2018中考数学考前冲刺压轴题--《抛物线与几何图形》综合题

2018中考考前冲刺压轴题－－《抛物线与几何图形》综合题班级：________________姓名：__________________

1．（2014•孟津县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．

（1）求抛物线解析式；

（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；

（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．

2．（2017•遵义）边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP 与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．

（1）连接CQ，证明：CQ=AP；

（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．

3．（2018•上海虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．

（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；

（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．

4．（2017•襄阳）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

5．（2017•山西）如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）

②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；

（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2017秋•瑞安市期末）如图，二次函数y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y

轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．

（1）写出线段AC，BC的长度：AC=，BC=；

（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；

（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在

四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出

的最大值．

7．（2017•黔西南州）如图1，抛物线y=ax2+bx+，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y

轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM=S△ABC？若存在，请求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．

①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；

②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．

2018中考考前冲刺压轴题－－《抛物线与几何图形》综合题

参考答案与试题解析

1．（2014•孟津县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．

（1）求抛物线解析式；

（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；

（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．

【解析】（1）由题意，得：

解得：．

故这个抛物线的解析式为y=x2﹣x+2．

（2）解法一：

如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．

∴△BMF∽△BCO，

∴===．

∵B（4，0），C（0，2），

∴CO=2，BO=4，

∴MF=1，BF=2，

∴M（2，1）…（5分）

∵MN是BC的垂直平分线，

∴CN=BN，

设ON=x，则CN=BN=4﹣x，

在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，

∴（4﹣x）2=22+x2，

解得：x=，

∴N（，0）．

设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：

，

解得：．

∴直线DE的解析式为y=2x﹣3．

解法二：

如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．

∵MN是BC的垂直平分线，

∴CN=BN，CM=BM．

设ON=x，则CN=BN=4﹣x，

在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，

∴（4﹣x）2=22+x2，

解得：x=，

∴N（，0）．

∴BN=4﹣=．

∵CF∥x轴，

∴∠CFM=∠BNM．

∵∠CMF=∠BMN，

∴△CMF≌△BMN．

∴CF=BN．

∴F（，2）．

设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：

，

解得：．

∴直线DE的解析式为y=2x﹣3．

（3）由（1）得抛物线解析式为y=x2﹣x+2，

∴它的对称轴为直线x=．