椭圆周长的近似计算

其中 ε =
π π 2 2 2 ,ε) = ∫ 1 - ε sin td t属于 0 2 第二类椭圆积分 , 可以通过查第二类椭圆积分表求其值 。 另外 , 还可将其展开成无穷级数来计算 。参考文献的 第 3043 题即给出了椭圆周长的无穷级数表达式 : 2n ∞ ( 2n - 1) ! ! 2 ε πa 1 - ∑ L =2 ( 2n) ! ! n =1 2n - 1 1 2 3 4 5 6 175 8 441 10 πa ( 1 - 2ε - 6ε - 8ε - 14 ε - 16 ε - …) ( 1 ) =2 2 2 2 2 2 虽然由 ( 1 ) 式可以计算出满足任意精确度要求的 L 的 近似值 , 但是用 ( 1 ) 式来计算 L 还是显得较为烦琐 。我们 想 , 是否能有较为简便的计算椭圆周长的近似公式 , 当然 是能用椭圆的长半轴 a 和短半轴 b 直接计算最好 。我们 作如下考虑 : 椭圆的面积为 πab, 恰为以 a、 b的几何平均数 ab 为 半径的圆的面积 。那么 , 它们的周长是否也会很接近呢 ? π ab与 L 之间的关系 , 我 为了更精确地比较圆的周长 2 π ab 们现将 2 展开为 ε的幂级数 。根据级数公式 ( 1 + ∞ a ( a - 1) ∧ ( a - n + 1) n a x) = 1 + ∑ x ( - 1 < x < 1)
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林区教学
2005 年第 2 期
椭圆周长的近似计算
花向东
(哈尔滨铁道职业技术学院 )
摘 要 : 椭圆的周长 ,要通过查第二类椭圆积分表或展开成无穷级数来计算 ,不是很方便 。给出了用椭圆的 长半轴 a 和短半轴 b计算其周长的近似公式 。 关键词 : 第二类椭圆积分 ; 无穷级数 ; 椭圆周长的近似公式 学习了用定积分计算曲线的弧长以后 ,有学生用弧长 公式计算椭圆的周长 ,得 : x = a cos t π由弧长公式 设椭圆 : a > b > 0 0 ≤ t≤2 y = b sin t 知椭圆的周长 L 为 :
πa ( 1 =2
n =1
n!
由 ε= π 所以 2 πa =2
∞
a - b b 得 = a a
2
2
1 -ε
2
πa ab = 2
1 4
b πa =2 a
4
1 -ε
2
1+∑
n =1
1 -1 ∧ 4
n!
源自文库
1 - n +1 4
2 n ( -ε )
1 2 7 6 77 8 231 10 4 ε - 3 ε - 7ε - 11ε - 13 ε - …) ( 2 ) 2 5 2 2 2 2 2 将 ( 2 ) 与 ( 1 ) 比较 , 由括号中的第三项即可看出 , 椭圆 π ab。 的周长 L 大于 2
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LQJX
πa ( 1 =2
我们知道 a、 b的几何平均数 ab 小于它们的算术平 a +b a +b 均数 , 因此 , 再考虑半径为 的圆 , 也将此圆的周长 2 2 π ( a + b) 展开为 ε的幂级数 。 π ( a + b) =πa ( 1 + b ) =πa ( 1 +
a
1 -ε )
2
3 一般地 , 当 ε≤ 时 , ( 4 ) 式可精确到三位有效数字 , 2 这在要求不是很高时 , 已可满足需要 。所以 , 我们得椭圆 的周长 L 的近似计算公式如下 : 3 ( a + b) L≈π [ ab ] 2 例 1:椭圆的长半轴 a = 5,短半轴 b = 3,求椭圆的周长 L。 π 解一 :查第二类椭圆积分表得 : E ( , 0. 8 ) = 1. 2776 2 所以 L = 4 × 5× 1. 2776 = 25. 552 解二 :由近似公式 ( 4 ) 得 : L = 25. 532 例 2:椭圆的长半轴 a = 2,短半轴 b = 1,求椭圆的周长 L。 π 3 ) = 1. 2111 解一 :查第二类椭圆积分表得 : E ( , 2 2 所以 L = 4 × 2× 1. 2111 = 9. 6888 解二 :由近似公式 ( 4 ) 得 : L = 9. 6893 参考文献 [ 1 ]数学分析习题集题解 [M ]. 济南 : 山东科学技术出版 社 , 1983. 〔 责任编辑 : 李海波 〕
2 L = 4a∫ 0
=πa
2+∑
n =1
∞
1 2
1 -1 ∧ 2
n!
1 - n +1 2
2 n ( -ε )
π
1 - ε sin td t
2 2
2
2
a - b 是椭圆的离心率 。 a 到此 , 对于高职学生 , 就无能为力了 。因为这一积分 的被积函数的原函数不能用初等函数表示 , 是“ 积不出 来” 的 。那么 , 椭圆的周长就无法计算了吗 ? 答案当然是
否定的 。事实上 , 积分 E (
1 2 1 6 5 8 7 10 4 ε - 1 ε - 5ε - 8ε - 9ε - …) ( 3 ) 2 4 2 2 2 2 2 将 ( 3 ) 与 ( 1 ) 比较 , 同样由第三项知 , 椭圆的周长 L 也 大于 π ( a + b) 。虽然 ( 3 ) 式较 ( 2 ) 式更接近于 L, 但显然误 差较大 (一般可精确到个位 ) 。 我们再细致观察一下三个式子中括号内各项的系数 , 并解下列方程组 : λ+ k =1 1 1 1 2λ + 2 k = 2 2 2 2 3 1 3 5λ + 4 k = 6 2 2 2 7 1 5 7λ + 5 k = 8 2 2 2 77 5 175 11λ + 8 k = 14 2 2 2 1 3 可以发现 , 前四个方程有公共解 :λ = , k = 。 2 2 3 1 这就是说 , 用 ×( 3 ) ×( 2 ) 比在 ( 1 ) 式中取前四项 2 2 3 1 计算的值还要精确 。事实上 , ×( 3 ) ×( 2 ) 为 2 2 π [ 3 ( a + b) - ab ] 2 3 4 5 6 43 8 105 10 2 πa ( 1 - 1 ε =2 - 6ε - 8ε - 12ε - 14 ε - …) ( 4 ) 2 2 2 2 2 2