机器人技术 第四章 动力学分析和力

C n
An
S
n
0
0
S nC n CnC n
S n 0
S n S n C n S n
C n 0
anC n
a
n
S
n
dn 1
机器人手位姿
RTH A1 A2 An
连杆I任一点在参考坐标系中的坐标：
Pi RTi ri
多自由度机器人的动力学方程
• 涉及运动学方程对时间t求导
连杆某点速度：
拉格朗日动力学方程分析
• 含有12和 2的2 项表示由于向心力引起的关节力矩项，其中： 含有 D12的2 项表示关节2速度引起的向心力对关节l的耦合力矩项
；
D211
含有 的项表示关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项 。
拉格朗日动力学方程分析
• 含有 12的项表示由于哥氏力引起的关节力矩项,其中： 含有 D11的2 项表示哥氏力对关节1的耦合力短项； 含有 D21的2 项表示哥氏力对关节2的耦合力矩项。
机器人静力平衡
• 坐标系间力和力矩的变换
虚功原理：
W F T DBF T B D
微分运动： 力：
B DBJ D
FBJ T BF
B F ( BJ T )1 F
Z
f m a
n
X
Y
机器人静力平衡
• 当其中一个坐标系为参考坐标系时
：
B fz a f
当已知机器人手在参考坐标系中施加的 力和力矩转换为相对于手自身坐标系的 力和力矩！
K
m
x
自己看懂P109的例2 ！
如相 ，图应杆m所2的长示关分，节别选1为和取关坐和节标2l，系1 的质。力心l连2矩分杆是别1和在1和连杆和22。的处连k关1，杆节离k1变2和关量连节分杆中别2心的为的质转距量角离分分别1和别是为 ，2和m1
和 。p1 p2 因此，杆1质心 k1 的位置坐标为：
Vi
d dt
( 0 Ti
ri
)
i j 1
( ( 0Ti q j
)
dq j dt
)ri
其中： 0Ti A1 A2 Ai
Ai d i
Qi Ai
Ai
i
Qi Ai
0 1 0 0
0 0 0 0
转动：
Qi
1 0
0 0
0 0
0 0
滑动：
Qi
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
多自由度机器人的动力学方程
W H F T H D T T D
H D JD
T J T H F
机器人静力平衡
• 对上式变换：
H F (J T )1 T
这就是关节空间与直角坐标空间之间力的相互变换！
机器人静力平衡
例题
如图所示，一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点
力
，求相应的关节力矩。
F [Fx , Fy ]T
B fy o f
B fx n f
B mz a ( f p) m
Bmy o ( f p) m
B mx n ( f p) m
机器人静力平衡
例题 P128
为什么要使用动力学分析
• 位置运动学解决的主要问题； • 微分运动学解决的主要问题； • 静力学分析解决的主要问题；
i f ( j , j , j ) 1 j n
拉格朗日方程
• 拉格朗日函数 拉格朗日函数L的定义是一个机械系统的动能 Ek和势
能 E之P 差，即
L Ek Ep
式中 Ek 为系统动能总和；
EP 为系统势能总和。
动能和势能怎样计算？
拉格朗日方程
▪ 拉格朗日方程：
Fi
d dt
L qi
L qi
拉格朗日动力学方程实例
分别用拉格朗日动力学和牛顿力学方法推导如图所示的动力学方程。
1、拉格朗日法
Ek
1 mv2 2
1 mx2 2
Ep
1 kx2 2
L
Ek
Ep
1 2
mx2
1 kx2 2
L mx x
d (mx) mx dt
L kx x
拉格朗日方程
F mx kx
2、牛顿法
F ma
F kx ma F ma kx
拉格朗日动力学方程分析
对于复杂一些的多自由度机器人，动力学方程更庞杂，推导过程 也更麻烦。不仅如此，对机器人实时控制也带来不小的麻烦。通 常，有一些简化问题的方法：
• 当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以 省略；
• 当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含有 12、2、2 12 等项可以省略；
T
积分后为
ki
dki
1 2
Trace
i p1
i
Uip(
r 1
ri
riT
dmi
)U
ir
T
qpqr
上式积分项对于某一连杆而言是一个具有固定值的矩阵！
多自由度机器人的动力学方程
• 机器人总动能为：
K
n i 1
ki
1 2
n i 1
i p 1
i
Trace(Uip JiUirT )qpqr
归结为两个问题
给出已知的轨迹点上的 、 、 ，即机器人关节位置、速度和加
τ 速度，求相应的关节力矩向量 。这可用于驱动器选型。
已知关节驱动力矩，求机器人系统相wenku.baidu.com的各瞬时的运动。也就是说，
τ, 给出关节力矩向量 求机器人所产生的运动 、 及 。这对
模拟和优化机器人的运动是非常有用的。
动力学分析方法
机器人静力平衡
机器人手空间
H D dx dy dz x y zT
H F f x f y f z mx my mz T
关节空间
D d1 d2 d3 d4
T T1 T2 T3 T4 T5
d5 d5 T
T6 T
机器人静力平衡
• 根据虚功原理求关节力与机器人手受力之间的关系
虚功原理： 微分运动： 结 论：
r 1
若考虑电机转子及减速机构在内：
K act
1 2
n i 1
Ii(act)qi 2
• 机器人总势能为：
n
n
P Pi mi g T (0Ti ri )
i 1
i 1
多自由度机器人的动力学方程
• 拉格朗日函数 ：
P119开始看书，直到P125！
yi 2
zi2 )
速度的平方：
xi
ViViT
yi
xi
yi
zi
zi
Trace(ViViT ) xi2 yi2 zi2
多自由度机器人的动力学方程
• 某一连杆质量单元动能为：
dki
1 2
dmi
Trace
i
(U ip
p 1
dq p dt
)ri
i
(U ir
r 1
dqr dt
)ri
第四章 动力学分析和力
主要内容：
• 机器人静力平衡 • 拉格朗日动力学方程
机器人静力平衡
• 机器人与环境之间存在相互作用力和力矩； • 机器人各关节的驱动力通过连杆传递到机器人手
；
• 在静止状态下，机器人各关节传递到机器人手的 力和力矩与外界作用在机器人手上的力和力矩构 成平衡关系。
• 因此，关节力和力矩与机器人手受到外界力和力 矩所作的功相等。
• 当关节加速度不很大，也就是关节电机的升降速不是很突然时， 那么含 1、 2 的项有可能给予省略。
绕固定轴转动的连杆动能
• 分解为刚体上以某点为参考点的平动动 能和绕该参考点的转动动能。
K 1 mV 2 1 I 2
2
2
V G
例4：连杆不再简化成质点，而是有分布质量
自行练习！
多自由度机器人的动力学方程
可是，在考虑加、减速过程、摩擦等情况下， 前面所学知识并不能解决关节力与关节运动之 间的关系！
汽车加速过程是怎样的？
机器人动力学分析的作用
• 用于机器人机械结构、驱动器、减速机构等的 选型和设计；
• 对于给定的机器人系统，用于校核机器人运动 目标是否能实现；
• 其它分析，如不同关节之间运动和力的相互影 响等。
• 求解思路是一样的，仍然按照前述步骤； • 当自由度增多时，求动能K采用更通用的方法
。 • 求动能的思路是：通过对每个连杆的每个微元
求动能，然后积分。 • 通过先求连杆某一点位置坐标的方法求解该点
速度。 • 连杆某点的位置坐标采用第二章的运动学方程
。
多自由度机器人的动力学方程
• 第二章回顾
：
连杆坐标变换
• 因此有：
q j
q j
U ij
A1 A2 Q j Aj Ai
Ti ( A1 A2 Ai )
0
ji
U ijk
U ij qk
多自由度机器人的动力学方程
• 某一连杆上任一点速度为：
所以： 微元动能：
Vi
i
(U ij
j 1
dq j dt
)
ri
dki
1 2
dmi
Vi 2
1 2
dmi
(xi2
杆1质心k1速度平方为
杆2质心k2速度平方为
拉格朗日动力学方程分析
• 含有1或 2的项表示由于加速度引起的关节力矩项，其中： 含有 D1和1 D的22 项分别表示由于关节1加速度和关节2加速度引起的惯
性力矩项; 含有 D12的项表示关节2的加速度对关节1的耦合惯性力矩项： 含有 D2的1 项表示关节1的加速度对关节2的耦合惯性力矩项。
动力学分析方法有多种，如： ✓ 拉格朗日(Lagrange)方法， ✓ 牛顿-欧拉(Newton·Euler)方法， ✓ 高斯(Gauss)方法， ✓ 凯恩(Kane)方法等。
拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的 系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较 明确，对理解机器人动力学比较方便。
拉格朗日动力学方程分析
• 只含关节变量 1和 2的项表示重力引起的关节力矩项。其中：
含有 D的1 项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项 ；
含有 D的2 项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。
从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节机器人其动力学方程 已经很复杂了，很多因素都在影响机器人的动力学特性。
d L L
Fi
dt
( ) xi
xi
Ti
d dt
(
L
i )
L
i
式中 qi (i 1,2, , n) 机器人关节变量。
滑动关 节
求力
求力矩
转动 关节
公式的合理性解释！
拉格朗日方程
• 用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤： (1) 选取坐标系,选定完全而且独立的广义关节变量 (2) 选定相应的关节上的广义力Fi：当qi是位移变量时,则Fi为力,当qi正 是角度变量时,则Fi为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能,构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。