模型点式机器人模型是最简单的机器人模型。
它假设机器人是一个质点，没有具体的形态和刚性要求。
我们可以用一个坐标系表示机器人的位置，通过几何变换和向量运算来描述机器人的运动。
点式机器人模型常用于描述移动车辆等简单机器人。
2. 刚体机器人模型刚体机器人模型是对真实机器人的更为精确的描述。
它考虑了机器人的形态和刚性特性，并用连续的链接和关节来模拟机器人的结构。
刚体机器人模型可以通过关节角度和链接长度来推导机器人的位置和姿态变换。
常见的刚体机器人模型包括直线型机器人和旋转型机器人等。
二、机器人动力学建模机器人动力学建模是研究机器人运动背后力学原理的数学模型。
它描述了机器人在受到力和扭矩作用下的运动规律。
机器人动力学建模可以帮助我们了解机器人运动的原因和机理，为机器人控制和优化提供重要参考。
1. 基本原理机器人动力学建模基于牛顿第二定律，将机器人的质量、惯性、外力和关节扭矩等因素考虑在内。
通过建立动力学方程，我们可以推导出机器人在不同状态下的运动方程，并对机器人的运动进行预测和分析。
动力学建模涉及到力、力矩、加速度等物理量的计算和描述，需要运用向量和矩阵运算等数学工具。
2. 模型分析与仿真机器人动力学建模不仅可以推导出机器人的运动方程，还可以通过数值仿真和模拟来对机器人的运动进行分析和验证。
利用计算机软件和数值计算方法，我们可以模拟不同环境和力量条件下，机器人的运动轨迹和力学特性。
第四章 机器人动力学 53页 0.6M
m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2 c11
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2
(4 12)
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
当考虑关节摩擦阻尼时
T2 d L L dt 2 2
r (t ) r ' (t ) ro ' (t )
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
绝对运动速度：在定坐标系中的运动速度 相对运动速度：在动坐标系中的运动速度 牵连运动速度：动坐标系在定坐标系中的运动速度 绝对运动加速度：在定坐标系中的运动加速度 相对运动加速度：在动坐标系中的运动加速度 牵连运动加速度：动坐标系在定坐标系中的运动加速度 当牵连速度为平动时， a ae ar 当牵连运动为定轴转动时，
Qj:为非势的广义力
当含有粘性阻尼时，方程变为：
L Q j ，Φ：瑞利耗三散函数 q q j j
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.0 动力学基本定理
例：图示为振动系统方程
1。动能
2。势能
1 2 T (m1 x12 m2 x2 ) 2
注意：这里只求显因变量的偏导数
Robotics 动力学
4.1 机器人刚体动力学
4.1.2 机械手动力学方程的求法
代入拉格朗日方程
T1 d L L dt 1 1
m1 m2 d12 m2 d 22 2m2 d1d 2 cos 2 m2 d 22 m2 d1d 2 cos 2 2 1 2m d d sin m d d sin 2 m1 m2 gd1 sin1 m2 gd2 sin1 2
机器人学-第4章_机器人动力学
机械手系统（包括传动装置）的总动能为：
Kt K Ka
1 2
6 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti qi
Ii
Ti T qk
qj qk
1 2
6
I ai qi2
i 1
(4.20)
4.2.2 动能和位能的计算
23
4.2.2 动能和位能的计算
位能的计算 一个在高度h处质量m为的物体，其位能为：
对拉格朗日函数求导，以得到动 力学方程式。
O3 连杆2
3rp
连杆3 O2
O1 连杆1 0rp
P
连杆4 O4
O
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
15
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0vp
d dt
(
0
r
p
)
d dt
(T3
3
rp
)
T3 3rp
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
第4章_机器人动力学
i i ∂T ∂T = Trace ∑∑ i i r i r T i ∂q j =1 k =1 ∂q k k
T qk qk & &
(4.16)
4.2 机械手动力学方程
20
4.2.2 动能和位能的计算
动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能 为：
对于动力学，有两个相反的问题：
其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各 关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。 其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、 速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。
机器人学基础
2
4.1 刚体动力学
拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之 差，即:
L= K −P
图4.3 二连杆机械
4.1.2 动力学方程的两种求法
14
2．牛顿-欧拉动态平衡法
可得:
2 & T1 = [(m1 + m2 )d12 + m2 d 2 + 2m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&1 2 & & & & + [m2 d 2 + m2 d1 d 2 cosθ 2 ]θ&2 + c1θ 1 − (2m2 d1 d 2 sin θ 2 )θ 1θ 2
图4.4 四连杆机械手
第四章 机器人动力学
16
4.2.1 速度的计算
连杆3上点P的速度为：
0
vp =
d 0 d & ( r p ) = (T3 3 r p ) = T3 3 r p dt dt
对于连杆i上任一点的速度为：
dr v= dt i ∂Ti i ∑ & = q r j =1 ∂q j j
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若考虑电机转子及减速机构在内：
K act
1 2
n i 1
Ii(act)qi 2
• 机器人总势能为：
n
n
P Pi mi g T (0Ti ri )
i 1
i 1
多自由度机器人的动力学方程
• 拉格朗日函数 ：
P119开始看书，直到P125！
B fy o f
B fx n f
B mz a ( f p) m
Bmy o ( f p) m
B mx n ( f p) m
机器人静力平衡
例题 P128
为什么要使用动力学分析
• 位置运动学解决的主要问题； • 微分运动学解决的主要问题； • 静力学分析解决的主要问题；
第四章 动力学分析和力
主要内容：
• 机器人静力平衡 • 拉格朗日动力学方程
机器人静力平衡
• 机器人与环境之间存在相互作用力和力矩； • 机器人各关节的驱动力通过连杆传递到机器人手
；
• 在静止状态下，机器人各关节传递到机器人手的 力和力矩与外界作用在机器人手上的力和力矩构 成平衡关系。
• 因此，关节力和力矩与机器人手受到外界力和力 矩所作的功相等。
拉格朗日动力学方程分析
• 只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：
含有 D的1 项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项 ；
含有 D的2 项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机器人其动力学方程 已经很复杂了，很多因素都在影响机器人的动力学特性。
拉格朗日动力学方程分析
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂，推导过程 也更麻烦。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通 常，有一些简化问题的方法：
• 当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以 省略；
• 当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 12、2、2 12 等项可以省略；
d L L
Fi
dt
( ) xi
xi
Ti
d dt
(
L
i )
L
i
式中 qi (i 1,2, , n) 机器人关节变量。
滑动关 节
求力
求力矩
转动 关节
公式的合理性解释！
拉格朗日方程
• 用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤： (1) 选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 (2) 选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正 是角度变量时,则Fi为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
W H F T H D T T D
H D JD
T J T H F
机器人静力平衡
• 对上式变换：
H F (J T )1 T
这就是关节空间与直角坐标空间之间力的相互变换！
机器人静力平衡
例题
如图所示，一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点
力
，求相应的关节力矩。
F [Fx , Fy ]T
可是，在考虑加、减速过程、摩擦等情况下， 前面所学知识并不能解决关节力与关节运动之 间的关系！
汽车加速过程是怎样的？
机器人动力学分析的作用
• 用于机器人机械结构、驱动器、减速机构等的 选型和设计；
• 对于给定的机器人系统，用于校核机器人运动 目标是否能实现；
• 其它分析，如不同关节之间运动和力的相互影 响等。
杆1质心k1速度平方为
杆2质心k2速度平方为
拉格朗日动力学方程分析
• 含有1或 2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有 D1和1 D的22 项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯
性力矩项; 含有 D12的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项： 含有 D2的1 项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
• 当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时， 那么含 1、 2 的项有可能给予省略。
绕固定轴转动的连杆动能
• 分解为刚体上以某点为参考点的平动动 能和绕该参考点的转动动能。
K 1 mV 2 1 I 2
2
2
V G
例4：连杆不再简化成质点，而是有分布质量
自行练习！
多自由度机器人的动力学方程
yi 2
zi2 )
速度的平方：
xi
ViViT
yi
xi
yi
zi
zi
Trace(ViViT ) xi2 yi2 zi2
多自由度机器人的动力学方程
• 某一连杆质量单元动能为：
dki
1 2
dmi
Trace
i
(U ip
p 1
dq p dt
)ri
i
(U ir
r 1
dqr dt
)ri
机器人静力平衡
机器人手空间
H D dx dy dz x y zT
H F f x f y f z mx my mz T
关节空间
D d1 d2 d3 d4
T T1 T2 T3 T4 T5
d5 d5 T
T6 T
机器人静力平衡
• 根据虚功原理求关节力与机器人手受力之间的关系
虚功原理： 微分运动： 结 论：
拉格朗日动力学方程分析
• 含有12和 2的2 项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 含有 D12的2 项表示关节2速度引起的向心力对关节l的耦合力矩项
；
D211
含有 的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项 。
拉格朗日动力学方程分析
• 含有 12的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中： 含有 D11的2 项表示哥氏力对关节1的耦合力短项； 含有 D21的2 项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
C n
An
S
n
0
0
S nC n CnC n
S n 0
S n S n C n S n
C n 0
anC n
a
n
S
n
dn 1
机器人手位姿
RTH A1 A2 An
连杆I任一点在参考坐标系中的坐标：
Pi RTi ri
多自由度机器人的动力学方程
• 涉及运动学方程对时间t求导
连杆某点速度：
i f ( j , j , j ) 1 j n
拉格朗日方程
• 拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek和势
能 E之P 差，即
L Ek Ep
式中 Ek 为系统动能总和；
EP 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
▪ 拉格朗日方程：
Fi
d dt
L qi
L qi
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
Ek
1 mv2 2
1 mx2 2
Ep
1 kx2 2
L
Ek
Ep
1 2
mx2
1 kx2 2
L mx x
d (mx) mx dt
L kx x
拉格朗日方程
F mx kx
2、牛顿法
F ma
F kx ma F ma kx
归结为两个问题
给出已知的轨迹点上的 、 、 ，即机器人关节位置、速度和加
τ 速度，求相应的关节力矩向量 。这可用于驱动器选型。
已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，
τ, 给出关节力矩向量 求机器人所产生的运动 、 及 。这对
模拟和优化机器人的运动是非常有用的。
动力学分析方法
• 求解思路是一样的，仍然按照前述步骤； • 当自由度增多时，求动能K采用更通用的方法
。 • 求动能的思路是：通过对每个连杆的每个微元
求动能，然后积分。 • 通过先求连杆某一点位置坐标的方法求解该点
速度。 • 连杆某点的位置坐标采用第二章的运动学方程
。
多自由度机器人的动力学方程
• 第二章回顾
：
连杆坐标变换
• 因此有：
q jqBiblioteka jU ij A1 A2 Q j Aj Ai
Ti ( A1 A2 Ai )
0
ji
U ijk
U ij qk
多自由度机器人的动力学方程
• 某一连杆上任一点速度为：
所以： 微元动能：
Vi
i
(U ij
j 1
dq j dt
)
ri
dki
1 2
dmi
Vi 2
1 2
dmi
(xi2
动力学分析方法有多种，如： ✓ 拉格朗日(Lagrange)方法， ✓ 牛顿-欧拉(Newton·Euler)方法， ✓ 高斯(Gauss)方法， ✓ 凯恩(Kane)方法等。
拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的 系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较 明确，对理解机器人动力学比较方便。
T
积分后为
ki
dki
1 2
Trace
i p1
i
Uip(
r 1
ri
riT
dmi
)U
ir
T
qpqr
上式积分项对于某一连杆而言是一个具有固定值的矩阵！
多自由度机器人的动力学方程
• 机器人总动能为：
K
n i 1
ki
1 2
n i 1
i p 1
i
Trace(Uip JiUirT )qpqr
机器人静力平衡
• 坐标系间力和力矩的变换