17.1 自由电子气体模型

金属自由电子气体模型
平均场近似下，金属原子的价电子是在均
匀的势场中运动，金属表面对电子可近似看作 无限高势垒。(功函数远大于电子动能)
这些价电子称为自由电子。
U

0
内部 外部
如果考虑立方体形状，N个自由电子好象 是装在三维盒子里的气体。
L L
每个电子都要满足驻波条件
L

nx 2
x
kxL nx
N 1
3
2me
L E3 3/2
3/2
F
2 3
EF
(3 2 )2/3
2 2me
n2/3
其中 n 金属内自由电子数密度
铜电子数密度 ~ 8.491028/m3
NN n L3 V EF ~ 7.05eV
• 能量区间 E~E+dE 电子数目百分比
N EdE N E N
dN E V

g(E)dE 0
E EF E EF
小于费米能量，电子数 = 状态数 小于费米能量态，电子占据几率 1
大于费米能量态，电子占据几率 0
f(E) 1
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0 系统 T = 0
EF E
编者： 安宇
一个整数坐标点 对应一个状态
整数坐标点的个数 与体积数相当 例如, 边长为10 个单位的立方体
状态空间内整数坐标点的个数对应其体积， 所以状态空间内体积就是状态数目。
考虑自旋以后，小于能量 E 的状态数目应为
NE

21 8
4
3
R3

1 3

2me
3/2
L3E 3/2
2 3
所有自由电子按能量从低到高占据可能的状态， 最高能量达到 EF ---费米能量或能级
L
nx 1,2,3,......
kx

2 x
同理对 y,z
x

2L nx
,
px

nx
L
,
y

2L ny
,
py

ny
L
,
z

2L nz
pz

nz
L
E

p2 2me

2 2
2me L2
(nx2
n2y
nz2 )
• 自由电子气体, 电子能量是量子化的
• (nx, ny, nz) 量子数 表示电子状态 • 相同的能量对应许多不同的状态 (简并态)

dN E N

3
2
E 3/2 F
E1/2dE
0 E EF
E EF
• 速率区间 ~ +d 附近电子数目百分比
E

1 2
me 2
EF

1 2
meF2
F ~ 1.57 106 m/s
dN dNE NN

3
F3

2d
F
• 平均速率
0 F

dN
N

F
0
3
F3

3d

3 4
F
单位体积内, 能量区间 E~E+dE 内的状态数
dNE g(E)dE V
g(E)
dNE VdE

(2me )3/2
2 2 3
E1/2
-- 态密度
电子是按能量规则地从低向高排布， 一个态一个电子（泡利不相容原理）
能量区间 E~E+dE 电子数密度
§1 自由电子气体按能量的分布
金属中的电子受到周期排布的晶格上离子 库仑力的作用。
一晶 维格 晶、 体点
阵
U(x)
21
21
考虑电子受离子与其它电子的库仑作用
两点重要结论: 两类电子
(1) 电子的能量是量子化的 (2) 电子的运动有隧道效应
(1) 蕊电子 (2) 价电子
价电子的势垒穿透概率较大 在整个固体中运动, 称为共有化电子
(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)
• 自由电子气体(量子气体), 按能量分布 ?
N个电子如何排布的问题 • 能量最低原则
• 泡利不相容原理
每个(nx, ny, nz) , 占据一个电子 (不考虑自旋)
nx2
n2y
nz2

E
2me L2
2 2

R2
在量子数空间 (nx, ny, nz) > 0, 第一象限内 从原点附近开始, 一个球面接着一个向外填