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第5节指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c 425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a 0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。

高一秋季讲义-第五讲-指数函数(含答案)

第五讲指数函数1.根式和分数指数幂1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质当x<0时，y >1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是减函数考点一有理数指数幂及根式【例题1.1】化简的结果为（）A．a16B．a8C．a4D．a2【解答】解：＝＝a4故选：C．【例题1.2】已知函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A．14B．13C．12D．11【解答】解：由题意，函数f（x）＝a x+a﹣x，且f（1）＝3，可得a+＝3，又f（2）＝a2+a﹣2＝﹣2＝7，f（0）＝1+1＝2所以f（0）+f（1）+f（2）＝2+3+7＝12故选：C．【例题1.3】方程4x﹣2x+1﹣3＝0的解是．【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3＝0∴（2x）2﹣2×2x﹣3＝0∴（2x﹣3）（2x+1）＝0∵2x＞0∴2x﹣3＝0∴x＝log23故答案为x＝log23【变式1.1】的分数指数幂表示为（）A．B．a3C．D．都不对【解答】解：＝＝＝＝．故选：C．【变式1.2】已知f（x）＝3x+3﹣x，若f（a）＝4，则f（2a）＝（）A．4B．14C．16D．18【解答】解：∵f（x）＝3x+3﹣x，∴f（a）＝3a+3﹣a＝4，平方得32a+2+3﹣2a＝16，即32a+3﹣2a＝14．即f（2a）＝32a+3﹣2a＝14．故选：B．【变式1.3】方程的解是．【解答】解：由方程化为2•32x﹣7•3x﹣4＝0，化为（2•3x+1）（3x﹣4）＝0，∴3x﹣4＝0，解得x＝2log32．故答案为：x＝2log32．考点二指数函数的定义域、值域【例题2.1】函数y＝的值域是（）A．（0，1）B．（0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：∵函数y＝＝＝1﹣，当x∈R时，2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∴0＜1﹣＜1；即y＝的值域是（0，1）．故选：A．【例题2.2】若函数定义域为R，则a的取值范围是[﹣1，0]．【解答】解：∵函数定义域为R∴≥0恒成立即x2+2ax﹣a≥0恒成立则△＝（2a）2+4a≤0，解得﹣1≤a≤0故答案为：[﹣1，0]【例题2.3】函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|＝16，b＝4故选：B．【变式2.1】函数﹣1的值域为（）A．[1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【解答】解：因为4﹣2x≥0，所以x≤2，即函数的定义域是（﹣∞，2]，令t＝4﹣2x，则t∈[0，4），所以，所以y∈[﹣1，1），即函数的值域是[﹣1，1），故选：D．【变式2.2】设x1＜x2，定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1【解答】解：当x≥0时，y＝2x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；当x≤0时，y＝2﹣x，因为函数值域为[1，2]即1＝20≤2﹣x≤2＝21，根据指数函数的增减性得到0≤﹣x≤1即﹣1≤x≤0．故[a，b]的长度的最大值为1﹣（﹣1）＝2，最小值为1﹣0＝1或0﹣（﹣1）＝1，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1故答案为1【变式2.3】定义运算：则函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域为（0，1]．【解答】解：如图为y＝f（x）＝3﹣x⊗3x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．考点三指数函数的图像与性质【例题3.1】函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝e﹣|x﹣1|＝，∴函数函数y＝e﹣|x﹣1|的图象大致形状是：故选：B．【例题3.2】已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：观察f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）＝a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；故选：A．【变式3.1】若a＞0且a≠1，函数y＝|a x﹣2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是．【解答】解：①：当a＞1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜3a＜2，此时无解．②当0＜a＜1时，作出函数y＝|a x﹣2|图象：若直线y＝3a与函数y＝|a x﹣2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜3a＜2，∴0＜a＜．综上：a的取值范围是．【变式3.2】已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x+1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y＝的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A正确，故选：A．考点四指数函数的单调性【例题4.1】若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：由f（1）＝，得a2＝，于是a＝，因此f（x）＝（）|2x﹣4|．因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．【例题4.2】函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣4B．a≤﹣2C．a≥﹣2D．a＞﹣4【解答】解：记u（x）＝x2+ax＝（x+）2﹣，其图象为抛物线，对称轴为x＝﹣，且开口向上，∵函数f（x）＝（）在区间[1，2]上是单调减函数，∴函数u（x）在区间[1，2]上是单调增函数，而u（x）在[﹣，+∞）上单调递增，所以，﹣≤1，解得a≥﹣2，故选：C．【例题4.3】定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，即偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴自变量的绝对值越大函数值越大∴f（1﹣2x）＜f（3）⇔|1﹣2x|＜3⇔﹣3＜1﹣2x＜3⇔﹣1＜x＜2故答案为（﹣1，2）【变式4.1】函数f（x）＝（）的单调递增区间是（﹣∞，1）．【解答】解：设u（x）＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，对称轴为x＝1，则u（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，而f（x）＝，底∈（0，1），所以，u（x）的单调性与f（x）的单调性相反，即f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故填：（﹣∞，1）（区间右端点可闭）．【变式4.2】已知函数f（x）＝，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是﹣1＜a＜2．【解答】解：f（x）＝2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）＝﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x＝0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a，解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．【变式4.3】已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：①若f（x）在R上单调递增，则有，解得a∈∅；②若f（x）在R上单调递减，则有，解得﹣1≤a＜0，综上所述，得实数a的取值范围是[﹣1，0）．故答案为：[﹣1，0）．考点五指数型复合函数的的性质及应用【例题5.1】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜bC．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．故选：A．【例题5.2】若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则a＝．【解答】解：若函数g（x）＝（1﹣4m）x在R内是单调增函数，则1﹣4m＞0，则m．若a＞1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，∴a2＝4，m＝解得a＝2，m＝不满足m．若0＜a＜1，∵函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，∴，m＝a2，解得a＝，m＝满足m．∴a＝故答案为：．【例题5.3】已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．【解答】解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△＝（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．【变式5.1】已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（4）的值是（）A．85B．82C．80D．76【解答】解：设f（x）﹣3x＝t．则f（x）＝3x+t，且f（t）＝4，令x＝t，则f（t）＝3t+t＝4，∵f（x）在R上是单调函数，∴解得t＝1，∴f（x）＝3x+1，∴f（4）＝34+1＝82，故选：B．【变式5.2】对于函数f（x）＝4x﹣m•2x+1，若存在实数x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m B．m C．m≤1D．m≥1【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m•2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴﹣m•＝﹣+m•，∴m（+）＝+，∴2m＝＝＝+﹣，令t＝+，则t≥2，∴2m＝t﹣（t≥2），∵函数y＝t与函数y＝﹣在[2，+∞）上均为单调递增函数，∴2m＝t﹣（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，∴当t＝2时，2m＝t﹣（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，解得：m≥．故选：B．考点六指数函数的实际应用【例题6.1】已知指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）过点（﹣2，9）（1）求函数f（x）的解析式（2）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）将点（﹣2，9）代入到f（x）＝a x得a﹣2＝9，解得a＝，∴f（x）＝（2）∵f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，∴f（2m﹣1）＜f（m+3），∵f（x）＝为减函数，∴2m﹣1＞m+3，解得m＞4，∴实数m的取值范围为（4，+∞）【例题6.2】已知函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）＝f（a）﹣f（a+1），求g（a）的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵函数f（x）＝（）x+a的图象经过第二、三、四象限，∴a＜﹣1；（2）g（a）＝f（a）﹣f（a+1）＝＝．∵a＜﹣1，∴，则．故g（a）的取值范围是（2，+∞）．【例题6.3】已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．【解答】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）＝﹣＝﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）＝0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t＝f（x），则＜t≤1，g（t）＝f2（x）﹣f（x）+1＝t2﹣λt+1＝+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g（）＝1﹣＝﹣2，解得λ＝±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，综上所述，λ＝4．【变式6.1】已知f（x）＝9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）设t＝3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）设t＝3x，∵x∈[﹣1，2]，函数t＝3x在[﹣1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为．（2）由f（x）＝9x﹣2×3x+4＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，故当t＝1时，函数f（x）有最小值为3，当t＝9时，函数f（x）有最大值为67．【变式6.2】已知函数f（x）＝（1）当a＝b＝1时，求满足f（x）≥3x的x的取值范围；（2）若y＝f（x）是定义域为R的奇函数，求y＝f（x）的解析式；（3）若y＝f（x）的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．【解答】解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）＝＝0，故a＝1；再由f（1）+f（﹣1）＝0得，b＝3；经验证f（x）＝是奇函数，（3）证明：∵y＝f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b＝0时，f（x）在R上不具有单调性．【变式6.3】已知f（x）＝（a x﹣a﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）讨论f（x）的单调性．（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝，所以f（x）定义域为R，又f（﹣x）＝（a﹣x﹣a x）＝﹣（a x﹣a﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，（2）任取x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）＝（a x2﹣a x1）（1+a﹣（x1+x2））∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a﹣（x1+x2）＞0①当a＞1时，a2﹣1＞0，a x2﹣a x1＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0．，a x2﹣a x1＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，所以f（x）为增函数；（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，即b小于等于f（x）的最小值，由（2）知当x＝﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为（）＝﹣1，∴b≤﹣1．求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．1．已知a，b∈R，若4a＝23﹣2b，则a+b＝．【解答】解：∵4a＝23﹣2b，∴22a＝23﹣2b，∴2a＝3﹣2b，解得a+b＝．故答案为：．2．已知函数f（x）＝（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为．【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令t＝，则有y＝t2﹣t+1＝+，故当t＝时，y有最小值为，当t＝8时，y有最大值为57，故答案为[]．3．设函数f（x）＝，则f（2）＝．若f（f（x））≥9，则实数x的取值范围是．【解答】解：f（2）＝﹣22+2×2＝0，当x≥0时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1≤﹣1，∵f（f（x））≥9，∴f（x）≤﹣3，∴﹣x2+2x≤﹣3且x＞0，解得x≥3，故答案为：0，[3，+∞）4．函数y＝1+2x+4x a在x∈（﹣∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈（﹣∞，1]上恒成立，∴a＞﹣在x∈（﹣∞，1]上恒成立．又∵t＝﹣＝﹣（）2x﹣（）x＝﹣[（）x+]2+，当x∈（﹣∞，1]时t的值域为（﹣∞，﹣]，∴a＞﹣；即a的取值范围是（﹣，+∞）；故答案为：（﹣，+∞）．5．设函数f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）a x＝﹣a x+（k﹣1）a﹣x，即（k﹣1）（a x+a﹣x）﹣（a x+a﹣x）＝0，（k﹣2）（a x+a﹣x）＝0，∵x为任意实数，a x+a﹣x＞0，∴k＝2．（Ⅱ）由（1）知，f（x）＝a x﹣a﹣x，∵f（1）＝，∴a﹣＝，解得a＝2．故f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t＝2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x＝t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）＝h（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）＝﹣2，﹣3m+2＝﹣2，解得m＝（舍去）．当m≥时，则h（m）＝﹣2，2﹣m2＝﹣2，解得m＝2，或m＝﹣2（舍去）．综上，m的值是2．。

4.2 指数函数(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.二．指数函数的图象和性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝11.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝a x的图象与直线x＝－11y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y＝a x的单调性求解；(2)形如a f(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解；(3)形如a x>b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y ＝a f (x )型函数的定义域、值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域.(2)形如y ＝a f (x )的函数的值域，先求出u ＝f (x )的值域，再结合y ＝a u 的单调性求出y ＝a f (x )的值域.若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论.2.y ＝f (a x )型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①23x y =⨯；②13x y +=；③πx y =；④x y x =．其中为指数函数的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】指数函数解析式为(0xy a a =>且)1a ≠，对于①②④，23x y =⨯、13x y +=和x y x =不符合指数函数解析式特征，①②④错误；对于③，πx y =符合指数函数解析式特征，③正确.故选：B.【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，则m等于（）A ．1-或3B ．1-C ．3D ．13【答案】C【解析】因为函数()222xy m m m =--⋅是指数函数，所以2221031m m m m m ⎧--=⎪>⇒=⎨⎪≠⎩.故选：C【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（）A ．4x y =-B ．()4xy =-C ．πxy =D ．24xy =【答案】C【解析】根据指数函数的定义()0,1xy a a a =>≠知，可得函数4x y =-不是指数函数；函数()4xy =-不是指数函数；函数πx y =是指数函数；函数24x y =不是指数函数.故选：C.2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（）A ．25x y =B ．4x y =-C ．3y x =D ．()63xy a =-（12a >且23a ≠）【答案】AD【解析】对于A 选项，2525x x y ==为指数函数；对于B 选项，4x y =-不是指数函数；对于C 选项，3y x =不是指数函数；对于D 选项，当12a >且23a ≠时，630a ->且631a -≠，则()63xy a =-（12a >且23a ≠）为指数函数.故选：AD.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（）A ．()3x y =-B ．()121,12x y m m m ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭C ．()0.19xy =D ．23xy =⋅【答案】BC【解析】由指数函数形式为x y a =且0,1a a >≠，显然A 、D 不符合，C 符合；对于B ，210m ->且211m -≠，故符合.故选：BC考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数()(0xf x a a =>且)0a ≠图像经过点()3,27，则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】由题意327a =，得3a =，故()2239f ==，故选：C 【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()(0xf x a a =>，且1)a ≠的图象经过点()3,27P ，则()2f =（）A ．19B C ．13D ．9【答案】D【解析】由题意可知，327a =，0a >，且1a ≠，得3a =，所以()3x f x =，()2239f ==.故选：D2．（2023秋·高一课时练习）若指数函数()y f x =的图象经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】18/0.125【解析】设指数函数()(0xf x a a =>且)1a ≠，()f x 过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，2116a -∴=，解得：4a =，()4x f x ∴=，3231428f -⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭.故答案为：18.3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数()f x 的图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】12/0.5【解析】设()x f x a =（0a >，且1a ≠），由于其图像经过点12,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2116a -=，解得4a =或4a =-（舍去），因此()4xf x =，故1211422f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故答案为：12.考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）y =；（2）y =【答案】（1）[0,)+∞；（2）()(],33,2-∞--- .【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥，又指数函数()2x f x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)12x y +=；(2)y =(3)y =【答案】(1)(0,)+∞(2)[0,1)(3)[1,)+∞【解析】（1）12x y +=的定义域为R ，值域为(0,)+∞；（2）由120x -≥知0x ≤，故y =(]0-∞,；由0121x ≤-<知01≤<，故y [0,1)；（3）y =[0,)+∞0≥知1≥，故y =[1,)+∞.【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，1()222x f x a a a =-≥-=-，因为函数,1()12,1x xx f x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩的值域为R ，所以21a -≤，得1a ≥，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数y =）A ．[2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】由题意得2112703x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以211273x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即2131133x --⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，所以213x -≤-，解得1x ≤-.故选：C.2．（2022秋·高一课时练习）函数()f x =+的定义域为.【答案】[]1,2-【解析】由题意可得1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x -≤≤，所以函数的定义域为[]1,2-.故答案为：[]1,2-.3．（2023秋·高一课时练习）函数42x y =+的值域是．【答案】(2,)+∞【解析】由函数4x y =值域为(0,)+∞，则函数42x y =+的值域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞4．（2023秋·高一单元测试）函数()[]2,1,1xf x x x =+∈-的值域为．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 在[]1,1-上是增函数，所以()()1min 11212f x f -=-=-=-，()()1max 1213f x f ==+=，故函数值域为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.5．（2023·上海）已知()2,01,0x x f x x ⎧>=⎨≤⎩，则()f x 的值域是；【答案】[1,)+∞【解析】当0x >时,根据指数函数的图象与性质知()21x f x =>，当0x ≤时,()1f x =.综上:()y f x =的值域为[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.6．（2023黑龙江）已知函数()()22223,121,1x x a x a x f x x +-⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是【答案】1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】当1x ≥时，222()21xx f x +-=-，而函数222t x x =+-在[1,)+∞上单调递增，又2ty =是增函数，因此函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)1f x f ≥=，即函数()f x 在[1,)+∞上的值域为[1,)+∞，当1x <时，函数()f x 的值域为A ，而函数()f x 的值域为R ，因此(,1)A -∞⊆，而当1x <时，()(2)3f x a x a =-+，必有20231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得122a -≤<，所以a 的取值范围是1[,2)2-.考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的a 值，函数1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是.【答案】(1,3)【解析】由指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象恒过(0,1)点而要得到函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象，可将指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则(0,1)点平移后得到(1,3)点.则P 点的坐标是(1,3)故答案为：(1,3)【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D【解析】由图象可知，函数()f x 为减函数，从而有01a <<；法一：由()x b f x a -=图象，函数与y 轴的交点纵坐标(0,1)y ∈，令0x =，得b y a -=，由01b a -<<，即00b a a -<<，解得0b <.法二：函数()f x 图象可看作是由(01)x y a a =<<向左平移得到的，则0b ->，即0b <.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数1xy a a=-（0a >，且1a ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】A ，B 选项中，1a >，于是1011a<-<，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在()0,1之间，显然A ，B 的图象均不正确；C ，D 选项中，01a <<，于是110a-<，图象与y 轴的交点的纵坐标应在小于0，所以D 项符合.故选：D2．（2023·西藏林芝）()2e xf x x=的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知，根据e 0x >y=，20x >，0x ≠，则()2e 0xf x x=>，排除B ，D ，当0x =时，()2e xf x x=没有意义，排除A.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数()(0x f x a a =>且1a ≠），()2g x ax x =-，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】当a ＞1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 12a =1，故A 正确，B 错误；当0＜a ＜1时，f （x ）＝ax 是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1），而g （x ）＝ax 2﹣x ＝a （x 12a-）214-a ，对称轴x 1122a =＞，故D 正确，C 错误.故选：AD ．4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数212(01)x y a a a -=->≠且，无论a 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.【答案】1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】0011,,2121,2a x y a =∴==-=-=- 则定点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数()2xy f x ==的图象，作出下列各函数的图象：(1)()1f x -；(2)()f x ；(3)()1f x -；(4)()f x -；(5)()1f x -．【答案】作图见解析【解析】（1）将()f x 图象向右平移一个单位即得，如下图，（2）将()f x 右侧图象以y 轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，（3）将()f x 图象向下平移一个单位即得，如下图，（4）以x 轴为对称轴，画出与()f x 对称的图象即得，如下图，（5）将（3）所得图象在x 轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数()f x =的单调递增区间为（）A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，所以函数()f x =[]1,3，因为243t x x =-+-开口向下，对称轴为()4221x =-=⨯-，可知243t x x =-+-在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，且u =所以u =[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，又因为2u y =在定义域内单调递增，所以()f x =在[]1,2上单调递增，在(]2,3上单调递减，即函数()f x 的单调递增区间为[]1,2.故选：B.【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】A【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()1,0-上单调递增，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()1,0-上单调递增，因此12a ≤-，解得2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-.故选：A【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知0.143a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.134b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，c ）.A ．b c a>>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a >>（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（）A ．0.20.20.50.50.20.2>>B ．0.50.20.20.20.50.2>>C ．0.50.20.20.20.20.5>>D ．0.20.20.50.20.50.2>>【答案】（1）B （2）A 【解析】（1）0.10440133-⎛⎫⎛⎫<<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即01a <<；0.133144-⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >；0=<，即0c <.所以有01c a b <<<<.故选：B.（2）由幂函数0.2y x =在R 上单调递增，则0.20.20.50.2>，又指数函数0.2x y =在R 上单调递减，则0.20.50.20.2>.则0.20.20.50.50.20.2>>故选：A.【例5-4】（2023·广东）已知函数()21,233,2x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则不等式()()342f x f x -<+的解集为．【答案】(),3-∞【解析】构建函数()21xg x =-，2x ≥，可得函数()g x 单调递增，()33h x x =-，2x ≤，则函数()h x 单调递增，且()()223g h ==，因此函数()f x 在R 上是增函数．()()342f x f x -<+ ，342x x ∴-<+，解得3x <，于是不等式()()342f x f x -<+的解集为(),3-∞．故答案为：(),3-∞.【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数()2313xx f x -+=，则()f x 的增区间为（）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()2313xx f x -+=定义域为R ，令231,3u u x x y =-+=，又3u y =在R 上单调递增，231u x x =-+的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的增区间为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．[]2,1--C ．[]1,2D ．[)2,+∞【答案】D【解析】令22u x mx =-，则二次函数22u x mx =-的图象开口向上，对称轴为直线x m =，因为外层函数12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，函数()2212x mxf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上为增函数，所以，内层函数22u x mx =-在()1,2上为减函数，故2m ≥.故选：D.3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知0.533,0.5,a b c ===）A ．b a c <<<>∴ 最小，又0.50.53,5a c ===，0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，所以0.50.535<，即a c <，综上，b a c <<，故选：A ．4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知2π,2a b c ===，则,,a b c的大小关系为（）A ．a b c <的解集是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()()e e x xx f x f --==--，所以()f x 在R 上是奇函数.因为e x y =在R 上是增函数，又e x y -=在R 上是减函数，所以()f x 在R 上是增函数.所以()()()()()110111f x f f x f f -+>⇒->-=-，所以11,2x x ->-<，所以不等式()()110f x f -+>的解集是(),2-∞.故选：考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数()131x mf x =++为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求不等式()21102f x x --+<的解集．【答案】(1)2-(2){}01x x <<【解析】（1）（1）因为()f x 为奇函数，定义域为R ，因为()00f =，即102m+=，所以2m =-，经检验，符合题意．（2）因为()12111312f -=+=+，所以()()2110f x x f --+<，所以()()211f x x f --<-，因为()f x 为奇函数，()()11f f -=-，所以()()211f x x f --<-，由（1）知：因为3x y =在R 上递增，所以()2131x f x =-+在R 上是增函数，所以211x x --<-，解得01x <<，所以不等式的解集是{}1|0x x <<.【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数()22x xf x a -=+奇函数．(1)求a 的值；(2)判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性并用定义证明；(3)设()()22222x xF x mf x -=+-，求()F x 在[]0,1上的最小值．【答案】(1)1-(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）解：()f x 是定义域为R 的奇函数，()010,f a ∴=+=1a ∴=-；经检验符合题意；（2）()f x 在R 上单调递增．证明如下：1212,R,x x x x ∀∈<，则()()()1212121212111222212222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为12x x <，所以12022x x <<，所以12220x x -<，1211022x x +>，可得12())0(f x f x -<．即当12x x <时，有12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增．（3）()()22222x xF x mf x -=+-，()2222222x x x x m --=+--，()()2222222x xx x m --=---+，令22x x t -=-，又[]01x ∈，，则302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，所以22222()2y t mt t m m =-+=-+-，302t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，，对称轴为t m =，则当0m ≤时，min 2y =；当302m <<，2min 2y m =-；当32m ≥时，min 1734y m =-．【一隅三反】1．（2023秋·安徽）已知函数()32,32x xx xa f x a ⋅-=∈+R ．(1)若()f x 为奇函数，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求()f x 的值域．【答案】(1)1a =(2)()1,1-【解析】（1）因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x +-=，x ∈R即()()1323232322303232323232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xa a a a a -----⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-+=+==+++++，所以1a =.（2）()3232132321xx xxxx f x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝+⎭--==,令32xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()11221111t t f x t t t -+-=+==-++，因为3(0,)2x t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭=，所以()211,11t -∈-+，所以()f x 的值域()1,1-．2．（2023秋·河北衡水）已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．【答案】(1)2a =，1k =；(2)52m ≥-【解析】（1）因为函数是奇函数，所以()()f x f x -=-，即x x x x a k a a k a ---⋅=-+⋅，得1k =，所以()x x f x a a -=-，()1312f a a -=-=，得2a =或12a =-（舍），综上，2a =，1k =；（2）由（1）知，()22x xf x -=-，则()[]2222220,1,2x x x xm x ---+-≥∈恒成立，()()()2222220xx x x x x m ---+-+-≥，[]220,1,2x x x -->∈，所以220x x m -++≥，对[]1,2x ∀∈恒成立，即()min 220x xm -++≥恒成立，设12222x x xx y -=+=+，函数由外层函数1y t t=+和内层函数2x t =复合而成，当[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，2x t =单调递增，当[]2,4t ∈，1y t t=+单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数[]22,1,2x x y x -=+∈单调递增，最小值为115222-+=，即502m +≥，则52m ≥-.3．（2023秋·江苏南通）已知二次函数()2f x x bx c =++，且不等式()2f x x <的解集为(1,3).(1)求()f x 解析式；(2)若不等式()2210x xkf -+≤在[1,2]x ∈上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)()223x x x f =-+(2)-4⎛∞ ⎝⎦,【解析】（1）由题意知22x bx c x ++<的解集为()1,3，故方程()220x b x c --+=的两个根是1和3，故243b c -=⎧⎨=⎩，即23b c =-⎧⎨=⎩，故()223x x x f =-+.（2）由题意()2210x x kf -+≤在[1,2]x ∈上有解，即()2222321x x xk -⋅+≤-在[1,2]x ∈上有解，∵()2222232120xxx-⋅+=-+>，∴2212223x x x k -≤-⋅+在[1,2]x ∈上的最大值，设[211,2,]x x t ∈=-，则[]1,3t ∈，则max 2()2tk t ≤+又2122t t t t=≤++2t t =即[]1,3t =时，等号成立，∴4k ≤，即实数k 的取值范围为,4⎛-∞ ⎝⎦.。

指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)

指数以及指数函数的整理讲义经典-(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN指数与指数函数一、指数（一）n 次方根：1的3次方根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )A.(－3)2＝－3B.4a 4＝aC.22＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式子(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+（三）、分数指数幂1、求值 4352132811621258---⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n＝a mnB ．(a m )n＝a m ＋nC ．a m b n＝(ab )m ＋nD ．(b a)m ＝a －m b m2、若0,x >则1311142422-（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12＝________.题型一： 1、求值：（1-；（2+2、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n _____。

第四讲-指数函数专题复习讲义高三数学二轮复习(含答案)

第四讲-指数函数专题复习讲义高三数学二轮复习（含答案）第四讲指数函数问题层级图目标层级图课前检测（10mins）1.计算：（1）（2）（3）2.若且，则函数的图像必过定点．3.已知函数的图象如右图所示,则函数的图象可能是B. C. D.4．设,其中,则的大小顺序为（A）（B）（C）（D）5．函数的值域是________.课中讲解一.会进行指数相关运算LV.11.次方根类比平方根和立方根，我们定义的次方根．【定义1】如果存在实数，使得，则称为的次方根．求的次方根叫做把开次方，称作开方运算．当为偶数时，在实数范围内，负数没有偶次方根，正数的次方根有两个，记为；当为奇数时，在实数范围内，的次方根有一个，记为，与同号．【定义2】次算术根：正数的正次方根．0的次算数根是0．注：只表示一个数，我们把叫做根式，叫做根指数．【性质】（1）.（2）2.分数指数幂这样一来，我们可以类似得到，前提，有意义．为避免讨论，约定底数，那么同样，.这样，整数指数幂就推广理数指数幂，运算法则只需三条，其中为任意有理数；3.无理数指数幂有理数指数幂还可推广到无理数指数幂，但是现在不能给出严格的定义，在时，实数指数幂的运算法则不变．【注】对于指数幂的运算结果，不要求统一形式的表示，没有特殊要求，一般可以用分数指数幂的形式不变，如果有特殊要求，可根据要求表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．例1.化简的结果是（）A. B. C. D.例2.化简（式中字母都是正数）（1）；（2）例3.已知，那么例4.计算：（1）（2）（3）例5.方程的解集是, ,例6.解方程：．过关检测（8mins）1.2.计算：3.解方程：二.会运用图象性质解题LV.3指数函数的概念形如的函数称为指数函数.函数的图像如下：恒过点；函数的定义域为R；函数的值域为；当时函数为减函数，当时函数为增函数．例1.函数的定义域为例2.解不等式：例3.如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图像，则与的大小关系是（）A. B.C. D.例4.函数和）的图象只可能是（）例5.函数的图象大致是B.C.____________D.例6.在同一坐标系中，函数与的图象之间的关系是A.关于原点对称B.关于直线对称C.关于轴对称D.关于轴对称例7.已知奇函数如果且对应的图象如图所示，那么A. B.C. D.例8.已知函数的定义域和值域都是,则＝.例9.函数的值域为（）A. B. C. D.过关检测（10mins）1.函数的定义域为A. B. C. D.2．不等式的解集为________．3.已知函数（其中），若的图象如右图所示，则函数的图象是4.已知过点，且.求的值域。

【尚择优选】指数函数讲义经典整理(含答案)

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解①分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算②根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===-等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数xy a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m的值；（2）判定f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax 单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m ＜n，求m+n的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A （m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n ﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．。

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1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。

指数函数讲义

指数函数一、根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．练习（1）化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( ) A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2[答案] C[解析] 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6 x≥－3－2x x<－3.二、分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（2）化简(a 、b>0)的结果是 C ) A.b aB ．ab C.abD ．a 2b三、分数指数幂的运算性质(1)(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ (4)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)(5)x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2)练习（3）计算化简① (12)−1+823+(2019)0=__________________②(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=_______________（4）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值：①x +x −1 ；②x 2+x −2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.（5）(江苏文)已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 的大小关系为_______． [答案] m<n [解析] ∵a ＝5－12，∵0<a<1，∵函数f(x)＝ax 在R 上单调递减，∵f(m)>f(n)，∵m<n. （6）下图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y ＝a x 的图象，而a∵{22，12，3，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案]22、12、π、3 [解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3的底数．（7）已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<（8）函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，在x∵[1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．32或12（9）已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5) 中恒成立的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个（10）(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-，则 (A )A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<（11）①函数y =√4−2x 的定义域为__(-∞，2]____．②设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 (-∞，4] 。

(完整版)指数函数专题讲义含答案,推荐文档

命题：焦雷
（2） (, 1] [0, ) ．
例题三：答案:D.因为 f(x)在 R 上是增函数，故结合图象知Error!，解得 4≤a<8. 例题四：奇函数．
4
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
例题五：（1）x 2 ．（2） (1,) ． 4
例题六：解：由题意得 1＋2x＋4xa>0 在 x∈(－∞，1]上恒成立， 1＋2x
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
题型四：判断奇偶性
例四．判断函数 y 2x 1 的奇偶性. 2x 1
题型五：解指数方程、不等式例五．（1）解方程3x2 32x 80 ．
（2）解不等式(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1x .
1
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
题型六：不等式恒成立问题例六．函数 y＝1＋2x＋4xa 在 x∈(－∞，1]上 y>0 恒成立，求 a 的取值范围．
f
(x)
2 2 x
2x
在区间[﹣1，2]上的值域是
．
11.函数 y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在区间[1且1]上有最大值 14，则 a 的值是
．
12.若函数 f (x) ax 1(a 0, a 1) 的定义域和值域都是0,2，则实数 a 的值为
．
1
1
13. 已知 x y 12, xy 9 ，且 x y ，求
)．
D． a＞1 2
2
既然选择了远方，便只顾风雨兼程
6.若关于 x 的方程| ax 1| 2a(a 0, a 1) 有两个不等实根，则 a 的取值范围是( ) ．
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,1) 1
C．(1，＋∞)

专题14 指数函数(讲)(解析版)

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题14指数函数（讲）知识点课前预习与精讲精析1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量.[知识点拨]指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R 值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数[知识点拨](1)a >1是“一撇”，0<a <1是“一捺”；(2)图象位于x 轴上方；(3)当x ＝0时，y ＝1；(4)在y 轴右侧，a 越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．3．比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．4．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．求形如y ＝a f (x )的函数的值域，应先求出u ＝f (x )的值域，再由单调性求出y ＝a u 的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如y ＝f (a x )的函数的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．(2)判断复合函数的单调性令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，那么复合后的函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．1．若指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()3,8，则()142f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】由题知()338f a ==，解得2a =，()2x f x ∴=，因此，()14214222f f ⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为.2．若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______.【答案】2或12【解析】当01a <<时，函数()x f x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12a =.当1a >时，函数()xf x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =.故a 的值为2或12.故填：2或12.3．指数函数f（x）=（a﹣1）x在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____．【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f（x）=（a﹣1）x 在R 上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a 的取值范围是（2，+∞），故答案为（2，+∞）．4．已知函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，()()(1)g a f a f a =-+，则()g a 的取值范围是_______．【答案】(2,)+∞【解析】因为函数()3x f x a -=+的图像经过第二、三、四象限，所以()00310f a a -=+=+<，解得：1a <-又()()12()()(1)3333a a a g a f a f a a a -+--⎡⎤=-+=+-+=⨯⎣⎦又1a <-，所以1a ->，所以()33,a -∈+∞所以()232,3a -⨯∈+∞，所以()g a 的取值范围是()2,+∞5．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】∵a 2＋a ＋2＝217()124a ＋+>，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数．∴x >1－x ，即12x >.x 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.典型题型与解题方法重要考点一：指数函数的概念【典型例题】已知函数2()(1)(1)x f x a a a =+-+为指数函数，则a =.【答案】1【解析】函数()()()211x f x a a a =+-+为指数函数，21110a a a ⎧+-=∴⎨+>⎩解得1a =【题型强化】下列函数是指数函数的是________(填序号)．①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝(－4)x ；④y ＝4x 2.【答案】①【解析】形如(0x y a a =>且1a ≠)的函数，叫指数函数.由指数函数定义，只有①是指数函数；②y ＝x 4是幂函数；③y ＝(－4)x ，由于底数4(0,1)(1,)-∉+∞ ，所以③不是指数函数；④y ＝4x 2不是指数函数.故答案为：①【收官验收】已知指数函数图像经过点(1,3)p -，则(3)f =_____.【答案】127【解析】设指数函数为()x f x a =（0a >且1a ≠），由题意得13a -=，解得13a =，所以1()()3x f x =，故311(3)()327f ==．答案：127．【名师点睛】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．重要考点二：指数函数的图象【典型例题】如图，是指数函数①x y a =、②x y b =、③x y c =、④x y d =的图象，则（）A ．1a b c b<<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d<<<<D ．1a b d c<<<<【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知x y c =、x y d =为增函数，则,c d 大于1.x y a =、x y b =为减函数，则a b ，大于0小于1.当1x =时，对应的函数值依次为①y a =、②y b =、③y c =、④y d =，由图知，当1x =时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得1b a d c <<<<，所以正确选项为B故选:B ．【题型强化】函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)xy a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数xy a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C【收官验收】在同一直角坐标系中，函数()a f x x =与()x g x a -=在[)0,+∞上的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()a f x x =为幂函数，()1()-==x x g a a x 为指数函数A.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象符合，故可能.B.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知101<<a ，1a ∴>，()a f x x =的图象不符合，故不可能.C.()1(-==x x g a a x 过定点(0,1)，可知11a>，01a ∴<<，()a f x x =的图象不符合，故不可能.D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A【名师点睛】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．重要考点三：指数函数中忽视对底数的分类讨论致误【典型例题】已知函数()(),1xf x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2，求实数a 的值.【答案】2【解析】函数()(),1x f x a a =>∴函数()f x 在[]1,2单调递增即()()2max 2f x f a ==，()()min 1f x f a ==又函数()(),1x f x a a =>在区间[]1,2上的最大值比最小值大2.∴()()2212f f a a -=-=，解得2a =或1a =-（舍去）综上所述：2a =【题型强化】已知函数()x f x a=(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，．（1）求a 的值；（2）若2131x x a a +-<，求x 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）()2,+∞【解析】（1）∵()x f x a =(0a >，且)1a ≠的图象经过点()24，∴24a =,由0a >，且1a ≠可得2a =（2）由（1）得2a =若2131x x a a +-<,代入2a =可得213122x x +-<由指数函数的单调性可知满足2131x x +<-解得2x >,即()2,x ∈+∞【收官验收】已知函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大3a ，求实数a 的值.【答案】43a =或23【解析】1a >时，x y a =是增函数，则23a a a -=，解得43a =（0a =舍去）；01a <<时，x y a =是减函数，则23a a a -=，解得23a =（0a =舍去）．综上，43a =或23．重要考点四：指数型函数图象过定点问题【典型例题】函数1()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是______．【答案】(1,4)【解析】()13x f x a -=+由x y a =向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，x y a =过定点()0,1，则()13x f x a -=+过定点()1,4.【题型强化】函数223x y a =+﹣（0a ＞且1a ≠）的图象恒过定点_______________.【答案】()14，【解析】根据题意，数223x y a -=+中，令220x -=，解可得1x =，此时22134f a -=+=（），即函数的图象恒过定点14（，），故答案为：14（，）.【收官验收】已知函数1()4x f x a -=+（其中0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 坐标是_________.【答案】(1,5)【解析】解：令10x -=，此时1x =，101x a a -==，此时()15f =，所以图象恒过()1,5P .故答案为:(1,5).【名师点睛】指数型函数过定点的求法：求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图象所过的定点．重要考点五：指数型函数的定义域与值域【典型例题】设()2121x f x =-+.（1）求()f x 的值域；（2）证明()f x 为R 上的增函数.【答案】（1）()1,1-；（2）证明见解析.【解析】（1）因为20x >，所以20221x <<+，所以211121x -<-<+，即()f x 的值域为(1,1)-；（2）任取1x 、2x ，且12x x <．则21212121222(22)()()1102121(21)(21)x x x x x x f x f x --=--+=>++++所以21()()f x f x >所以()f x 为R 上的增函数【题型强化】求下列函数的定义域和值域，并写出其单调区间.（1）()f x =（2）121()3xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）223()2x x f x --+=；（4）121()1,[2,3]933x x f x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）定义域：(,2]-∞-，值域：[0,1)，减区间：(,2]-∞-；（2）定义域：(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域：(0,1)(1,)⋃+∞，减区间：(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域：R ，值域：(0,16]，增区间：(,1]-∞-，减区间：[1,)-+∞；（4）值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间：[2,1]-，增区间：[1,3]【解析】（1）由2130x +-≥得2x -≤，所以定义域为(,2]-∞-，又230x +>，所以20131x +≤-<，01y ≤<，所以值域中[0,1)，213x u +=-在R 上是减函数，所以()f x =的减区间是(,2]-∞-；（2）由20x -≠得2x ≠，所以定义域是(,2)(2,)-∞⋃+∞，又102x ≠-，所以值域是(0,1)(1,)⋃+∞，12u x=-在(,2)-∞和(2,)+∞上都是增函数，所以121()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的减区间是(,2)-∞和(2,)+∞；（3）定义域是R ，又2223(1)44x x x --+=-++≤，所以值域中(0,16]，2(1)4u x =-++在(,1]-∞-上递增，在[1,)-+∞上递减，所以223()2xx f x --+=的增区间(,1]-∞-，减区间是[1,)-+∞；（4）定义域是[2,3]-，令1()3xt =，由[2,3]x ∈-，所以1[,9]27t ∈，222181()339y t t t =-+=-+，所以876]9y ≤≤，值域8,769⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又222181()339y t t t =-+=-+在11[,273上递减，在1[,9]3上递增，而1(3x t =是减函数，所以121()1,[2,3]933xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的减区间是[2,1]-，增区间[1,3]．【收官验收】求下列函数的定义域、值域.（1）y ＝313xx+；（2）y ＝4x －2x ＋1.【答案】（1）定义域为R ；值域为(0，1)；（2）定义域为R ；值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）∵对一切x ∈R ，3x ≠－1；∴函数的定义域为R；∵y ＝13113x x+-+＝1－113x +；又∵3x >0，1＋3x >1；∴0<113x +<1，∴－1<－113x+<0；∴0<1－113x+<1，∴值域为(0，1).（2）函数的定义域为R ；y ＝(2x )2－2x＋1＝122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋34；∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34；同时y 可以取一切大于34的实数；∴值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【名师点睛】1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则f (a )≤f (x )≤f (b )，值域为[f (a )，f (b )]．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则f (a )≥f (x )≥f (b )，值域为[f (b )，f (a )]．2．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同．(2)值域．①换元，令t ＝f (x )；②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．重要考点六：幂式大小的比较【典型例题】设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（）A ．a b c ＜＜B ． a c b ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a＜＜【答案】C 【解析】由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C .【题型强化】若a <0，则0.5a,、5a 、5－a 的大小关系是（）A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a【答案】B 【解析】因为0a <，故可得0.51a >，50.21a a -=>，51a <；再结合指数函数的图像关系，则0.20.5a a >.故50.55a a a ->>.故选：B.【收官验收】已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】根据函数0.3x y =单调递减知：0.60.503..03a b <==；根据函数0.5y x =单调递增知：0.50.503.4.0c b =<=，故c b a >>.故选：D .【名师点睛】比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．重要考点七：指数型函数的奇偶性【典型例题】设函数()xxf x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围；（3）() 0,1a ∈， 1b >，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）1m =；（2）0m <；（3）答案见解析.【解析】解：（1）()122xxf x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1121222m f f m =+=-=+，所以1m =，检验，此时()122x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()122xx f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；（2）()4·2xxf x m =+，令20x t =>，则()2g t t mt =+在()0,∞+上有最小值，所以02m->，得0m <；（3）()0xxf x a mb =+>，所以xxa mb >-，所以xx x a a m b b ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭，因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1ab∈．①0m -≤，即0m >，解集为R ；②0m ->，即0m <，解集为(),log a b m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【题型强化】已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）若对于任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．【答案】（1）1a =，1b =；（2）证明见解析；（3）1(,)3-∞-.【解析】解：（1）()f x 为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，可得1b =又(1)f f -=- （1）∴11121222a a----=-++，解之得1a =经检验当1a =且1b =时，12()21xx f x -=+，满足()()f x f x -=-是奇函数．（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++，任取实数1x 、2x ，且12x x <则21121212222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++12x x < ，可得1222x x <，且12(21)(21)0x x ++>12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数．∴不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，即222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+也就是：2222t t t k ->-+对任意的t R ∈都成立．变量分离，得232k t t <-对任意的t R ∈都成立，2211323()33t t t -=-- ，当13t =时有最小值为13-13k ∴<-，即k 的范围是1(,3-∞-．【收官验收】已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，即102ba-+=+，解得1b =.从而有121()2x x f x a +-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.重要考点八：指数型函数的单调性【典型例题】（1）求函数261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调区间；（2）求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间．【答案】（1）单调递增区间为(),3-∞，单调递减区间为()3,+∞（2）单调递增区间为()2,-+∞，单调递减区间为(),2-∞-。

专题十三指数函数(解析版)

专题十三指数函数考点一指数函数的图象及应用【基本知识】 1．指数函数的定义函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数． 2．指数函数的图象在x 轴上方，过定点(0，1)【常用结论】1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a 和一条渐近线y ＝0．2．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．3．函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x(a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称． 4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”．考向1 指数函数图象辨析【方法总结】有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断．【例题选讲】[例1] (1) 函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )答案 A 解析函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求． (2) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )答案 A 解析因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质． (3) 函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的图象的基础上向左平移得到的，所以b <0．(4) 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )答案 C 解析由函数f (x )的图象可知，－1＜b ＜0，a ＞1，则g (x )＝a x ＋b 为增函数，当x ＝0时，g (0)＝1＋b ＞0，故选C ．(5) 已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B 解析 |f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1，0)，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，32．又|f (x )|≥0，所以B 项正确．故选B ．考向2 指数函数图象的应用【方法总结】一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [例2] (1) 若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．答案 (－∞，0] 解析函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围为(－∞，0]．(2) 若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2] 解析 y ＝21－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2．故m 的取值范围为(－∞，－2]．(3) 已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，23 解析 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23． (4) 若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0，2)D ．(0，1)答案 C 解析在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0，2)时符合要求．(5) 已知函数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ．其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B 解析函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．【对点训练】1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )1．答案 B 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，易知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选B ．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2．答案 B 解析由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k <0，0<a <1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以－1<k <0．函数y ＝a x ＋k 的图象可以看成把y ＝a x 的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k 是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B ． 3．函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )3．答案 D 解析函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D ．4．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )4．答案 C 解析由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象．5．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，已知函数f (x )＝2x ⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )5．答案 B 解析由题意可得f (x )＝2x(3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，3－x ，x ＜1，所以f (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，2－x ，x ＜0，则大致图象为B 项． 6．已知函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)6．答案 A 解析由于函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1，6)．7．若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为__________．7．答案 (0，1) 解析作出曲线y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 如图所示．由图象可得b 的取值范围是(0， 1)．8．已知f (x )＝|2x －1|，当a f (c )>f (b )，则必有( )A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．2－a<2c D．1<2a＋2c<28．答案D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为a<b<c，且有f(a)>f(c)>f(b)，所以必有a< 0，0<c<1，且|2a－1|>|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1．故选D．9．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．答案[－1，1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．10．如图，在面积为8的平行四边形OABC中，AC⊥CO，AC与BO交于点E．若指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)经过点E，B，则a的值为()A．2B．3C．2D．310．答案A解析设点E(t，a t)，则点B的坐标为(2t，2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2．因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8，所以4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝2．故选A．考点二指数函数的性质及应用【知识梳理】指数函数的性质考向1比较指数式的大小与解不等式【方法总结】1．比较指数式大小的方法比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)a f (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x )．(3)解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【例题选讲】[例3] (1) 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，所以b <a <c ．(2) (2016·全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A 解析因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c ．综上得b <a <c ．故选A ．(3) 已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a ) 答案 B 解析易知f (x )＝2x－2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(4) 若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x ＜0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4， x ≥0，2－x－4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0．∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．(5) 已知函数f (x )＝e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B 解析函数f (x )＝e x －1e x 的定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －1e －x ＝1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，那么不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0等价于f (2x －1)>－f (－x －1)＝f (1＋x )，易证f (x )是R 上的单调递增函数，∴2x －1>x ＋1，解得x >2，∴不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为(2，＋∞)．考向2 与指数函数有关的复合函数的值域【方法总结】(1)y ＝a f (x )的定义域与f (x )的定义域相同．(2)先确定f (x )的值域，再根据指数函数的值域、单调性确定函数y ＝a f (x )的值域．【例题选讲】[例4] (1) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12221x x ＋－的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0，4] D ．[4，＋∞) 答案 C 解析设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ．因为0<12<1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数．因为t ＝()x ＋12－2≥－2，所以0<y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0，4]．(2) 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在[－3，2]上的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤34，57 解析令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由x ∈[－3，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤14，8．则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤14，8．当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57．故所求函数的值域是⎣⎡⎦⎤34，57．(3) 已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案解析由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e 2－x ，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e ．故f (x )的最小值为f (1)＝e ．(4) 若函数y ＝4x －2x ＋1＋b 在[－1，1]上的最大值是3，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 A 解析 y ＝4x －2x ＋1＋b ＝(2x )2－2·2x ＋b ．设2x ＝t ，则y ＝t 2－2t ＋b ＝(t －1)2＋b －1．因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，2．当t ＝2时，y max ＝3，即1＋b －1＝3，b ＝3．故选A ．(5) 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，则a 的值为__________．答案 13或3 解析设t ＝a x >0，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1．①若a >1，因为t ＝a x 在[－1，1]上递增，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ．因为－1<0<1a ，所以y ＝(t ＋1)2－2在t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a 上递增，由复合函数单调性知原函数在[－1，1]上递增，故当x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1，由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍)，所以a ＝3．②若0<a <1，同理可得当x ＝－1时，y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a＝－15(舍)，所以a ＝13．综上可知，a ＝13或a ＝3．考向3 与指数函数有关的复合函数的单调性【方法总结】与指数函数有关的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．【例题选讲】[例5] (1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减答案 C 解析易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C ．(2) 若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B 解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|．由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B ．(3) 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎦⎤12，1 答案 D 解析令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0，1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0，1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D ．(4) 已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．答案 (－∞，4] 解析令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m 2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(5) 若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，23 B ．⎣⎡⎭⎫33，1 C ．(1， 3 ] D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B 解析令t ＝a x，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12．若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1．故选B ．【对点训练】11．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a12．答案 A 解析由0.2<0.75<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.75，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a >b ．综上，a >b >c ．13．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a13．解析 A 解析因为y ＝25x (x >0)为增函数，所以a >c ．因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，所以c >b ，所以a >c >b ．14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．14．答案 (－3，1) 解析若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1．综合可得－3<a <1． 15．不等式23－2x<0．53x－4的解集为________．15．解析 {x |x <1} 解析原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，所以3－2x <4－3x ，解得x <1，则不等式的解集为{x |x <1}． 16．已知函数y ＝2-2++1x ax 在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________．16．答案 [6，＋∞) 解析函数y ＝2-2++1x ax 是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫a2，＋∞上单调递减，且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2-2++1x ax 在区间⎣⎡⎦⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫a2，＋∞上单调递减．又因为函数y ＝2-2++1x ax 在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤a2，即a ≥6．17．函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)17．答案 B 解析令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y >1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B ． 18．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x的值域为________． 18．答案 (0，4] 解析令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t ，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数第11页y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4． 19．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．19．答案 3 解析当a >1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3．又∵a >1，∴a ＝3．当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0，2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝3．20．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．20．答案 (－1，＋∞) 解析不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x ．在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1．21．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |． (1)若f (x )＝32，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．21．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1． (2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1，2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．22．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．22．解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1．从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a ．又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2． (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ．即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13．故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13．。

2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)指数函数及其性质(解析版)

第15讲指数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象；3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点1指数函数的概念1、定义：一般地，函数x y a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是指数函数的底数．2、指数函数的结构特征指数函数表达式中，需满足：（1）xa 系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如1xy a =+就不是指数函数．3、注意事项：指数函数x y a =的底数规定大于0且不等于1的理由：（1）如果0a =，当0,0,0,.x xx a x a ⎧>⎨≤⎩当时恒等于当时无意义（2）如果0a <，如(4)x y =-，当11,42x =时，在实数范围内函数值不存在．（3）如果1,11x a y ===，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠．知识点2指数函数的图象与性质1、指数函数的图象与性质1>a10<<a图象性质定义域R值域),0(+∞过定点)1,0(单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数2、底数a对指数函数图象的影响函数2xy=，3xy=，4xy=和1(2xy=，1(3xy=，1()4xy=的图象如图所示．（1）当1a>且0x>时，底数越大，图象越“陡”；当01a<<且0x<时，底数越小，图象越“陡”．（2）在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．知识点3指数函数的图象变换已知指数函数xy a=（0a>且1a≠）1、平移变换k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=+向上平移个单位长度()；k kx xy a y a k>=−−−−−−−−→=-向下平移个单位长度()；h hx x hy a y a>+=−−−−−−−−→=向左平移个单位长度()；0h h x x h y a y a >-=−−−−−−−−→=向右平移个单位长度()．规律总结：上加下减（针对函数值y ），左加右减（针对自变量x ）．2、对称变换y x x y a y a -=−−−−−→=关于轴对称；x x x y a y a =−−−−−→=-关于轴对称；x x y a y a -=−−−−−→=-关于原点对称．3、翻折变换x y x y y a y a =−−−−−−−−→=保留轴右侧图象并作其关于轴的对称图形；||x x x x x y a y a =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折到轴上方．知识点4常用方法与技巧1、比较指数幂的大小（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2、简单指数不等式的解法（1）形如()()>f x g x a a 的不等式，可借助=x y a 的单调性求解；（2）形如()>f x ab 的不等式，可将b 化为a 为底数的指数幂的形式，再借助=x y a 的单调性求解；（3）形如>xxa b 的不等式，可借助两函数=x y a ，=xy b 的图象求解。

2024年新高一数学暑假提升精品讲义(上海专用)专题11 指数函数(解析版)

专题11指数函数一、复习引入................................................................................................................................................................1二、知识梳理. (1)（一）指数函数的定义........................................................................................................................................1（二）指数函数的图像........................................................................................................................................2（三）指数函数的性质........................................................................................................................................2考点剖析....................................................................................................................................................................3过关检测....................................................................................................................................................................4A 组双基过关....................................................................................................................................................4B 组巩固提高....................................................................................................................................................6C 组综合训练..................................................................................................................................................11D 组拓展延伸 (17)一、复习引入1.幂函数ay x =的图像经过点)，此幂函数的解析式是___________.【答案】4y x =2.比较下列各题中两个数的大小（1）123.1-与123.2-【答案】>（2）()132a +与13a【答案】>3.下列幂函数在区间()0,+∞内严格递增，且图像关于原点中心对称的是___________.【答案】（2）（1）12y x =（2）13y x =（3）23y x =（4）13y x-=4.一张纸对折一次，由1层变为2层，再对折一次由2层变为4层，……对折x 次后，层数y 与折叠次数x 的函数关系式是怎样的？二、知识梳理【难度系数：★★参考时间：15min 】（一）指数函数的定义对于函数xy a =来说，首先要假设0a >，以保证对所有实数x ，xa 都有意义.还要假设1a ≠，因为如果1a =，xa 就恒等于1，这种极为特殊的情况我们不必专门研究.定义：当底数a 固定，且0>a ，1≠a 时，等式xa y =确定了变量y 随变量x 变化的规律，称为底为a 的指数函数（exponential function ）.因为对所有实数x ，xa 都是有意义的，所以指数函数的定义域是全体实数R .（二）指数函数的图像分别描绘指数函数2x y =，3xy =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的大致图像.【提示】列表，描点，连线“五点法”，x 依次取2-，1-，0，1，2（三）指数函数的性质由前面的几种指数函数的图像，结合幂的运算性质，我们可以得到如下的性质：1.指数函数x y a =的函数值y 恒大于02.指数函数xy a =的图像恒经过定点)1,0(3.当1a >时，指数函数xy a =在R 上严格增当01a <<时，指数函数xy a =在R 上严格减4.指数函数xa y =及xay )1(=的图像关于y 轴对称关于指数函数xy a =的图像与性质的总结见下表：x y a =1a >01a <<图像图像特征（1）图像都在x 轴上方，无限趋近于x 轴，但永不相交（2）过点)1,0(（3）由左至右图像上升（3）由左至右图像下降函数性质（1）定义域为R ，值域为),0(+∞（2）当0x =时，1y =（3）在R 上严格增（3）在R 上严格减考点剖析【难度系数：★★★参考时间：20min 】例1.在下列函数中，是指数函数的有___________.【答案】①⑥①12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭②112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭③23xy =⋅④(0,0,1)xy a x a a =≥>≠⑤1xy =⑥212xy ⎛⎫= ⎪⑦12y x =例2.函数是指数函数，则a =___________.【答案】2例3.指数函数①()xf x m =，②()xg x n =满足不等式01m n <<<，则它们的图象是…………(C )例4.若函数1(0)xy a m a=+->的图像在第一、三、四象限内，则…………………………………(B )A.1a >B.10a m ><且 C.01a <<且0m > D.01a <<例5.比较下列各组数的大小:（1）0.14⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和0.24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1634⎛⎫⎪⎝⎭和1543-⎛⎫⎪⎝⎭；（3）20.8-和1253-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）13a和12a()0,1a a >≠；（5）和 1.71.1；（6）230.6-和340.6-.【答案】（1）>；（2）>；（3）>（4）当1a >时，1132a a <；当01a <<时，1132a a >；（5）>；（6）<例6.已知函数()y f x =，其中()2121x x f x -=+.（1）求()0f ，并计算()()f x f x -+的值；（2）作出该函数的图像，并求函数()y f x =的值域.【答案】（1）0，0；（2）(1,1)-【解析】（1）21212112(0)0.()()0212112x x x xx x xf f x f x -----+-=-+=+==+++（2）2()121x f x =-+因为211x+>，所以20221x<<+，得此函数的值域为(1,1)-过关检测A 组双基过关【难度系数：★时间：8分钟分值：20分】1．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数21x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点P ，则P 点坐标是．【答案】()2,2【分析】根据指数函数的性质求解即可.【详解】令20x -=，则2x =，此时()22f =，所以P 点坐标是()2,2.故答案为：()2,2.=+（0a >且1)a ≠的图像过定点.【答案】()1,4-【分析】由指数函数的性质可得.【详解】当101x x +=⇒=-时，034y a =+=，故图像过定点()1,4-，故答案为：()1,4-.3．（23-24高一上·上海·阶段练习）函数212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为．4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数2x y =在区间[1,2]-上的最小值是．5．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）函数31x y =+的值域为.的上方，则实数a 的取值范围是.【答案】(),1-∞【分析】根据题意转化为恒成立问题求解即可.【详解】由a y x =在01x <<的图象位于直线y x =的上方，则a x x ＞对01x <<恒成立，又因为()01xy m x =＜＜在(),-∞+∞单调递减，所以a 1＜，即实数a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数()f x 和()10xg x =的图象关于y 轴对称，则函数()f x =.【答案】10x-【分析】利用两个函数图象关于y 轴对称的特征，直接求出函数解析式即得.【详解】函数()f x 和()10xg x =的图象关于y 轴对称，所以()()10x f x g x -=-=.故答案为：10x-8．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数()23xy a a =-是指数函数，则实数a 的值是.【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数函数定义列式计算即得.【详解】由函数()23xy a a =-是指数函数，得20131a a a >⎧⎪≠⎨⎪-=⎩，解得2a =，所以实数a 的值是2.故答案为：2B 组巩固提高【难度系数：★★时间：10分钟分值：20分】9．（23-24高一下·上海·期中）已知a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式中不一定成立的是（）A ．22a b +>+B ．22a b>C ．22a b>D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若,R a b ∈，则“1>b”是“21a b ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分，必要条件的定义，判断条件和结论的关系，即可判断选项11．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数x y a =与111y x =+-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．12．（23-24高一上·上海·期末）已知函数31xy =-的定义域为[,]a b ，值域为0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为（）A ．34log 3B ．3log 2C ．32log 3D ．2令1313x-=，解得34log 3x =或则当34log 3b =，32log 3a =时，此时3342log log log 33b a -=-=A ．若0a >且210x x >>，则211ax x ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．若0a >且120x x >>，则211ax x ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．若0<a 且210x x >>，则211a x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．若0<a 且120x x >>，则211ax x ⎛⎫> ⎪⎝⎭14．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数()(0,1)x m f x a n a a +=+>≠的图象经过定点(1,1)-，则m n +=.【答案】1【分析】根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案.【详解】由题意知函数()(0,1)x m f x a n a a +=+>≠的图象经过定点(1,1)-，故1011m n -+=⎧⎨+=⎩,解得10m n =⎧⎨=⎩,故1m n +=,故答案为；115．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）已知指数函数x y a =在[1,2]上的最大值与最小值之差为2a，则实数a 的取值范围是;=+（0a >且1a ≠）恒过定点.【答案】()1,3【分析】令指数10x -=，即1x =即可得解.【详解】当1x =时，11022123y a a -=+=+=+=，所以函数12x y a -=+（0a >且1a ≠）恒过定点()1,3.故答案为：()1,3.17．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知a 是实数，定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，其中1()21x f x a =-+.(1)求a 的值；(2)判断函数()y f x =的单调性，并证明你的结论.18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数()y f x =，其中()()R 2xf x k +=∈.(1)是否存在实数k ，使函数()y f x =是奇函数?若存在，请写出证明.(2)当1k =时，判断()y f x =在()0,∞+上的单调性并证明.C 组综合训练【难度系数：★★★时间：15分钟分值：30分】19．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若函数()121x f x =+，则该函数在(),-∞+∞上是（）A ．严格减函数无最小值B ．严格减函数有最小值C ．严格增函数无最大值D ．严格增函数有最大值故选：A20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数()()ln 2xf x x =+，若()2561f m m +-<，则实数m 的取值范围是.1，存在唯一的2，使得()()121f x f x ⋅=，则m n +的值为.【答案】0【分析】考察函数的单调性，根据题中条件可得21x x =-，继而可得区间[],m n 关于原点对称，即可得到答案.【详解】因为函数为R 上的递增函数，且()()1212122221x x x xf x f x +⋅=⋅==，所以120x x +=，21x x =-由题意，对任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]2,x m n ∈，使得()()121f x f x ⋅=，即120x x +=，即任意的[]1,x m n ∈，存在唯一的[]1,x m n -∈，故区间[],m n 关于原点对称，则0m n +=，故答案为：0.22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知定义在R 上的函数1()1xxa f x a -=+（0a >且1a ≠）.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若1(1)2f =-，试判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[2,3]-上有解时，实数m 的取值范围.的图象经过点0,2-，2,1 (1)求实数a，b的值；(2)若不等式2814xxa-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭的解集记为A，求x A∈时，函数()f x的值域.24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数()1x f x a -=的图像经过2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >且1a ≠(1)求实数a 的值(2)若2221231xx xx a a ++-+≥，求实数x 的取值范围25．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数()21xf x b a =+-，其中0a >且1a ≠，b 是实数常数.(1)求函数()y f x =的定义域；(2)是否存在常数b ，使函数()y f x =为奇函数?26．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数2228x x f x =-⨯-(1)求不等式()0f x ≥的解集；(2)求()f x 的值域；(3)当x ∈R 时，不等式()212xf x m >⋅-恒成立，求m 的取值范围．D 组拓展延伸【难度系数：★★★时间：20分钟分值：30分】27．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设()y f x =是一个定义域为R 的函数.若S 是R 的一个非空子集，且对于任意的s S ∈，都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.28．（21-22高一上·上海普陀·期末）已知函数()()21x f x x R =∈+(1)求证：用单调性定义证明函数()f x 是R 上的严格减函数；(2)已知“函数()f x 的图像关于点(),a b 对称”的充要条件是“()()2f a x f a x b -++=对于定义域内任何x 恒成立”.试用此结论判断函数()f x 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；(3)若对任意[]11,x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得()()11211f mx f x x -+=，求实数n 的最大值.。

指数函数讲义与练习(含答案)

指数函数突破思路本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a的n次幂表示n个a相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）aman＝am＋n；（2）am÷an＝am－n（a≠0，m＞n）；（3）（am）n＝amn；（4）（ab）n＝anbn；（5）（）n＝若（b≠0）．另外规定了a0＝1（a≠0）、a－n＝（n为正整数，a≠0），这样一来，原来的5条运算律可以归纳为（1）（3）（4）三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数．2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质＝（a≥0，m、n、pN*），我们知道a≥0时，＝a3＝，＝a4＝．于是我们规定：（1）＝（a≥0，m、nN*）；（2）＝（a＞0，m、nN*，n＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为：（1）aras＝ar＋s；（2）（ar）s＝ars；（3）（ab）r＝arbr，式中a＞0，b＞0，r、s为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a＞0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a＝0，当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax没有意义；（2）若a＜0，如y＝（－2）x对于x＝、等都是没有意义的；（3）若a＝1，则函数为y＝1x＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题．合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（）A．＝a（nN*）B．（）n＝a（nN*）C．＝（n，m，pN*）D．＝（m，nN*，a＞0）我的思路：我们知道，如果xn＝a，则称x是a的n次方根．若a＝0时，则x＝0，即＝0，若a≠0时，当n为正奇数时，x＝，其符号与x的符号一致；当n为正偶数时，则a 一定大于零，x＝士，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．A、C中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号．如：≠－2和≠，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A，C不一定成立．一般地，根式有如下性质：（1）＝（nN*）；（2）（）n＝a（nN*）．对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定＝（a＞0，m，nN*）．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．故D不成立．因此选B．思考：对于根式在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③y＝（）x；④y＝（）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？我的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）恒过两个点（0，1）和（1，a）．这四个函数都经过（0，1），又分别经过（1，2）、（1，5）、（1，）、（1，）．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象（如下图）．根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y轴对称．结论：（1）一般地，指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝a－x（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称．（2）在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大（可简记为“右侧底大图高”）；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大（简记为“左侧底大图低”）．（3）（有界性）若a＞1，当x＞0时，y＞1当x＜0时，0＜y＜1．若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．思维过程在本小节的学习过程中，我们应该从下面几个方面去掌握知识，提高能力．1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全相同．正整数指数幂的五条运算性质可以归结为以下三条：①ar·as＝ar＋s；②（ar）s＝ars；③（ab）r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，sQ．这三条运算性质对于r，sR也成立，我们要记准公式，不仅会直接使用，更要会准确地逆用、活用．2．对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化．3．在指数函数的概念中，对底数a＞0且a≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a的分类讨论，注意函数有界性的运用．4．在本节的学习过程中，要学会正确处理由指数函数与其他函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．5．在解决简单的实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【例1】化简下列各式：（1）－［3×（）0］－1·［81－0.25＋］－10×；（2）÷（1－2）×．思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如，都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：①a－b＝（－）（＋）；②a±2＋b＝（±）2；③a±b＝（±）（＋＋）．答案：（1）原式＝0.3－1－3－1·（3－1＋）－10×0.3＝－－3＝0；（2）原式＝××＝××＝a．【例2】设yl＝a3x－1，y2＝（a＞0，a≠1），确定x为何值时有（1）y1＝y2；（2）y1＞y2．思路：显然需对a进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式．答案：（1）由题意得a3x－1＝，则3x－1＝x2＋x－4，解得x＝3或x＝－1．（2）当a＞1时，a3x－1＞，则3x－1＞x2＋x－4，解得－1＜x＜3；当0＜a＜1时，＜a3x－1，则3x－1＜x2＋x－4，解得x＜－1或x＞3．【例3】比较下列各数的大小：①；②；③；④；⑤．思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，①＝；②＝；③＝；④＝－；⑤＝显然，以0、1为界将五个数分成三类：①＞1，④＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y＝在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．答案：＞＞＞＞．点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路：（1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y轴的右侧“右侧底大图高”；在y轴的左侧“左侧底大图低”．（3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．新题解答【例1】对于函数y＝，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．解析：函数y＝可以看成是由函数u＝x2－2x－1与函数y＝“复合”而成．（1）由u＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当xR时，u≥－2，此时函数y＝总有意义，∴定义域为R；又由u≥－2，∴0＜≤9，∴原函数的值域为（0，9］．（2）∵函数u＝x2－2x－1在［1，＋）上递增，∴对于任意的1≤x1＜x2都有u1＜u2，∴＞，即y1＞y2．∴函数y＝在［1，＋］上递减．同理可得函数y＝在（－，1）上递增．点评：形如y＝（a＞0，a≠1）的函数有如下性质：（1）定义域与函数定义域相同；（2）先确定函数u＝f（x）的值域，然后以u的值域作为函数y＝（a＞0，a≠1）的定义域求得函数y＝（a＞0，a≠1）的值域；（3）函数y＝（a＞0，a≠1）的单调性，可以由函数u＝f（x）与y＝（a＞0，a≠1）按照“同增异减”的原则来确定．从本题中，我们可以体会换元法在解决复合函数问题中的作用．【例2】求下列函数的定义域，值域：（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝＋2×－1．解析：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法．（1）要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1．∴函数定义域为{x|x≠1}；∵x≠1，≠0，∴≠1，∴函数值域为{y|y＞0，且y≠1}．（2）∵2x－1≥0，∴函数定义域为{x|x≥}；∵2x－1≥0，∴≥0，∴y＝≥1．∴函数值域为{y|y≥1}．（3）函数定义域为R；∵2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，∴y＝≥．∴函数值域为{y|y≥}．（4）函数定义域为R；令t＝，则t＞0，y＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，其对称轴为t＝－1．∵t＞0，函数y＝（t＋1）2－2单调递增，∴y＝（t＋1）2－2＞1－2＝－1．∴函数值域为{y|y＞－1}．点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，（4）利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求内函数的值域B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如（4）是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t＞0（即得到内函数的值域B），然后由t＞0得到函数值域为{y|y＞－1}．若（4）中的x≥1，你还能求出它的值域吗？【例3】若函数y＝为奇函数，（1）确定a的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．解析：先将函数化简为y＝．（1）由奇函数的定义，可得f（－x）＋f（x）＝0，即＋＝0，∴2a＋＝0，∴a＝－．（2）∵y＝－－，∴－1≠0．∴函数y＝－－定义域为{x|x≠0}．（3）法一：（逐步求解法）∵x≠0，∴－1＞－1．∵－1≠0，∴0＞－1＞－1或－1＞0．∴－－＞，－－＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．法二：（利用有界性）由y＝－－≠－，可得＝．∵＞0，∴＞0．可得y＞或y＜－，即函数的值域{y|y＞或y＜－}．（4）当x＞0时，设0＜x1＜x2，则y1－y2＝－＝－＝．∵0＜x1＜x2，∴1＜＜．∴－＜0，－1＜0，－1＜0．∴y1－y2＜0，因此y＝－－在（0，＋）上递增．同样可以得出y＝－－在（－，0）上递减．点评：本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识．在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法．当x＞0时，∵为增函数，∴－1为增函数，递减，一为增函数，∴y＝－－在（0，＋）上递增．一般地，函数y＝f（u）和函数u＝g（x），设函数y＝f［g（x）］的定义域为集合A，如果在A或A的某个子区间上函数y＝f（u）（称外函数）与u＝g（x）（称内函数）单调性相同，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y＝f［g（x）］在该区间上递减（可以简记为“同增异减”）．另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y＝f（x）递增（减），则y＝－f（x）递减（增）；②若函数y＝f（x）在某个区间上恒为正（负）且递增（减），则y＝递减（增）；③若函数y＝f （x）递增（减），则y＝f（x）＋k递增（减）．【例4】已知函数y＝x（＋）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性；（3）证明它在定义域上恒大于0．解析：（1）定义域为{x|x≠0}．（2）f（x）－f（－x）＝x（＋＋1）＝x（＋1）＝0，∴f（x）＝f（－x）．∴f（x）是偶函数．（3）当x＞0时，＞1，∴－1＞0．∴＋＞．∴x（＋）＞x＞0，即当x＞0时，y＞0；当x＜0时，1＞＞0．∴0＞－1＞－1．∴＋＜－1．∴x（＋）＞－x＞0，即当x＜0时，y＞0．综上，f（x）在定义域上恒大于0．点评：这里判断函数的奇偶性，运用了定义的等价式，即f（x）－f（－x）＝0，则f （x）是偶函数；证明函数在定义域上恒大于0，转化为证明值域为（0，＋），这里运用分类讨论来逐步求解．【例5】如果函数y＝（a＞0且a≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a的值．解析：设t＝，则原函数可化为y＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1．（1）若a＞1，∵x［－1，1］，∴－1＜≤t≤a．∵t＝在［－1，1］上递增，∴y＝（t＋1）2－2当t［，a］时也递增，∴原函数在［－1，1］上递增．故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1．由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5（舍，∵a＞1）．（2）若1＞a＞0，可得当x＝－1时，ymax＝a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝或a＝－（舍）．综上，a＝或3．点评：本题运用了复合函数单调性的判断方法，以及复合函数值域的求法；对于底数进行了分类讨论．【例6】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间h后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta），其中Ta是环境温度，使上式成立所需要的时间h称为半衰期．在这样的情况下，t时间后的温度T将满足T－Ta＝（T0－Ta）．现有一杯F用热水冲的速溶咖啡，放置在F的房间中，如果咖啡降温到F需20分钟，问欲降到F需多少时间？解析：由题意，温度T是时间t的指数函数型关系，即T＝（T0－Ta）＋Ta，将有关数据代入，得T＝75＋（195－75）×＝75＋120×．再将t＝20，T＝105代入得105＝75＋120×，解得h＝10．∴T＝75＋120×，欲使T＝95，代入上式解得t＝26（分）．点评：本题是一道跨学科应用题，要解决它需要有较好的阅读能力．本题中给出了函数模型，利用待定系数法确定系数，得出解析式，从而解决问题．变式练习1．等式＝成立的充要条件是（）A．x≠－2B．x≥2或x＜－2C．x≥2D．x＜－2解析：若使等式成立，则等式中三个偶次根式必须都有意义，故选C．答案：C2．若＝7，＝6，则等于（）A．B．C．D．解析：要熟练逆用幂的运算公式，选D．答案：D3．若＞，则a的范围是（）A．a＞1B．0＜a＜1C．＜a＜D．a＞解析：利用函数的单调性，选B．答案：B4．若＞，则x的范围是（）A．0＜x＜1B．x＞1C．x＜－1D．x＜0解析：在同一坐标系中画出两个指数函数图象，利用图象解题．选D．答案：D5．下列函数是指数函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：符合指数函数定义的是D，y＝＝．答案：D6．下列函数值域是（0，＋）的是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解析：利用求值域的逐步求解法，选A．答案：A7．若a＝，b＝，则（a＋1）－2＋（b＋1）－2的值是（）A．1B．C．；D．答案：D8．若函数y＝＋m－1的图象在第一，三，四象限，则（）A．a＞1且m＞1B．a＞l且m＜0C．0＜a＜1且m＞0D．0＜a＜1且m＜1答案：B9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A．5B．9C．6D．8解析：每一天的细胞数都是前一天的两倍，选B．答案：B10．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝＋b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A11．函数y＝与y＝ax－a的图象大致是下图中的（）答案：D12．在下列等式中，函数f（x）＝不满足的是（）A．f（x＋1）＝2f（x）B．f（xy）＝f（x）＋f（y）C．f（x＋y）＝f（x）·f（y）D．f（－x）＝答案：B13．若a2x＝8，则___________．解析：将分子分解因式，然后代入可得值为．答案：14．化简÷（3）÷＝___________．答案：15．若函数y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则a的值是___________．答案：216．函数f（x）的定义域为［1，4］，则函数f（）的定义域为___________．答案：［－2，0］17．若f（x）＝，f－1（）则___________．解析：利用函数与它的反函数的定义域与值域之间的关系来解题．答案：－218．若函数y＝＋b的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y＝＋b的值域是___________．解析：由a＝2，b＝1求得y＝＋1．答案：（1，＋）（1）函数y＝（以a＞0且a≠1），当x［1，3］时有最小值为8，则a的值为___________；19．（2）函数y＝（a＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．答案：（1）16（2）{x|x≥2，或x≤0}（2，＋）{y|y≥1}20．（1）已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|x|的实根个数为___________．（2）关于x的方程＝有正根，则a的取值范围是___________．解析：利用图象解题．答案：（1）2个（2）（－，0）21．解下列关于x的方程：（1）81×＝；（2）＋3×－1＝0．解析：（1）把方程两边都化成同底数指数幂的形式；（2）用换元法．令t＝，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，先解出t再去解x，但要注意t＞0．所以x＝－2．答案：（1）－2；（2）－2．22．设f（x）是定义域为xR且x≠0上的奇函数，则当x＞0时，f（x）＝．（1）写出x ＜0时f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜－．解析：（1）x＜0时，f（x）＝x·；（2）x＞0时，由f（x）＝＜一，解得0＜x＜2；x＜0时，由f（x）＝x·＜一，解得x＜－2．答案：（1）x·；（2）0＜x＜2；（3）x＜－2．23．已知函数f（x）＝（a＞1）。

专题4.2 指数函数(解析版)

专题4.2指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数xy a 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1定义域R,值域（0，+∞）(2)在R上是增函数注意：指数增长模型：y=N(1+p)x指数型函数：y=ka x3考点：（1）a b=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。

掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。

（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。

一、单选题1．若函数()21xy m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12【答案】C【解析】由题意可得21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =.故选：C.2．函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】解：令10x -=，解得1x =，所以当1x =时，10112x y a a -=+=+=，所以函数11x y a -=+过定点()1,2.故选：B3．若函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．2【答案】A【解析】函数()22x xf x a x -=+⋅-为R 上的奇函数,故()010f a =+=，得1a =-，当1a =-时，()22x xf x x --=-满足()()f x f x -=-，即此时()22x xf x x --=-为奇函数，故1a =-，故选：A4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()2x f x =，则()2021f -=（）A ．2B ．－2C ．0D【答案】B【解析】由题意，()f x 的周期为4，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2021)(2021)(45051)(1)2f f f f -=-=-⨯+=-=-．故选：B ．5．已知f (x )=22,5(3),5x x x f x x ⎧-≥⎨+<⎩，则f (4)+f (-4)=（）A ．63B ．83C ．86D ．91【答案】C【解析】依题意，当x <5时，f (x )=f (x +3)，于是得f (-4)=f (-1)=f (2)=f (5)，f (4)=f (7)，当x ≥5时，f (x )=2x -x 2，则f (5)=25-52=7，f (7)=27-72=79，所以f (4)+f (-4)=86.故选：C6．函数()()32sin 1x xe x xf x e -=+的图象大致为（）A ．BC．D【答案】A【解析】由题意，得()()332sin sin 1x x x xe x x x xf x e e e---==++，所以()()3sin x x f x x e e x f x --+==-+-，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B ，D ．又因为33ππππ6666ππ1πsin π662606f e ee e--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪⎝⎭++，()()32π2πsin 2π2π2π0f e e--=<+，所以排除C ．故选：A7．若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <，所以22331125⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且2133>，所以21331122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，所以c a b >>，即b a c <<故选：A 8．设函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当[]1,0x ∈-时，()2x f x =，则()2022f =（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】A【解析】由()()2f x f x -=-得()()()222+-=-+=f x f x f x ，所以()()()42-+=+=-f x f x f x ，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4，()()()2022505422=⨯+=f f f ，由()()2f x f x -=-得()()022221-=-==f f ，所以()21f =-.故选：A.9．()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．474【答案】A【解析】由题意，222()((()))f x x x f x f x x =--=----，即2()()2f x f x x -+=，(22))(x x f x f x -=++-，即()22()x x f x f x --=--，所以22(2)22x x f x x -=+-，可得2112)2(x x f x x ----=+，故2212122217(2)8f ----==+.故选：A.10．若2||()2x f x x =+，则下列关系式一定成立的是（）A ．()(3)()f f f e π>->B ．(3)()()f f f e π->>C ．()(3)()f e f f π>->D ．()()(3)f e f f π>>-【答案】A【解析】由2||()2x f x x =+可知：()()f x f x -=，()f x ∴为偶函数，又2222,0()22,0x xxx x f x x x x -⎧+≥=+=⎨+<⎩,知()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，故()(3)(3)(e)f f f f π>=->，故选：A.11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21xf x x =+-，则不等式()12f x -<的解集为（）A ．()0,2B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】A【解析】当0x ≥时，()21xf x x =+-，则()f x 在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)2f =，因此，()()()121111f x f x f x -⇔-⇔-<，解得02x <<，所以不等式()12f x -<的解集为()0,2.故选：A12．已知函数()22,12,1xx ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(][),13,-∞⋃+∞【答案】B【解析】∵()22,12,1x x ax a x f x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，∴21122a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得13a ≤≤.故选：B.13．函数1()(2f x =）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．12⎤⎥⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】依题意，210x x -++≥，解得：1122x ≤≤，即()f x 定义域为11[,]22，令u =，则函数u =在11[]22上单调递增，在11[,]22上单调递减，而函数1()2u y =在R 上单调递减，因此，()f x 在151[]22上单调递减，在11[,]22上单调递增，所以函数1()(2f x =1[2.故选：C14．已知函数()1424x x f x +=-+，[]1,1x ∈-，则函数()y f x =的值域为（）．A ．[)3,+∞B ．[]3,4C ．133,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 依题意，函数()2)(2224x xf x =-⨯+，[]1,1x ∈-，令2x t =，则2x t =在[]1,1x ∈-上单调递增，即122t ≤≤，于是有2224(1)3y t t t =-+=-+，当1t =时，min 3y =，此时0x =，min ()3f x =，当2t =时，max 4y =，此时1x =，max ()4f x =，所以函数()y f x =的值域为[]3,4.故选：B15．函数2()f x x x =-，+1()42x x g x m =-+，若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则m 的取值范围是（）A ．0m 成立，则需()()min min >f x g x ，又2()f x x x =-，[1,2]x ∈，所以()()2min 1110f x f =-==，令2x t =，因为[1,1]x ∈-，所以1[,2]2t ∈，所以()2()211g x t t m g m =-+≥=-，所以0>1m -，解得1m <，则m 的取值范围是1m <，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．二、多选题16．已知函数()33x xf x -=-，则（）A ．()f x 的值域为RB ．()f x 是R 上的增函数C ．()f x 是R 上的奇函数D ．()f x 有最大值【答案】ABC【解析】()()30,x g x ∞=∈+，而()()3,0xh x ∞-=-∈-，所以()33x x f x -=-值域为R ，A 正确，D 错误；因为()3x g x =是递增函数，而()3x h x -=-是递增函数，所以()33x xf x -=-是递增函数，B正确；因为定义域为R ，且()()33x xf x f x --=-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，C 正确；故选：ABC17．已知函数13()13xxf x -=+，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的图象关于坐标原点对称B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 在定义域上单调递减【答案】AD【解析】因为1331()()1331x x x x f x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A 正确；因为131(1)132f -==-+，1113(1)1213f --==+，(1)(1)f f ≠-，所以()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故不B 正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，又30x >，所以311x +>，所以20231x <<+，所以()(1,1)f x ∈-，故C 不正确；因为3122()13131x x xf x +-=-=-+++，且3x y =为增函数，所以()f x 在定义域(,)-∞+∞上单调递减，故D 正确.故选：AD18．下列结论中，正确的是（）A ．函数12x y -=是指数函数B ．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞C ．若(0,1)m n a a a a >>≠则m n>D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)-【答案】BD【解析】由指数函数定义得函数12x y -=不是指数函数，A 错；函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，222(1)1u x x x =-+=--+，在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，因此函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞，B 正确；01a <<时，由m n a a >得m n <，C 错；函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠中，由20x -=得2x =，(2)2f =-，即函数()f x 图象过点(2,2)-，D 正确．故选：BD ．19．已知函数21()21x xf x -=+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(1,1)-C ．函数()f x 的图象关于y 轴对称D ．函数()f x 在R 上为增函数【答案】ABD【解析】A ：因为20x >，所以函数()f x 的定义域为R ，因此本选项结论正确；B ：212()12121x x xf x -==-++，由12220211012011212121x xx x x >⇒+>⇒<<⇒-<-<⇒-<-<+++，所以函数()f x 的值域为(1,1)-，因此本选项结论正确；C ：因为2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y 轴对称，因此本选项说法不正确；D ：因为函数21x y =+是增函数，因为211x y =+>，所以函数221x y =+是减函数，因此函数2()121x f x =-+是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD20．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，且()()2x f x g x +=，则下列说法正确的是（）A ．()()f g x 为偶函数B ．()00g =C ．()()22f xg x -为定值D ．()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩【答案】ACD【解析】()()2xf xg x +=令x 为x -得()()2x f x g x --+-=即()()2xf xg x --+=解得()222x x g x -+=，()222x xf x --=对于A.()()()()f g g x x f -=，故()()f g x 为偶函数对于B.()01g =，故B 错C.()()22222222122x x x x f x g x --⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎝⎭-=⎭，故C 对D.当0x ≥时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ---++=+当0x <时，()222x x f x --=，()()2222222x x x xxf xg x ----++=()()2,02,0x xx f x g x x -⎧≥+=⎨<⎩故D 对故选：ACD三、填空题21．已知函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()211f a f a +>-，则实数a 的取值范围是___.【答案】(),2-∞-【解析】：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3y x =-在R 上都是单调递减，()312xf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴由()()211f a f a +>-，可得211a a +<-，解得2a <-，即(),2a ∈-∞-．故答案为：(),2-∞-22．已知函数()()12xf xg x =+-为定义在R 上的奇函数，则()()()012g g g ++=____.【答案】72或3.5【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，特别地，当0x =时，得到()00f =．由()()12xf xg x =+-取0x =，所以()()011f g =-，所以()11g =．再分别令1x =-和1x =，得()()1102f g --=-，()()122f g =-，两式相加得()()()()1110222f f g g --+=-+-，且()()110f f -+=，则()()02g g +52=，所以()()()012g g g ++=57122+=．故答案为：72.23．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()2xf x =，则()9f -=___________.【答案】2-【解析】：因为()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又因()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()9912f f f -=-=-=-.故答案为：2-.24．设不等式()44210x x xm -++≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】：由()44210x x x m -++≥，得()4214x x xm ++≤，即4111421124x x x x xm ≤=++++，[]0,1x ∈，11,122x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则221111371,3222244x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤++=++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，114,1137124x x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦++，则13m ≤，即1,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题25．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+．(1)试求()f x 的表达式；(2)若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241x xt f x <⋅⋅-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩(2)0t ≥【解析】(1)：()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，因为在()1,0x ∈-时，()22x xf x -=+，设()0,1x ∈，则()1,0x -∈-，则()()()22x xf x f x -=--=-+，故()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩.(2)：由题意，()241x x t f x <⋅⋅-可化为()22241x x x xt --<⋅⋅--化简可得4141x x t -+>+，令()41214141x x xg x -+==-+++，()0,1x ∈，因为41x y =+在定义域()0,1上单调递增，2y x=在()2,5上单调递减，所以()g x 在()0,1上单调递减，()()0201041g x g ∴<=-+=+，故0t ≥．26．已知函数()()()313x xf x m m R -=--∈是定义域为R 的奇函数.(1)若集合(){}|0A x f x =≥，|0x m B x x m -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，求A B ；(2)设()()22332x xg x af x -=+-，且()g x 在[)1,+∞上的最小值为-7，求实数a 的值.【答案】(1){}|02A B x x =≤<(2)3a =【解析】(1)解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，可得2m =，当2m =时，()33x x f x -=-，所以()33x xf x --=-，()()f x f x -=-，所以()33x x f x -=-为奇函数，所以2m =；由()0f x ≥，得1303xx -≥，即23103x x -≥，因为30x >，所以2310x -≥，所以0x ≥，即{}|0A x x =≥；由0x mx m-<+，且2m =，得()()220x x -+<，即22x -<<，所以{}|22B x x =-<<，所以{}|02A B x x =≤<；(2)因为()()2233233x x x xg x a --=+--，()()2332332x x x x a --=---+，令33x x t -=-，因为1≥x ，所以83t ≥，所以()()()22282223g x t t at t a a t ϕ⎛⎫==-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，当83a >时，()t ϕ在8,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[),a +∞上为增函数，所以()()2min 2t a a ϕϕ==-，即()2min 2g x a =-，所以227a -=-，解得3a =，或3a =-（舍去）；当83a ≤时，()t ϕ在8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以()min 88216393at ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()min 821693a g x =-，所以8216793a -=-，解得1458483a =>（舍去），所以3a =.27．已知定义在[]2,2-上的奇函数()f x ，当[]2,0x ∈-时，函数解析式为()()193x x f x a a -=+⋅∈R ．(1)求a 的值，并求出()f x 在[]2,2-上的解析式；(2)若对任意的(]0,2x ∈，总有()22f x t t ≥-，求实数t 的取值范围．【答案】(1)-3，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩；(2)[]0,2.【解析】(1)根据题意，()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，则有()00=f ，当[]2,0x ∈-时()193x x f x a -=+⋅，则()10103f a =+=，解得：3a =-，当[]2,0x ∈-时，()93x xf x =-，设(]0,2x ∈，则[)2,0x -∈-，则()93x xf x ---=-，又()f x 为奇函数，所以()()39x xf x f x --=--=-，综上，()93,2039,02x x x xx f x x --⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，(2)由（1），(]0,2x ∈时，()2113933xxx x f x --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设13x m =，则119m ≤<，则原函数可化为：()221124m m m m ϕ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，由18981ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10ϕ=知：()0f x >在(]0,2上恒成立，要使()22f x t t ≥-在(]0,2x ∈上恒成立，只需220t t -≤，解得：02t ≤≤，所以t 的取值范围为[]0,2．28．已知函数()1221xx f x -=+.(1)求()()22f f -+的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)若()()24221x a g x f x a ⎡⎤=-+⎣⎦+，且对任意的1x 、2x ∈R ，都有()()123g x g x -<，求实数a 的取值范围.【答案】(1)0；(2)()1,1-；(3)11a ≤.【解析】(1)：()()22221112121433422012121415514f f -------+==+=-=++++.(2)解：()()212212121x x x f x -++==-++.20x >，则211x +>，则20221x<<+，所以，211121x-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-.(3)解：()()()()()2224222122121x x a g x f x a f x a f x af x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=--=- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎝⎭，令()t f x =，则()()22g x h t t at ==-，()1,1t ∈-，函数()h t 的对称轴为直线t a =.①当1a ≥时，函数()h t 在()1,1-上单调递减，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴+--≤，解得34a ≤，此时a 的取值不存在；②当1a ≤-时，函数()h t 在()1,1-上单调递增，()()()()12113g x g x h h ∴-<--≤，()()12123a a ∴--+≤，解得34a ≥-，此时a 的取值不存在；③当11a -<<时，函数()h t 在()1,a -上单调递减，在(),1a 上单调递增，()()()()121g x g x h h a ∴-<--，且()()()()121g x g x h h a -<-，所以，()()()()2211231123h h a a a h h a a a ⎧--=++≤⎪⎨-=-+≤⎪⎩，解得11a ≤≤，此时11a -≤.综上，实数a 的取值范围为11a ≤≤.29．设函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若()312f =，()()222x xg x a a mf x -=+-，且当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)1-(2)1712m ≤【解析】(1)函数()()2x xf x a k a -=-+（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数,则()()()0002120f a k a k =-+=-+=，所以1k =-，又1k =-时，()x xf x a a -=-，对任意的R x ∈，都有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-成立，满足题意，所以1k =-；(2)由（1）知，()x xf x a a -=-，且()312f =，所以，()1312f a a =-=，所以，2a =或12a =-（舍），()()()()22222222222222x x x x x xx x g x m m ----=+--=---+令()221x xt x -=-≥，则32t ≥，由当[)1,x ∞∈+时，()0g x ≥恒成立，得2220t mt -+≥在32t ≥时恒成立，则22m t t ≤+在时32t ≥恒成立，又2y t t =+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，1726m ≤，所以，1712m ≤.。

2022年初升高暑期数学精品讲义专题15 指数函数(重难点突破)【含答案】

专题15 指数函数1、考情分析二、考点梳理【知识点一、指数函数】1．指数函数的概念一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．x R 2．指数函数的结构特征(0,1)xy a a a =>≠且（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x ；（3）系数：a x 的系数是____________．【知识点二、指数函数的图象与性质】1．一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：(0,1)xy a a a =>≠且01a <<1a >图象定义域R值域(0,)+∞奇偶性非奇非偶函数对称性函数y =a −x 与y =a x 的图象关于y 轴对称过定点过定点，即时，(0,1)0x =1y =单调性在上是____________函数R 在上是____________函数R 函数值的变化情况当时，；0x <1y >当时，0x >01y <<当时，；0x >1y >当时，．0x <01y <<2．指数函数中的底数对其图象的影响(0,1)xy a a a =>≠且指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b ，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向____________．三、题型分析重难点题型突破1．指数函数的概念例1．（1）、（2023·全国·高三专题练习）若函数是指数函数，则等于（）()21xy m m m =--⋅m A ．或B ．1-21-C ．D ．212【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.m m 【详解】由题意可得，解得.21101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩2m =故选：C.（2）．若函数是指数函数，则（）()()21xf x a a a =--A ．B ．C ．或D ．且1a =2a =1a =2a =0a >1a ≠【答案】B 【分析】根据指数函数的定义列出关于a 的方程，进行求解即可．【详解】由指数函数的定义，得，解得．21101a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩2a =故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题.【变式训练1-1】、（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））函数的图象恒过定点12x y a +=-__________【答案】(1,1)-【解析】【分析】利用指数函数的性质可得答案.【详解】令，即时，，可得函数的图象恒过定点，1=0x +1x =-012y a =-=12x y a +=-(1,1)-故答案为：(1,1)-【变式训练1-2】．已知指数函数图像经过点，则_____.(1,3)p -(3)f =【答案】127【解析】设指数函数为（且），由题意得，解得，所以，故()xf x a =0a >1a ≠13a -=13a =1()()3xf x =．答案：．311(3)()327f ==127例2．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知函数，若，则2,1()1,12x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩ (())2f f x =__________.x =【答案】0或2或8【解析】【分析】当时，，当时，；当时，；当时，1x ()2x f x =()21xf x =>(())2f f x =()21x f x = (())2f f x =1x >，当时，；当时，，由此能求出的值.1()2f x x =()112f x x =>(())2f f x =1()12f x x = (())2f f x =x 【详解】解：函数，，2,1()1,12x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩ (())2f f x =当时，，∴1x ()2xf x =当时，，解得，不合题意；()21xf x =>1(())222x f f x =⨯=2x =当时，，解得，成立；()21xf x = 2(())22xf f x ==0x =当时，，1x >1()2f x x =当时，，解得，成立；()112f x x =>11(())222f f x x =⨯=8x =当时，，解得，成立.1()12f x x =12(())22x f f x ==2x =或2或8.0x ∴=故答案为：0或2或8.【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（）A ．B ．C ．D ．4y x=1(2xy =22xy =3xy =-【答案】BC 【解析】【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，函数不是指数函数，4y x =对于B ，函数是指数函数；1(2xy =对于C ，函数是指数函数；224x xy ==对于D ，函数不是指数函数.3x y =-故选：BC.重难点题型突破2．指数函数的图像与性质例3、（1）、（2022·全国·模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数2y ax bx =+的图象可能是（）xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．,,0a b 【详解】当时，A 正确；当时，B 正确；0a b >>0b a >>当时，D 正确；当时，无此选项．0a b >>0b a >>故选：ABD ．（2）、（2021·福建·高二学业考试）函数的图象大致为（）3xy =A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由单调性和所过定点作出判断.【详解】因为，所以单调递增，且恒过点，31>3xy =()0,1故A 为正确答案.故选：A【变式训练3-1】、（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数的图象如图所示，则（）()xf x a b =-A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD 【解析】【分析】根据给定的函数图象确定的单调性，进而确定a 的范围，再由图象与y 轴交点确定b 的范围即可作答.()f x 【详解】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，()xf x a b =-01a <<图象与y 轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，0y 001y <<0x =1y b =-011b <-<01b <<所以，.01a <<01b <<故选：BD【变式训练3-2】、（2022·全国·高一专题练习）函数(是自然底数)的大致图像是（）e xy -=eA．B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.【详解】解析，10e e e 0xxx x y x -⎧⎛⎫≥⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎪<⎩ ，，函数为偶函数，且过，，e xy -=()0,1e 0xy -=>函数在上递增，在上递减，故C 符合.(),0∞-()0,∞+故选：C.重难点题型突破3．与指数函数相关的定义域和值域问题例4．（1）、（2022·全国·高三专题练习）函数___________.()f x =【答案】(,0]-∞【解析】【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由，1102x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭得，011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 所以，0x ≤所以函数的定义域为，(,0]-∞故答案为：(,0]-∞（2）．（2023·全国·高三专题练习）偶函数的值域为______．()()2e R e xx f x a a =∈+【答案】1(0,2【解析】【分析】由偶函数求得，再由对勾函数及指数函数的性质求的值域即可.1a =()f x 【详解】由题设，，故，22e e ()()e e 1x xxx f x f x a a ---===++1a =所以，当且仅当时等号成立，又，11()12e e x x f x =≤=+0x =()0f x >所以的值域为.()f x 1(0,2故答案为：.1(0,]2【变式训练4-1】、（2022·全国·高一专题练习）函数_________.()2xf x =+【答案】[)(]2002-⋃，，【解析】【分析】解不等式即得解.240x x ⎧-≥⎨≠⎩组【详解】解：要使有意义，则；解得，且；()f x 2400x x ⎧-≥⎨≠⎩22x -≤≤0x ≠的定义域为.()f x ∴[)(]2002-⋃，，故答案为：[)(]2002-⋃，，【变式训练4-2】、（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______．()1423xx f x +=-+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】[)2,3【解析】【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.2xt =【详解】解：，()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+设，2xt =当时，，1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦0t <≤()22123t ≤-+<所以在的值域为．()f x 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦[)2,3故答案为：．[)2,3重难点题型突破4．指数函数单调性的应用例5．（1）、（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知函数，若对于任意的实数，不等()()21,122,1xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩x 式恒成立，则实数a 的取值范围为（）2()(1)f x a f x -≤+A ．B ．3(,)4-∞-3(,]4-∞-C ．D ．3(,)4-+∞3[,)4-+∞【答案】D 【解析】【分析】由解析式判断分段函数的单调性，根据单调性有在上恒成立，求a 的范围.()f x 21a x x ≥-+-R x ∈【详解】由在上递增，值域为，2(1)y x =-[1,)+∞[0,)+∞在上递增，值域为，22x y =-(,1)-∞(2,0)-所以在定义域上递增，且值域为，()f x (2,)-+∞由题设不等式恒成立，即，21x a x -≤+故在上恒成立，22131()24a x x x ≥-+-=---R x ∈所以.34a ≥-故选：D（2）、（2022·上海师大附中高一期末）函数的单调减区间是_________.()2235xx f x --=【答案】##(),1-∞(],1-∞【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.【详解】令，()225,2314,t y t x x x ==--=--根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，(),1x ∈-∞()1,x ∈+∞外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.(),1x ∈-∞()1,x ∈+∞故答案为：.(),1-∞【变式训练5-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（）1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x A ．是偶函数，且在是单调递增B ．是奇函数，且在是单调递增R R C ．是偶函数，且在是单调递减D ．是奇函数，且在是单调递减R R 【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；【详解】解：定义域为，且，1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R ()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以为奇函数，1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；3xy =13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R 故选：B【变式训练5-2】、（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】增区间为，减区间为[2,)-+∞(,2)-∞-【解析】【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.【详解】设t ＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得12x⎛⎫ ⎪⎝⎭22817(4)1y t t t =-+=-+(0,4](4,)+∞12x⎛⎫⎪⎝⎭x ≥－2，令>4，得x <－2.而函数t ＝在R 上单调递减，所以函数的增区12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x ⎛⎫⎪⎝⎭21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间为，减区间为.[2,)-+∞(,2)-∞-故答案为：增区间为，减区间为[2,)-+∞(,2)-∞-重难点题型突破5 比较大小例6．（1）、（2022·全国·高一）的大小关系是________．11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，【答案】##11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222111233⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】先利用指数函数性质得到，再利用幂函数性质得到，即得解.1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112211()()23>【详解】解：指数函数是减函数，由，知；13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭123>1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭幂函数是增函数，.12y x =11221111,()()2323>∴>所以.11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）、（2022·山西吕梁·二模（文））已知，则（）343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c a b<<c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小.【详解】因为函数单调递减，故.34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b 因为，所以.3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b <又，所以.34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c <综上，a c b <<故选B.【变式训练6-1】、（2022·全国·高一专题练习）已知，，，则（）432a =254b =1325c =A ．B ．C ．D ．b a c <<a b c <11332516>a c <指数函数在上单调递增，因为所以，所以，16xy =R 1135>11531616>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.【详解】解：是增函数，故，1.6xy =0.30.81.6 1.6a b =<=而，故.0.30.81.610.7c >>=c a b <<故选：A.重难点题型突破6．复合函数例7．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在上的函数是奇函数．R ()22x xf x k -=-⋅(1)求实数的值；k (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．R x ∈()()240f x tx f x ++->t 【答案】(1)1k =(2)()3,5-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；()00f =k （2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；()2140x t x +-+>∆<0(1)解：函数是定义域上的奇函数，()22x xf x k -=-⋅R ，即，解得．∴(0)0f =()000220f k =-⋅=1k =此时，则，符合题意；()22x xf x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，()22x xf x -=-2x y =R 2xy -=R 所以在定义域上单调递增，()22x xf x -=-R 则不等式恒成立，()()240f x tx f x ++->即恒成立，()()24f x tx f x +>-即恒成立，24x tx x +>-即恒成立，()2140x t x +-+>所以，解得，即；()21440t ∆=--⨯<35t -<<()3,5t ∈-例8．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）已知函数是定义域为的奇函数.()331x xb f x +=+R (1)求实数的值，并证明在上单调递增；b ()f x R (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.0a >1a ≠1x []21,3x ∈()22132x f x a -+≥a 【答案】(1)，证明见解析1b =-(2)(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，()00f =1b =-()f x 再利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知()2231122x a f --≤=222x a -≤[]221,1x -∈-01a <<1a >条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.a a (1)解：因为函数是定义域为的奇函数，()331x xb f x +=+R 则，解得，此时，()1002bf +==1b =-()31213131x x x f x -==-++对任意的，，即函数的定义域为，x ∈R 310x +>()f x R ，即函数为奇函数，合乎题意，()()()()33131133113331x xx xx xx x f x f x --------====-+++()f x 任取、且，则，1t 2t ∈R 12t t <12033t t <<所以，，则，()()()()()121212122332211031313131t t t t t t f t f t -⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()12<f t f t 所以，函数在上单调递增.()f x R (2)解：由（1）可知，函数在上为增函数，()f x []1,3对于任意的、，都有，则，1x []21,3x ∈()22132x f x a -+≥()2231122x a f --≤=，222x a -∴≤因为，则.[]21,3x ∈[]221,1x -∈-当时，则有，解得；01a <<12a -≤112a ≤<当时，则有，此时.1a >2a ≤12a <≤综上所述，实数的取值范围是.a (]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 例9．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数，．()423x x f x a =+⋅+a R ∈(1)当，且时，求函数的值域；4a =-[]0,2x ∈()f x (2)若函数在的最小值为，求实数的值；()f x []0,21a 【答案】(1)[]1,3-(2)a =-【解析】【分析】（1）令，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得值域；[]21,4x t =∈()f x （2）令，可得，分别在、和的情况下，根据[]21,4xt =∈()()23f x g t t at ==++12a -≤142a <-<42a -≥二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果.(1)当时，；4a =-()4423x x f x =-⋅+令，则当时，，2x t =[]0,2x ∈[]1,4t ∈在上单调递减，在上单调递增，243y t t =-+ []1,2[]2,4，，的值域为.()min 44231f x ∴=-⨯+=-()max 161633f x =-+=()f x ∴[]1,3-(2)令，则当时，，2x t =[]0,2x ∈[]1,4t ∈，对称轴为；()()23f xg t t at ==++2at =-当，即时，在上单调递增，，12a -≤2a ≥-()g t []1,4()()min 141g t g a ∴==+=解得：（舍）；3a =-当，即时，在上单调递减，在上单调递增，142a <-<82a -<<-()g t 1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,42a ⎛⎤- ⎥⎝⎦，解得：()2min3124a a g t g ⎛⎫∴=-=-+= ⎪⎝⎭a =a =-当，即时，在上单调递减，，42a-≥8a ≤-()g t []1,4()()min 41941g t g a ∴==+=解得：（舍）；92a =-综上所述：a =-例10．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数.()2422axx f x ++=(1)当时，求的值域；1a =()f x (2)若有最大值16，求的值.()f x a【答案】(1)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)2-【解析】【分析】（1）由复合函数的单调性可判断函数的单调性，进而得解；()f x （2）分析函数的单调性，将已知转化为的最大值为4，结合二次函数的性质，即可求解.242t ax x =++(1)当时，.1a =()2422xx f x ++=因为在R 上单调递增，且，2t y =()2242222y x x x =++=+-≥-可得，所以，24221224xx ++-≥=()2124f x -≥=故的值域为.()f x 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)令，因为函数在其定义域内单调递增，242t ax x =++2ty =所以要使函数有最大值16，则的最大值为4，()f x 242t ax x =++故解得.20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩2a =-故的值为.a 2-四、课堂训练1．（2022·全国·高一专题练习）函数是指数函数，则（）2(2)xy a a =-A ．或B ．C ．D ．且1a =3a =1a =3a =0a >1a ≠【答案】C 【解析】【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值2(2)1a -=0a >1a ≠a【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.2(2)1a -=0a >1a ≠3a =故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图像是（）22xy =-A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.1x =1x ≠【详解】，22,12222,1x xxx y x ⎧-≥=-=⎨-<⎩ 时，时，.1x ∴=0,1=≠y x 0y >故选：B.3．（2022·湖南永州·高一期末）已知函数（且），若，则_________.()x f x a =0a >1a ≠()24f ==a 【答案】2【解析】【分析】由已知函数的解析式，代入求解即可.【详解】解：因为函数（且），，所以，解得，()x f x a =0a >1a ≠()24f =24a =2a =故答案为：2.4．已知函数．1()421x x f x a +=-+ （1）若函数在，上有最大值，求实数的值；()f x [0x ∈2]8-a （2）若方程在，上有解，求实数的取值范围．()0f x =[1x ∈-2]a 【答案】（1）；（2）.51718a ≤≤【分析】（1），，，，，进而讨论与的关系求解；2()(2)221x xf x a =-+ [0x ∈ 2]2[1x∴∈4]a 52（2），，令，，在有解，进而求解．[1x ∈- 2]∴12[2xt =∈4]2()210g t t at ∴=-+=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】解：（1），，，，，2()(2)221x x f x a =-+ [0x ∈ 2]2[1x∴∈4]①时，，解得（舍52a2()42418max f x a =-⨯+=-258a =)②时，，解得，52a >2()12118max f x a =-⨯+=-5a =；5a ∴=（2），，令，[1x ∈- 2]∴12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦在有解，2()210g t t at ∴=-+=1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦当且仅当，即时等号成立，此时函数的图象如图，1122t a t =+= 122t t =1t =2()21g t t t =-+时，取得最大值，4t ∴=a 178综上，．[1a ∈17]8【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．。