指数函数专题讲义含答案
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第一期思维训练班数学讲义（六）
指数函数专题
题型一：指数运算
例一．（1）化简 (a, b为正数)的结果是_______________.
（2） =_____________.
题型二：指数函数定义域、值域
例二．（1）函数 的定义域为R，数 的取值围.
（2）函数 的值域为 ，数 的取值围.
题型三：指数函数单调性
例题四：奇函数．
例题五：（1） ．（2） ．
例题六：解：由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－ 在x∈(－∞，1]上恒成立．
又因为－ ＝－( )2x－( )x，
设t＝( )x，
∵x≤1，∴t≥
且函数f(t)＝－t2－t＝－(t＋ )2＋ (t≥ )
在t＝ 时，取到最大值．
∴( )x＝ 即x＝1时，－ 的最大值为－ ，
∴a>－ ．
强化训练
1-5 DCDAD 6-8 DDC．
9.答案：2.
10.答案： ．
11.3或 ．解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴为 ．
∴当 时，∵ ，
∴ ，即 ．
∴当 时， ．
解得 或 （舍去）；
当 时，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 时， ，
解得 或 （舍去），∴a的值是3或 ．
12. 答案： ．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝ (a－1－a)＝ · ＝－1.
16.解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，即 ＝0，解得b＝1
从而有f(x)＝ .
又由f(1)＝－f(－1)知
10.函数 在区间 上的值域是__________．
11.函数 在区间 上有最大值14，则 的值是__________．
12.若函数 的定义域和值域都是 ，则实数a的值为________．
13.已知 ，且 ，求 的值．
14.已知函数 ．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明： .
来自百度文库15.已知 ．
强化训练
1．函数 在R上是减函数，则 的取值围是（ ）．
A. B. C. D.
2.不论a为何值时，函数 恒过定点，则这个定点的坐标是()．
A. B.
C. D.
3.若 ，那么 的值为（）．
A．
1
B．
2
C．
5
D．
1或5
4.若关于 的方程 有解，则 的围是（）．
A．
B．
C．
D．
5.函数 的图象的大致形状是()．
(1)判断 的奇偶性；
(2)讨论 的单调性；
(3)当 恒成立，求 的取值围．
16.已知定义域为R的函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)若对任意t∈R，不等式 恒成立，求 的取值围．
指数函数参考答案 命题：焦雷
例题一:(1) ．
(2)100．
例题二：（1） ．
（2） ．
例题三：答案:D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知 ，解得4≤a<8.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－ ．
6.若关于x的方程 有两个不等实根，则a的取值围是( )．
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0， )
7.若指数函数 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）．
A． B． C． D．
8.设 ，则( )．
A． B． C． D．
9.函数 是指数函数，则 __________．
13.答案： ．解：由题意设0＜x＜y
∵xy=9，∴
∴x+y﹣2 = =12﹣6=6
x+y+2 = =12+6=18
∴ = ， =
∴ = ．
14.(1)解 由2x－1≠0⇒x≠0，
所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)证明f(x)＝( ＋ )x3可化为f(x)＝ ·x3，
则f(－x)＝ (－x)3
＝ x3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．f(x)为偶函数．
(3)证明 当x>0时，2x>1，x3>0，
所以( ＋ )x3>0.
因为f(－x)＝f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.
综上所述，f(x)>0.
15.解 (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝ (a－x－ax)＝－f(x)，
例三．若函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值围为( ).
A．(1，＋∞)B．(1,8)
C．(4,8)D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数 的奇偶性.
题型五：解指数方程、不等式
例五．（1）解方程 ．
（2）解不等式 .
题型六：不等式恒成立问题
例六．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值围．
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．
当0<a<1时，a2－1<0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，
所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域单调递增．
＝－ ，
解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1．
(2)由(1)知f(x)＝ ＝－ ＋ .
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
指数函数专题
题型一：指数运算
例一．（1）化简 (a, b为正数)的结果是_______________.
（2） =_____________.
题型二：指数函数定义域、值域
例二．（1）函数 的定义域为R，数 的取值围.
（2）函数 的值域为 ，数 的取值围.
题型三：指数函数单调性
例题四：奇函数．
例题五：（1） ．（2） ．
例题六：解：由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立，
即a>－ 在x∈(－∞，1]上恒成立．
又因为－ ＝－( )2x－( )x，
设t＝( )x，
∵x≤1，∴t≥
且函数f(t)＝－t2－t＝－(t＋ )2＋ (t≥ )
在t＝ 时，取到最大值．
∴( )x＝ 即x＝1时，－ 的最大值为－ ，
∴a>－ ．
强化训练
1-5 DCDAD 6-8 DDC．
9.答案：2.
10.答案： ．
11.3或 ．解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴为 ．
∴当 时，∵ ，
∴ ，即 ．
∴当 时， ．
解得 或 （舍去）；
当 时，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 时， ，
解得 或 （舍去），∴a的值是3或 ．
12. 答案： ．
(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数，
∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，
∴f(x)min＝f(－1)＝ (a－1－a)＝ · ＝－1.
16.解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，即 ＝0，解得b＝1
从而有f(x)＝ .
又由f(1)＝－f(－1)知
10.函数 在区间 上的值域是__________．
11.函数 在区间 上有最大值14，则 的值是__________．
12.若函数 的定义域和值域都是 ，则实数a的值为________．
13.已知 ，且 ，求 的值．
14.已知函数 ．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）证明： .
来自百度文库15.已知 ．
强化训练
1．函数 在R上是减函数，则 的取值围是（ ）．
A. B. C. D.
2.不论a为何值时，函数 恒过定点，则这个定点的坐标是()．
A. B.
C. D.
3.若 ，那么 的值为（）．
A．
1
B．
2
C．
5
D．
1或5
4.若关于 的方程 有解，则 的围是（）．
A．
B．
C．
D．
5.函数 的图象的大致形状是()．
(1)判断 的奇偶性；
(2)讨论 的单调性；
(3)当 恒成立，求 的取值围．
16.已知定义域为R的函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)若对任意t∈R，不等式 恒成立，求 的取值围．
指数函数参考答案 命题：焦雷
例题一:(1) ．
(2)100．
例题二：（1） ．
（2） ．
例题三：答案:D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知 ，解得4≤a<8.
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－ ．
6.若关于x的方程 有两个不等实根，则a的取值围是( )．
A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0， )
7.若指数函数 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）．
A． B． C． D．
8.设 ，则( )．
A． B． C． D．
9.函数 是指数函数，则 __________．
13.答案： ．解：由题意设0＜x＜y
∵xy=9，∴
∴x+y﹣2 = =12﹣6=6
x+y+2 = =12+6=18
∴ = ， =
∴ = ．
14.(1)解 由2x－1≠0⇒x≠0，
所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)证明f(x)＝( ＋ )x3可化为f(x)＝ ·x3，
则f(－x)＝ (－x)3
＝ x3＝f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．f(x)为偶函数．
(3)证明 当x>0时，2x>1，x3>0，
所以( ＋ )x3>0.
因为f(－x)＝f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝f(－x)>0.
综上所述，f(x)>0.
15.解 (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝ (a－x－ax)＝－f(x)，
例三．若函数f(x)＝ 是R上的增函数，则实数a的取值围为( ).
A．(1，＋∞)B．(1,8)
C．(4,8)D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数 的奇偶性.
题型五：解指数方程、不等式
例五．（1）解方程 ．
（2）解不等式 .
题型六：不等式恒成立问题
例六．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y>0恒成立，求a的取值围．
所以f(x)为奇函数．
(2)当a>1时，a2－1>0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．
当0<a<1时，a2－1<0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，
所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域单调递增．
＝－ ，
解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1．
(2)由(1)知f(x)＝ ＝－ ＋ .
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.